Grundlagen der elektronischen Messtechnik - Praktikum

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1 Grundlagen der elektronischen Messtechnik - Praktikum Aufgabenblätter Prof. Dr.-Ing Clemens Gühmann, Dipl.-Ing. Jürgen Funck WS 2014/15 Technische Universität Berlin Fakultät IV Elektrotechnik und Informatik Institut für Energie- und Automatisierungstechnik Fachgebiet Elektronische Mess- und Diagnosetechnik

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung in Scilab Einleitung Theoretische Aufgaben Praktische Aufgaben Datenerfassung mit der Messkarte NI USB Matrizen und lineare Gleichungssysteme Selbstdefinierte Funktionen Grafiken Simulation (Diese Aufgabe ist optional!) Messunsicherheit Theoretische Aufgaben Systematische Messabweichungen, zufällige Messabweichungen Zufallsexperiment, Zufallsvariable Messen Empirischer Mittelwert und empirische Varianz Häufigkeit und Häufigkeitsverteilung Verteilungsdichte Verteilungsfunktion Gaußverteilung Erwartungswert Praktische Aufgaben Bauteilstreuung Mehrfachmessung einer Spannung! (230V AC) Regression und Interpolation Theoretische Aufgaben Regression vs. Interpolation Lineare Regression Interpolation Praktische Aufgaben Blackbox-Kennlinie Strommessverfahren Einleitung Theorie Der Shunt-Widerstand Die Vierleitermessung Die indirekte Strommessung über den Shunt-Widerstand Der Kompensations-Stromwandler WS 2014/15

3 Inhaltsverzeichnis Der Kompensations-Spannungswandler Theoretische Aufgaben Die Widerstandsmessung Die Strommessung Der Stromwandler Der Spannungswandler Praktische Aufgaben Die Widerstandsmessung Die indirekte Strommessung Der Stromwandler Der Spannungswandler Eigenschaften von Messsystemen Theorie Die Grundbegriffe Das statische Verhalten von Messsystemen Das dynamische Verhalten von Messsystemen Das Tiefpassfilter Theoretische Aufgaben Das statisches Verhalten eines Tiefpassfilters Das dynamisches Verhalten eines Tiefpassfilters Praktische Aufgaben Das statische Verhalten eines Tiefpassfilters Die Sprungantwort eines Tiefpassfilters 1. Ordnung Literaturverzeichnis Die Eigenschaften von Messsystemen Theorie Das Bodediagramm Die Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters 1. Ordnung Die Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters höherer Ordnung Theoretische Aufgaben Die Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters 1. Ordnung Die Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters höherer Ordnung Praktische Aufgaben Die Simulation des Amplituden- und des Phasenganges eines Tiefpassfilters höherer Ordnung mit Scilab Die Messtechnische Ermittlung des Amplituden- und des Phasenganges eines Tiefpassfilters höherer Ordnung Die Auswertung Literaturverzeichnis Digitale Messkette Theoretische Aufgaben Kennlinie eines ADU Signal-Rausch-Verhältnis (SNR) Quantisierungsrauschen Clipping WS 2014/15 3

4 Inhaltsverzeichnis Abtastung (Sampling) Praktische Aufgaben ADU-Kennlinie eines 4-Bit AD-Umsetzers Clipping Rauschen Digitale Messkette Theorie Dual-Slope-Integrierer Störspannungsdämpfung Theoretische Aufgaben Aliasing Entwurf eines Aliasing-Filters DNL eines Analog-Digital-Umsetzers INL eines Analog-Digital-Umsetzers Störspannungsunterdrückung Praktische Aufgaben Aliasing Aliasingfilter FFT-Analyse (optional) ADU-Histogramm-Test Störspannungsunterdrückung Leistungsmessung Einleitung Theorie Messgrundlagen Leuchtstoffröhre Energiesparlampe Dreiphasenverläufe Theoretische Aufgaben Leistungsdefinitionen Leistungsfaktor Scheinleistungsmessung Wirkleistungsmessung Blindleistungsmessung Praktische Aufgaben Messung sinusförmiger Größen Anhang Leistungsmessung Einleitung Theorie Dimmer Theoretische Aufgaben Praktische Aufgaben Aufnahme von Messwerten zur Leistungsanalyse Auswertung der Messwerte WS 2014/15

5 Inhaltsverzeichnis 10.5 Anhang Messbrücken Einleitung Theorie zur Impedanzmessung mit einer Wechselstrommessbrücke Unsicherheitsrechnung Messbrückenaufbau, Bauteilwerte- und toleranzen Theoretische Aufgaben Vergleich realer/idealer Kondensator Kapazitätsmessung Abgleichbedingung Empfindlichkeit Fehler Praktische Aufgaben Aufbau Empfindlichkeit und Eigenfehler Kapazitätsmessung Fehlerbetrachtung Anhang Dehnungsmessstreifenbrücke Einleitung Theorie zum Versuch Biegebalken DMS-Brückenschaltungen Theoretische Aufgaben Praktische Aufgaben Anhang WS 2014/15 5

6 1 Einführung in Scilab Lernziele Grundkenntnisse im Umgang mit Scilab (und optional: Xcos) erarbeiten Erstellen eines kleinen Handbuchs für gängige Scilab-Funktionen 1.1 Einleitung Ziel dieses Versuchs ist das Erlernen von Grundfunktionen in Scilab, die im Laufe der Labortermine immer wieder zum Einsatz kommen werden. Dazu ist für diesen Versuch kein klassisches Protokoll zu erstellen, sondern eine Art Handbuch, die alle in diesem Laborversuch verwendeten Scilab-Funktionen enthält und beschreibt. Benutzen Sie zur Beschreibung der Funktionen die bearbeiteten Aufgaben oder eigene Beispiele. Das Handbuch soll im laufenden Laborbetrieb stetig mit neuen, nützlichen Funktionen erweitert werden. Hinweis: Die Theorie-Aufgaben sind nichtsdestotrotz vor dem Labortermin zu lösen und zum Labortermin mitzubringen. 1.2 Theoretische Aufgaben Mit welchen Scilab-Anweisungen können die nachfolgenden Aufgaben gelöst werden? Hinweis: Die Aufgaben lassen sich alle mit Scilab-Befehlen lösen. 1. Wie können Vektoren generiert werden? Erzeugen Sie auf zwei verschiedene Weisen einen Zeilenvektor x, dessen Elemente von 1 bis 1000 laufen. 2. Wie lässt sich dieser Vektor in einen Spaltenvektor y umwandeln? 3. Wie kann der Teilvektor von Index 10 bis Index 50 von x ausgeschnitten werden? 4. Bilden Sie das Skalarprodukt von x und y. 5. Wie können x und y elementweise miteinander multipliziert werden. 6. Bilden Sie die Summe aller Elemente des Vektors x. 7. Wie kann eine 3x4 Matrix mit gleich-verteilten Zufallszahlen zwischen 0 und 1 erzeugt werden? 8. Wie kann zu dieser Matrix eine weitere Zeile hinzugefügt werden, die nur Einsen enthält? 9. Wie lässt sich die Inverse und die Determinante dieser Matrix berechnen?. 10. Erzeugen sie eine Periode eines Sinus-Signals mit einer Frequenz von 50Hz und einer Amplitude von 5V. Das Signal sollte für eine gute Auflösung mindestens 30 Stützstellen 6 WS 2014/15

7 1.3 Praktische Aufgaben aufweisen. Wie kann man in Scilab die Zeit bestimmen bei der das erzeugte Sinus-Signal seinen Maximalwert annimmt? 11. Wie kann man Datensätze in Scilab speichern und laden? Testen Sie die Befehle, in dem Sie u_sin in einem Datensatz speichern. Zur Probe löschen Sie ihren Workspace mit dem Befehl clear und laden Sie den Datensatz erneut in den Workspace. 12. Wie kann ein Scilab-Graphikfenster in zwei Unterfenster aufgeteilt werden? Wie können die Achsen beschriftet und ein Koordinatengitter erstellt werden? 13. Was macht der Scilab-Befehl xs2pdf? 14. Laden Sie von der MDT-Website: das Paket MDT_Funktionen.zip herunter. Binden Sie die MDT-Funktionen in MDT_Funktionen.zip nach Anleitung ein. Machen Sie sich mit der Funktion mdt_dataread vertraut, indem Sie mdt_dataread in die Scilab- Konsole eingeben. 1.3 Praktische Aufgaben Datenerfassung mit der Messkarte NI USB-6009 Generieren Sie mit Frequenzgenerator einen Sinus mit einer Amplitude von 5V und einer Frequenz von 50Hz. Messen Sie mit der Messkarte NI USB-6009 das Signal. Wählen Sie die Parameter von mdt_dataread so aus, dass sie mindestens eine vollständige Periode aus dem gemessenen Signal erhalten. Speichern Sie anschließend Signal in einen Datensatz zur Weiterverarbeitung ab. Schneiden Sie mit Scilab eine vollständige Periode des Sinus aus. Stellen Sie das gemessene und das ausgeschnittene Signal in jeweils einem Unterfenster dar Matrizen und lineare Gleichungssysteme Es wird angenommen, dass die Stellung eines Kfz-Fahrpedals durch einen Spannungswert zwischen 3.1 und 0.45 V wiedergegeben wird. Die kleinere Spannung entspricht dabei einem Winkel von 35 und die größere Spannung einem Winkel von 0. Bestimmen Sie die Spannung als Funktion der Winkelstellung. Nehmen Sie dazu eine lineare Beziehung an. Hinweis: Stellen Sie das lineare Gleichungssystem auf und verwenden Sie Scilab zur Berechnung der gesuchten Parameter Selbstdefinierte Funktionen Schreiben Sie eine Funktion angle2voltage, mit der Sie eine Winkelstellung in eine Spannung umrechnen. Überprüfen Sie Ihre Funktion, indem Sie die Winkel 0 und 35 eingeben. WS 2014/15 7

8 1 Einführung in Scilab Grafiken Das Fahrpedal wird nun betätigt. Die Veränderung der Winkelstellung angle über der Zeit t soll mit Hilfe der Funktion angle(t) = 1/2 (tanh(t 5) + 1) 35 simuliert werden. Plotten Sie den Verlauf der Funktion im Bereich t [0,10]s. Stellen Sie weiterhin den zugehörigen Verlauf der Spannung im gleichen Graphikfenster dar. Beschriften Sie die Achsen und fügen Sie eine Legende ein. 8 WS 2014/15

