Von Hans Havlicek. Fritz Hohenberg zum 8BSGeburtstag gewidmet

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1 LINERRF GEReDENKOMPLEXE über SCWIEEKi2RPERN Von Hans Havlicek Fritz Hohenberg zum 8BSGeburtstag gewidmet 9 1 Einleitung f=l In der reellen Liniengeometrie versteht man unter- einem linearen Geradenkomplex eine salcke Menge von Geraden, welcher unter dem KLELNschen übertrasungsprinaip - ein hyperebener Schnitt der PbüCKER-Quadrik zugeordnet ist, Pn gleicher Weise kennen für jeden kommutativen Grundkörper K lineare Geradenkomplexe erklärt werden und man erhält zwei Typen, die sich wie folgt beschreiben lassen: Ein allgemeiner linearer Geradenkomplex - auch Gewinde genannt - ist die Menge der isotropen Geraden einer Nullpolarität, ein spezieller linearer Geradenkomplex - auch Gebüsch genannt - besteht aus allen Geraden, welche m i t einer festen Geraden nichtleeren Durchschnitt haben. Vgl. dazu etwa [4,3223, [S,3@]. FUr Char K 2 stellt ein Gewinde ein Modell einer LIE-Geometrie C1,2511 dar, wobei berührende Lie-Zykel und Geraden m i t nichtleerem Durchschnitt einander entsprechen. In dieser Note betrachten w i r nun allgemeiner einen dreidimensionalen projektiven Raum m i t einem nicht notwendig kommutativen Grundkörper K. Verwenden w i r die oben angegebene Beschreibung eines Gebüsches jetzt als DefiniPion, so ist über die derart erklärten Geradenmengen wenig zu sagen. Da es aber für einen echten Cchiefkörper K weder Nullpolaritäten noch ein Punktmodell der Geradenmenge m i t Eigenschaften analog der Plücker- Quadrik gibt [6,1723, liefern die obigen Bemerkungen keinen Qnhaltspunkt für eine Verallgemeinerung des Begriffs "Gewinde". Eine Möglichkeit einer einheitlichen, von der Kommutativität des Grundkörpers unabhängigen Definition eines Gewindes bietet die auf J.CYLVESTER (1861) zurückgehende Erzeugung eines Gewindes m i t Hilfe projektiv gekoppelter, verschränkter Geradenbüschel. Davon ausgehend diskutieren w i r in dieser Note das Klassifikationsproblem für Gewinde i m Sinne der projektiven Gruppe und die automorphen Kollineationen und Dualitäten eines Gewindesd. Wesentliches Hilfsmittel ist dabei die Kenntnis der Menge aller Gewindegeraden durch einen Punkt. Genau bei kommutativem Grundkörper K ist diese Menge - auch Komplexkegel genannt - stets ein Geradenbüschel. Für einen echten Schiefkörper K ergeben sich Querverbindungen zu den in t7],cll3,[12,3251 schnitten. betrachteten entarteten Kegel- 12. W i r setzen i m folgenden einen projektiven Raum über einem vierdimensionalen Rechtsvektorraum V m i t nicht natwendig kommutativem Skalarkbrper K voraus. Die Punktmenge dieses projektiven Raumes bezeichnen w i r m i t P. Für jeden Unterraum U von V sei P(U):=CxKEP XEU). Das Zentrum von K nennen w i r Z, Sei P ein Punkt und E eine Ebene durch P. Da+ Geradenbüschel GCP,EJ bzw. das Geradenbündel GEPJ besteht aus allen Geraden durch P in E bzw. aus allen Geraden durch P, Die weitere Bezeichnungsweise folgt C23 und C3Jm 2.1 Sind Po,P1 zwei verschiedene Punkte und E@, Ei zwei verschiedene Ebenen durch PgP1=:t, so heißen die Geradenbüschel G[Po,ED3 und GEP?,E1] verschränkt; eine Projektivität o :GEPg J + G[Pq, Ed nennen w i r für tc'=t

