Station 1 Das Galtonbrett, Realmodelle

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1 Station 1 Das Galtonbrett, Realmodelle Zeit zur Bearbeitung: 10 Minuten 1.1 Versuch:. Münzwurf mit dem Galtonbrett Betrachtet wird folgendes Zufallsexperiment: Fünf identische Münzen werden zehn-mal geworfen. Von Interesse sind nun alle möglichen auftretenden Ereignisse. (Kein-mal Zahl, 1-mal-Zahl,, 5-mal-Zahl) Übertrage dieses Zufallsexperiment auf das Galtonbrett. Wie ist hier n (=Anzahl der Reihen) und i (=Anzahl der Kugeln) zu wählen? Führe das gesamte Zufallsexperiment 5-mal durch und halte deine Beobachtungen fest. Was stellst du fest? 1.2 Galtonbrett vs. Münzwurf Vergleiche nun die Durchführung des Experiments Münzen Werfen (Die Münzen werden geworfen und Ergebnisse notiert) mit dem Galtonbrett aus 1.1 Mache dir Unterschiede, insb. Vor- und Nachteile, der einzelnen Phasen der Experimente bewusst: Phasen Münzen Werfen Realmodell Galtonbrett Anschaulichkeit Durchführung: Dauer des Experiments, Festhalten der Messwerte, etc Auswertung Darstellung der Messwerte, etc

2 1.3 Vergleich mit anderen Größen(Modelle/Methoden) aus der Stochastik Überlege dir, welche anderen aus der Stochastik bekannten Strukturen optische und strukturelle Gemeinsamkeiten mit dem Galtonbrett aufweisen. 1.4 (*) Veränderung der Wahrscheinlichkeit Diskutiert, ob man mit Hilfe des Realmodells des Galtonbrettes auch Wahrscheinlichkeitsverteilungen p beschreiben kann. 2

3 Station 2 Das Galtonbrett, Simulation Zeit zur Bearbeitung: 10 Minuten 2.1 Versuch:. Simulation des Münzwurfs Benutze die Simulation 1 um mit Hilfe eines Galtonbrettes das Werfen von n -identischen Münzen zu simulieren. Wähle ein beliebiges n {3,...,10} und führe jeweils 5 Messungen mit i 10 und 5 Messungen mit i Kugeln durch. Beschreibe deine Beobachtungen, welcher grundlegende stochastische Satz steckt dahinter? 2.2 Zufallsexperimente mit dem Galtonbrett Mit Hilfe der Simulation kann man auch andere Zufallsexperimente außer dem Münzwurf simulieren, indem man p ändert. Bestimme für i jeweils die relative Häufigkeit für die Ereignisse folgender Zufallsexperimente: a) Urne mit 8 schwarzen, 2 roten Kugeln. Vier Kugeln werden gezogen (mit Zurücklegen). Ereignis: 3 Kugeln sind schwarz. b) 8 faire Würfel werden geworfen. Ereignis: Mindestens die Hälfte der Würfel zeigen eine 6. c) In einem Raum befinden sich 7 Personen. Ereignis: Mindestens eine Person hat einem Wochenende Geburtstag.

4 2.3 Einsatz des Galtonbretts Für welche allgemeine Art von Zufallsexperimenten kann man das Galtonbrett einsetzten? Welche Häufigkeitsverteilungen lassen sich damit darstellen, welche nicht? 2.4 (*) Vergleich mit exakten Werten Berechne für eines der 3 Zufallsexperimente aus 2.2 die Wahrscheinlichkeit und vergleiche das Ergebnis mit der relativen Häufigkeit.

5 Station 3 Das Galtonbrett, Anwendungen und Einsatzmöglichkeiten Zeit zur Bearbeitung: 10 Minuten 3.1 Strukturgleiche Zufallsexperimente / Modellieren mit dem Galtonbrett Findet ein bis zwei strukturgleiche Zufallsexperimente, die man mit dem Galtonbrett simulieren kann. Benennt jeweils die der Anzahl der Reihen und der Anzahl der Kugeln entsprechenden Größen. Anmerkung: Hier stehen zum Experimentieren verschiedene Zufallsgeräte zur Verfügung. (Würfel, Münzen, Kugeln, Drehrad) Beschreibung des Zufallsexperimentes Reihen Kugeln 3.2 Kann das Galtonbrett rechnen? Erstellt einen Baumdiagramm mit n=2 (p=0.5). Skizziert parallel dazu ein Galtonbrett mit zwei Ebenen. Was fällt Euch auf? Welchen Vorteil hat das Galtonbrett?

6 Visualisierung Erklärung Experiment 3.3 Einsatz des Galtonbrettes im Mathematikunterricht I Welche Begriffe und Modelle aus dem Bereich der Stochastik lassen sich anhand des Galtonbrettes visualisieren, erklären oder experimentell erfassen? Kreuzt die entsprechende Spalte in der Tabelle an. Normalverteilung Variabilität statistischer Daten Empirische Häufigkeitsverteilung und theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilung Binomialverteilung mehrstufige Zufallsexperimente Pascalsches Dreieck Streuung und Streuungsmaße stochastische Unabhängigkeit Laplace-Wahrscheinlichkeit Baumdiagramme und Pfadregeln Binomialkoeffizient Gesetz der großen Zahl 3.4 Einsatz des Galtonbrettes im Mathematikunterricht II Wie lassen sich ausgehend von Experimenten am Galtonbrett Begriffe und Modelle der Stochastik erklären bzw. entwickeln? Behandelt exemplarisch ein passendes Beispiel aus 3.2. und stellt dieses kurz vor. 3.4 (*) Einsatz des Galtonbrettes im Mathematikunterricht III Diskutiert in welcher Stufe der Einsatz des Galtonbrettes möglich ist bzw. sinnvoll erscheint. Beachtet dabei auch den Primar- und Sekundar-II-Bereich. Welches Vorwissen ist zum Verständnis des Galtonbrettes nötig?

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