9 1.3 Praktische Aufgaben Simulation (Diese Aufgabe ist optional!) Die Winkel-Spannungs-Beziehung aus Aufgabe soll nun noch einmal mit Hilfe einer Xcos-Simulation dargestellt werden, um das Arbeiten mit Xcos kennenzulernen. Gehen Sie dazu folgender Maßen vor: Öffnen Sie Scilab und aktivieren Sie Xcos über das Drop-Down-Menü Applikation -> Xcos. Für die Simulation werden acht Xcos-Blöcke benötigt, welche Sie über das Menü View -> Palette Browser finden. Das Blockschaltbild der Xcos-Simulation sieht folgender Maßen aus: Bild 1.1: Blockschaltbild der Xcos-Simulation Aktivieren Sie nach Verbindung der einzelnen Xcos-Blöcke unter dem Drop-Down-Menü Simulate -> Run die Simulation. Um ein Plot wie in Bild zu bekommen, müssen vereinzelte Parameter der Xcos-Blöcke entsprechend eingestellt werden, sowie ein Simulation -> Setup durchgeführt werden. Achten Sie bei den Set Block properties darauf, dass die Frequenzen in [ rad s ] statt in [Hz] berechnet werden müssen. Folgende Standardparameter sind zu ändern: 1. Simulation Setup Set parameters a) Final Integration time -> 1 2. Palettes Sources sinusoid generator GENSIN_f Block Set Gen_SIN block: a) Magnitude -> 1.33 b) Frequency -> 6.28 c) phase -> Palettes Sources 1 CONST_m Block Set Constant block: a) Constant -> Palettes Mathematical operations Sum BIGSOM_f Block 5. Palettes User-Defined Function Mathematical Expressions EXPRESSION block WS 2014/15 9

10 1 Einführung in Scilab Set block properties: a) number of inputs -> 1 b) scilab expression -> m u1 + n 6. Palettes Signal Routing Mux MUX Block 7. Palettes Sinks Single Display Scope CFSCOPE Block Set Scope parameters: a) Ymin -> -5 b) Ymax -> 40 c) Refresh period -> 1 d) Buffer size -> 1000 e) -> 8. Palettes Sink Activation clock CLOCK_c block Set Clock Block properties: a) Period -> b) Init time -> Graphic y t Bild 1.2: Plot der Xcos-Simulation 10 WS 2014/15

11 2 Messunsicherheit Lernziele Grundbegriffe der Statistik (Mittelwert, Standardabweichung, Verteilungsfunktion und - dichte, Varianz, Erwartungswert, Histogramm, Vertrauensbereich) Angabe des vollständigen Messergebnisses HINWEIS: Bitte bringen Sie pro Gruppe mindestens einen USB-Stick mit! Dieser wird für die Messungen im praktischen Teil benötigt! 2.1 Theoretische Aufgaben Systematische Messabweichungen, zufällige Messabweichungen Worin unterscheiden sich zufällige und systematische Messabweichungen bezüglich ihrer Ursachen und Beschreibungen? Zufallsexperiment, Zufallsvariable Was verstehen Sie unter den Begriffen Zufallsexperiment und Zufallsvariable? Messen Angenommen, eine Messgröße wird als Zufallsvariable interpretiert, ist dann die zeitliche Reihenfolge bei mehreren Messungen von Bedeutung? Begründen Sie ihre Antwort! Beispieldatensatz: Zur Veranschaulichung der statistischen Größen wurde eine Messung von 12 Widerständen mithilfe eines Digitalmultimeters im Widerstandsmodus durchgeführt. Index Widerstand [Ω] Tabelle 2.1: Messwerte WS 2014/15 11

12 2 Messunsicherheit Empirischer Mittelwert und empirische Varianz Welche Bedeutung haben der empirische Mittelwert und die empirische Varianz? Berechnen Sie für den Beispieldatensatz den empirischen Mittelwert und die empirische Varianz. Was ist die Standardabweichung? Häufigkeit und Häufigkeitsverteilung Was versteht man unter den Begriffen absolute und relative Häufigkeit? Wie bekommt man eine absolute und relative Häufigkeitsverteilung aus dem Beispieldatensatz? Was ist ein Histogramm? Anzahl der Messwerte Anzahl der Messwerte Absolute Häufigkeit - 11 Klassen Wert der Messgröße Relative Häufigkeit - Histogramm - 11 Klassen Wert der Messgröße Anzahl der Messwerte Anzahl der Messwerte Absolute Häufigkeit - 4 Klassen Wert der Messgröße Relative Häufigkeit - Histogramm - 4 Klassen Wert der Messgröße Bild 2.1: absolute und relative Häufigkeitsverteilung zum gegebenen Datensatz Verteilungsdichte Was ist eine Verteilungsdichte (Wahrscheinlichkeitsverteilung)? Bitte betrachten Sie den diskreten und den stetigen Fall Verteilungsfunktion Wie kann die Verteilungsfunktion aus der Verteilungsdichte berechnet werden? 12 WS 2014/15

13 2.2 Praktische Aufgaben Gaußverteilung Wie ist die Gaußverteilung definiert? Worin liegt ihre Bedeutung? Was ist nötig, um den Beispieldatensatz so gut wie möglich mit einer Gaußverteilung zu beschreiben? Erwartungswert Was bedeutet in der Statistik der Erwartungswert? Wie kann man den Erwartungswert aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung (z.b.: Gaußverteilung) bestimmen? 2.2 Praktische Aufgaben Bauteilstreuung Messen Sie den Widerstand von 50 verschiedenen Widerstandsbauelementen der gleichen Produktionscharge mit einem Multimeter. Sie können dazu die Widerstandshalterung (die Box mit den beiden Krokodilklemmen auf der Oberseite) verwenden. Die interne Verschaltung der Box ist in Abbildung 2.2 dargestellt. Geräteliste: Multimeter Widerstandshalterung Blau Blau Blau Rot 100Ω Rot Grün Bild 2.2: Die interne Verschaltung der Widerstandshalterung. Häufigkeitsverteilungen Stellen Sie die absolute und die renormierte (Fläche auf Eins normiert) Häufigkeitsverteilung des Datensatzes D = {R 1,...,R 50 } dar. WS 2014/15 13

14 2 Messunsicherheit Verteilungsparameter Berechnen Sie den empirischen Mittelwert und die empirische Standardabweichung ihrer Daten. Gaußverteilung Plotten Sie die passende Gaußverteilung in das Fenster der renormierten Häufigkeitsverteilung und vergleichen Sie! Mehrfachmessung einer Spannung! (230V AC) Geräte- und Materialliste: Ab jetzt nur noch berührungssichere Messleitungen am Messplatz verwenden. Leistungsmessbrett (Aufbau in Abschnitt 9.5 auf Seite 73) Berührungssichere Kabel Fluke 8846 (mitgebrachter) USB-Stick Nehmen Sie mit dem Fluke 3000 Messwerte der Effektivspannung der 230 V Netzspannung auf. Messen Sie dazu die Spannung einer Phase (L1-N) über das Leistungsmessbrett (Aufbau in Abschnitt 9.5 auf Seite 73) und verwenden Sie für die Zuleitung nur berührungssichere Messleitungen. Speichern Sie die aufgenommenen Effektivwerte der Messung auf Ihrem USB- Stick. Wählen Sie dazu am Fluke MEMORY aus, siehe runde Markierung in Abbildung WS 2014/15

15 2.2 Praktische Aufgaben Bild 2.3: Frontpanel des Fluke 8846a, Quelle: Bild 2.4: MEMORY- Menü, Quelle: In dem folgenden Menüfenster 2.4 navigieren Sie zu Store Readings. Nun befinden Sie sich im Menü zur Speichereinstellung der Messdaten. Unter Samples können Sie die Anzahl der zu speichernden Messpunkte einstellen. Wählen Sie 3000 Samples und bestätigen Sie ihre Eingabe mit Enter. Mit der Wahl vom Menüpunkt USB legen Sie den USB-Stick als Speicherplatz für die Messdaten fest. Die Daten werden auf Ihrem USB-Stick in dem Ordner \fluke884\meas\meas00xx.csv gespeichert. In Scilab können Sie über folgenden Code auf die Messdaten U G zugreifen: Listing 2.1: Scilab-Code zum Auslesen der Messwerte 1 temp=csvread ( " D a t e i p f a d \ meas0001. csv ", a s c i i ( 9 ),., s t r i n g, [, ] ) ; / / t e m p o r ä r e r ( S t r i n g ) Vektor 2 temp ( 1, : ) = [ ] ; / / E n t f e r n e n d e r e r s t e n und l e t z t e n Z e i l e d e r csv d a t e i 3 temp ( s i z e ( temp, " r " ), : ) = [ ] ; 4 U_G= s t r t o d ( temp ) / / Vektor mit E f f e k t i v s p a n n u n g WS 2014/15 15

16 2 Messunsicherheit Empirische Häufigkeitsverteilung und Normalverteilung Stellen Sie von den aufgenommenen Messdaten U G die emprische renormierte Häufigkeitsverteilung mit Scilab dar. Berechnen Sie für den Datensatz den empirischen Mittelwert und die empirische Standardabweichung und benutzen diese als Schätzparameter für die Normalverteilung. Stellen Sie diese geschätzte Normalverteilung in dem gleichem Grafikfenster wie die Häufigkeitsverteilung dar. Was beobachten Sie bei diesem Messversuch und welches Fazit können Sie aus dieser Messung ableiten? Zeitverlauf der Effektivspannungen Was könnte die Ursache für etwaige Abweichungen der empirischen Häufigkeitsverteilung von der geschätzten Normalverteilung sein? Plotten Sie hierzu den zeitlichen Verlauf der Effektivspannung, es ist ausreichend hier die Spannungswerte über die Messpunkte (engl. Samples) aufzutragen. Was für Bereiche können Sie ausmachen? Vergleichen Sie ihre über die Messpunkte dargestellten Messdaten mit dem der Häufigkeitsverteilung, was können Sie den Ergebnissen entnehmen? Empirische Häufigkeitsverteilung und Normalverteilung für die stationären Bereiche Schneiden Sie aus dem Gesamtdatensatz U G mindestens einen stationären Teil des Spannungsverlaufs U st, j, j = 1,2,..., aus (mit mindestens N st, j 500 Messpunkten) und bestimmen Sie dafür die empirische Häufigkeitsverteilung und die geschätzte Normalverteilung. Was stellen Sie fest, wenn Sie die stationären Messdaten U st, j im Vergleich zu der vorangegangenen statistischen Messdatenauswertung von U G analysieren? Messunsicherheit einer stationären Effektivspannung Geben Sie für mindestens eine Stichprobe U st, j das vollständige Messergebnis bestehend aus dem empirischen Mittelwert und der Messunsicherheit an. Bestimmen Sie zunächst die Genauigkeit G j des Fluke 8846A Voltmeter für die betrachtete Stichprobe U st, j. Mit der Ganauigkeit bestimmen Sie die systematische Messunsicherheit u j der Messung. Die statistische Sicherheit der Angaben zur Messabweichung des Geräts beträgt P = 0,99, dies entspricht einem k = 2,6- fachen der Standardabweichung. Die Messgenauigkeit des Messgeräts ist analog der Vorlesung dem Ausschnitt in Abb. 2.5 zu entnehmen. 16 WS 2014/15