2 eine Sylvester-Projektivität. Die Existenz von Sylvester-Projektivitaten ist trivial. Ferner gilt folgender HILFCCATZ 1. Sind u:gcpo,eoj -3 GCPi,E43 und u8:gcpi,e61 3 GEPq,E+1 zwei Sylvester-Projektivitäten, so existiert eine projektive Kollineation xepgl(p) mit u'=k4u32. Beweis. Wir legen durch P? eine Hilfsgerade hocec und durch Po eine Hilfsgerade h2ceq so, daß diese windschief sind. Dann ist die Qbbildung eine Perspektivität [2,1453; es gibt also eine Gerade 1 derart, $aß die Ebenen durch 1 aus hg und hl genau in zugeordnete Punkte ausschneiden. Wegen pqq = Po ist lntp@. Umgekehrt ist U durch ho,hq,l,t eindeutig bestimmt. Wir deuten das in der Form U = u(h0,hl,l,t) an. Ist P2EhO\fPq) und P3 :=P23, so gibt es einen Punkt PEl derart, da@ (Po,Pq,P2,P3,P) eine geordnete Fundamentalmenge ist. Analog kann U'= o'(h~,hi,l',t8) erreicht werden und es gibt Punkte Pi,..., P$,P8. Es. existiert eine projektive Kol lineation und dieses -H. leistet das Gewünschte. mit PO=Pb,...,Pia=Pj,P%P' Die Menge der Verbindungsgeraden unter 9 zugeordneter Punkte ist be- kanntlich ein Regulus [93,C12,33.91 mit ho,h4 und 1 als Leitgeraden. SGTZ 1. Sind o=u(hg,hl,l,t) und u'=or(h~,hi,l',t') zwei Cylvester- Projektivitäten, so falgt u=u' genau dann, wenn gilt Beweis. Die Bedingungen (2) sind äquivalent dazu, daß U und U* über- einstimmende Definitions- und Bildmenge haben. Es gibt eine perspektive Kollineation 3C0 mit Zentrum Pa und Achse E1 mit h0 + h;; unter wo sind alle Punkte von t und alle Ebenen durch t invariant. Vertauschung der Zeiger B und 1 liefert eine perspektive Kolline-

3 ation m i t analogen Eigenschaften. Gemäß (1) legen cr' und 7e;412i1crvr,7.rl je einen Regulus m i t Leitgeraden h;, hi, l ' bzw. hb, hip 1'Ye~%4 fest. Genau fur cr=ar stimmen diese Reguli überein. Nach [12,3213 i st letzteres zur Gültigkeit von (3) äquivalentso Die Bedingung (3) zeigt, da@ bei nicht kommutativem Grundkörper K durch a in der Geraden t brw. i m Ebenenbü-chel um t (=Kogerade) je eine Z-Kette [i,3261 mitbestimmt ist. Vgl W i r bezeichnen m i t X" die Menge aller zu t windschiefen Geraden X, welche zwei unter cr zugeordnete Geraden treffen. Ferner sei C% die Menge aller jener Treffgeraden x von t, die m i t zwei verschiedenen Geraden xi9x2~c0 in einem Geradenbüschel liegen, vermehrt um Die Geradenmenge X:=CoVX* nennen w i r ein Gewinde und o eine Sylvester- Erzeugung von. Die Punkte Pg,PT werden Grundpunkte bezüglich C genannt. Soll hervorgehoben werden, daß C von cr erzeugt wird, so schreiben w i r X(o). W i r bezeichnen X auch als einen allgemeinen linearen Geradenkomplex. Ist+ ein PAPPOC-Raum, also K kommutativ, so ist die obige Definition m i t den üblichen Definitionen äquivalent C2,187]. Insbesondere ist dann ein parab~lisches Netz. Aus Wllfssatz 1 felgt unmittelbar SRTZ 2, Sind C und Z' zwei Gewinde i m projektiven Raum P, so gibt es eine projektive Kollineation NEPGL(P) m i t c~=c' Für jeden Punkt REP bezeichne ZA den durch XA:=C(a)nGCA] definierten Komplexkegel zur Spitze CI. Die Bestimmung der Geradenmenge ZA geschieht in drei Schritten: d Fall 1: Q Eg\t oder WEq\t. Hier ist X das Geradenbüschel GCA,(APO) 1 A bzw. GCU,(RPq) 1. W i r nennen jeden Punkt I?, für den C ein Geradenbüiichel A ist, einen regulären Punkt bezüglich X, Fall 2: A P\(EB~EI). Es gibt eine Basis {po,...,p3) von V m i t h, = P[:p4 9 ~ ~ 3 hl, = PCp,,PI>I, 1 = PCP~+P~ rp2+p31r t = PCP,,Pq 11 was Po=pgK, Pq=pqK ergibt. W i r dürfen = (Poag + P4a4 + P2 - paag)k mit a;ek, a3

