Begriffe: Addition Subtraktion Multiplikation Division. Summe Differenz Produkt Quotient a + b a b a b a : b
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- Rolf David Fuchs
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1 Grundlgen 0.0. Zhlbereiche ntürliche Zhlen: N = {0; ; 2;...} (nch DIN 547) N = N \ {0} gnze Zhlen: Z = {... 2; ; 0; ; 2;...} rtionle Zhlen: Q = { p p, q Z, q 0} q Q besteht us llen Bruchzhlen. reelle Zhlen: R enthält neben Q uch irrtionle Zhlen wie z.b. π oder 2. Irrtionle Zhlen hben unendlich viele (unregelmäßig ngeordnete) Nchkommstellen. Sie werden deshlb häufig durch gerundete Werte ersetzt: z.b. π, Rechnen in R Grundlegende Begriffe und Rechenregeln Begriffe: Addition Subtrktion Multipliktion Division Summe Differenz Produkt Quotient + b b b : b Summnd Minuend Subtrhend Fktor Dividend Divisor Rechenregeln: Vorfhrtsregel: ( Punkt vor Strich ) erst multiplizieren, dnn ddieren. Abweichungen werden durch Klmmersetzungen gekennzeichnet. Assozitivgesetze: (Klmmergesetze) ( + b) + c = + (b + c) ( b) c = (b c) Kommuttivgesetze: (Vertuschungsgesetze) + b = b + b = b Distributivgesetze: ( + b) c = c + b c (b + c) = b + c
2 Ausmultiplizieren von Klmmern: Jeder Summnd der einen Klmmer ist mit jedem Summnden der nderen Klmmer zu multiplizieren. Die Produkte sind zu ddieren: ( + b) (c + d) = c + d + bc + bd Bei gleichrtigen Klmmern erhält mn die Binomischen Formeln: ( + b) 2 = 2 + 2b + b 2 ( b) 2 = 2 2b + b 2 ( + b) ( b) = 2 b 2 Fktorisieren, Ausklmmern: Rechnen mit 0: Besitzen Summnden einen gemeinsmen Fktor, so lässt sich dieser usklmmern: b + c = (b + c) + 0 = = = 0 = 0 0 : = 0 flls 0 : 0 ist nicht definiert Rechnen mit : = =. Vereinfchen Sie, soweit möglich. () x 2 + 2x x 2 4x + 4 (c) x 2 + x 2 0 x (b) x 2 (2x x 2) (d) x 2 + (x ) + x x 2. Multiplizieren Sie us. () x (x ) (b) (x 4) (x + ) (c) (x 6) (x + 6) (d) (2x + ) (x + ) (e) 2(x ) (x + 7) (f) (x ) (x + 2). Klmmern Sie, flls möglich, us. () x 2 6x (c) x 2 (b) x 2 2x + 2 (d) x 2 + x 4. Begründen Sie (mittels Rechnung) die Binomischen Formeln. (e) 2x 2 2 x + x (f) (x) 2 2 x 2 + (2x x) (g) 2(x ) (x + ) (h) (x ) 2 (i) (x 2) (2x ) (e) 2x 2 2 x (f) (x 4) (x + ) 5. Welcher Zusmmenhng besteht zwischen dem Ausklmmern und dem Distributivgesetz? Lösungen:. Vereinfchen Sie, soweit möglich. () 2x 2 2x + 4 (c) 2x 2 (b) x 2 x + 2 (d) 2x 2 + x 2 2. Vereinfchen Sie, soweit möglich. () x 2 x (d) 2x 2 + 5x + (b) x 2 x 2 (e) 2x 2 + 2x 4 (c) x 2 6 (f) x 2 + x 2 2 (e) 2x 2 ( 2 )x (f) x (g) 2x 2 + 2( )x 6 (h) x 2 2x + 2 (i) 2x 2 5x + 2 2