17 2.2 Praktische Aufgaben Bild 2.5: Auszug (S ) aus: Bedienungshandbuch 8845A/ 8846A Digital Multimeter Fluke WS 2014/15 17

18 3 Regression und Interpolation Lernziele Regression lineare Interpolation Spline-Interpolation 3.1 Theoretische Aufgaben Regression vs. Interpolation Worin besteht der Unterschied zwischen Interpolation und Regression? Lineare Regression Führen Sie mit den folgenden Werten eine lineare Regression durch, wobei die Gerade mittels der Methode der kleinsten Quadrate geschätzt werden soll! x y -0,5 0,1 1, Interpolation Erklären Sie bitte den Begriff Spline-Interpolation! 3.2 Praktische Aufgaben Blackbox-Kennlinie In dieser Aufgabe soll die nichtlineare Eingangs-/Ausgangsspannungs-Kennlinie einer Blackbox bestimmt werden. Die Schaltung der Black -Box ist in Abbildung 3.1 dargestellt. Messung Verdeutlichen Sie sich zunächst den prinzipiellen Verlauf der Kennlinie, indem Sie sich die Ausgangsspannung zu einer sinusförmigen Eingangsspannung mit dem Oszilloskop im XY- Betrieb darstellen lassen. Der Eingangsspannungsbereich sei ±15V. 18 WS 2014/15

19 3.2 Praktische Aufgaben 270Ω 1N4148 U x 270Ω PZD27 U y Bild 3.1: Schaltung der Blackbox. Messen Sie nun die Spannungsänderung der Ausgangsspannung U y an der Blackbox bei einer sich ändernden Eingangsspannung U x [ 15V,15V ] und nehmen Sie mindestens 20 gut gewählte Wertepaare mit dem Multimeter auf. Regressionspolynome Interpolieren sie die Daten mit Hilfe von Regressionspolynomen. Dazu steht Ihnen die Funktion mdt_regression zur Verfügung. Variieren Sie den Grad des Polynoms. Kubische Splines Interpolieren Sie die Daten nun mit Hilfe kubischer Splines. Verwenden Sie dazu die SciLab- Funktion mdt_kubicspline. Interpretieren Sie das Ergebnis. Wie verändert sich der Plot, wenn nur jeder zweite Messpunkt verwendet wird? WS 2014/15 19

20 4 Strommessverfahren Gliederung Die Zweileiter und die Vierleiter-Widerstandsmessung Die indirekte Strom- und Spannungsmessung mittels Shuntwiderstand Die Messung von Spannung und Strom mittels eines Spannungs- und Stromwandlers nach dem Kompensationsprinzip Lernziele Der Umgang mit dem Fluke-Tischmultimeter Der Umgang mit der Hameg-Gleichspannungsquelle Der Umgang mit Scilab Das Plotten von Kennlinien 4.1 Einleitung Es ist grundsätzlich nicht möglich, fehlerfrei zu messen. Durch eine Vielzahl von Ursachen wird die zu messende Größe nicht korrekt erfasst. Die Abweichung eines aus Messungen gewonnenen Wertes vom wahren Wert der Messgröße wird Messabweichung oder Messfehler genannt. Bei einer Messung darf das Messobjekt möglichst wenig gestört werden. Während einer Messung fließt nicht nur ein Informationsfluss vom Messobjekt zum Messgerät, sondern stets auch ein Energiefluss. Aus diesem Grund muss die Kopplung zwischen Messobjekt und Messgerät möglichst gering sein, oder aber die Abweichung muss ermittelt und der Messwert dementsprechend korrigiert werden. Das Messen: Eine Messung ist ein experimenteller Vorgang, durch den ein spezieller Wert einer physikalischen Größe als Vielfaches einer Einheit oder eines Bezugswertes ermittelt wird. 4.2 Theorie Der Shunt-Widerstand Ein Shunt-Widerstand ist ein hochpräziser Normwiderstand mit sehr kleinem Widerstandswert. Er wird häufig zur Messung von großen Strömen verwendet. 20 WS 2014/15

21 4.2 Theorie Die Vierleitermessung Bei der Vierleiter-Widerstandsmessung erfolgt die Stormzufuhr und Spannungsmessung über zwei getrennte Leiter. Ein Leiter wird für den bekannten Speisestrom genutzt, der andere für die Spannungsmessung (siehe Abbildung 4.1). Die Kontakte und Zuleitungen werden weiterhin vom Speisestrom durchflossen. Da aber durch das Voltmeter ein viel kleinerer Strom fließt als durch das Messobjekt, gibt es sehr viel kleinere Spannungsabfälle an den Leitungswiderständen der Spannungsmessung. Die Leitungswiderstände haben somit einen geringeren Einfluss auf die Messung. Bild 4.1: Das Prinzipschaltbild der Vierleitermessung Die indirekte Strommessung über den Shunt-Widerstand Ein Shunt-Widerstand wurde in Reihe zwischen den Verbraucher und die Spannungsquelle eingesetzt. Dieser hat die Eigenschaft, dass sein Widerstand sehr klein und konstant ist und so über die Spannungsmessung der absolut proportionale Stromwert errechnet werden kann. Die verwendete Glühlampe verbraucht 21 W und soll mit einer Spannung von 12 V betrieben werden (siehe Abbildung 4.2) Bild 4.2: Das Schaltbild der Vierleitermessung WS 2014/15 21

22 4 Strommessverfahren Der Kompensations-Stromwandler Wird auch als Closed loop - hall effect current transducers bezeichnet. Das Funktionsprinzip: Bild 4.3: Das Funktionsprinzip des Stromwandlers Der durch den Primärstrom I P erzeugte Magnetfluss wird mit Hilfe einer Sekundärspule kompensiert, wobei ein Hall-Sensor mit zugehöriger Elektronik-Schaltung verwendet wird. Der sekundärseitige Kompensationsstrom ist ein exaktes Abbild des Primärstroms (siehe Abbildung 4.3). Die Merkmale: großer Frequenzbereich hohe Gesamtgenauigkeit kurze Ansprechzeit geringe Temperaturdrift hervorragende Linearität keine Einfügungsverluste Im Labor wird ein Stromwandler vom Typ LEM LA 25-NP/SP11 verwendet. Die Beschaltung des Stromwandlers wurde so ausgelegt, dass beim maximalem(!) Messstrom von ±0, 9 A am Signalausgang (gefiltert und ungefiltert) eine Signalspannung von ±10V ausgegeben wird. 22 WS 2014/15

23 4.2 Theorie Der Kompensations-Spannungswandler Wird auch als Closed loop - hall effect voltage transducers bezeichnet. Das Funktionsprinzip Bild 4.4: Das Funktionsprinzip des Spannungswandlers Von der zu messenden Spannung wird ein sehr kleiner Strom von wenigen Milliampère abgegriffen und durch eine Primärspule geführt. Der durch diesen Primärstrom I P erzeugte Magnetfluss wird mit Hilfe einer Sekundärspule kompensiert, wobei ein Hall-Sensor mit zugehöriger Elektronikschaltung verwendet wird. Der sekundärseitige Kompensationsstrom ist ein exaktes Abbild der gemessenen Spannung (siehe Abbildung 4.4). Die Merkmale: Messung hoher Spannungen möglich gute Sicherheits-Isolierung hohe Gesamtgenauigkeit geringe Temperaturdrift hervorragende Linearität Im Labor wird ein Spannungswandler vom Typ LEM LV 25-P/SP5 verwendet. Die Beschaltung des Spannungwandlers wurde so ausgelegt, dass bei einer Spitzenspannung von û = ±566 V am Signalausgang (gefiltert und ungefiltert) eine Signalspannung von ±10V ausgegeben wird. WS 2014/15 23

24 4 Strommessverfahren 4.3 Theoretische Aufgaben Die Widerstandsmessung Die Vierleiter-Widerstandsmessung Nennen Sie Vor- und Nachteile der Vierleiter-Widerstandsmessung. Der Verwendungszweck des Shunt-Widerstands Wie und wozu wird ein Shunt-Widerstand verwendet? Die Vorteile eines Shunt-Widerstands Nennen Sie Vorteile einer Strommessung mit einem Shunt-Widerstand? Die Strommessung Gegeben ist eine Glühlampe mit den Kenndaten P nenn = 21W bei U nenn = 12V. Berechnen Sie den theoretisch zu erwartenden Strom, der durch diese Glühlampe fließt? Der Stromwandler Das Übertragungsverhältnis Berechnen Sie aus den, im Theorieteil gegebenen Daten das Verhältnis von Signalausgangsspannung zum Eingangsmessstrom (V i = u s i e ). Die Beispielmessung Eine Beispielmessung mit dem Stromwandler ergab eine Ausgangssignalspannung von u s = 2,8V. Wie groß war der gemessene Strom i e? Der Spannungswandler Das Übertragungsverhältnis Berechnen Sie aus den, im Theorieteil gegebenen Daten das Verhältnis von Signalausgangsspannung zur Eingangsmessspannung (V u = u s u e ). Die Beispielmessung Eine Beispielmessung mit dem Spannungswandler ergab eine Ausgangssignalspannung von u s = 0,53V. Wie groß war die gemessene Spannung u e? 24 WS 2014/15

