Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Schriftliche Abiturprüfung Mathematik ab 2004

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1 Minisrium für Kulus, Jugnd und Spor Schriflich Abiurprüfung Mahmaik ab 004 Aufgabnsaz B Si von Pflichil Aufgab Ggbn sind di Punk A ( ), B(4 4) und C (0 -). Ermiln Si in Koordinanglichung dr Ebn, di dis Punk nhäl. Aufgab Ggbn sind di Ebnn E: x + x + x = und F: x + x = 6. a) Vranschaulichn Si di Ebnn E und F mihilf ihrr Spurgradn in inm Koordinansysm. b) Zichnn Si di Schnigrad s von E und F ohn wir Rchnung in das Koordinansysm in und bgründn Si Ihr Vorghn. Aufgab Ggbn is di Funkion f durch f(x) = ; IR \ { 0 } x x x. a) Bsimmn Si für di Funkion f di rs Abliung und in Sammfunkion. b) An das Schaubild von f wird im Punk P( f()) di Tangn glg. Gbn Si in Glichung disr Tangn an. c) Gbn Si in Dfiniion dr Abliung inr Funkion an inr Sll x 0 an. Aufgab 4 (4 VP) (6 VP) (8 VP) Gbn Si zu dn skizzirn Schaubildrn jwils inn möglichn Funkionsrm an. (6 VP) KM B.W. Zur Vrwndung auf dr Lhrrforbildung

2 Minisrium für Kulus, Jugnd und Spor Schriflich Abiurprüfung Mahmaik ab 004 Aufgabnsaz B Si von 5 Wahlil Analysis Aufgab I.. Übr in Vnil kann das Wassrvolumn in inm Wassrbhälr grgl wrdn. Di Särk ds Wassrsroms durch diss Vnil is ggbn durch in Funkion f mi f() = 4 0, ; 0 ( in h; f() in m h ). Dabi bdun posiiv Funkionswr in Wassrzufuhr, ngaiv Funkionswr in Wassrnnahm. Zu Bobachungsbginn ( = 0) bfindn sich 0m im Bhälr. a) Skizzirn Si das Schaubild von f und mi dism das Schaubild dr Funkion g, di di Enwicklung ds Wassrvolumns im Bhälr bschrib. Bgründn Si dn Vrlauf ds Schaubilds von g. b) Bsimmn Si dn maximaln Wr, dn das Wassrvolumn im Bhälr rrichn kann. c) Ein Bschribung ds Wassrsroms durch das Vnil mihilf dr Funkion f is nur ralisisch für Zin lr is. Bsimmn Si T. < T, wobi T drjnig Zipunk is, zu dm dr Wassrbhälr ( VP) Aufgab I.. Ggbn is di Ingralfunkion I mi I(x) = x f() d, x IR und f() =. a) Unrsuchn Si I auf Nullslln sowi Exrm- und Wndslln. b) Skizzirn Si in inm Koordinansysm di Schaubildr von I und f. (8 VP) KM B.W. Zur Vrwndung auf dr Lhrrforbildung

3 Minisrium für Kulus, Jugnd und Spor Schriflich Abiurprüfung Mahmaik ab 004 Aufgabnsaz B Si von 5 Wahlil Analysis Aufgab I.. In inn Kris mi dm Radius r is in Quadra inbschribn. Di Flächnsück zwischn dm Kris und dm Quadra roirn um in Diagonal ds Quadras. Gsuch is das Volumn ds zughörign Drhkörprs. a) Bschribn Si zwi unrschidlich Lösungsmöglichkin und bwrn Si dis. b) Führn Si in dr bidn Lösungsmöglichkin für di Brchnung ds Volumns durch. (0 VP) Aufgab I.. Di Folg ( d 0 ) dr sognannn Drickszahln is ggbn durch d = n ( n + ) = (n n) für n. n + a) Zign Si mi vollsändigr Indukion, dass für di Summ dr Dricks- zahln d, d, d,..., d n gil: n( n + ) = n ( n ) ( n + ) 6 +. b) In dr Formlsammlung findn sich di Summnformln n = n( n ) + und n = n ( n ) ( n + ) 6 +. Wisn Si di Bhaupung von Tilaufgab a) mi dn anggbnn Summnformln nach. (0 VP) KM B.W. Zur Vrwndung auf dr Lhrrforbildung

