Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik. Sommersemester 2009/10

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1 Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik Abgeordnete Lehrer: R.Giese, U.Hey, B.Maus Sommersemester 2009/10 Internetseite zur Vorlesung:

2 1. Ziele und Grundpositionen Mathematikunterricht der S II 2. Die reellen Zahlen und ihre Bedeutung 3. Zahlenfolgen und Grenzwerte 4. Zugänge zum Ableitungsbegriff 5. Funktionen, Kurvendiskussionen, Extremwertaufgaben 6. Integralbegriff im Zusammenhang mit Ableitungen Gestaltungform: Vorlesung und Seminar/Übung

3 DANCKWERTS, R.; VOGEL, D.: Analysis verständlich unterrichten. Elsevier/Spektrum: München/Heidelberg, KNOCHE, N.; WIPPERMANN, H.: Vorlesungen zur Methodik und Didaktik der Analysis. BI-Wissenschaftsverlag, TIETZE, U.-P.; KLIKA, M.; WOLPERS, H. (Hrsg.): Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II, Bd. 1: Fachdidaktische Grundfragen, Didaktik der Analysis. Vieweg: Braunschweig/Wiesbaden, TIETZE, U.-P.; KLIKA, M.; WOLPERS, H. (Hrsg.): Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II, Bd. 2: Didaktik der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra. Vieweg: Braunschweig/Wiesbaden, TIETZE, U.-P.; KLIKA, M.; WOLPERS, H. (Hrsg.): Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II, Bd. 3: Didaktik der Stochastik. Vieweg, 2002.

4 BÜCHTER, A.; HENN, HANS-WOLFG.: Elementare Analysis. Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg, BORNELEIT; DANCKWERTS; HENN; WEIGAND (2000): Expertise zum Mathematikunterricht in der gymnasialen Oberstufe EPA (2002): Einheitliche Prüfungsanforderungen in der Abiturprüfung Mathematik (KMK-Beschluss vom i.d.f. vom ) SenBJS (2006): Rahmenlehrplan Mathematik für die gymnasiale Oberstufe (Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Sport Berlin, 2006)

5 1. Grunderfahrungen des Mathematikunterrichts 2. Probleme des MU in der S II, Lösungsansätze 3. Kompetenzen und Leitideen des MU in der S II

6 Mathematikunterricht in allgemeinbildendem Sinne ist nach HEINRICH WINTER durch drei Grunderfahrungen gekennzeichnet 1 : (G1) Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen, (G2) mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbolen, Bildern und Formen, als geistige Schöpfungen, als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art kennen zu lernen und zu begreifen, (G3) in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten, die über die Mathematik hinaus gehen, (heuristische Fähigkeiten) zu erwerben. 1 Winter, H.: Mathematikunterricht und Allgemeinbildung. In: Mitteilungen der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik 61 (1995), S

9 Kurzfassung: Didaktik der Analysis in der Sek II Ziele und Grundpositionen (G1) Anwendungs-/ Modellbildungsprozess (G2) innermathematische Orientierung (G3) heuristische Denk- und Arbeitsweisen Die Grunderfahrungen nach WINTER sind heute als allgemeiner Bezugsrahmen des MU (auch der S II) weithin akzeptiert. Gefordert wird, dass alle drei Grunderfahrungen sowohl in Grund- als auch in Leistungskursen Berücksichtigung finden mit unterschiedlichen Niveaus der Ausprägung. Dasselbe gilt für die Themengebiete des MU: In jedem der Gebiete Analysis, Analytische Geometrie / Lineare Algebra und Stochastik sind (G1), (G2) und (G3) relevant.

