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1 1.) Existenz von Aufbauend auf: "Äquivalenzrelationen", "Der Körper der reellen Zahlen", "Der Körper der rationalen Zahlen", "Eine rationale Folge gegen " Aufgaben: 4 restart; Cauchy-Folgen MATH: Wir hatten bereits gesehen, dass vollständig ist. Außerdem hatten wir als angeordneter Körper nicht als vollständigen angeordneten Körper axiomatisch eingeführt und gesehen, dass dicht in ihm liegt. Hier soll nun eine Konstruktion des Körpers der reellen Zahlen als Vervollständigung des Körpers der rationalen Zahlen gegeben werden. Dadurch wird insbesondere die Existenz der reellen Zahlen klar, wenn auch noch nicht die Eindeutigkeit. MATH: Es entsteht also die Frage, wie wir rationale Folgen, die in konvergent sind, bereits im Kontext der rationalen Zahlen charakterisieren können. Die Antwort sind die rationalen Cauchy-Folgen: Eine rationalwertige Folge Zu jedem existiert ein mit heißt Cauchy-Folge, falls gilt: für alle. DENKANSTOSS: Stellen wir uns vor, dass die reellen Zahlen schon konstruiert sind. Dann ist eine rationale Folge mit reellem Grenzwert auch eine rationale Cauchy-Folge. BEISPIEL: Sei eine Folge und, dann ist eine rationale Cauchy-Folge. Diese Cauchy-Folgen nennen wir von Dezimalbruchtyp. MATH: Cauchy-Folgen sind beschränkt: Wegen für gilt für alle. Daher ist

2 für alle. Insbesondere ist beschränkt. Cauchy-Folgen bilden einen Ring MATH: Die Menge aller rationalwertigen Cauchy-Folgen bezeichen wir mit. Wir wollen sehen, dass diese unter gliedweiser Addition und gliedweiser Multiplikation einen kommutativen Ring bilden: : Es ist klar, dass die konstante -Folge (das neutrale Element der Addition) eine Cauchy-Folge ist, dass die konstante -Folge (das neutrale Element der Multiplikation) eine Cauchy-Folge ist, dass Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetze gelten (DENKANSTOSS: Warum?). Die Wohldefiniertheit der Verknüpfungen ist aber nicht klar. Dies wollen wir in der folgenden Aufgabe zeigen. ÜBUNG [01]: 1) Mache dir klar, warum die Wohldefiniertheit der Verknüpfungen noch zu zeigen ist und warum die beiden folgenden Teilaufgaben diese Wohldefiniertheit zeigen. 2) Zeige. 3) Zeige. Hinweis: Beschränktheit. Äquivalenzrelation auf Cauchy-Folgen MATH: Allerdings ist kein Körper, denn Folgen, die an einer Stelle den Wert Null annehmen kann man nicht invertieren. Schlimmer noch, die Folge hat zwar eine inverse Folge, nämlich mehr., aber diese ist keine Cauchyfolge IDEE: Es soll bei den Cauchy-Folgen nur auf das ultimative Verhalten der Folge ankommen. (Man ist versucht, an den Grenzwert zu denken, diesen haben wir aber hier gerade nicht.) Man kann Nullfolgen auf solch eine Cauchy-Folgen addieren, ohne das ultimative Verhalten der Folge zu ändern. Daher führen wir eine Äquivalenzrelation auf ein: ist Nullfolge. (Nullfolgen sind ohne reelle Zahlen definiert.) Dann ist