4 Minisrium für Kulus, Jugnd und Spor Schriflich Abiurprüfung Mahmaik ab 004 Aufgabnsaz B Si von 5 Wahlil Analysis Aufgab I.. Ggbn is in Schar von Funkionn f durch K sind di Schaubildr dr Schar. a) Skizzirn Si K, K 0 und K. f (x) + = mi IR x+. Bschribn Si wichigsn Eignschafn dr Schaubildr dr Schar. b) Brchnn Si di Koordinan ds Punks P auf Winklhalbirndn vrläuf. K, in dm K paralll zur zwin Zichnn Si di Orskurv dr Punk P in das Koordinansysm aus a). Zign Si, dass s kin Kurv dr Schar gib, wlch di rs Winklhalbirnd snkrch schnid. (0 VP) Aufgab I.. Bi Tropfinfusionn wrdn dm Blu ds Painn Mdikamn glichmäßig zugführ. In inr Klinik wrdn übr in Tropfinfusion pro Minu,8 mg ins Mdikamns vrabrich, das bislang im Körpr nich vorhandn war. Andrrsis wrdn übr di Nirn pro Minu 0,05% dr akull im Blu vorhandnn Mng diss Mdikamns ausgschidn. Zu Bginn dr Bhandlung bkomm dr Pain durch in Spriz 5 mg ds Mdikamns vrabrich. a) Zign Si, dass s sich bi disr Siuaion um bschränks Wachsum handl. b) Bsimmn Si in Funkion, di dn Vrlauf diss bschränkn Wachsums bschrib. c) Mi wlchr Mng ds Mdikamns is bi inr längrn Bhandlung ds Painn in sinm Körpr zu rchnn? (0 VP) KM B.W. Zur Vrwndung auf dr Lhrrforbildung

5 Minisrium für Kulus, Jugnd und Spor Schriflich Abiurprüfung Mahmaik ab 004 Aufgabnsaz B Si 4 von 5 Wahlil Gomri Aufgab II.. Dri Punk A, B und C mi dn Orsvkorn a, b und c bildn in Drick ABC. Vrbind man jd Eck mi dm Milpunk dr ggnübrligndn Si, so schnidn sich dis dri Sinhalbirndn im sognannn Schwrpunk diss Dricks. Dr Schwrpunk il jd Sinhalbirnd im Vrhälnis :. Zign Si durch Rchnung, dass dr Schwrpunk S ABC ds Dricks ABC dn Orsvkor s ABC = a + b + c bsiz. ( 6 VP ) Aufgab II. Vir Punk A, B, C und D bildn in drisiig Pyramid. In disr Pyramid wird dr Schwrpunk S ABC ds Dricks ABC mi dr Eck D und dr Schwrpunk S BCD mi dr Eck A vrbundn. Dis bidn Vrbindungssrckn schnidn sich in T. In wlchm Vrhälnis il T di Srck S ABC D? ( 0 VP ) KM B.W. Zur Vrwndung auf dr Lhrrforbildung

6 Minisrium für Kulus, Jugnd und Spor Schriflich Abiurprüfung Mahmaik ab 004 Aufgabnsaz B Si 5 von 5 Wahlil Gomri Aufgab II. Di Punk O ( ), A ( ), B ( ), C ( ) und F ( 4 4 4) sind Eckpunk ins Würfls. a) Di Ebn E: x + x + x = 6 schnid dn Würfl in inm Schsck. Zichnn Si dn Würfl und das Schsck in in Koordinansysm. Zign Si, dass das Drick ABC und das Schsck dn glichn Umfang habn. b) Für wlch Wr von a schnid di Ebn E a : x + x + x = a (a IR) dn Würfl? Wlchr Zusammnhang bsh zwischn dr Anzahl dr Eckn dr Schnifigur und dn Wrn von a? ( 6 VP ) KM B.W. Zur Vrwndung auf dr Lhrrforbildung

7 Abiurprüfung Mahmaik ab 004 Wahlil Lösungsvorschläg zu Aufgabnsaz B Si von 0 Zu I.. a) 4 y Schaubild von f y Bgründung für dn Vrlauf ds Schaubilds von g: Wi di Funkion f so is auch g dfinir für 0mi g(0)=0. Di Funkion f is srng monoon fallnd und ha gnau in Nullsll 0. Für < 0 is f() > 0; d.h., das Wassrvolumn nimm zu; für < 0 is di Funkion g srng monoon signd. Für = 0 is das maximal Volumn im Bhälr rrich; d.h., di Sll 0 is Maximumsll von g. Für > 0 is f() < 0; d.h., das Wassrvolumn nimm ab; für > 0 is di Funkion g srng monoon fallnd. b) Di Funkion g is Sammfunkion von f mi g(0)=0. Gsuch is g( 0), wobi 0 di Nullsll von f is. Aus 4 0, = 0 folg 0,844 (GTR). Dr Ansaz g() = 4 0, + c und di Bdingung g(0)=0 rgbn c=4,. Also is g() = 4 0, + 4, und dami g(,844),85 (GTR). KM B.W. Zur Vrwndung auf dr Lhrrforbildung