13 Einige gravierende Probleme und Defizite des MU in der S II 2 : Einseitige Orientierung an der Grunderfahrung (G2) Genauer müsste meist gesagt werden: Einseitige Orientierung an Relikten bzw. Fragmenten der Grunderfahrung (G2), siehe Kalkülorientierung. Besonders ausgeprägt in Grundkursen Orientierung am Kalkül Konzentration der Stofferarbeitung und des Übungsgeschehens auf die Beherrschung von Kalkülen und Routinen Zu erwartende Abituraufgaben als heimlicher Lehrplan Bereits 1973 formulierte Freudenthal: Wenn unser Unterricht heute darin besteht, dass wir Kindern Dinge beibringen, die in einem oder zwei Jahrzehnten besser von Maschinen erledigt werden, beschwören wir Katastrophen herauf. 2 Siehe vor allem: BORNELEIT; DANCKWERTS; HENN; WEIGAND (2000): Expertise zum Mathematikunterricht in der gymnasialen Oberstufe

14 Einige gravierende Probleme und Defizite des MU in der S II 2 : Einseitige Orientierung an der Grunderfahrung (G2) Genauer müsste meist gesagt werden: Einseitige Orientierung an Relikten bzw. Fragmenten der Grunderfahrung (G2), siehe Kalkülorientierung. Besonders ausgeprägt in Grundkursen Orientierung am Kalkül Konzentration der Stofferarbeitung und des Übungsgeschehens auf die Beherrschung von Kalkülen und Routinen Zu erwartende Abituraufgaben als heimlicher Lehrplan Bereits 1973 formulierte Freudenthal: Wenn unser Unterricht heute darin besteht, dass wir Kindern Dinge beibringen, die in einem oder zwei Jahrzehnten besser von Maschinen erledigt werden, beschwören wir Katastrophen herauf. 2 Siehe vor allem: BORNELEIT; DANCKWERTS; HENN; WEIGAND (2000): Expertise zum Mathematikunterricht in der gymnasialen Oberstufe

15 Einige Lösungsansätze (?) Orientierung an fundamentalen Ideen siehe Kompetenzen und Leitideen Vernetzung als Orientierungsgrundlage Isolation der Gebiete Analysis, Analytische Geometrie / Lineare Algebra und Stochastik, (im schlimmsten Falle sogar vonteilgebieten) aufbrechen. Grundvorstellungen versus Kalkülorientierung Anwendungsorientierung Einbeziehung von echten (zumindest von etwas echteren ) Anwendungen und Modellbildungen

19 W.BLUM hat sieben Perspektiven für einen Analysis-Unterricht 2005" formuliert (W.BLUM, 2000) 3 : Perspektive 1: Mehr präformale Mathematik Im Analysisunterricht sollte - beim Begriffsbilden wie beim Beweisen - mehr präformal gearbeitet werden, ohne dabei Abstriche an Strenge zu machen. Schüler sollten angemessene Grundvorstellungen insbesondere vom Funktions-, Ableitungsbegriffund Integralbegriff erwerben. Perspektive 2: Mehr Realitätsbezüge Im Analysisunterricht sollten mehr Realitätsbezüge hergestellt werden, und Schüler sollten mehr Gelegenheit zum situierten Lernen erhalten. Sie sollten sowohl Modellieren lernen als auch Umgehen mit Standardmodellen. Mit realen Anwendungen sollten alle Ziele gefördert und sollte auch eine Antwort auf die Sinnfrage gegeben werden Perspektive 3: Mehr intelligentes Üben und Wiederholen Schüler sollten fortwährend Gelegenheit zum intelligenten Üben und Wiederholen der wesentlichen Inhalte haben. Dies kann auch durch geeignete offene Aufgaben geschehen. 3 HELMUT HEUGL (Landesschulrat für Niederösterreich, Wien) ; WERNER BLUM (Universität Kassel)

