= x 2x = x (x 12) = 0 x 5 =0 (lokales Maximum) x 6,7 = ± 12 (lokale Minima)

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1 Maturitätsprüfung 7 Mathematik Aufgabe Gegeben ist die Funktion f(x) = x x + a) Untersuchen Sie die Funktion bezüglich Symmetrien, bestimmen Sie die Nullstellen, zeigen Sie, dass es zwei Minimalstellen gibt, zeigen Sie, dass die Funktion zwei Wendestellen aufweist und zeichnen Sie ihren Graphen. b) Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen der Tangenten an den Graphen von f in den beiden Wendepunkten und berechnen Sie den Winkel, in dem sich die beiden Tangenten schneiden. c) Legen Sie eine Gerade durch die beiden Minimalpunkte und berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, welches durch diese Gerade und den Graphen von f begrenzt wird. a) Symmetrie bezüglich der y-achse, da nur gerade Exponenten vorkommen Nullstellen für x =z gilt z z + = z = (+ ) = 8,9 z = ( ) = 5,7 Extremalstellen / Minimalstellen f' (x) x, = ± + = ±,5 x, = ± = ±,5 = x x = x (x ) = x 5 = (lokales Maximum) x,7 = ± (lokale Minima) Wendestellen f' '(x) Graph = x = x 8,9 = ± b) Winkel zwischen den Wendetangenten Steigung der Wendetangenten: f (-) = 8/ f () = 8/ Berührungspunkte f(-) = / f() = / Tangentengleichungen y = x x Winkel zur x-achse: tan ϕ = 8/ ϕ = 9, Winkel zw. den Tangenten ω = 8 ϕ =, c) Flächeninhalt unter dem Graphen, zwischen den Minimalpunkten 5 f(x) ( )dx = x x + dx = x x + x =,7 Seite /5

2 Maturitätsprüfung 7 Mathematik Aufgabe Es sei f(x) = x ln x für x > Verwenden Sie x ln x = für x= und x ln x = für x=. a) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f (ohne exakte Berechnungen). b) Berechnen Sie den Inhalt des beschränkten Flächenstücks, das vom Graphen von f und von der x-achse begrenzt wird. c) Wir betrachten die Rechtecke, bei denen zwei Seiten auf den Koordinatenachsen liegen. Eine Ecke liegt damit im Nullpunkt und die gegenüberliegende Ecke P soll unterhalb der x-achse auf dem Graphen von f liegen. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes P, für den der Flächeninhalt des beschriebenen Rechtecks maximal wird. d) Zeigen Sie, dass die Gerade y = x eine Tangente an den Graphen von f ist. Der Graph von f wird nun so in x-richtung verschoben, dass die Gerade y = x eine Tangente an den Graphen ist. Geben Sie die Funktionsgleichung für diesen neuen verschobenen Graphen an. a) Graph f() = f(x) < für <x< f() = f(x) für x b) Flächeninhalt x ln xdx = x ln x x dx x = x ln x x dx x ln x x = A = = c) Rechteck mit möglichst grossem Flächeninhalt (Skizze) F(x) = x x ln x = x ln x Maximum: F (x) = x ln x + x = x ( ln x + ) = d) Tangente an den Graphen x = e =.5 y = e =, y = x hat die Steigung f (x) = ln x + = x = Berührungspunkt ( / ) y = x ist um zwei Einheiten nach rechts verschoben: f(x) = f(x-) = (x-) ln(x-) Seite /5

3 Maturitätsprüfung 7 Mathematik Aufgabe Gegeben sind die Ebene E: x y + z = und der Punkt A ( 5 / / ). a) Zeigen Sie, dass die Gerade g: b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebene E. c) Bestimmen Sie den Abstand des Punktes A zur Ebene E. t r = + t senkrecht zur Ebene E steht und den Punkt A enthält. t d) Wenn man den Punkt A an der Ebene E spiegelt, erhält man den Punkt B. Geben Sie die Koordinaten von B an. e) Geben Sie die Gleichung der Kugel mit dem Mittelpunkt auf der x-achse an, so dass die Punkte A und B auf der Kugel liegen. a) g ist ein Lot zu E durch A Richtungsvektor von g: d = ist parallel zum Normalenvektor der Ebene Punkt A liegt auf der Geraden g für t = n = b) g E ( t) (-+t) + ( t) = 7 9t = t = S ( / / ) c) Abstand Punkt-Ebene Betrag des Normalenvektors: n = + ( ) + = 9 = 7 Hesse-Normalform von E: x y + z = Parallelebene durch A x y + z = Abstand D = = d) A spiegeln an E A für t= S für t= also B für t=5 oder g schneiden mit der Parallelebene x y + z + 8 = t = 5 B ( 9 / / ) e) Kugel durch A und B Mittelpunkt M liegt auf der Ebene E und auf der x-achse x + = x = also gilt x = 7, M( 7 / / ) Kugelgleichung: (x 7) + y + z = Seite /5