25 4.4 Praktische Aufgaben 4.4 Praktische Aufgaben Die Widerstandsmessung Die Bestimmung des Widerstandswerts Bestimmen Sie den Widerstandswert des Shunt-Widerstands mittels Zwei- und Vierleiter-Messung. Verwenden Sie dazu das Tischmultimeter (Fluke 8846A). Führen Sie die Messung durch mit: a) ca. 30 cm langen Leitungen b) ca. 80 cm langen Leitungen Der Ergebnisvergleich Vergleichen Sie die Widerstandswerte miteinander und begründen Sie eventuelle Unterschiede? Die indirekte Strommessung Die Strombestimmung mittels Shunt-Widerstand Ermitteln Sie den Strom der Glühlampe mittels des Shunt-Widerstandes. Berechnen Sie den Strom unter Verwendung des Zwei- und Vier-Leitermesswertes! Die Strombestimmung mittels Ampèremeters Ermitteln Sie zum Vergleich den Strom der Glühlampe mit Hilfe einer direkten Strommessung mit dem Tischmultimeters (Fluke 8846A). Der Ergebnisvergleich Geben Sie den Strommessfehler der Zwei- und der Vier-Leitermessung absolut und bezogen auf den Messwert an. Als Referenzwert kann der Messwert des Ampèremeters verwendet werden Der Stromwandler Die Kennlinie des Stromwandlers Zeichnen Sie mit Hilfe der Hameg-Gleichspannungsquelle eine Strom-Spannungskennlinie des Stromwandlers auf! ACHTUNG!!! Der Stromwandler darf maximal mit 0,9 Ampère belastet werden. Höhere Ströme zerstören das Gerät. Verwenden Sie die Strombegrenzung!!! Bei der Hameg-Gleichspannungsquelle dürfen die Messkabel nicht unter Last gezogen werden. Dies lässt die Feinsicherung der Hameg-Gleispannungsquelle durchbrennen!!! WS 2014/15 25

26 4 Strommessverfahren Stellen Sie die Strombegrenzung des Stromversorgungsgerätes so ein, dass Sie mindestens 20 Kennwerte im Bereich von maximal ±800 ma aufnehmen können. Ermitteln Sie jeweils die ungefilterte Ausgangssignalspannung des Stromwandlers. Stellen Sie die Kennline des Stromwandler graphisch dar. Zeichnen Sie den idealen Verlauf der Kennlinie ein. Begründen Sie eventuelle Abweichungen der beiden Kennlinien! Der Spannungswandler Die Kennlinie des Spannungswandlers ACHTUNG!!! Bitte auch bei der Spannungsmessung vorher die Strombegrenzung auf 0, 5 A einstellen um eine Zerstörung des Messwandlers beim irrtümlichen Vertauschen von Spannungsund Stromeingang zu verhindern!!! Zeichnen Sie mit Hilfe der Hameg-Gleichspannungsquelle eine Spannungs-Spannungskennlinie des Stromwandlers auf! Nehmen Sie eine Spannungskennline mit mindestens 20 Werten für den Bereich von ±30V auf. Ermitteln jeweils die ungefilterte Ausgangssignalspannung des Spannungswandlers. Die Auswertung Stellen Sie die Kennlinie des Spannungswandlers graphisch dar. Zeichnen Sie den idealen Verlauf der Kennlinie ein. Begründen Sie eventuelle Abweichungen der beiden Kennlinien! 26 WS 2014/15

27 5 Eigenschaften von Messsystemen 1 Gliederung Die Grundbegriffe Das statische Verhalten eines Messsystems Die lineare Kennlinie eines Filters Die Kennlinienfehler Das dynamische Verhalten eines Messsystems Die Übertragungsfunktion Die Sprungfunktion und die Sprungantwort Das Tiefpassfilter 1. Ordnung Lernziele Der Umgang mit dem Multimeter Der Umgang mit der Gleichspannungsquelle Der Umgang mit dem Oszilloskop Das Messen von periodischen Signalen Das Messen einer Anstiegszeit Das Tiefpassfilter 1.Ordnung Das Aufstellen der Übertragungsfunktion Das Verhältnis von Anstiegszeit, Zeitkonstante und Grenzfrequenz zu Größe des Widerstandes und des Kondensators Der Umgang mit Scialb Die Simulation von linearen Systemen Die Aufnehmen von Messwerten mit Hilfe der Messkarte WS 2014/15 27

28 5 Eigenschaften von Messsystemen Theorie Die Grundbegriffe Das Übertragungssystem Ein Übertragungssystem (oder auch kurz System) ist eine Anordnung, bei der ein Eingangssignal (Anregungssignalen) ein dazugehöriges Ausgangssignal (Systemantworten) zur Folge hat. Dazu zählen zum Beispiel Filter und Sensoren. Ein Übertragungssystem, welches zur Messung von physikalischen Größen genutzt wird, wird Messsystem genannt. Anregungssignal System Systemantwort Bild 5.1: Die Eingangs- und Ausgangssignal eines Systems (vgl. 2, S. 7) Das Verhalten von Systemen Das dynamische und statische Verhalten eines Messsystems beeinflusst maßgeblich das Messergebnis. Die Folgen sind zusätzliche statische oder dynamische Fehler. Das dynamische Verhalten: Das dynamische Verhalten eines Messsystems oder das Zeitverhalten beschreibt den zeitlichen Verlauf der Ausgangsgröße y(t) bei vorgegebener Eingangsgröße u(t). Diese Verknüpfung zwischen der Eingangs- und Ausgangsgröße lässt sich allgemein durch einen Operator T ausdrücken, d.h. zu jedem reellen u(t) gehört ein reelles y(t), so dass y(t) = T (u(t)) gilt. Das statische Verhalten: Der Zusammenhang der Ausgangswerte von den Eingangswerten im stationären Endzustand (eingeschwungener Zustand) beschreibt das statische Verhalten eines Systems. Der Beharrungszustand: Der Beharrungszustand ist derjenige beliebig aufrecht zu haltende Zustand eines Messsystems, der sich bei zeitlich konstanten Eingangsgrößen nach Ablauf aller Ausgleichsvorgänge ergibt. Der Übergangszustand: Der Übergangszustand ist derjenige Zustand, in welchem sich die Zustandsgrößen durch fortgesetzte oder einmalige Anregung zeitlich ändert. Die Kennlinie: Der Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgangsgröße eines Messsystems im Beharrungszustand wird durch die Kennlinie oder ein Kennlinienfeld mit Parametern dargestellt. 28 WS 2014/15

29 5.1 Theorie u(t)=u 0 σ(t) Eingang Zeit [s] u 0 u0= 0.6 u0= 0.8 u0= 1 u0= 1.2 u0= 1.4 y ( t) = T ( u( t)) Eingang Ausgang dynamisches System Messeinrichtung Statisches Verhalten y(t) Kennlinie des Systems bei Variation des Parameters u Ausgang Zeit [s] u0= 0.6 u0= 0.8 u0= 1 u0= 1.2 u0= 1.4 y stationär =y(t ) y-staionaer u 0 Bild 5.2: Das statistische und dynamische Verhalten eines Messsystems Das statische Verhalten von Messsystemen Zunächst konzentrieren wir uns auf das lineare Verhalten eines Messsystems. Dieses Verhalten lässt sich im Beharrungszustand durch eine lineare Kennlinie beschreiben. Diese Kennlinie wird durch folgend fünf Kenngrößen beschrieben: 1. der Nullpunkt y 0 2. der Messbereich u e u a 3. der Anzeigebereich y e y a 4. die Messgrenze 5. die Überlastungsgrenze Die ideale Kennlinie verbindet den Messanfang mit dem Messende durch eine Gerade. y = y 0 + m u (5.1) Die Empfindlichkeit des Messsystems oder des Messgerätes wird durch die Änderung der Ausgangsgröße zur Änderung der Eingangsgröße angegeben. Sie ist ein Maß für den Anstieg der Kennlinie. Für den linearen Fall ist die Bestimmung der Empfindlichkeit recht einfach, da sie über den gesamten Bereich konstant (siehe Formel 5.2 und Abbildung 5.3). E = y u = y e y a u e u a (5.2) Die reale Kennlinie eines Messgerätes besitzt meist ein nichtlineares Verhalten. Die Empfindlichkeit ändert sich daher mit der Eingangsgröße u. Für einen Punkt u P gilt: E = y u (5.3) WS 2014/15 29

30 5 Eigenschaften von Messsystemen 1 Bild 5.3: Die lineare Kennlinie eines Messsystems Bild 5.4: Die nichtlineare Kennlinie eines Messsystems Bei kleinen Messbereichen (geringe Abweichungen vom Arbeitspunkt u p ) kann die Kennlinie durch ihre Tangente angenähert werden. Der analytische Ausdruck wird dazu um den Arbeitspunkt in einer Taylorreihe entwickelt und diese nach dem ersten Glied abgebrochen (siehe Bild 5.4). Die Kennlinienfehler Folgende Fehler können an einer Kennlinie eines Übertragungssystems abgelesen werden: Bild 5.5: Die ideale Kennlinie ohne Fehler Bild 5.6: Die Kennlinie mit Offsetfehler Der Nullpunktfehler: Steigung stimmt, Gerade beginnt nicht im Punkt y 0 (siehe Bild 5.6) Der Skalenfaktorfehler/Verstärkungsfehler: Der Nullpunkt y 0 stimmt, nicht jedoch der Endpunkt der Übertragungsgeraden (siehe Bild 5.7) Der Linearitätsfehler: Nullpunkt und Messbereichsende stimmen überein, dazwischen läuft die Übertragungskennlinie nichtlinear (siehe Bild 5.8) Der relative Kennlinienfehler: Zum richtigen Anzeigewert y r einer Kennlinie gehört der richtige Messwert u r aufgrund der physikalischen Gesetzmäßigkeit (Bild 5.8). Die ideale Kennlinie ordnet jedoch dem Anzeigewert einen fehlerhaften Messwert u f zu. Umgekehrt 30 WS 2014/15