3 einer inversen Folge erwarten. äquivalent zu der Nullfolge, so dass wir nicht mehr die Existenz DENKANSTOSS: Zeige, dass wirklich eine Äquivalenzrelation vorliegt. Benutze Wir wollen diese Äquivalenzrelation mit Hilfe der Cauchyfolgen von Dezimalbruchtyp anschaulich machen. ÜBUNG [02]: 1) Zeige, dass eine Cauchyfolge von Dezimalbruchtyp wirklich eine Cauchy- Folge ist. Hinweis: Dreiecksungleichung und geometrische Reihe. 2) Gib zwei verschiedene Cauchyfolgen von Dezimalbruchtyp an, die äquivalent sind. (Beweise auch, dass diese Folgen äquivalent sind.) 3) Deute an, warum jede reelle Zahl Grenzwert einer Cauchyfolge von Dezimalbruchtyp ist. MATH: Summe und Produkt in mit, 1.) ( ) 2.) sind verträglich mit ~, d.h. Teil 1.) ist einfach zu zeigen: Seien und Nullfolgen, so dass und. Da und Nullfolgen sind, ist auch eine Nullfolge. Insbesondere ist wegen. auch schon DENKANSTOSS: Führe den Beweis von 2.) durch, indem du die Kernidee weiter ausführst. Konstruktion von MATH: Die obigen Äquivalenzklassen bilden somit unter vertreterweiser Addition und Multiplikation einen Ring, wie man leicht zeigt. Denn schwierig ist allenfalls die Vertreterunabhängigkeit der Operationen; diese bekommt man aber sofort aus 1.) und 2.) oben. Die Ringaxiome folgen automatisch, da sie bereits für gelten. Es gilt also: Die Menge der Äquivalenzklassen ist ein kommutativer Ring

4 mit 1. Behauptung: einfache Verifikation. ist sogar ein Körper. Dies beweist die folgende ÜBUNG [03]: Zeige: Ist keine Nullfolge, so ist eine Cauchy-Folge, für die gilt:. MATH: Wir definieren eine -Relation auf Seien. Dann sagen wir, falls gilt: Dadurch wird zu einem angeordneten Körper. DENKANSTOSS: Zeige dies: Mach dir die Vertreterunabhängigkeit also die Wohldefiniertheit der -Relation klar und zeige, dass die -Relation mit der Addition und der Multiplikation verträglich ist. MATH: Die Anordnung setzt die Anordnung von < fort, indem wir der Äquivalenzklasse der konstanten Folge identifizieren: mit DENKANSTOSS: Zeige, dass eine Einbettung von in definiert. MATH: Um einzusehen, dass Cauchy-Folgen in gegen einen Grenzwert konvergieren, benötigen wir noch den Absolutbetrag Dieser DENKANSTOSS: Verifiziere die Dreiecksungleichung für den Absolutbetrag. Um nun nachzuweisen, dass vollständig ist, weisen wir nach, dass

5 jede Cauchy-Folge von Elementen aus auch in Cauchy(< )/~ konvergiert: FREIWILLIGE ÜBUNG: Sei nun eine Cauchy-Folge in. 1) Zeige: Es existiert eine rationale Folge mit. 2) Zeige: ist eine Cauchy-Folge in. 3) Zeige: konvergiert in gegen einen Grenzwert. 4) Zeige: konvergiert gegen den Grenzwert. Hinweis zu 1): Jedes einzelne der Cauchy(< )/~; für die Wahl des Restklasse. entspricht einer Äquivalenzklasse von nutze einen expliziten Vertreter dieser Damit ist gezeigt: MATH: Der angordnete Körper ist vollständig. Daher kann dieser Körper als gewählt werden. Insbesondere erfüllt er das Archimedische Axiom. ÜBUNG [04]: Fasse die Konstruktion der reellen Zahlen mit Hilfe rationaler Cauchyfolgen zusammen. Hinweis: Mache dir nochmal die folgenden Punkte klar: 1) Was haben wir durch die Konstruktion der reellen Zahlen gezeigt, was wir durch ihre axiomatische Einführung nicht wussten? 2) Warum haben wir mit rationalen Cauchyfolgen statt mit konvergenten rationalen Folgen gearbeitet? 3) Warum ist ein kommutativer Ring mit Eins? 4) Warum ist dann auch ein kommutativer Ring mit Eins? 5) Wie hat es uns die Äquivalenzrelation erlaubt, Elemente in zu invertieren? 6) Warum kennst du Cauchyfolgen von Dezimalbruchtyp bereits seit der Unterstufe in der Schule?

