Abiturprüfung Mathematik 2012 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Wahlteil Analysis I 1 Lösungen

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Angela Esser
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1 1 Abiturprüfung Mathematik 2012 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Wahlteil Analysis I 1 Lösungen klaus_messner@web.de

2 2 Aufgabe I 1 Die Abbildung zeigt den Verlauf einer Umgehungsstraße zur Entlastung der Ortsdurchfahrt AB einer Gemeinde. Das Gemeindegebiet ist kreisförmig mit dem Mittelpunkt M und dem Radius 1,5km. Die Umgehungsstraße verläuft durch die Punkte A und B und wird beschrieben durch die Funktion f mit f x = 0,1x 3 0,3x 2 + 0,4x + 3,2. 1 LE entspricht 1 km. a) Welche Koordinaten hat der nördlichste Punkt der Umgehungsstraße? Wie weit ist dieser Punkt vom Ortsmittelpunkt entfernt?

3 3 a) Die Umgehungsstraße beschreibt eine Linkskurve und eine Rechtskurve. Bestimmen Sie den Punkt, in dem diese beiden Abschnitte ineinander übergehen. Zeigen Sie, dass die Umgehungsstraße im Punkt A ohne Knick in die Ortsdurchfahrt einmündet. (6 VP) b) Zur Bewertung von Grundstücken wird die Fläche zwischen der Ortsdurchfahrt und der Umgehungsstraße vermessen. Wie viel Prozent dieser Fläche liegen außerhalb des Gemeindegebiets? (4 VP) c) Im Punkt P 1,5 3 befindet sich eine Windkraftanlage. Ein Fahrzeug fährt von B aus auf der Umgehungsstraße. Von welchem Punkt der Umgehungsstraße aus sieht der Fahrer die Windkraftanlage genau in Fahrtrichtung vor sich? (4 VP)

4 4 d) In welchem Punkt der Umgehungsstraße fährt ein Fahrzeug parallel zur Ortsdurchfahrt AB? Welchen Abstand hat ein Fahrzeug auf der Umgehungsstraße höchstens von der Ortsdurchfahrt? (4 VP) Lösung: a) Nördlichster Punkt der Umgehungsstraße Funktionsterm von f x bei Y 1 eingeben und Graph im Bereich x min = 4, x max = 4, y min = 2, y max = 4 zeichnen. Maximaler Funktionswert mit {2nd CALC maximum} im Intervall [0;2] x = 0,528 und y = 3,313. Ergebnis: Der nördlichste Punkt der Umgehungsstraße hat die Koordinaten N 0,528 3,313.

5 5 Entfernung von N zum Ortsmittelpunkt M Es gilt Δx = 0,528 0 = 0,528 und Δy = 3,313 0,5 = 2,813. Entfernung von N zu M mit Pythagoras: d = Δx 2 + Δy 2 = 0, ,813 2 = 2,862. M d Δx N Δy Ergebnis: Die Entfernung des nördlichsten Punkts der Umgehungsstraße zum Ortsmittelpunkt beträgt 2,862km.

6 6 Bestimmung des Punktes W in dem die Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht Gesucht ist der Wendepunkt W von f. f x = 0,3x 2 0,6x + 0,4 f x = 0,6x 0,6 f x = 0,6 Mit f x = 0 folgt 0,6x 0,6 = 0 also x = 1. Da f 1 = 0,6 0 ist, liegt tatsächlich ein Wendepunkt vor. x = 1 in f eingesetzt liefert die y-koordinate y = f 1 = 2,6. Ergebnis: Der Punkt W, in dem die Linkskurve auf der Umgehungsstraße in eine Rechtskurve übergeht lautet W 1 2,6. W

7 7 Knickfreie Einmündung A 3 2, B 3 1 Ein knickfreier Übergang ist dann gegeben, wenn die Ortsdurchfahrt im Punkt A(-3 2) dieselbe Steigung hat wie die Umgehungsstraße. Wir müssen also prüfen, ob f 3 = m gilt, wobei m die Steigung der Geraden ist, welche die Ortsdurchfahrt beschreibt. m bestimmen wir durch das Steigungsdreieck in den Punkten A und B. Es gilt m = y 2 y 1 x 2 x 1 = ( 3) = 3 6 = 0,5. Durch Eingabe von {nderiv(y 1,X,-3)} bestimmen wir f 3 und erhalten ebenfalls den Wert 0,5. Damit ist die knickfreie Einmündung gezeigt.

8 b) Prozentanteil der Fläche zwischen Umgehungsstraße und Ortsdurchfahrt außerhalb des Gemeindegebiets Die Gerade für die Ortsdurchfahrt lautet g(x) = 0,5x + 0,5.