31 5.1 Theorie 200 reale und ideale Kennlinie y 150 r y y f Bild 5.7: Die Kennlinie mit einem Verstärkungsfehler u u r u f a u e u Bild 5.8: Der nichtlineare Verlauf einer Kennlinie ordnet die ideale Kennlinie dem richtigen Messwert u r einen fehlerhaften Anzeigewert y f zu. Aus diesen Überlegungen heraus ist der relative Kennlinienfehler F r = (u f u a ) (u r u a ) u r u a = u f u r u r u a (5.4) Dieser relative Kennlinienfehler kann mit E (u f u a ) = (y r y a ) und E (u r u a ) = (y f y a ) auf die Anzeigegröße umgerechnet werden: F r = y r y f y f y a (5.5) Das dynamische Verhalten von Messsystemen In der Messtechnik besteht die Forderung, die Information verzögerungsfrei über die Messgröße zu gewinnen. Das Ausgangssignal kann jedoch nicht beliebig schnell dem Eingangssignal folgen, da z. B. eine Reibung überwunden werden muss, Massen beschleunigt werden, Ladungen zu- oder abgeführt werden, Energiespeicher gefüllt oder geleert werden. Das Verhalten eines Messsystems oder eines Messgerätes kann im Zeit- oder Frequenzbereich charakterisisert werden. Im Zeitbereich ist die Beschreibung eines linearen Systems durch eine lineare Differentialgleichung möglich. Sie Beschreibt den Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangsgrößen N d n y(t) a n n=0 dt n = M m=0 b m d m u(t) dt m (5.6) WS 2014/15 31

32 5 Eigenschaften von Messsystemen 1 Der Frequenzgang und die Übertragungsfunktion Der Frequenzgang dient der mathematischen Beschreibung des Verhältnisses des Ausgangssignals zum Eingangssignal eines Systems im Frequenzbereich. Für zeitkontinuierliche Übertragungssysteme ergibt sich aus dem Verhältnis von Ausgangsund Eingangsspannung der Frequenzgang und ist wie folgt definiert (X-Eingangssignal, Y- Ausgangssignal) (vgl. 3, S. 815): G( jω) = Y ( jω) X( jω) (5.7) (5.8) Wird jω durch jω + σ = s ersetzt, erhalten wir die Übertragungsfunktion G(s) = Y (s) X(s) = L {y(t)} L {x(t)} (5.9) (5.10) Die Übertragungsfunktion gibt das Verhältnis der Laplacetrtansformierten (L ) von Ausgangsund Eingangsspannung für beliebige von der Zeit unabhängige Signale an. Aus dem Frequenzgang bzw. der Übertragungsfunktion lassen sich die wichtigsten Frequenzverläufe (der Amplitudengang, die Dämpfung und der Phasengang) berechnen bzw. das Bode- Diagramm aufstellen. Die Sprungfunktion und die Sprungantwort Da ein Tiefpassfilter 1. Ordnung exemplarischer Gegenstand der Versuchsanordnung im weiteren Verlauf sein wird, werden die Sprungfunktion und die Sprungantwort an diesem Beispiel eingeführt. Zur Beschreibung der dynamischen Übertragungseigenschaften wird in der Praxis zur Anregung eines Übertragungssystems bzw. eines Messsystems häufig die Sprungfunktion σ(t) (siehe Abbildung 5.9) als Testsignal verwendet. 32 WS 2014/15

33 5.1 Theorie σ (t) 0 f ür t < 0 σ(t) = 0,5 f ür t = 0 1 f ür t > 0 1 t 1 Bild 5.9: Die Sprungfunktion (vgl. 2, S. 21) Zur besseren Handhabung werden meistens Rechteckfunktionen verwendet, da diese einfach mit einem Funktionsgenerator erzeugt werden können. 1 Π T(t) 1 f ür t < T 2 Π T (t) = 0,5 f ür t = T 2 0 sonst T 2 T 2 t -1 Bild 5.10: Die Rechteckfunktion (vgl. 2, S. 21) Das Ausgangssignal eines Systems, welches aus einer Sprungfunktion σ(t) als Eingangssignal resultiert, wird als Sprungantwort h σ (t) bezeichnet (vgl. 2, S. 90): A{σ(t)} := h σ (t) σ (t) x(t) y(t) σ (t) TP h σ (t) 1 2 h σ(t) Bild 5.11: Die Sprungantwort am Beispiel eines Tiefpassfilters 1. Ordnung Eine Beschreibung der Sprungantwort kann mit Hilfe der Verzugszeit t v, der Anstiegszeit t r, der Einschwingzeit t e, und der Ausgleichszeit t g vorgenommen werden (vgl. 1, S. 32). Bei der Anstiegszeit handelt es sich um die Zeit, die zwischen dem 10% und dem 90%-Wert des Anstiegs vergeht, bezogen auf den niedrigsten und höchsten Punkt der Sprungantwort t r = t(h = 0, 9) t(h = 0, 1) (siehe Abbildung 5.12(a)) (vgl. 1, S. 32). Als Einstellzeit (setting time) t s wird die Dauer bezeichnet, die die Sprungantwort benötigt, bis sie ein vorher definiertes Toleranzband nicht mehr verlässt (siehe Abbildung 5.12(b)) (vgl. 1, S. 32). WS 2014/15 33

34 5 Eigenschaften von Messsystemen 1 Die Zeit zwischen Sprungeinsatz und Schnittpunkt der Wendetangente mit der Nulllinie ist als Verzugszeit t v definiert (siehe Abbildung 5.12(c)) (vgl. 1, S. 32). Die Zeit zwischen dem Schnittpunkt der Wendetangente mit der Nulllinie und dem Schnittpunkt der Wendetangente mit dem stationären Wert wird als Ausgleichszeit t g bezeichnet (siehe Abbildung 5.12(c)) (vgl. 1, S. 32). Um den Einschwingvorgang besser beschreiben zu können, ist es sinnvoll die Zeit zwischen dem Schnittpunkt der Tangente im Punkt h(t) = 0,5 mit der Nulllinie und dem Schnittpunkt der Tangente mit der Linie des stationären Wertes zu betrachten. Diese Zeit wird als Einschwingzeit t e bezeichnet (siehe Abbildung 5.12(d)) (vgl. 1, S. 32). h σ (t) h σ (t) 0,9 1 0,1 0,1 t r t t s t (a) Die Anstiegszeit t r (b) Die Einstellzeit t s h σ (t) h σ (t) 1 1 0,5 0,5 t v t g (c) Die Verzugszeit t v und die Ausgleichszeit t g t t e (d) Die Einschwingzeit t e t Bild 5.12: Die charakteristischen Zeiten zur Beschreibung von Sprungantworten (vgl. 1, S. 32) Das Tiefpassfilter Ein Tiefpassfilter hat die Aufgabe, tiefe Frequenzen unverändert zu übertragen und höhere Frequenzen zu dämpfen. Die Wirkung des Tiefpassfilters bezieht sich insbesondere auf sinusförmige Wechselspannungen. Das passive Tiefpassfilter 1. Ordnung Ein Tiefpassfilter lässt sich am leichtesten mit Hilfe eines Widerstandes und eines Kondensators realisieren. Zudem lässt sich ein einfaches Tiefpassfilter auch mit Hilfe einer Spule und eines Widerstandes erstellen. Zur weiteren Berechnung wird der Spannungsteiler in komplexer Schreibweise verwendet. Da- 34 WS 2014/15

35 5.1 Theorie R U e (t ) C U a (t) Bild 5.13: Die Schaltung eines RC-Tiefpassfilters raus ergibt sich die Übertragungsfunktion G( jω). In den folgenden Berechnungen gilt die Zeitkonstante τ = RC. Die Einheitenbetrachtung: τ =R C (5.11) [1s] =[1Ω 1F] (5.12) [ [1s] = 1 V A As ] (5.13) V [1s] =[1s] (5.14) Der Frequenzgang und die Übertragungsfunktion eines passiven Tiefpassfilters 1. Ordnung Zunächst betrachten wir das( RC-Tiefpassfilter als einfachen Spannungsteiler. Es gilt daher für das Eingangssignal U e = I R + 1 ) ( ) 1 und für das Ausgangssignal U a = I. Daraus jωc jωc ergibt sich der Frequenzgang: G( jω) = U 1 a jωc = U e R + 1 jωc = jωrc = 1 jωrc 1 + (ωrc) 2 (5.15) Wird jω durch jω + σ = s ersetzt, erhalten wir die Übertragungsfunktion G(s) = src = sτ (5.16) (vgl. 3, S. 1533) Der Real- und Imaginärteil Es kann durchaus sinnvoll sein, den Frequenzgang in Real- und Imaginärteil aufzutrennen. WS 2014/15 35

36 5 Eigenschaften von Messsystemen 1 G( jω) = A h (ω) e jφ h(ω) = Re(ω) = Re{H( jω)} = Im(ω) = Im{H( jω)} = jωτ = 1 jωτ 1 + (ωτ) 2 (5.17) (ωτ) 2 (5.18) ωτ 1 + (ωτ) 2 (5.19) (vgl. 2, S. 107) Die 3dB-Grenzfrequenz Die Grenzfrequenz f g ist die Frequenz, bei der die Amplitude eines Systems auf rund 70 % ( ˆ= 1 2 = 3 db) vom Bezugswert sinkt. Je nach Messsystem wird versucht eine so große Abweichung zu vermeiden. A db =20 log(a) (5.20) ( ) 1 3dB =20 log 2 (5.21) A(ω) = 1 (5.22) 2 1 = 1 + (ωτ) 2 (5.23) 2 f g = 1 2πτ (5.24) Bei dieser Frequenz beträgt die Phasenverschiebung φ = 45 (vgl. 3, S. 1534). 36 WS 2014/15

37 5.1 Theorie Die Anstiegszeit und die Grenzfrequenz Die Anstiegszeit t r (siehe 5.40) ist eine wichtige Kenngröße zur Charakterisierung von Tiefpässen. (vgl. 3, S. 1536) t r =t(90%) t(10%) (5.25) =τ(ln0, 9 ln0, 1) (5.26) =τln9 2, 2τ (5.27) f g = 1 2πτ (5.28) t r 0,35 f g (5.29) Auf diese Weise lässt sich mit Hilfe der Anstiegszeit t r die Grenzfrequenz f g und die Zeitkonstante τ ermitteln. h σ (t) 1 0,9 0,1 τ t r t Bild 5.14: Die Sprungantwort eines RC-Tiefpassfilters mit Zeitkonstante τ und Anstiegszeit t r Diese Beziehungen gelten auch näherungsweise für Tiefpässe höherer Ordnung. Mit Hilfe einer Reihenschaltung von mehreren Tiefpassfiltern lässt sich ein Tiefpassfilter höherer Ordnung erzeugen. Bei der Bestimmung der Anstiegszeit und der Grenzfrequenz dieses Tiefpassfilters höherer Ordnung können die Anstiegszeiten bzw. Grenzfrequenzen der einzelnen Tiefpässe berücksichtigt werden (vgl. 3, S.1536): t a i f g ( i t 2 ai (5.30) f 2 gi ) 1 2 (5.31) WS 2014/15 37

