Abiturprüfung Mathematik 13 Nichttechnik A II - Lösung

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Fritz Hofmeister
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1 3. Klasse Nichttechnik Abitur : Analysis II GS m_3nt-a-lsg_gs.mcd Teilaufgabe. Abiturprüfung - Mathematik 3 Nichttechnik A II - Lösung 4 4 Gegeben ist die reelle Funktion g mit g ( ) in der maimalen Definitionsmenge D g IR.Ihr Graph wird mit G g bezeichnet. Teilaufgabe. (8 BE) Geben Sie D g an, berechnen Sie die Nullstelle von g und geben Sie deren Vielfachheit an. Untersuchen Sie das Verhalten von g ( ) an den Rändern von D g und geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von G g an. Definitionsmenge: D g IR \ {} 4 4 auflösen zweifache Nullstelle Vertikale Asymptote mit VZW: Seite von 7

2 3. Klasse Nichttechnik Abitur : Analysis II horizontale Asymptote: y Teilaufgabe. (4 BE) Geben Sie gegebenenfalls unter Verwendung der Ergebnisse von Aufgabe. die Koordinaten des einzigen Etrempunktes von G g an und ermitteln Sie dessen Art. Die doppelte Nullstelle berührt den Graphen, ist also Etremstelle. Verhalten an der vertikalen Asymptote und für ergibt: Der Etrempunkt (.5 / ) ist ein Tiefpunkt. Teilaufgabe.3 (3 BE) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von g mit seiner waagrechten Asymptote Schnittstelle: S S (.5 / ) 4 4 Teilaufgabe.4 (5 BE) Zeichnen Sie die Asymptoten in ein Koordinatensystem und skizzieren Sie G g mithilfe Ihrer bisherigen Ergebnisse in die Zeichnung. g ( ) 4 4 y y-achse Achse Seite von 7

3 3. Klasse Nichttechnik Abitur : Analysis II Teilaufgabe. Gegeben ist die reelle Funktion f mit f( ) D f IR. Ihr Graph ist G f. ln ( ) in der maimalen Definitionsmenge Teilaufgabe. (8 BE) Bestimmen Sie D f und die Nullstellen von f. Untersuchen Sie das Verhalten von f( ) an den Rändern von D f und geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von G f an. Definitionmenge: D f ] ; [ Nullstellenbedingung: ln ( ) ln( ) e.5 ln ( ) ( ln( ) ) vertikale Asymptote l. H. ln ( ) horizontale Asymptote y Teilaufgabe. (7 BE) Ermitteln Sie die maimalen Monotonieintervalle der Funktion f und bestimmen Sie die Art und die eakten Koordinaten des Etrempunktes von G f. [ Zur Kontrolle: f' ( ) ln( ) f' ( ) ( ln ( ) ) ln( ) ln( ) Seite 3 von 7

4 3. Klasse Nichttechnik Abitur : Analysis II Horizontale Tangenten: f' ( ) ln( ) auflösen e Zählerfunktion: z' ( ) ln( ) G f ist streng monoton steigend für ] ; e ] e G f ist streng monoton fallend für [ e ; [ Zähler nicht def. pos neg Nenner nicht def. pos pos f e f '() nicht def. pos neg G f nicht def. sms smf HP e Hochpunkt: H e e Teilaufgabe.3 (3 BE) Nehmen Sie ohne weitere Rechnung aber mit Begründung Stellung zu der Aussage: Der Graph von f besitzt einen Wendepunkt. Begründen Sie Ihre Aussage. Der Graph von f ist im Hochpunkt rechtsgekrümmt. Für nähert sich der Graph der -Achse von oben und es gibt keine Nullstelle rechts vom Hochpunkt, der Graph ist also linksgekrümmt, das heißt es eisitert ein Wendepunkt Teilaufgabe.4 (3 BE) Skizzieren Sie G f unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in ein kartesisches Koordinatensystem WP y WP y-achse Achse Seite 4 von 7

5 3. Klasse Nichttechnik Abitur : Analysis II Teilaufgabe 3. Ein großer Elektronik-Konzern hat in einer Untersuchung die Wartezeiten auf eine freie Telefonleitung bei seinem Callcenter erfasst. Die Funktion W k gibt dabei die Wahrscheinlichkeit an, mit der höchstens t Minuten (min) auf eine freie Telefonleitung gewartet werden muss. Es gilt: W k () t e kt mit t IR + und k IR +. Der Wert von k ist von der Tageszeit abhängig. Bei der Rechnung kann auf Einheiten verzichtet werden. Teilaufgabe 3. (5 BE) Berechnen Sie für k, k 6 min und k min 3 die Wahrscheinlichkeit in 6 min Prozent, höchstens 5 Minuten auf eine freie Leitung warten zu müssen, und folgern Sie hieraus die Bedeutung des Parameters k für die Wartezeit. Modellfunktion: Wt ( k) e kt Konstanten: k k 6 k 3 6 W5 k.8 also 8% W5 k.34 also 34% W5 k also 56% Je größer die Konstante k, desto kleiner ist die durchschnittliche Wartezeit. Wahrscheinlichkeit für die Wartezeit k /6 k / k /6 Zeit t in Minuten Seite 5 von 7

6 3. Klasse Nichttechnik Abitur : Analysis II Teilaufgabe 3. (3 BE) Bestimmen Sie den Wert k in der Einheit, für den die Wahrscheinlichkeit 95% beträgt, dass min ein Anrufer nach höchstens Minuten auf eine freie Ladung durchgestellt wird. W ( k).95 e k.95 e k.5 5 ln ln( ) k ln(.5) k k.3 Teilaufgabe 3.3 (4 BE) Berechnen Sie die Grenzwerte t möglichst einfach deren Bedeutung. W k () t und k e kt und beschreiben Sie t e kt Nach sehr langer Wartezeit wird man mit Sicherheit eine freie Leitung bekommne. k e kt Bei sehr großen k-werten hat man praktisch keine Wartezeit Teilaufgabe 3.4 (6 BE) Sei nun k.. min Die durchschnittliche Wartezeit T berechnet sich als T tw'. () t dt. Zeigen Sie, dass Gt () e.t ( t ) eine Stammfunktion von tw'. () t ist. Berechnen Sie T und die Wahrscheinlichkeit, höchstens T Minuten auf eine freie Leitung warten zu müssen. Gt () e.t ( t ) G' () t (.) e.t ( t ) e.t G' () t e.t (.t ) G' () t.te.t Seite 6 von 7

7 3. Klasse Nichttechnik Abitur : Analysis II Zum Vergleich: tw't () t.e.t T_ t τ W'. ( τ) dτ t t e.t ( t ) e Nebenrchnung: l. H. t e.t ( t ) t t e.t t.e.t T_ Man muss als höchstens Minuten auf eine freie Leitung warten. W e.63 Die Wahrscheinlichkeit beträgt 63%. Seite 7 von 7

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