4 Maturitätsprüfung 7 Mathematik Aufgabe Am Pascal-Gymnasium soll die Mathematik-Note in Zukunft durch Würfeln ermittelt werden, wobei verschiedene Verfahren angewendet werden. Man verwendet dazu normale Spielwürfel mit den Zahlen von bis und so genannte gezinkte Würfel, die nur die geraden Zahlen,, jeweils auf zwei Seitenflächen aufweisen. Eine Note die genau oder höher ist, gilt als. Verfahren I: Es wird zweimal mit einem normalen Würfel gewürfelt und der Durchschnitt der beiden gewürfelten Zahlen ergibt die Note. a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, genau die Note zu erreichen? b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine e Note zu erreichen? Verfahren II: Aus einer Urne, die 9 normale und gezinkte Würfel enthält, werden gleichzeitig zwei Würfel zufällig gezogen, anschliessend wird mit den beiden gezogenen Würfeln je einmal gewürfelt. Der Durchschnitt der beiden gewürfelten Zahlen ergibt die Note. c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine e Note zu erreichen? d) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein gezinkter Würfel im Spiel war, falls eine e Note erreicht wurde? Verfahren III: Es wird mit einem gezinkten Würfel mehrmals gewürfelt und das beste Ergebnis wird als Note gezählt. e) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine e Note zu erreichen, wenn dreimal gewürfelt wird? f) Wie oft muss man mindestens würfeln, damit die Wahrscheinlichkeit, eine e Note zu erreichen, mindestens.9999 beträgt. Verfahren I a) Zweimal würfeln ergibt = Möglichkeiten 5 Augensumme beträgt 8: +, +5, +, 5+, + ergibt 5 Mögl. P (A) = =, 9 5 b) Summe 8 +, +5/, +/5/, 5+//5/, +///5/ ergibt 5 Mögl. P (B) = =, 7 Verfahren II 9 P(nW) = = =, P(ngW) = = =, 9 P(gW) = = =, 5 c) P(C) = P(gen) = 5 P(gen) = P(gen) = 8 9 P(gen) = 9 d) P(D) = P(gW gnw gen) = Verfahren III = = =, 8 9 e) P(gen) = P() = / = /7 =,9 normale W. normaler W. gezinkter W. gezinkte W. f) / n = /', n = ' n = log ' / log = 8,8 9-mal würfeln Seite /5

5 Maturitätsprüfung 7 Mathematik Aufgabe 5 Die Kristallstruktur von Natriumchlorid (Kochsalz) kann durch ein würfelförmiges Gitter dargestellt werden, welches in allen Ecken des Würfels und in den Mitten seiner Seitenflächen ein Chloridion enthält. In nebenstehender Skizze sind die kugelförmigen Ionen zur besseren Übersichtlichkeit verkleinert eingezeichnet. In Wirklichkeit sind sie so gross, dass sich benachbarte Ionen gegenseitig berühren. Bei den folgenden Berechnungen soll für Würfelkante die Länge angenommen werden? a) Berechnen Sie den Radius dieser Chloridionen und bestimmen Sie den prozentualen Anteil des Würfelvolumens im Gitter, welches durch die Ionen ausgefüllt wird? b) Vier Ionen bilden ein Tetraeder, wenn jedes der vier Ionen die andern drei berührt. Zeigen Sie dass es solche Tetraeder gibt und geben Sie an, wie viele Tetraeder im Würfel vorkommen. c) Es werden zufällig vier Ionen im Würfel ausgewählt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählten Kugeln ein Tetraeder bilden? d) Im Mittelpunkt des Würfels liegt nun das kugelförmige Natriumion, wobei es die benachbarten Chloridionen berührt. Berechnen Sie den Radius des Natriumions. e) Die Mittelpunkte der Chloridionen, welche dieses Natriumion berühren, bilden die Eckpunkte eines Polyeders. Zeichnen Sie dieses Polyeder und geben Sie an, wie es heisst. a) Kugelradius, Dichte Länge der Quadrat-Diagonale = = r r = =,5 8 Eckkugeln zu /8 + Flächenkugeln zu ½ ergibt Kugeln π Volumen: π = =, 7 7% b) Tetraeder Eine Eckkugel und drei benachbarte Flächenkugeln, 8 Tetraeder. c) Wahrscheinlichkeit 8 8 P (Tetraeder) = = =,799 d) Lücken e) Polyeder x + r = x = = =, Oktaeder Seite 5 /5

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