20 W.BLUM hat sieben Perspektiven für einen Analysis-Unterricht 2005" formuliert (W.BLUM, 2000) 3 : Perspektive 1: Mehr präformale Mathematik Im Analysisunterricht sollte - beim Begriffsbilden wie beim Beweisen - mehr präformal gearbeitet werden, ohne dabei Abstriche an Strenge zu machen. Schüler sollten angemessene Grundvorstellungen insbesondere vom Funktions-, Ableitungsbegriffund Integralbegriff erwerben. Perspektive 2: Mehr Realitätsbezüge Im Analysisunterricht sollten mehr Realitätsbezüge hergestellt werden, und Schüler sollten mehr Gelegenheit zum situierten Lernen erhalten. Sie sollten sowohl Modellieren lernen als auch Umgehen mit Standardmodellen. Mit realen Anwendungen sollten alle Ziele gefördert und sollte auch eine Antwort auf die Sinnfrage gegeben werden Perspektive 3: Mehr intelligentes Üben und Wiederholen Schüler sollten fortwährend Gelegenheit zum intelligenten Üben und Wiederholen der wesentlichen Inhalte haben. Dies kann auch durch geeignete offene Aufgaben geschehen. 3 HELMUT HEUGL (Landesschulrat für Niederösterreich, Wien) ; WERNER BLUM (Universität Kassel)

21 Perspektive 4: Mehr Computereinsatz Computer, insbesondere Taschencomputer, sollten systematisch als Hilfsmittel verwendet werden. Lehrer und Schüler sollten sich der inhärenten Probleme und Gefahren bewusst sein und auf diese auch Metawissen entwickeln. Perspektive 5: Weniger Kalküle Das Curriculum sollte zu Lasten von formalen Algorithmen umstrukturiert werden, lokal und global. Dadurch sollten Schüler auch ein ausgewogenes Mathematikbild erwerben. Perspektive 6: Angemessene Leistungsbeurteilung Die Leistungsüberprüfung sollte die angestrebten Unterrichtsziele besser widerspiegeln, d.h. weniger als bisher an Kalkülen orientiert sein, auch unter Verwendung von Computern als Hilfsmittel und auch in anderer als schriftlicher Form. Perspektive 7: Angemessene Unterrichtsgestaltung Der Unterricht sollte weniger als bisher am Entwickeln und Einüben von Kalkülen und mehr daran orientiert sein, geistige Schüleraktivitäten und Reflexionen zu stimulieren und verschiedene Methoden zu variieren, ohne dabei die zentrale Rolle des Lehrers zu reduzieren.

22 Perspektive 4: Mehr Computereinsatz Computer, insbesondere Taschencomputer, sollten systematisch als Hilfsmittel verwendet werden. Lehrer und Schüler sollten sich der inhärenten Probleme und Gefahren bewusst sein und auf diese auch Metawissen entwickeln. Perspektive 5: Weniger Kalküle Das Curriculum sollte zu Lasten von formalen Algorithmen umstrukturiert werden, lokal und global. Dadurch sollten Schüler auch ein ausgewogenes Mathematikbild erwerben. Perspektive 6: Angemessene Leistungsbeurteilung Die Leistungsüberprüfung sollte die angestrebten Unterrichtsziele besser widerspiegeln, d.h. weniger als bisher an Kalkülen orientiert sein, auch unter Verwendung von Computern als Hilfsmittel und auch in anderer als schriftlicher Form. Perspektive 7: Angemessene Unterrichtsgestaltung Der Unterricht sollte weniger als bisher am Entwickeln und Einüben von Kalkülen und mehr daran orientiert sein, geistige Schüleraktivitäten und Reflexionen zu stimulieren und verschiedene Methoden zu variieren, ohne dabei die zentrale Rolle des Lehrers zu reduzieren.