38 5 Eigenschaften von Messsystemen 1 Die Bestimmung des Frequenzgangs mit Hilfe der Anstiegszeit Zur Bestimmung des Frequenzgangs und des Bodediagramms eines Systems wird zunächst eine Sprungfunktion auf das zu untersuchende System gegeben. Im Anschluss wird die Anstiegszeit der Sprungantwort gemessen (Dafür steht das Symbol einer Uhr in Abbildung 5.15). x(t ) y(t) σ (t) TP 1.Ord. h σ (t) t r σ (t) h σ (t) h σ (t) t r Bild 5.15: Das Blockschaltbild mit Diagrammen bei Verwendung eines unbelasteten RC- Tiefpassfilters Bei Tiefpässen 1.Ordnung kann von folgendem Zusammenhang ausgegangen werden: t r =2,2τ (5.32) τ = t r 2,2 Hieraus ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen Anstiegszeit und Grenzfrequenz: (5.33) f g = 1 2πτ f g = 1 2π t r 2,2 (5.34) (5.35) f g = 2,2 2πt r (5.36) f g 2π = 2,2 t r (5.37) t r = 2,2 f g 2π (5.38) t r = 0,35 f g (5.39) Dies bedeutet, dass wir durch die Messung der Anstiegszeit bei Tiefpässen 1.Ordnung ohne weiteres den Frequenzgang aufstellen und die Grenzfrequenz des Filters berechnen können. 38 WS 2014/15

39 5.1 Theorie x(t) y(t) σ (t) h TP σ (t) t r 1.Ord. τ= t τ r 2, σ (t) h σ (t) h σ (t) 0.9 G( j ω) 0.1 t r Bild 5.16: Das Blockschaltbild mit Diagrammen bei Verwendung eines unbelasteten RC- Tiefpassfilters Beispiel Bei einer gemessenen Anstiegszeit von 1, s ergibt sich folgende Rechnung: τ = t r 2,2 = 1, s 2,2 (5.40) (5.41) =5, s (5.42) ˆ=RC (5.43) Aus dem errechneten τ lässt sich nun zum einen die Grenzfrequenz des zu untersuchenden Tiefpassfilters ermitteln und zum anderen der Frequenzgang bestimmen. f g = 1 2πτ = 1 2πRC (5.44) 1 = 2π 5, s (5.45) =3000Hz (5.46) G( jω) = jωτ = jωrc 1 = 1 + jω 5, s 1 G(s) = 1 + s 5, s (5.47) (5.48) (5.49) WS 2014/15 39

40 5 Eigenschaften von Messsystemen Theoretische Aufgaben Das statisches Verhalten eines Tiefpassfilters Die Kennlinie eines Übertragungssystems Welche Fehler können an einer Kennlinie eines Übertragungssystems gemessen bzw. abgelesen werden? Das dynamisches Verhalten eines Tiefpassfilters Die Sprungfunktion und die Sprungantwort Erläutern Sie kurz die Begriffe Sprungantwort und Sprungfunkion und deren Anwendung in der Messtechnik! Mit welchen Zeiten kann die Sprungantwort beschrieben werden? Der Frequenzgang und die Übertragungsfunktion Leiten Sie die Übertragungsfunktion eines RC-Tiefpassfilters 1. Ordnung her! Die Anstiegszeit t r und die Zeitkonstante τ Wie lässt sich die Zeitkonstante τ mit Hilfe der Anstiegszeit t r ermitteln? 5.3 Praktische Aufgaben Das statische Verhalten eines Tiefpassfilters Die Aufnahme der Messwerte Nehmen Sie die Kennlinie eines Tiefpassfilters auf und übertragen Sie die Werte in Scilab. Details der Aufnahme der Messwerte: Nutzen Sie das Tiefpassfilter in der blauen Filterbox. Legen Sie eine Gleichspannung an den Eingang des Tiefpassfilters und messen Sie die Ausgangsspannung. Die Eingangspannung soll zwischen 10 V und +10 V liegen. Die Eingangsspannung soll in 2 V -Schritten geändert werden. Um eine negative Gleichspannung mit der Gleichspannungsquelle zu realisieren, muss umgepolt werden. 40 WS 2014/15

41 5.3 Praktische Aufgaben U e (t) U a (t ) TP V Bild 5.17: Das Blockschaltbild des Messaufbaus zur Aufnahme der Kennlinie. Das Plotten der Kennline Stellen Sie die Kennlinie grafisch dar! Denken Sie dabei an die korrekte Achsenbeschriftung. Zeichnen Sie in das Diagramm die ideale Kennlinie ein! Die Kennlinienfehler Bestimmen Sie den Nullpunktfehler, den Verstärkungsfehler und den maximalen relativen Kennlinienfehler! Die Sprungantwort eines Tiefpassfilters 1. Ordnung Die Erstellung einer Rechteckfunktion in Scilab. Erstellen Sie mit Scilab eine Rechteckfunktion! Das Signal soll wie folgt definiert sein: 0 f ür 0 s < t 0,25 s Π T (t) = 5 f ür 0,25 s < t 0,75 s 0 f ür 0,75 s < t 1 s Plotten Sie das Signal! Tipp: Verwenden Sie den Befehl linspace(...)! Der Vektor sollte 8000 Werte enthalten. WS 2014/15 41

42 5 Eigenschaften von Messsystemen 1 Listing 5.1: Scilab-Code zum Auslesen der Messwerte 1 / / E r s t e l l e n e i n e r R e c h t e c k f u n k t i o n bzw. S p r u n g f u n k t i o n 2 3 / / 4 / / B i t t e Ergaenzen! 5 / / 6 7 G r a f i k 1 = s c f ( 0 ) 8 t i t l e ( " Die S i m u l a t i o n e i n e r R e c h t e c k f u n k t i o n ", f o n t s i z e, 5 ) ; 9 p l o t 2 d ( t, U, 2) 10 x l a b e l ( " Z e i t t i n s ", f o n t s i z e, 4 ) ; 11 y l a b e l ( " Amplitude U i n V", f o n t s i z e, 4 ) ; 12 x s e t ( " f o n t s i z e ", 2) ; 13 x g r i d ; Die Erstellung der Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters 1. Ordnung in Scilab. Erstellen Sie die Übertragungsfunktion der drei zu untersuchenden Tiefpässe in Scilab! Es werden ein Kondensator mit 100 nf und Widerstände mit jeweils 1 kω,3 kω und 5 kω verwendet. Verwenden Sie die Befehle poly(...) und syslin(...)! Listing 5.2: Scilab-Code zum Auslesen der Messwerte 1 / / E r s t e l l e n e i n e s l i n e a r e n Systems bzw. T i e f p a s s 1. Ordnung mit H i l f e d e r U e b e r t r a g u n g s f u n k t i o n 2 3 / / 4 / / B i t t e Ergaenzen! 5 / / 6 7 s= poly ( 0, s ) ; 8 g= s y s l i n ( c, / / B i t t e Ergaenzen! / / ) ; Die Durchführung der Simulation und das Plotten der Ergebnisse Simulieren sie nun die Sprungantwort mit Scilab mit Hilfe des Befehls csim(...)! Plotten Sie die Rechteckfunktion und die Sprungantwort in eine Grafik! Listing 5.3: Scilab-Code zum Auslesen der Messwerte 1 / / S i m u l a t i o n und P l o t t e n d e r S p r u n g a n t w o r t 2 y=csim ( / / B i t t e Ergaenzen! / / ) ; 3 4 G r a f i k 2 = s c f ( 1 ) 5 t i t l e ( " Die R e c h t e c k f u n k t i o n und d i e S p r u n g a n t w o r t ", f o n t s i z e, 5 ) ; 6 p l o t 2 d ( t, y, 2) ; 7 p l o t 2 d ( t, U, 3) 8 x l a b e l ( " Z e i t t i n s ", f o n t s i z e, 4 ) ; 9 y l a b e l ( " Amplitude U i n V", f o n t s i z e, 4 ) ; 10 l e g e n d ( " S p r u n g a n t w o r t ", " R e c h t e c k f u n k t i o n " ) 11 x s e t ( " f o n t s i z e ", 2) ; 12 x g r i d ; 42 WS 2014/15

43 5.3 Praktische Aufgaben Die Aufnahme der Sprungantwort eines Tiefpassfilters 1. Ordnung Nehmen Sie nun die Sprungantwort der drei Tiefpässe mit Hilfe des Oszilloskops und mit Hilfe der Messkarte und Scilab messtechnisch auf. Hinweise zur Messung: Verwenden Sie einen 100 nf Kondensator und die Widerstandsdekade (1 kω, 3 kω, 5 kω). Verwenden Sie den Funktionsgenerator und erzeugen Sie eine Rechteckfunktion mit einer Amplitude von 2,5 V, mit einem Offset von 2,5V und einer Frequenz von 1 Hz. Führen Sie zunächst die Messung der Sprungantwort mit dem Oszilloskop durch. Messen Sie die Anstiegszeiten aller drei Tiefpässe! Erweitern Sie im Anschluss den Messaufbau um die Messkarte. Nehmen Sie für alle drei Tiefpässe die Sprungantworten mit Hilfe von Scilab auf und plotten Sie die Ergebnisse! Nutzen Sie in Scilab die Funktion mdt_dataread(...), um mit Hilfe der Messkarte die Sprungantwort in Scilab aufzunehmen! Zusatzaufgabe: Plotten Sie den theoretischen Verlauf zusammen mit den gemessenen Werten in ein Diagramm. Hinweise zum Umgang mit dem Oszilloskop: Achten Sie darauf, dass bei den einzelnen Kanälen (CH1, CH2) bei Kopplung: DC eingestellt ist. Um einwandfrei messen zu können, verwenden Sie die Trigger-Funktion des Oszilloskops. Drücken Sie die Taste Mode/Coupling in der Trigger-Sektion. Wählen Sie beim oberen Modus: Flanke, bei Quelle: CH2, beim unteren Modus: Normal und bei der Kopplung: DC aus. Zum Messen der Anstiegszeit drücken sie die Measure-Taste, wählen sie Zeit und dann den Eintrag Anstiegszeit aus. U e (t) U a (t ) TP Ch 1 Ch 2 AI 0 AI 1 ADU Bild 5.18: Das Blockschaltbild zur Aufnahme der Sprungantwort Listing 5.4: Scilab-Code zum Auslesen der Messwerte 1 x d e l ( w i n s i d ( ) ) 2 / / Die Messung d e r S p r u n g a n t w o r t 3 / / Eingangsspannung 5V / / O f f s e t 2,5V / / Frequenz 1Hz WS 2014/15 43