4 voraussetzen. Die Verkettung von a m i t der Prajektion n zum Zentrum A auf die Ebene E@ i st die Projektivität UR:GCP@,E07 4 GCPI >EO19 welche die Gerade t fest 1äBt. Jede Gerade xez4nzq ist dadurch gekennzeichnet, dan ihr Spurpunkt X:=xnEO nicht auf t liegt und (Pax) dg=-: PqX erfüllt ist. Das i st äquivalent dazu, daß X i m eigentlichen Teil T" des Erzeugnisses I' von un [7,653 liegt. Eine Gerade PCP@, pl u+p2] (uck) hat das UR-Bild PcpI 9 pg (u+aoas3 I+ +pza3 ^ll. Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden führt auf die Parameterdarstehlung (4 I 1'9 = y%=po ( ua3+ag I +pi u+p2 I ueki. Genau die Punkte der Menge (5) n := Cx&K xu=po +p3 u-l ai U, uek\cci3i5 sind jene Punkte von t, die m i t zwei verschiedenen Punkten von f" kallinear liegen [7,661. Für a3gz ist un eine Perspektivität, r0un eine Gerade und I'=reut die Vereinigung zweier Geraden. Dann ist aber A regulär bzgl. X. Ist andererseits a3$z, so erzeugt un einen entart~ten Kegelschnitt und n hat die unendliche Mächtigkeit der Konjugiertenklasse von ag in K. Damit ist XA der Geradenkegel zur Spitze G über der echten Teilmenge re0n des entarteten Kegelschnitts T. W i r nennen A in diesem Fall einen singulären Punkt 1.Art bzgl. 6. Fall 32 AEt. Mir schliesen an Fall 2 an und setzen A = (pgao+plal )K m i t (ag I#(@?@). Für ao=@ bzw. al =@ g ilt G=F1 bzw. &=PO und XA ergibt sich als Geradenbüschel GIP1,EO] bzw. G[:Pg,Eq], d.h. A ist regulär bzgl. Xm Andernfalls sei a:=aoal -' ; nach (5) gehort eine Gerade genau dann zu CA, wenn sie in einer Ebene der Form (6 P[:P~,P~ 9p2 -p3u91 au3 m i t UEK\C@I) angehört, Daher ist A für aez regulär betüglich X. Für a Z ist Z' die A Vereinigunqsmenge einer, durch die Konjugiertenklasse von a in K indizierten, unendlichen Familie von Geradenbüscheln m i t Trägerebenen durch t. W i r nennen 4 einen singulären Punkt 2.Art brgl. X. Eine andere Beschreibung von Z A (AEt) stützt sich auf die Familie (pi

5 aller Projektivitäten, welche Po H E,P» EOIlflt H leisten, wobei H die zu Eg,El,lvt vierte harmonische "B Ebene ist. Dann folgt Die zugehörige einfache Rechnung sei dem Leser überlassen, Zusammenfascend gilt: Genau bei kommutativem Erundkorger K ist jeder Punkt AEP regulär bzgl E. Bei nicht kommutativem K zerfällt P in drel Klassen. Je nachdem A regulär, singulär von 1.Art oder singulär von 2.Art bzgl. G ist, enthält ZA genau ein, kein [7,651 oder unendlich viele Geradenbüschel. Die Gerade t ist dadurch ausgezeichnet, dan sie alle singulären Punkte 2.Ar-t trägt. Daher ist für einen echten Cchiefkörper K die auf cr beruhende Zerlegung Z = C ~ ~ I von : ~ der Auswahl einer Sylvester-Erzeugung unabhängig. Vgl ".4 Die Qnnulatorabbildung bildet den Unterraumverband von P antiisomorph auf den Unterraumverband des zu P dualen projektiven Raumes P* ab C2,1@93. Mit o=o(ho,hqpl,t) ist ox=ox(h0~,h4~,l~,t~) Sylvester-Erzeugung eines Gewindes im Dualraum P@ und es gilt $=E%, d.h. 2% besteht aus allen jenen Ebenen- büscheln (=Kogeraden), deren Trägergerade in X liegt. Damit