6 2.) Taylorentwicklungen Aufbauend auf den Abschnitten: "Differentiation: Definition, Eigenschaften und Beispiele", "Mittelwertsätze", "Formale Potenzreihen" Aufgaben: 3 restart; Taylorpolynome Statt linearer Approximation (aus dem Abschnitt "Differentiation: Definition, Eigenschaften und Beispiele") kann man auch versuchen, durch Polynomfunktionen höheren Grades zu approximieren. Im Grenzfall bekommt man Potenzreihen. MATH: Die Ableitung der Funktion in war so definiert, dass eine gute Approximation an um ist, und zwar nicht nur in dem Sinne, dass und denselben Grenzwert für gegen haben, sondern dass sogar gegen den Grenzwert konvergiert für gegen. DENKANSTOSS: Verifiziere dies. MATH: Es drängt sich auf, die Regel von L'Hospital anzuwenden auf und zwar zweimal: Wir bekommen als Grenzwert Diff(f(x),x$2)/diff((x-a)^2,x$2); (2.1.1) ausgewertet an der Stelle. Dies setzt natürlich voraus, dass zweimal differenzierbar ist in einer Umgebung von. Aber wir können dann mit einer besseren Approximation statt weitermachen. BEISPIEL:. f:=log; f(1),subs(x=1,diff(f(x),x)); f1:=``(x-1); (2.1.2) (2.1.3)

7 MAPLE: Die Anführungszeichen ` ` zwingen Maple dazu den Ausdruck nicht auszuwerten, d.h. in diesem Fall die Klammern beizubehalten. Um damit in Folgenden rechnen zu können, nutzen wir op(f1) um die Klammeren wieder zu entfernen. f1; op(f1); limit(f(x)-op(f1),x=1); limit(x-1,x=1); limit(diff(f(x)-op(f1),x),x=1); 0 limit(diff((x-1)^2,x),x=1); 0 limit(diff(f(x)-op(f1),x$2),x=1); limit(diff((x-1)^2,x$2),x=1); 2 f2:=f1-1/2*(x-1)^2; limit(diff(f(x)-subs(``(x-1)=(x-1),f2),x$3),x=1); 2 limit(diff((x-1)^3,x$3),x=1); 6 f3:=f2+2/6*(x-1)^3; 0 0 (2.1.4) (2.1.5) (2.1.6) (2.1.7) (2.1.8) (2.1.9) (2.1.10) (2.1.11) (2.1.12) (2.1.13) (2.1.14) ÜBUNG [01]: 1) Erkläre die obige Rechnung. 2) Fahre fort und finde die nächsten beiden Approximationen und. 3) Welche Differentiationseigenschaft von wird dabei benötigt? 4) Zeichne im Bereich.

8 MATH: Den Koeffizienten von obigen Diskussion ableiten als in der Entwicklung kann man aus der Da das Verfahren bei Polynomen abbrechen sollte, können wir dort eine Anleihe machen: subs(x=``(x-1),expand(subs(x=x+1,x^10))); (2.1.15) expand(%); (2.1.16) Die Koeffizienten stimmen mit denen aus der Formel überein.: map(i-subs(x=1,diff(x^10,x$i))/i!,listtools[reverse]([$1..10])); (2.1.17) Taylorreihen ÜBUNG [02]: Bestimme alle Entwicklungskoeffizienten von log(x) in x=1 auf zwei Arten: 1) Die obige Methode durch Ableiten und Einsetzen. (Hinweis: Bestimme per Induktion alle Ableitungen des Logarithmus.) 2) Durch Umschreiben der Ableitung des Logarithmus in eine geometrischen Reihe. (Hinweis: Beachte auch den nullten Koeffizienten.) MATH: Sei eine beliebig oft differenzierbare Funktion. Dann nennt man die formale Potenzreihe die Taylorreihe von mit Entwicklungspunkt. MAPLE hat zwei Befehle, um diese approximierenden Polynome automatisch auzurechnen: taylor(sin(x),x=0,12); (2.2.1) series(sin(x),x=0,12); (2.2.2)