8 Abiurprüfung Mahmaik ab 004 Wahlil Lösungsvorschläg zu Aufgabnsaz B Si von 0 c) Di Bdingung 4 0, + 4,= 0 rgib = T 4,947 (GTR). Zu I..: x x x a) Es is I(x) = f()d = ( )d = = x x. Aus x x = 0 folgn di Nullslln x = und x =. b) Da I mi I'(x) = x = (x )(x + ) an dn Slln x = und x4 = das Vorzichn wchsl, sind x = und x4 = Exrmslln von I. Da I mi I ''(x) = x an dr Sll x 5 = 0 das Vorzichn wchsl, is x 5 = 0 in Wndsll von I. f() 4 y I(x) x bzw KM B.W. Zur Vrwndung auf dr Lhrrforbildung

9 Abiurprüfung Mahmaik ab 004 Wahlil Lösungsvorschläg zu Aufgabnsaz B Si von 0 Zu I..: a). Möglichki: (Anwndung von Volumnformln) Das Volumn ds Drhkörprs rgib sich als Diffrnz ins Kuglvolumns und ds Volumns ins Dopplkgls.. Möglichki: (Ingralrchnung) Man führ in Koordinansysm in und brücksichig di Symmri dr Konfiguraion. Das gsuch Volumn V rgib sich mihilf dr Forml y x r V = π [ (f(x)) (g(x)) ] dx 0 wobi das Schaubild von f in Virlkris und das Schaubild von g in Gradnsück is. [Anmrkung: Mi dn Volumnformln für Kugl und Kgl kann man dirk das gsuch Volumn brchnn. Vrwnd man di allgmin Volumnforml aus dr Ingralrchnung, so muss man zunächs Randfunkionn aufslln und dann ingrirn. Disr Wg is also umsändlichr.] b) (Di Schülrin/Dr Schülr wähl in dr bidn Möglichkin.). Möglichki: 4 V = VKugl VDopplkgl = πr πr r = πr.. Möglichki: r V (f(x)) (g(x)) dx 0 Is V das gsuch Volumn, so gil = π [ ] mi f(x) = r x und g(x) = r x. KM B.W. Zur Vrwndung auf dr Lhrrforbildung

10 Abiurprüfung Mahmaik ab 004 Wahlil Lösungsvorschläg zu Aufgabnsaz B Si 4 von 0 r r... = π V r x (r x) ] dx = (rx x )dx 0 0 r = π rx x = π( r r ) = πr 0. Zu I..: a) (I) Indukionsanfang: Für n= is di Aussag wahr, da = is. 6 (II) Indukionsschri: Es si k IN mi n und man nimm an, dass di Aussag für k gil: Dis bsag: k (k+ ) = k (k + ) (k + ). 6 Dami muss gzig wrdn, dass k (k+ ) + (k + ) (k + ) = (k + ) k (k + ) (k+ ) 6 gil. Dis rgib sich wgn k (k+ ) + (k + ) (k+ ) = k (k + ) (k + ) + (k + ) (k + ) 6 = (k + ) (k + ) ( k + ) 6 = (k + ) (k + ) (k + ) 6 Somi gil di Aussag auch für k+ und dami is si wahr für all n IN mi n. b) Es gil n= n (n+ ) und n = n (n+ ) (n+ ) 6 Addir man () und () und muliplizir di Summ mi, so rgib sich: (+ ) + (+ ) + (+ ) (n+ n ). = n (n+ ) + n (n+ ) (n+ ) 6 Hiraus folg n (n+ ) = n (n+ ) (n+ ). 6 () () KM B.W. Zur Vrwndung auf dr Lhrrforbildung

11 Abiurprüfung Mahmaik ab 004 Wahlil Lösungsvorschläg zu Aufgabnsaz B Si 5 von 0 Zu I..: a) K 0 y Orslini zu b) 7 K K x Bschribung dr wichigsn Eignschafn: All Schaubildr K sind srng monoon fallnd mi dr waagrchn Asympo y =. Si nshn aus K 0 durch Vrschibung um in di Richung dr ngaivn x-achs und anschlißnd Vrschibung um in Richung dr posiivn y-achs. b) Es is Aus Mi = f + + (x) x = x+ folg und x = f (x) = x+. und hiraus xp = + ln. = = + f (x p) rgib sich P( ln+ ln ). Glichung dr Orskurv: Aus x = + ln y = + folg = + y ( x ln ) +. KM B.W. Zur Vrwndung auf dr Lhrrforbildung