44 5 Eigenschaften von Messsystemen 1 4 / / W i d e r s t a e n d e 1kOhm, 3kOhm, 5kOhm / / Kondensator 100nF 5 6 U= m d t _ d a t a r e a d (20000, 5, 1000, 0, 2, 14, 1) ; 7 8 / / 9 / / B i t t e e r g a e n z e n! 10 / / G r a f i k 1 = s c f ( 0 ) 14 t i t l e ( " Die Messung d e r S p r u n g a n t w o r t ", f o n t s i z e, 5) ; 15 p l o t 2 d ( t, Ua, 2) 16 p l o t 2 d ( t, Ue, 3) 17 x l a b e l ( " Z e i t t i n s ", f o n t s i z e, 4) ; 18 y l a b e l ( " Amplitude U i n V", f o n t s i z e, 4) ; 19 l e g e n d ( S p r u n g a n t w o r t, S p r u n g f u n k t i o n, 3) 20 x s e t ( f o n t s i z e, 2) ; 21 x g r i d ; x s 2 p d f ( Grafik1, C : \ Dokumente und E i n s t e l l u n g e n \ s t u d e n t \ Eigene D a t e i e n \MT Labor \ Messung_Sprungantwort. pdf ) Die Auswertung Vergleichen Sie die Ergebnisse der Messung mit den Ergebnissen der Simulation. Berechnen Sie aus den gemessenen Anstiegszeiten für jedes Tiefpassfilter die Zeitkonstante τ und stellen Sie die daraus resultierenden Übertragungsfunktionen auf. Vergleichen Sie die theoretischen Anstiegszeiten mit den Anstiegszeiten die Sie mit Hilfe des Oszilloskops ermittelt haben. Berechnen Sie die Grenzfrequenz von jedem Tiefpassfilter einmal aus den theoretischen Werten und aus den gemessenen Werten. Stellen Sie die theoretischen und die gemessenen Werte jeweils in einer Tabelle dar. Wie verändert sich die Anstiegszeit und die Grenzfrequenz bei Veränderung des Widerstandes? Kapazität Widerstand Zeitkonstante Anstiegszeit Grenzfrequenz Übertragungsfunktion C R τ t r f g G(s) 100 nf 1 kω 100 nf 3 kω 100 nf 5 kω Tabelle 5.1: Beispiel für eine Wertetabelle 44 WS 2014/15

45 Literaturverzeichnis [1] FILBERT, Prof. Dr.-Ing. D. ; GÜHMANN, Prof. Dr.-Ing. C.: Elektronische Messtechnik: Messen Elektrischer Größen. Institut für Energie- und Automatisierungstechnik, Fachgebiet Elektronische Mess- und Diagnosetechnik, TU-Berlin, Berlin, tu-berlin.de/fileadmin/fg184/lehre/messtechnik/skript/mt1skript.pdf [2] NOLL, Peter: Signale und Systeme. Institut für Telekommunikationssysteme, Fachgebiet Nachrichtenübertragung, TU-Berlin, Berlin, [3] TIETZE, Ulrich ; SCHENK, Christoph: Halbleiter-Schaltungstechnik. 12. Aufl. Berlin [u.a.] : Springer, 2002 (Springer-Lehrbuch). ISBN WS 2014/15 45

46 6 Die Eigenschaften von Messsystemen 2 Gliederung Das Bodediagramm Die Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters 1. Ordnung Die Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters höherer Ordnung Lernziele Die theoretische Ermittlung von Amplituden- und Phasengängen Die messtechnische Ermittlung von Amplituden- und Phasengängen Der Umgang mit dem Oszilloskop Der Umgang mit dem Frequenzgenerator Der Umgang mit Scilab Die Simulation von Amplituden- und Phasengängen Das plotten von Bodediagrammen 6.1 Theorie Das Bodediagramm Das Bodediagramm besteht aus zwei Funktionsgraphen, die übereinander angeordnet werden. Es zeigt die stationäre Reaktion eines Systems auf ein Anregungssignal. Der obere Funktionsgraph gibt hierbei Auskunft über den Amplitudengang in Abhängigkeit von der Frequenz f in Hz bzw. der Kreisfrequenz ω in 1 s. Der untere Funktionsgraph zeigt den Phasengang (Phasenverschiebung) φ in Abhängigkeit von der Kreisfrequenz ω. Der Amplitudengang wird gerne in db und damit logarithmisch dargestellt. Die y-achse des Phasenganges ist im Gradmaß eingeteilt. Auf der x-achse wird die Kreisfrequenz ebenfalls logarithmisch dargestellt. Diese Diagramme geben Aufschluss über das Verhalten des Systems bei unterschiedlichen Frequenzen. Der Erfinder und Namensgeber dieser Diagramme ist Hendrik Wade Bode ( ). Bode war ein US-amerikanischer Mathematiker und Elektrotechniker. Ein möglicher Anwendungsfall ist die Bestimmung des nutzbaren Frequenzbereiches eines Messverstärkers. In diesem Beispiel sei uns wichtig, dass die Amplitude des Messverstärkers nicht unter 70% bzw. 3 db sinkt und der Phasengang linear verläuft. Diese Bereiche lassen sich hervorragend im Bodediagramm markieren. Danach kann an der x-achse der entsprechende Frequenzbereich abgelesen werden (siehe Abbildung 6.1). 46 WS 2014/15

47 6.1 Theorie Es gibt zahlreiche Möglichkeiten, den Amplituden- und Phasengang eines Systems messtechnisch zu ermitteln. Eine naheliegende Möglichkeit ist sicher, eine Sinusspannung an das System anzulegen und mit Hilfe eines Oszilloskops die Amplitude und die Phasenverschiebung zu messen. Hierbei muss die Frequenz schrittweise erhöht und für jede Frequenz die jeweilige Amplitude und die jeweilige Phasenverschiebung aufgenommen werden. Des Weiteren lässt sich mit Hilfe der Übertragungsfunktion eines Systems das Bodediagramm erstellen. A (ω) 0dB 10dB 20dB ϕ(ω) ω ω Bild 6.1: Ein Beispiel für ein Bodediagramm Die Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters 1. Ordnung Zur Wiederholung betrachten wir nochmal die Übetragungsfunktion eines Tiefpassfilters 1. Ordnung. Zunächst betrachten wir das ( RC-Tiefpassfilters als einfachen Spannungsteiler. Es gilt daher für das Eingangssignal U e = I R + 1 ) ( ) 1 und für das Ausgangssignal U a = I. jωc jωc Daraus ergibt sich für die Übertragungsfunktion: G = U 1 a jωc = U e R + 1 jωc = jωrc = 1 jωrc 1 + (ωrc) 2 (6.1) Wird jω durch jω + σ = s ersetzt, erhalten wie die Übertragungsfunktion: G(s) = src = sτ (6.2) (vgl. 3, S. 1533) WS 2014/15 47

48 6 Die Eigenschaften von Messsystemen 2 Der Real- und Imaginärteil Das Ziel soll es sein, den Amplitudengang und den Phasengang für das Bodediagramm zu erstellen. Es ist hierfür durchaus sinnvoll, die Übertragungsfunktion zunächst in Real- und Imaginärteil aufzutrennen, da dies die Erstellung von Amplituden und Phasengang vereinfacht. G( jω) = A h (ω) e jφ h(ω) = Re(ω) = Re{H( jω)} = Im(ω) = Im{H( jω)} = jωτ = 1 jωτ 1 + (ωτ) 2 (6.3) (ωτ) 2 (6.4) ωτ 1 + (ωτ) 2 (6.5) (vgl. 2, S. 107) Der Amplitudengang A (ω) A(ω) = G( jω) = (ωτ) 2 (6.6) 1 2 Bild 6.2: Der Amplitudengang (vgl. 2, S. 108) 1 τ 1 τ ω Die Dämpfung a(ω) a(ω) = 10 log(1 + (ωτ) 2 ) (6.7) 3dB Bild 6.3: Die Dämpfung (vgl. 2, S. 108) 1 τ 1 τ ω 48 WS 2014/15

49 6.1 Theorie Der Phasengang φ(ω) = arg{g( jω)} (6.8) ( ) Im(ω) = arctan (6.9) Re(ω) = arctan(ωτ) (6.10) 1 τ π 4 ϕ(ω) π 2 π 4 1 τ ω π 2 Bild 6.4: Der Phasengang (vgl. 2, S. 108) Der Amplituden- und der Phasengang lassen sich im Anschluss in logarithmischer Darstellung im Bodediagramm veranschaulichen (siehe Abbildung 6.1) Die Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters höherer Ordnung Die Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters hat im Laplacebereich allgemein die Form: G(s) = A c 1 s + c 2 s c n s n (6.11) Für die Realisierung der Filter ist es günstig, wenn das Nennerpolynom in Faktoren zerlegt ist. Werden auch komplexe Pole zugelassen, so erhält man ein Produkt aus quadratischen Ausdrücken G(s) = A 0 (1 + α 1 s + β 1 s 2 )(1 + α 2 s + β 2 s 2 )... (6.12) Für ein Tiefpassfilter 2. Ordnung gilt daher beispielsweise: G(s) 2.Ord = α 1 s + β 1 s 2 (6.13) Werden zwei Tiefpassfilter 2. Ordnung in Reihe geschaltet, ergibt sich ein Tiefpassfilter 4. Ordnung. Bei baugleichen Tiefpassfiltern folgt für die Übertragungsfuntkion: G(s) 4.Ord =(G(s) 2.Ord ) 2 (6.14) ( ) 1 2 = 1 + α 1 s + β 1 s 2 (6.15) Die Koeffizienten α und β lassen sich mit Hilfe einer Koeffiziententabelle (siehe Tabelle 6.1) je nach Filtercharakteristik berechnen. WS 2014/15 49