3 . Klmmern Sie, flls möglich, us. () x (x 6) (c) (x ) (x + ) (b) nicht möglich (d) (x 2 + x ) 4. ( + b) 2 = ( + b) ( + b) = 2 + b + b + b 2 etc. (e) x(2x ) (f) (x 4) (x + ) 5. Beim Ausklmmern wendet mn ds Distributivgesetz n 0... Rechnen mit Brüchen Definition: Ein Bruch ist ein Ausdruck der Form p q mit p, q Z und q 0 Bezeichnungen: p Zähler, q Nenner Ein und dieselbe Bruchzhl (rtionle Zhl) knn durch verschiedene Brüche usgedrückt werden. Erweitern/Kürzen: Zwei Brüche, die die gleiche Bruchzhl drstellen, gehen durch Kürzen bzw. Erweitern useinnder hervor. Erweitern: Kürzen: p q = p k q k p k q k = p q Bechte: Aus Differenz und Summen kürzen nur die Dummen Bruchrechenregeln: b + c d b c d = d + bc bd = c bd b c d b : c d = d bc bd = b d c = d bc. Vereinfchen Sie, soweit möglich. () + x 7 (c) x x x x (b) 2 x2 2x 2 x2 2. Vereinfchen Sie, soweit möglich. x () 2 x (x ) 2 (b) 2 x (x ) x (x+) (d) x2 + x 2 x 2 (c) x x+ (d) x+ x x x+ (e) ( x ) ( 2 x ) (f) ( )2 2 x 2 (e) x x x (f) x x x. Welcher Unterschied besteht zwischen dem Erweitern und dem Multiplizieren von Brüchen? 4. Brüche werden teilweise uch ls gemischte Brüche (z.b. 2) ngegeben. 5 Zeigen Sie, dss im Allgemeinen nicht b d e be = d gilt. c f cf
4 Lösungen:. Vereinfchen Sie, soweit möglich. () x 5 (c) x2 (b) 6 x2 x (d) x + x 2. Vereinfchen Sie, soweit möglich. () (c) x 4 (b) x x 2 x 2 2 (d) 2x+2 x 2 +x (e) 0 (x2 (2 + 6)x + 4) (f) 2 (4 x) 6 (e) x+ (f) x+. Beim Erweitern wird ein und dieselbe Zhl nur unterschiedlich ufgeschrieben, beim Multiplizieren werden zwei Zhlen multipliziert. 4. b c d e f = c+b c df+e f = cdf+ce+bdf+be cf = d ce+bdf+be cf d be cf Rechnen mit Potenzen und Wurzeln Potenzrechnung Definition: () Unter der n-ten Potenz einer Zhl versteht mn ds n-fche Multiplizieren der Zhl mit sich selbst: n =? n =... }{{} n-ml wo R, n N Bezeichnungen: Bsis n Exponent (b) Mn setzt 0 = und n = n Rechenregeln für Potenzen - verllgemeinerte Vorfhrtsregel: Hoch vor Punkt vor Strich - mit gleicher Bsis n m = n+m n : m = n m ( n ) m = n m - mit gleichem Exponenten n b n = ( b) n n : b n = ( : b) n. Schreiben Sie ls Potenzen mit geeigneter Bsis: 8 () 0, 000 (b) 8 (c) 64 (d) 000 (e) 0, 5 (f) Schreiben Sie ls Potenz mit möglichst kleiner ntürlicher Bsis: () 25 (b) 8 4 (c) 000 (d) 8 6 (e) 9 2 (d) 9 2 (e) 4. Ds m weitesten entfernte Objekt des Universums, ds mn noch mit bloßem Auge erkennen knn, ist der Andromednebel. Er ist etw 2,7 Millionen Lichtjhre von der Erde entfernt; sein größter Durchmesser beträgt etw Lichtjhre. Geben Sie die Entfernung und den Durchmesser in Kilometern n. (Lichtgeschwindigkeit c km s )
5 4. Die größte derzeit beknnte Primzhl (Stnd: Sept. 20) ist die Zhl Sie ht (im Zehnersystem) usgeschrieben Ziffern. Wie viel Kilometer lng wird diese Zhl, wenn mn sie mit dem Drucker usdruckt? (Die Breite einer usgedruckten Ziffer beträgt bei hndelsüblichen Druckern etw 2,5 mm) 5. Vereinfchen Sie, soweit möglich. () x 2 x (d) (2x) : (2x ) (b) x x (e) (x 2 ) : x 5 (c) (x 4 : x ) x 0 (f) 2x : 2 x (g) (x 2 ) x 2 (h) x x 2 (i) 9x 2 x 4x 2 6. Vereinfchen Sie, soweit möglich. () (2 ) 4 (b) ( 6 ) (c) ( ) 0 (d) (2 ) (e) ( 2 ) 7. Vereinfchen Sie, soweit möglich. () 2 5 (b) (c) 9 5 (e) ( 2 ) x (d) 2 x 2 (f) x 4 : 4 8. Mnche Tschenrechner geben große Zhlen in der sogennnten Gleitkommdrstellung n. Erklären Sie diese n den Beispielen, bzw. 4 E Begründen Sie die Rechenregel n m = n+m. 0. Zeigen Sie, dss im Allgemeinen nicht n + b n = ( + b) n gilt. Lösungen:. Schreiben Sie ls Potenzen mit geeigneter Bsis: () 0 4 (b) 4 (c) 2 6 (d) ( 5 ) (e) 2 (f) Schreiben Sie ls Potenz mit möglichst kleiner ntürlicher Bsis: () 5 6 (b) 2 2 (c) 0 9 (d) 24 (e) 4 (d) 4 (e) 2 6. Entfernung: 2, , km Durchmesser: , km 4. 7, , km 42, 5 km. 5. Vereinfchen Sie, soweit möglich. () x 5 (b) x 4 (c) x (d) 4 (e) x (f) 2 x2 (g) x 4 2 x 2 (h) x x 2 (i) 5x 2 x 6. Vereinfchen Sie, soweit möglich. () 2 2 (b) 8 (c) (d) 8 (e) 6 7. Vereinfchen Sie, soweit möglich. () 0 (b) (c) (d) (x) 2 (e) ( 2 x) = 6 x (f) ( x )4 8. Der Wert, entspricht , der Wert 4 E09 entspricht n m = } {{... } n ml... }{{} m ml 0. Es ist = = 25 = 5 2 = } {{... } = n+m. n+m ml
6 Wurzelrechnung Definition:? n = b () Besitzt die Zhl x (mit 0 x R) die n-te Potenz, d.h. gilt x n =, so nennt mn x die n-te Wurzel von. Mn schreibt Bezeichnungen: Wurzelexponent x = n n Rdiknd (b) Für die Qudrtwurzel 2 schreibt mn kurz. Bemerkungen: - Der Rdiknt einer n-ten Wurzel n drf nie negtiv sein. - Nch Def. der Wurzel gilt: ( n ) n =. n n =. Rechenregeln für Wurzeln n n b = n b n : n b = n : b m n = m n Bemerkung: - Bei Wurzeln knn oft teilweise rdiziert werden. z.b. 75 = 25 = 25 = 5 Potenzschreibweise: Die n-te Wurzel von lässt sich uch ls Potenz schreiben: n = n Auch für diese Potenzen gelten die Potenzgesetze.. Vereinfchen Sie, soweit möglich (Dbei sei > 0). () 8 (b) 8 2 (c) 08x (d) 75 (e) 8 2 x 2 2. Vereinfchen Sie, soweit möglich (Dbei sei > 0). () 2 (b) (c) Vereinfchen Sie, soweit möglich (Dbei sei > 0). () 2 50 (b) 27 (c) 54 6 (d) 2 6 (e) x 22x (f) x (g) : 22 2 (h) 5 2 : 20x 4. Vereinfchen Sie, soweit möglich (Dbei sei > 0). () (b) 99x x (c) (d) ( + ) (e) 8 2 x + ( 2) 8x (f) x + 4x Zeigen Sie, dss im Allgemeinen nicht n + n b = n + b gilt. 6. Bestimmen Sie (mit Hilfe der Potenzschreibweise von Wurzeln) eine Formel für ds Produkt n m.
7 Lösungen:. Vereinfchen Sie, soweit möglich (Dbei sei > 0). () 2 2 (b) 2 (c) 4x (d) 5 7 (e) 2 2x 2 2. Vereinfchen Sie, soweit möglich (Dbei sei > 0). () (b) (c) Vereinfchen Sie, soweit möglich (Dbei sei > 0). () 0 (b) 9 (c) 8 (d) Vereinfchen Sie, soweit möglich (Dbei sei > 0). () geht nicht (b) 2 x (c) 7 7 (d) 2( + ) (e) 6x 2 (f) 0x (e) 2 2x (f) 5 x (g) (h) = x 5. Es ist 5 = 2 + = Bestimmen Sie (mit Hilfe der Potenzschreibweise von Wurzeln) eine Formel für ds Produkt n m = n m = n + m = n+m nm = nm n + m.
2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in )
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