12 Abiurprüfung Mahmaik ab 004 Wahlil Lösungsvorschläg zu Aufgabnsaz B Si 6 von 0 Nachwis, dass kin Scharkurv di rs Winklhalbirnd orhogonal schnid: Es is = f + + (x) und x f (x) = Außrdm gil g(x) = x und g (x) =. x+. Aus dr Bdingung für rchwinkligs Schnidn obn xq = + ln. = + x folg wi Mi f (x Q) = + und f (x Q ) = g(x Q ) folg + = + ln bzw. + + ln= 0. Dis Glichung ha kin Lösung, also schnid kin Kurv dr Schar di rs Winklhalbirnd snkrch. Zu I..: a) Es si f() di Mng ds Mdikamns im Körpr ds Painn (in mg ab Bginn dr Bhandlung). Aus f ' () =,8 0,0005 f() folg unmilbar, dass s sich um bgrnzs Wachsum handl. ' b) Es is f() =,8 0,0005 f() = 0,0005 (600 f()). Di Funkion f mi f() Aus f(0)=5 folg dami 600 Dami bschrib di Funkion f mi a 0,0005 = rfüll dis Diffrnzialglichung. 5 = 600 a, also a=575. f() 600 Mng ds Mdikamns im Blu ds Painn. c) Für gil f() ,0005 = für 0 dn Vrlauf dr Bi inr längrn Bhandlung is also mi wa 600 mg ds Mdikamns im Körpr ds Painn zu rchnn. KM B.W. Zur Vrwndung auf dr Lhrrforbildung

13 Abiurprüfung Mahmaik ab 004 Wahlil Lösungsvorschläg zu Aufgabnsaz B Si 7 von 0 Zu II.: C M A S B O Si S = S ABC. Nach Vorausszung gil: ( OB OM) OS = OM + MB = OM + = OM + OB = a + c + b = a + b + c. Zu II..: Dami di Punk A, B, C, D in drisiig Pyramid bildn, müssn di Vkorn x = y = AB ; AC ; D z = AD linar unabhängig sin. z Es gil: mi = λas AT BCD = µ S TD ABC AT + TD + DA = o. = λ x + y + z D = µ x + y + z nach II. mi A als Ursprung. A T S BCD y x B S ABC C V A KM B.W. Zur Vrwndung auf dr Lhrrforbildung

14 Abiurprüfung Mahmaik ab 004 Wahlil Lösungsvorschläg zu Aufgabnsaz B Si 8 von 0 Dami AT + TD + DA = λ x + y + z + µ x y + z z = o λ µ λ µ λ x + y + + µ z = o Wgn dr linarn Unabhängigki von x, y und z muss gln: λ µ () = 0 λ µ () = 0 λ () + µ = 0 Aus () und () folg λ = µ ; aus () dann: λ =. 4 Dami gil: λ = µ =, also TD = S ABCD und S ABC T = S ABCD Somi il T di Srck S ABC D im Vrhälnis :. KM B.W. Zur Vrwndung auf dr Lhrrforbildung

15 Abiurprüfung Mahmaik ab 004 Wahlil Lösungsvorschläg zu Aufgabnsaz B Si 9 von 0 Zu II.: a) Eckpunk ds Würfls: O ( 0 0 0), A(4 0 0), B(0 4 0), C(0 0 4 ) und F (4 4 4). Zichnung von Würfl und Schsck: x C P 4 P 5 F P P 6 O B x P A P x Umfangvrglich: Schnipunk dr Ebn E: x + x + x = 6 mi dn Würflkann: x = 4 x = 0 rgib x = ; P ( 4 0) x = 4 x = 0 rgib x = ; P ( 4 0) analog: P (0 4 ); P 4 (0 4); P 5 ( 0 4); P 6 (4 0 ). Di Eckn ds Schscks sind Min von Würflkann. Es handl sich um in rglmäßigs Schsck mi dn Sinlängn = P P = P P = = P P. Umfang ds Schscks is dann u =. a 6 = Das Drick is in glichsiigs Drick mi dn Sinlängn AB = BC = CA = 4. Umfang ds Dricks is u = 4 =. Di bidn Umfäng simmn übrin. KM B.W. Zur Vrwndung auf dr Lhrrforbildung

16 Abiurprüfung Mahmaik ab 004 Wahlil Lösungsvorschläg zu Aufgabnsaz B Si 0 von 0 b) Schnifigurn dr Ebn E a : x + x + x = a mi dm Würfl: Das Schsck und das Drick aus a) sind Sondrfäll. Grnzsiuaionn rhäl man für O E a, also a = 0, bzw. für F E a, also a = =. Für 0 a schnid E a dn Würfl. Für 0 < a < rhäl man in Schnifigur. Für 0 < a 4 odr 8 a < is dis Schnifigur in Drick. ( a = 4 rgib Drick ABC ); a = 8 lifr in Drick mi dn Eckpunkn (4 4 0), (0 4 4), (4 0 4). Für 4 < a < 8 is di Schnifigur in Schsck. KM B.W. Zur Vrwndung auf dr Lhrrforbildung