23 Idee und Bedeutung Ableitung als Idee des Übergang von der mittleren zur lokalen Änderungsrate Integral als Idee der Rekonstruktion einer Funktion aus ihren Änderungsraten Kurvendiskussion als kompetente Analyse der Eigenschaften von Funktionen Darstellung geometrischer Gebilde (Geraden, Ebenen, Kreise, Ellipsen,... ) mit Hilfe analytischer Methoden Kalkülhaftes Arbeiten Bestimmen von Tangentensteigungen und Ableitungsfunktionen nach syntaktischen Regeln Integrieren zum Bestimmen von Flächeninhalten und Stammfunktionen nach syntaktischen Regeln Kurvendiskussion als Anwendung von Kalkülen auf Funktionen und deren Ableitungen Formales Lösen von Gleichungssystemen

24 Idee und Bedeutung Ableitung als Idee des Übergang von der mittleren zur lokalen Änderungsrate Integral als Idee der Rekonstruktion einer Funktion aus ihren Änderungsraten Kurvendiskussion als kompetente Analyse der Eigenschaften von Funktionen Darstellung geometrischer Gebilde (Geraden, Ebenen, Kreise, Ellipsen,... ) mit Hilfe analytischer Methoden Kalkülhaftes Arbeiten Bestimmen von Tangentensteigungen und Ableitungsfunktionen nach syntaktischen Regeln Integrieren zum Bestimmen von Flächeninhalten und Stammfunktionen nach syntaktischen Regeln Kurvendiskussion als Anwendung von Kalkülen auf Funktionen und deren Ableitungen Formales Lösen von Gleichungssystemen

26 In den EPA, künftigen Bildungsstandards und den aktuellen Rahmenlehrplänen werden zwei Dimensionen mathematischer Kompetenzen unterschieden: allgemeine (bzw. prozessbezogene) mathematische Kompetenzen, inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen (Leitideen).

27 Allgemeine mathematische Kompetenzen für die Sekundarstufe II (Rahmenlehrplan Berlin, 2006 S.10 und 11 ff.) Problemlösen Argumentieren Modellieren Darstellungen verwenden Symbole, Verfahren und Werkzeuge verwenden Kommunizieren und Kooperieren Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen (Leitideen) für die Sekundarstufe II (EPA 2002 Inhaltsverzeichnis, S.6 ff Rahmenlehrplan Berlin, 2006 ) Funktionaler Zusammenhang Grenzprozesse/Approximation (RLP: nur Approximation) Modellieren (nur EPA) Messen Algorithmus Räumliches Strukturieren/ Koordinatisieren Daten und Zufall (EPA: nur Zufall)

28 Allgemeine mathematische Kompetenzen für die Sekundarstufe II (Rahmenlehrplan Berlin, 2006 S.10 und 11 ff.) Problemlösen Argumentieren Modellieren Darstellungen verwenden Symbole, Verfahren und Werkzeuge verwenden Kommunizieren und Kooperieren Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen (Leitideen) für die Sekundarstufe II (EPA 2002 Inhaltsverzeichnis, S.6 ff Rahmenlehrplan Berlin, 2006 ) Funktionaler Zusammenhang Grenzprozesse/Approximation (RLP: nur Approximation) Modellieren (nur EPA) Messen Algorithmus Räumliches Strukturieren/ Koordinatisieren Daten und Zufall (EPA: nur Zufall)

29 Anforderungsbereiche (nach EPA 2002) I Verfügbarkeit von Daten, Fakten, Regeln, Formeln, Sätzen usw. aus einem abgegrenzten Gebiet im gelernten Zusammenhang Beschreibung und Verwendung gelernter und geübter Arbeitstechniken und Verfahrensweisen in einem begrenzten Gebiet und in einem wiederholenden Zusammenhang II selbstständiges Auswählen, Anordnen, Verarbeiten und Darstellen bekannter Sachverhalte unter vorgegebenen Gesichtspunkten in einem durch Übung bekannten Zusammenhang selbstständiges Übertragen des Gelernten auf vergleichbare neue Situationen: veränderte Fragestellungen oder veränderte Sachzusammenhänge oder abgewandelte Verfahrensweisen III planmäßiges und kreatives Bearbeiten komplexerer Problemstellungen mit dem Ziel, selbstständig zu Lösungen, Deutungen, Wertungen und Folgerungen zu gelangen bewusstes und selbstständiges Auswählen und Anpassen geeigneter gelernter Methoden und Verfahren in neuartigen Situationen