8 8 b) Prozentanteil der Fläche zwischen Umgehungsstraße und Ortsdurchfahrt außerhalb des Gemeindegebiets Die Gerade für die Ortsdurchfahrt lautet g(x) = 0,5x + 0,5. Die Ortsdurchfahrt geht exakt durch den Ortsmittelpunkt und halbiert somit die Gemeindefläche. Es gilt A 1 = r2 π 3,534. A 3 = 1,52 π 2 2 Die Fläche A 2 zwischen den beiden Kurven f und g wird bestimmt durch den Ausdruck 3 A 2 = f x g x dx 3 A 1

9 9 Eingabe von g x bei Y 2 im GTR und Eingabe von {fnint(y 1 -Y 2,X,-3,3)} liefert A 2 = 10,8. Die Restfläche außerhalb des Gemeindegebiets beträgt dann A 3 = A 2 A 1 = 7,266. Der prozentuelle Anteil von A 3 an A 2 ergibt sich durch p = A = 7, = 67,2%. A 2 10,8 Ergebnis: Der gesuchte Flächenanteil außerhalb des Gemeindegebiets beträgt 67,2%.

10 10 Geradlinige Sicht auf die Windkraftanlage Gesucht ist eine Tangente an f, so dass diese durch den Punkt P geht. Die Tangente berühre f in Q u f u. Die Tangentengleichung lautet dann y = f u x u + f u. Da P 1,5 3 auf der Tangente liegt, setzen wir dessen Koordinaten ein: 3 = f u 1,5 u + f u. f u = 0,1u 3 0,3u 2 + 0,4u + 3,2 und f u = 0,3u 2 0,6u + 0,4 einsetzen : 3 = 0,3u 2 0,6u + 0,4 1,5 u + 0,1u 3 0,3u 2 + 0,4u + 3,2 Ausmultiplizieren und zusammenfassen liefert: 0,2u 3 0,15u 2 0,9u + 0,8 = 0 P Q

11 11 Eingabe bei Y 3 im GTR und Nullstellen bestimmen: u 1 2,17, u 2 0,92 und u 3 = 2 Die ersten beiden Lösungen kommen hier nicht in Frage, da der Fahrer im Punkt B also bei x = 3 startet und sich die Windkraftanlage an der Stelle x = 1,5 befindet. Somit können wir jetzt mit u = 2 die endgültigen Koordinaten des Berührpunktes Q bestimmen. Mit f 2 = 2 (Eingabe im GTR: Y 1 (2)) folgt Q 2 2. Ergebnis: Vom Punkt Q 2 2 aus sieht der Fahrer die Windkraftanlage direkt vor sich.

12 12 d) Stelle an der ein Fahrzeug parallel zur Ortsdurchfahrt fährt Die Gerade g(x) = 0,5x + 0,5 der Ortsdurch- S fahrt hat die Steigung 0,5 hat. Gesucht ist eine Stelle x = u auf der Umgehungsstraße an der f u = 0,5 gilt. Nach Eingabe von 0,3x 2 0,6x + 0,9 (also von f x + 0,5 ) bei Y 3 im GTR bestimme die Nullstelle im Intervall [0; 2] x 1 = 1. Damit gilt y = f 1 = 3,2, also ist S 1 3,2 der gesuchte Punkt. Ein zweite Nullstelle findet sich bei x 2 = 3 doch dies ist die Stelle an der die Umgehungsstraße in die Ortsdurchfahrt übergeht. Ergebnis: Im Punkt S 1 3,2 auf der Umgehungsstraße fährt man parallel zur Ortsdurchfahrt.

13 13 Maximaler Abstand Umgehungsstraße Ortsdurchfahrt Achtung Stolperfalle: Den maximalen Abstand können Sie nicht anhand der Funktionsunterschiede, also durch f x g x, bestimmen! S n Der größte Abstand zur Ortsdurchfahrt g ist im Punkt S gegeben. Wir müssen zuerst die Normale n zur Ortsdurchfahrt bestimmen, danach den Schnittpunkt T von n mit g. Der gesuchte Abstand ist schließlich derjenige zwischen S und T. T

14 14 Schritt 1: Bestimmung der Normalen n Die Steigung von g ist m g = 1 2. Wegen m g m n = 1 muss m n = 2 sein. Damit folgt zunächst y = 2x + b. S in n eingesetzt liefert 3,2 = b und damit b = 1,2. Es folgt n: y = 2x + 1,2 T S n Schritt 2: Schnittpunkt mit g Eingabe der Geradengleichungen für g und n im GTR, Zeichnen der Graphen. Mit {2nd CALC intersect} liefert der GTR den Schnittpunkt bei x 0,28 und y 0,64, somit ist T 0,28 0,64.

15 15 Schritt 3: Abstand zwischen S und T mit Pythagoras d S, T = 0, ,64 3,2 2 = 2,86 Ergebnis: Der größtmögliche Abstand eines Fahrzeugs auf der Umgehungsstraße zur Ortsdurchfahrt beträgt 2,86km.

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