9 map(i-eval(diff(sin(x),[x$i]),x=0)/i!,[$0..11]); (2.2.3) plot([sin(x),convert(series(sin(x),x,12),polynom)],x=-2*pi..2*pi,y=-2..2,color=[black, red]); l:=map(d-plot([sin(x),convert(series(sin(x),x,d),polynom)], x=-2*pi..2*pi,y=-2..2,color=[black,red]),[$1..20]): plots[display](l,insequence=true) ;

10 MAPLE kennt sogar die Formel: taylor(h(x),x=a,5); (2.2.4) MATH: Man kann nun hoffen, dass bei einer unendlich oft differenzierbaren Funktion die Folge der Taylorpolynomfunktionen gegen die Funktion zumindest in einer Umgebung von konvergiert. Wir haben oben nur eine Aussage über Grenzwerte für gegen bewiesen. Will man mehr, muß man das sogenannte Restglied, welches MAPLE gerade mit abgekürzt hat, abschätzen können. Dafür gibt es Darstellungen des Restgliedes aus der Vorlesung. Eine Warnung: DENKANSTOSS: Bei für und sind alle

11 Taylorpolynome gleich Null, konvergieren also nicht gegen in einer Umgebung von. In der folgenden Aufgabe sehen wir, in wie weit das Umschreiben von Funktionen in Taylorpolynome und Taylorreihen ein Ringhomomorphismus ist. Die Rechnungen sollte man mit Maple machen. ÜBUNG [03]: 1) Ist die Abbildung, die jeder fünfmal differenzierbaren Funktion ihre Taylorpolynomfunktion vom Grad 5 zuordnet ein Ringhomomorphismus, also schickt die auf die, ist additiv und multiplikativ? 2) Erkläre genau was bei der Multiplikation funktioniert und was nicht. (Hinweise: Die Addition ist offenbar harmlos. Was passiert mit den Graden der Polynome bei der Multiplikation? Man kann zum Beispiel beliebige Funktionen und in eine Taylorreihe entwickeln und multiplizieren und andererseits in eine Taylorreihe entwickeln.) 3) Ist die Abbildung, die jeder unendlich oft differenzierbaren Funktion ihre Taylorreihe zuordnet ein Ringhomomorphismus? (Hinweis: Vergleiche das Cauchy-Produkt mit der Produktregel.) 3.) Interpolation (Restglied) Aufbauend auf den Abschnitten: "Mittelwertsätze" Aufgaben: 3 restart; Lagrangeinterpolation Bei der Taylorentwicklung haben wir ein Mittel kennengelernt, Funktionen durch Polynome zu approximieren. Diese Approximation geschieht um einen einzigen Punkt. Die Güte der Approximation wird durch das Restglied angegeben. Wir behandeln hier die Lagrangeinterpolation als weitere Approximationsmöglichkeit von Funktionen durch Polynomfunktionen um mehrere Punkte. Die Restglieddiskussion, die ja sicher schon in der Vorlesung als Anwendung des Satzes von Rolle am Beispiel der Taylorentwicklung behandelt wurde, wollen wir im Beispiel der Lagrangeinterpolation behandeln. In der Schulmathematik ist die Lagrangeinterpolation oft als Spezialfall der "Steckbriefaufgaben" bekannt: Finde eine Polynomfunktion mit vorgegebenen Eigenschaften.

