Abiturprüfung Mathematik 13 Technik A II - Lösung mit CAS

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Kristian Bruhn
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1 GS m6_3t-a_lsg_cas_gs.pdf Abiturprüfung 6 - Mathematik 3 Technik A II - Lösung mit CAS Teilaufgabe Gegeben ist die Funktion f mit ( x ) mit der Definitionsmenge D ( x ) ( x 3) f IR \ { ; 3 }. Teilaufgabe. ( BE) Geben Sie die Nullstelle von f an und zeigen Sie, dass der Graph von f symmetrisch ist. ( x ) ( x ) ( x 3) Nullstelle: x zweifach 3 Symmetrie muss also bzgl. der senkrechten Geraden durch die Nullstelle untersucht werden. Koordinatentransformation: x u y v Neuer Funktionsterm: y-achse 5 5 x x-achse u f_ ( u) f( u ) f_ ( u) ( u ) ( u ) u ( u ) ( u ) f_ ( u) f_ ( u) Achsensymmetrie Teilaufgabe. (5 BE) Bestimmen Sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) an den Rändern der Definitionsmenge und geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen von f. x 3 x 3 senkrechte Asymptote x 3 x x senkrechte Asymptote x Abi 6, Mathematik Technik 3. Klasse, A II - Lösung mit CAS Seite von

2 x ( x ) ( x ) ( x 3) x ( x ) ( x ) ( x 3) waagrechte Asymptote y Teilaufgabe.3 (5 BE) Ermitteln Sie ohne CAS das Monotonieverhalten des Graphen von f. [ Mögliches Teilergebnis: f' ( x) ( x ) [( x ) ( x 3) ] ] f' ( x) ( x ) ( x ) ( x 3) x ( x ) x 3 ( x ) x x 3 ( x ) ( x ) ( x ) ( x 3) ( x ) x x 3 x x ( x ) ( x 3) f' ( x) ( x ) ( ) ( x ) ( x 3) ( x ) ( x ) ( x 3) x x x 3 Zähler pos pos neg neg Nenner pos pos pos pos f '(x) pos pos neg neg G f sms sms smf smf G f ist streng monoton steigend in x ] ; [ und in x ] ; ]. HP G f ist streng monoton fallend in x [ ; 3 [ und in x ] 3 ; ]. Abi 6, Mathematik Technik 3. Klasse, A II - Lösung mit CAS Seite von

3 Teilaufgabe. ( BE) Zeichnen Sie den Graphen von f für 6 x 6 unter Verwendung aller bisheriger Ergebnisse. Tragen Sie auch alle Asymptoten ein. ( LE cm) y-achse x-achse x 6 x.5.5 x x fx x fx x 3 fx Abi 6, Mathematik Technik 3. Klasse, A II - Lösung mit CAS Seite 3 von

4 Teilaufgabe.5 (6 BE) Der Graph von f schließt mit der x-achse und den Geraden mit den Gleichungen x und x 6 eine Fläche ein. Ermitteln Sie ohne CAS die Maßzahl des Flächeninhalts dieser Fläche. Runden Sie das Ergebnis auf drei Nachkommastellen. 6 A ( x ) ( x ) ( x 3) Nebenrechnungen: ( x ) ( x ) ( x 3) x x x x 3 x x x x 3 x x 3 ( x ) ( x 3) ( x ) ( x 3) A x B x 3 Ax ( 3) Bx ( ) ( x ) ( x 3) ( A B) x ( B 3A) ( x ) ( x 3) Koeffizientenvergleich: ( ) A B Aus () A B ( ) B 3A In () B B in () A ( x ) Fx ( ) x ln x 3 ln x ( x ) ( x 3) x 3 x A F( 6) F ( ) 6 ln( 3) ln( 7) ln( ) ln( 5) ln Abi 6, Mathematik Technik 3. Klasse, A II - Lösung mit CAS Seite von

5 Teilaufgabe.6 (7 BE) Begründen Sie, dass die Funktion g mit gx ( ) und D g ] 3 ; [ umkehrbar ist. Bestimmen Sie ohne CAS den Term der Umkehrfunktion g, deren Definitionsmenge sowie die Steigung des Graphen von g an der Stelle x. 3 G f ist streng monoton fallend für x > 3, also auch G g, deshalb umkehrbar. x x y y y x x x 3 y D g ] 3 ; [ W g ] ; [ y 3 xy x y 3x y y ( x ) y ( x) y 3x ( x ) y x ( ) y 3x auflösen y vereinfachen x x x x x x x x x y W g ] 3 ; [ D x x ] ; g [ x x x y Lösung g ( x) x x x x gx ( ) 3 x x x x 3 x x 3 3 x 3 x x x 3 x 3 x 3 x 3 x 5 auflösen x 3 5 Lösung Steigung der Umkehrfunktion: m g g' ( 5) ( 5 ) ( 5 3) ( 5 ) 9 Abi 6, Mathematik Technik 3. Klasse, A II - Lösung mit CAS Seite 5 von