länt sich die Menge der Komplexgeraden von C in einer Ebene dual zu 2.3 ermitteln3. Die Begriffe reguläre Ebene, singuläre Ebene 1.Art und singuläre Ebene 2.Art kännen sinngemäß eingeführt werden, 5 3 Erzeugungen und automorphe Kollinationen 5.3, Jedem tazg1. C(o) regulären Punkt XEP kiinnen wir die, Trägerebene des Geraden- büschels I: zuweisen. Wir bezeichnen diese Ebene mit xw. Es gilt X ('7) X ~ V YEX? ~ (X,YEP regulär bzgl. X) und V ist Biiektion der Menge der regulären Punkte bzgl. C auf die Menge der regulären Ebenen bzgl. E. Ist K kommutativ, sa ist Z die Menge der isotropen Geraden der NulZpolarlCät '9", 3.2. Die Frage nach allen Sylvester-Erzeugungen von Z(a) beantwortet der folgende SATZ 3. Sind PO,Pi zwei verschiedene reguläre Punkte bzgl. eines Gewindes, E (o), und tragt eine Ebene durch t':=p'pt 0 9 keine singulären Punkte 1.Art bzgl. "CF),

6 so gibt es eine Cylvester-Erzeugung U':GCPO,P~"J 3 GCPi9PoV] von Z(U). Jede Sylvester-Erzeugung von C(U) hat diese Bauart. Beweis. Sei EO:=piYY und Ei:=Pkv. Ist K nicht kommutativ, so folgt t=t', denn genau reguläre Ebenen durch t tragen dann keine singulären Punkte 1.Art. W i r definieren eine Abbildung a ( 3 1 o' :GCPO,E61 3 6CP;,Ei3 (POX) E~I~x' für XEEO\tt, t' H t'. Es bleibt zu zeigen, daß Definition (8) sinnvoll ist. Wegen XEE~=P+~ folgt P{EX~, also gehört ~jnx'dem Geradenbüschel GCPi,EiJ an. Sind ferner Pb,X,X drei verschiedene kollineare Punkte in E; und ist Y E E ~ m~ i~ t X Y#P~, ~ so gilt YV= Y ~ X ~ Vnach P ~ (7). analog liefert (7) dann psr damit ist die Definition von (P~X )61 unabhängig von der CIuswahl des Punktes X. Neben den Ebenen Ei und Ei gibt es i m Ebenenbüschel um t' noch mindestens eine reguläre Ebene, denn das Zentrum Z von K enthält mindestens zwei Elemente. Wählen w i r in einer solchen Ebene einen Punkt ~ft', so ist XA ein Geradenbüschel. Die Abbildung o' kann dann als Pradukt von Perspektivitaten GCPb,EOI GCA,A~I X GCP{,Ei3 geschrieben werden, was sie als Prajektivität erweist. Nach Monstruktian ist U' eine Sylvester-Erzeugung von C(a). Die Gültigkeit der letzten aussage von Satz J folgt aus 2.3. D Der Beweis von Satz 3 zeigt, in welcher Weise bei nicht kommutativem Grund- körper die Menge der Sylvester-Erreugungen von eingeschränkt ist: Genau die Paare verschiedener Punkte der Z-Kette ket können als Grundpunkte herangezogen werden. Die Z-Kette kz ist daher allein durch die Geraden- menge Z bestimmt und hängt nicht von der Auswahl einer Sylvester-Erzeugung ab, % Dual läßt sich kz beschreiben Die folgende Begriffsbildung dient der Beschreibung automorpher Kalline- tionen eines Gewindes: Eine geordnete Fundamentalmenge (Qg,...,03,0) heißt X-angepaßt, wenn gilt (1) QO und Q1 sind Grundpunkte bzgl. X, (1x1 Q ist regulärer Punkt bzgl. (111) Q4Q2, QOQ3 sowie die beiden Treffgeraden durch Q an Q4G2 und aoq3 bzw. QOQz und Q1Q3 g ehören IF: an, Die im Beweis von Hilfssatz 1 angegebenen Punkte Po,..., P3,P bilden - in