12 MATH: Wir brauchen als Hilfsmittel eine Verallgemeinerung des Satzes von Rolle: Sei stetig auf und differenzierbar auf. Gilt, so existiert ein mit. Ist mit, so liefert uns Rolle zwei Nullstellen von in, demnach, wenn zweimal differenzierbar in ist, eine Nullstelle von. Also lautet der verallgemeinerte Satz von Rolle: MATH: Sei stetig auf und mal differenzierbar auf. Gilt für verschiedene Punkte aus, so existiert ein mit, d. h. die -te Ableitung hat eine Nullstelle in. MATH: Ist eine Funktion, sind verschiedene Punkte, so heißt die Lagrangesche Interpolationspolynomfunktion vom Grad n. Die wichtigste Eigenschaft dieses Polynoms kann man sehr einfach in der folgenden Aufgabe nachrechnen. ÜBUNG [01]: 1) Zeige, dass für alle. 2) Schreibe ein Programm Lagra, welches eine Punkteliste paarweise verschiedener Punkte sowie eine Werteliste einliest und mit Hilfe obiger Formel die Lagrangesche Interpolationspolynomfunktion ausgibt. Hinweis: Das Programm wird unten benutzt. Dies kann als Probe benutzt werden. Fehlerabschätzung der Lagrangeinterpolation MATH: Sei die Lagrangeinterpolationsfunktion zu bezüglich der Punkte. Wir wollen natürlich eine Fehlerabschätzung für. Offenbar kann man diese nicht für ganz erwarten, sondern nur für ein abgeschlossenes Intervall: p:=[$0..3];w:=map(x-x^5,p);

13 Lagra(p,w)-x^5; (3.2.1) (3.2.2) ist immer noch eine Polynomfunktion vom Grad 5 und geht gegen -unendlich für x gegen unendlich. MATH: Man kann aber von die Polynomfunktion als Faktor abspalten, so dass der Quotient noch immer stetig ist, falls hinreichend oft diffbar ist: phi:=mul(x-p[i],i=1..nops(p)); (3.2.3) r:=(lagra(p,w)-x^5)/phi; (3.2.4) normal(r); (3.2.5) Im Allgemeinen definiert man ÜBUNG [02]: 1) Zeige: hat den Wert an der Stelle. 2) Schreibe das Programm Lagra zur Herstellung von (Lagrangeinterpolationsfunktion) neu unter Benutzung von. MATH: Um jetzt zu einer Fehlerabschätzung zu kommen, benutzen wir einen Trick. Wir betrachten die Funktion für festes. Man hat folgende Nullstellen für : und. Also bekommen wir aus dem verallgemeinerten Satz von Rolle ein, welches natürlich von abhängt, aus dem kleinsten abgeschlossenen Intervall, welches

14 und enthält, mit Auswertung ergibt (beachte ist für die Variable konstant):, d.h. ÜBUNG [03]: 1) Begünde die letzte Zeile. 2) Wende die letzte Zeile an, um eine Fehlerabschätzung im obigen Beispiel zu bekommen für das Intervall. Plotte und diskutiere den Fehler. 3) Du darfst einen weiteren Interpolationspunkt wählen. Welcher bietet sich an? 4) Experimentiere damit, bei obigem Beispiel immer mehr Interpolationspunkte zu nehmen. Was passiert? 5) Experimentiere mit der Lagrangeinterpolationsfunktion von im Intervall. Was passiert bei verschiedenen Anzahlen an Interpolationspunkten? 6) Experimentiere mit der Lagrangeinterpolationsfunktion von im Intervall. Was passiert bei verschiedenen Anzahlen an Interpolationspunkten? 7) Warum werden manche Beispiele besser bei mehr Interpolationspunkten, andere Beispiele aber nicht? DENKANSTOSS: Fasse die Taylorformel als Extrapolationsformel auf und leite sie aus der Interpolationsformel her, indem man die Interpolationspunkte zusammenlaufen läßt.

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