6 Teilaufgabe Gegeben ist weiter die Funktion k mit arctan( f ( x) ) mit der Funktion f aus Aufgabe und D k D f. atan( f ( x) ) atan ( x ) ( x ) ( x 3) Teilaufgabe. ( BE) Ermitteln Sie das Verhalten der Funktionswerte an den Rändern von D k sowie die Gleichung der Asymptote des Graphen von k. x x Waagrechte Asymptote: y x x y-achse x 3 x-achse x 3 Teilaufgabe. ( BE) Bestimmen Sie ohne CAS für den Graphen von k das Monotonieverhalten sowie die Art und die Koordinaten des Extrempunkts. k' ( x) f' ( x) k' ( x) und f' ( x) haben dasselbe Vorzeichen ( ) G k ist streng monoton steigend in x ] ; [ und in x ] ; ]. G k ist streng monoton fallend in x [ ; 3 [ und in x ] 3 ; ]. Hochpunkt: HP(/) Abi 6, Mathematik Technik 3. Klasse, A II - Lösung mit CAS Seite 6 von

7 Teilaufgabe 3 Gegeben ist nun die Funktion h mit hx ( ) 5x e x mit D h ] ; ]. Teilaufgabe 3. (7 BE) Bestimmen Sie die Art und die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von h. Zeichnen Sie den Graphen von h für 3 x ( LE cm). h' ( x) d hx ( ) 5e x xe x Faktor 5e x ( x ) h' ( x) auflösen x h' ( x) auflösen x x G ist streng monoton fallend in x ] ; h ] h' ( x) auflösen x x G ist streng monoton fallend in x [ h ; [ h 5e.9 rel. Tiefpunkt: TP( / 5e ) h ( ) Randhochpunkt: HP( / ) Abi 6, Mathematik Technik 3. Klasse, A II - Lösung mit CAS Seite 7 von

8 Graph von h.5 y-achse x-achse x d 3.5 x d hx d Abi 6, Mathematik Technik 3. Klasse, A II - Lösung mit CAS Seite von

9 Teilaufgabe 3. (7 BE) Bei der Rotation des Graphen von h um die x-achse entsteht ein unendlich ausgedehnter Drehkörper. Berechnen Sie ohne CAS die Maßzahl seines Volumens. V b ( hx ( )) b b 5 b x e x V 5 b b x e x Berechnung der Stammfunktion Hx ( ) x e x x e x x e x ux ( ) x u' ( x) x ux ( ) x u' ( x) v' ( x) e x vx ( ) ex v' ( x) e x vx ( ) ex x e x x e x x ex d x e x x e x 3 ex ex x x H ( ) Hb ( ) e eb b b 3 eb b b b eb b b b b b e b Abi 6, Mathematik Technik 3. Klasse, A II - Lösung mit CAS Seite 9 von

10 L'Hosp. L'Hosp. b b e b ( ) b e b ( 6) V k k Teilaufgabe (7 BE) Bestimmen Sie ohne CAS die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung y' ycos( x) sin( x) cos( x) mit der Methode der Variation der Konstanten. Inhomogene DGL: y' ycos( x).5sin( x) Homogene DGL: y' ycos( x) Triviale Lösung: y Differentialquotient: Trennen der Variablen: dy dy y ( cos( x) y) cos( x) Integration: dy cos( x) k ln y y k sin x ( ) Delogarithmieren: y e ksin( x) e k e sin( x). Fall: y e sin( x) K mit K e k. Fall: y e sin( x) K mit K e k mit trivialer Lösung: y h ( x) Ke sin( x) mit K IR Abi 6, Mathematik Technik 3. Klasse, A II - Lösung mit CAS Seite von

11 Variation der Konstanten: y p ( x) Kx ( ) e sin( x) Ableitungsfunktion: y' p ( x) K' ( x) e sin( x) Kx ( ) e sin( x) ( cos( x) ) Einsetzen in DGL: y' ycos( x).5sin( x) K' ( x) e sin( x) Kx ( ) e sin( x) ( cos( x) ) Kx ( ) e sin( x) cos( x).5sin( x) Vereinfachen: K' ( x) e sin( x).5sin( x) K' ( x).5sin( x) e sin( x) Partielle Int.: Kx ( ).5sin( x) e sin( x) sin( x) cos( x) e sin( x) ux ( ) sin( x) u' ( x) cos( x) v' ( x) cos( x) e sin( x) vx ( ) e sin( x) Kx ( ) sin( x) e sin( x) cos( x) e sin( x) sin( x) e sin( x) e sin( x) Spezielle Lösung: e sin x y p ( x) sin( x) e sin( x) e sin( x) ( ) sin( x) Allgemeine Lösung: y A ( x) sin( x) Ke sin( x) Abi 6, Mathematik Technik 3. Klasse, A II - Lösung mit CAS Seite von

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