7 dieser Reihenfolge - eine X-angepaßte ~undamentalmenge~. SATZ 4. Eine automorphe Kollineation Pg PrL(P) eines Gewindes Z(o) ist dadurch gekennzeichnet, daß sie eine X-angepaßte, geordnete Fundamentalmenge in eine ebensolche Fundamentalmenge überfuhrt. Beweis. (1) Für X-C gehen wir von den irn Beweis von Hilfssatz 1 fest- gelegten Punkten Po,...,Pg,P aus. Wegen c=c(x" ox) sind poxund P$% Grundpunkte bzgl. W n d mit P ist auch P" regulär bzgl. X. Damit ist aber (Faae6 P3%, px ) ein 6-angepaß tes Quin tupel. (2) Seien (Pb,..., P3,P') und ihr %-Bild zwei C-angepaßte, geordnete Fundamentalmengen; nach Satz 2 existiert eine Sy ivester-~rzeu~un~ U' des Gewindes X, welche wir in der Form o' (Pi Pi,P&P3,l',POP; ) ansetzen können; dabei bezeichne 1' die Treffgerade durch P' an PiPi und PiPj. In gleicher Weise legt (pbw,...,pa%,p8x) e Syivester-Erzeugung G" von X fest. Clus < r " = ~ m ' ~ 3 ( folgt a C=8(cr' )=z(~'"=c~. Das bekannte Transitivitätsverhalten der projektiven Gruppe PGLfP) liefert nun SATZ 5. Die Gruppe PGL(P,X) aller automorphen projektiven Kollineationen eines Gewindes E operiert transitiv auf der Menge der C-angepaßten, geordneten Fundamentalmengen von P. 3,4. Fa116 der Grundkärper K einen Qntiautomorphismus gestattet, gibt es auch automorphe Dualitaten von C, wie die Verkettung einer beliebigen Dualität 8 mit einer geeigneten Ksllination ")& zeigt; dabei ist% so zu wahlen, dafl das Gewinde $ Z in G übergeht, was nach Satz 2 stets möglich ist6 Literatur: Cf3 Benz, W.: Vsrlesungen über Geometrie der Cllgebren, Grundlehren Bd.197, Berlin-Meidelberg-New York, Springer, f2j Brauner, H.: Geometrie projektiver Räume I, Mannheim-Mien-Zürich, BI- Wissenschaftsverlag, 197h. E33 Brauner, W.: Geometrie projektiver Räume 11, Mannkeim-Wien-Zürich, BI- Wissenschaftsverlag, C43 Burau, W.: Mehrdimensionale projektive und hähere Geometrie, Berlin, VEB Dta Verlag d=missenschaften, DieudannB, J.: La G&am&trie des Groupes Classiques, Berlin-Heidelberq-New York, Springer, Co] Havlicek, H.: Zur Theorie linearer Abbildungen 11, J.Geometry 16, f&8-f8@ ( ZSBl ). C71 Havlicek, H=: Applications of Resultc on Generalized Palynomial Edenkities in Desarguesian Projective Spaces, in= R.Kaya, P.Plaumann, K,Strambach (eds.) Rings and Geometry, Dardreeht, D.Reide1, C83 Hirschfeld, J.W.P.: Finite Projective Spaces of Three Dimensions, Oxford, Clarendan Press, 1985.

8 C93 Krüger, W.: Regelscharen und Regelflächen in dreidimensionalen desarguesschen Räumen, Math.Z.93, (1966). Müller, K.P.: Zur Geometrie der symplektischen Gruppe im reellen dreidimensionalen Raum, Diss.Univ.Stuttgart, CL13 Riesinger, R.: Entartete Cteinerkegelschnitte in nichtpapposschen Desarguesebenen, Monatsh.Math.89, (1980). C121 Cegre, B.: Lectures on Modern Geometry, Roma, Ed.Cremonese, anschrift des Autors= Hans Havlicek Institut für Geometrie Technische Universität Wiedner HauptsTraBe 8-1Q Wien Osterreich... Fußnoten: Bei kommutativem Grundkörper K ist die Gruppe der automorphen Kollineationen eines Gewindes die bekannte Gruppe PTSp4(K) [5,193. Eine ausführliche Diskussion für reelle Räume enthält Cl@]. Vgl. auch [4,3981. g~egen (2) gilt t=t'. Mit DV bezeichnen wir ein Doppelverhältnis. der reellen Liniengeometrie ist die Bezeichnung Komplexkurve üblich. q~ei Char K$2 könnte man auch sechs Geraden analog den in [1,417 betrachteten Lie-Figuren zur Beschreibung automorpher Kollineationen eines Gewindes heranziehen, wobei allerdings gewisse Schnittpunkte dieser Geraden regulär bzw. Grundpunkte sein müssen.