50 6 Die Eigenschaften von Messsystemen 2 α = a 1 ω g (6.16) β = b 1 ω 2 g (6.17) Mit Hilfe der normierten Bildvariablen P = s/ω g lassen sich die Übertragungsfunktionen allgemein wie folgt darstellen: G(s) = A 0 ( ( ) )( 2 ( ) 2 s 1 + α 1 ω g ω g + β 1 ω 2 s s g ω g 1 + α 2 ω g ω g + β 2 ω 2 s g ω g )... (6.18) G(P) = A 0 (1 + a 1 P + b 1 P 2 )(1 + a 2 P + b 2 P 2 )... (6.19) Mit derart normierten Übertragungsfunktionen und den entsprechenden Tabellen können die Parameter unter Vorgabe einer gewünschten Übertragungscharakteristik bestimmt werden. Die Koeffizienten sind so zu wählen, dass das Filter bestimmte Anforderungen im Zeit- oder Frequenzbereich erfüllt. Folgende Eigenschaften werden berücksichtigt: Maximal flacher Verlauf im Durchlassbereich Steiler Abfall des Betragsfrequenzganges oberhalb der Grenzfrequenz Geringes Überschwingungen der Sprungantwort Phasenverzerrung Optimales Rechteckübertragungsverhalten An dieser Stelle sollen nur drei verschiedene Filtercharakteristiken diskutiert werden. Die charakteristischen Eigenschaften werden durch die Filterfrequenzgänge (siehe Abbildung 6.5) und durch die Sprungantworten (siehe Abbildung 6.6) deutlich. Die Koeffizienten eines Butterworth- Filters in Abhängigkeit der Ordnung sind in der Tabelle 6.1 angegeben (vgl. 3, S. 816). Der Butterworth-Tiefpassfilter besitzt einen Amplituden-Frequenzgang, der möglichst lang horizontal verläuft und erst kurz vor der Grenzfrequenz scharf abknickt. Seine Sprungantwort zeigt ein beträchtliches Überschwingen, das mit zunehmender Ordnung größer wird (siehe Kurve 3 in den Abbildungen 6.5 und 6.6) (vgl. 3, S. 816). Der Tschebyscheff-Tiefpassfilter besitzt oberhalb der Grenzfrequenz einen noch steileren Abfall der Verstärkung. Im Durchlassbereich verläuft die Verstärkung jedoch nicht monoton, sondern besitzt eine Welligkeit konstanter Amplitude. Bei gegebener Ordnung ist der Abfall oberhalb der Grenzfrequenz umso steiler, je größer die zugelassene Welligkeit ist. Das Überschwingen der Sprungantwort ist noch stärker als bei den Butterworth-Filtern (siehe Kurve 4 in den Abbildungen 6.5 und 6.6) (vgl. 3, S. 818). Der Bessel-Tiefpassfilter besitzt ein optimales Rechteckübertragungsverhalten. Die Voraussetzung hierfür ist die Konstanz der Gruppenlaufzeit über ein möglichst großen Frequenzbereich, d.h. die Phasenverschiebung ist in diesem Frequenzbereich proportional zur Frequenz. Allerdings knickt der Amplitudenfrequenzgang der Besselfilter nicht so scharf ab wie bei den Butterworth- und Tschebyscheff-Filtern (siehe Kurve 2 in den Ab- 50 WS 2014/15

51 6.1 Theorie bildungen 6.5 und 6.6) (vgl. 3, S. 818). Bild 6.5: Vergleich der Amplitudenfrequenzgänge der verschiedenen Filtertypen: 1 - Tiefpassfilter mit kritischer Dämpfung, 2 - Bessel-Tiefpassfilter, 3 - Butterworth-Tiefpassfilter, 4 - Tschebyscheff-Tiefpassfilter mit 3 db Welligkeit (vgl. 3, S. 817). Bild 6.6: Vergleich der Sprungantworten der verschiedenen Filtertypen: 1 - Tiefpassfilter mit kritischer Dämpfung, 2 - Bessel-Tiefpassfilter, 3 - Butterworth- Tiefpassfilter, 4 - Tschebyscheff-Tiefpassfilter mit 0,5 db Welligkeit, 5: Tschebyscheff-Tiefpassfilter mit 3 db Welligkeit (vgl. 3, S. 817). WS 2014/15 51

52 6 Die Eigenschaften von Messsystemen 2 N i a i b i N i a i b i 1 1 1,0000 0, ,9616 1, ,4142 1, ,6629 1, ,0000 0, ,1111 1, ,0000 1, ,3902 1, ,8478 1, ,0000 0, ,7654 1, ,8794 1, ,0000 0, ,5321 1, ,6180 1, ,0000 1, ,6180 1, ,3473 1, ,9319 1, ,9754 1, ,4142 1, ,7820 1, ,5176 1, ,4142 1, ,0000 0, ,9080 1, ,8019 1, ,3129 1, ,2470 1, ,4450 1,0000 Tabelle 6.1: Die Koeffizienten des Butterworth-Tiefpassfilters 52 WS 2014/15

53 6.2 Theoretische Aufgaben 6.2 Theoretische Aufgaben Die Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters 1. Ordnung Leiten Sie die Übertragungsfunktion eines RC-Tiefpassfilters 1. Ordnung her! Das Bodediagramm Wie lässt sich mit Hilfe der Übertragungsfunktion am Beispiel eines Tiefpassfilters 1.Ordnung das Bodediagramm aufstellen? Die Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters höherer Ordnung Die Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters 2. Ordnung Stellen Sie die Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters 2. Ordnung auf! Hinweise: Es handelt sich um ein Butterworth-Tiefpassfilter. Verwenden Sie als Verstärkungsfaktor V = 1. Nutzen Sie die Koeffizienten-Tabelle 6.1. Die Grenzfrequenz f g sei 3,1 khz. Die Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters 8. Ordnung Wie lässt sich aus mehreren Tiefpässen 2. Ordnung ein Tiefpassfilter 8. Ordnung realisieren? Stellen sie mit Hilfe der Übertragungsfunktion 2. Ordnung die Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters 8. Ordnung auf. Wie lässt sich der Amplituden- und der Phasengang für das Bodediagramm eines Tiefpassfilters messtechnisch ermitteln? Zeichnen Sie das entsprechende Blockschaltbild. WS 2014/15 53

54 6 Die Eigenschaften von Messsystemen Praktische Aufgaben Die Simulation des Amplituden- und des Phasenganges eines Tiefpassfilters höherer Ordnung mit Scilab Die Erstellung der Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters höherer Ordnung in Scilab. Erstellen Sie die Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters 2. Ordnung in Scilab. Nutzen Sie hierfür die selben Spezifikationen wie in den Vorbereitungsaufgaben. Verwenden Sie die Befehle poly(...) und syslin(...). Hinweise: Es handelt sich um ein Butterworth-Tiefpassfilter. Verwenden Sie als Verstärkungsfaktor V = 1. Nutzen Sie die Koeffizienten-Tabelle 6.1. Die Grenzfrequenz f g sei 3,1 khz. Erstellen Sie nun die Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters 8. Ordnung auf Grundlage einer Reihenschaltung von vier Tiefpassfiltern 2. Ordnung. Die Erstellung des Bodediagramms eines Tiefpassfilters höherer Ordnung in Scilab. Erstellen Sie das Bodediagramm des Tiefpassfilters 8. Ordnung mit Hilfe der Übertragungsfunktion in Scilab. Der Frequenzbereich soll von 10 1 Hz bis 10 5 Hz gehen. Verwenden Sie die Befehle logspace(...), [...] = repfreq(...) und [...] = dbphi(...). 1 x d e l ( w i n s i d ( ) ) Listing 6.1: Scilab-Code zum Auslesen der Messwerte 2 / / ####################################################### 3 / / E r s t e l l e n e i n e s l i n e a r n Systems bzw. T i e f p a s s f i l t e r s 8. Ordnung mit H i l f e d e r U e b e r t r a g u n g s f u n k t i o n 4 / / ####################################################### 5 s= poly ( 0, s ) ; 6 7 / / 8 / / B i t t e Ergaenzen! 9 / / g8= s y s l i n ( c, / / B i t t e Ergaenzen! ) ; / / E r s t e l l e n des Bodediagramms des T i e f p a s s f i l t e r s 8. Ordnung f = l o g s p a c e ( / / B i t t e Ergaenzen! ) ; 16 [ / / B i t t e Ergaenzen! ] = r e p f r e q ( / / B i t t e Ergaenzen! ) ; 17 [Amp, Phase ]= dbphi ( / / B i t t e Ergaenzen! ) ; G r a f i k 1 = s c f ( 1 ) 20 s u b p l o t ( ) 21 t i t l e ( " Der Amplitudengang ", f o n t s i z e, 5 ) ; 22 p l o t 2 d ( " g l n ", f, Amp, s t y l e =2) 54 WS 2014/15

55 6.3 Praktische Aufgaben 23 x l a b e l ( " Frequenz f i n Hz", f o n t s i z e, 4 ) ; 24 y l a b e l ( " Amplitude i n db", f o n t s i z e, 4 ) ; 25 x g r i d ; 26 s u b p l o t ( ) 27 t i t l e ( " Der Phasengang ", f o n t s i z e, 5 ) ; 28 p l o t 2 d ( " g l n ", f, Phase, s t y l e =2) 29 x l a b e l ( " Frequenz f i n Hz", f o n t s i z e, 4 ) ; 30 y l a b e l ( " Phase i n Grad ", f o n t s i z e, 4 ) ; 31 x g r i d ; Die Messtechnische Ermittlung des Amplituden- und des Phasenganges eines Tiefpassfilters höherer Ordnung Das Messen des Amplituden- und des Phasenganges mit dem Oszilloskop Nehmen Sie den Amplituden- und den Phasengang des Tiefpassfilters 8. Ordnung der blauen Filterbox auf. Nutzen Sie den Frequenzgenerator und das Oszilloskop. Stellen Sie am Frequenzgenerator ein Sinus-Signal mit einer Amplitude von 10 V ein. Erhöhen Sie Schrittweise die Frequenz. Nehmen Sie insgesamt 20 Messwerte auf. Verteilen Sie die Messwerte über einen Bereich von 10 1 Hz bis 10 4 Hz. Nehmen Sie ein paar mehr Messwerte um den Bereich der Grenzfrequenz f g auf. Verwenden Sie V RMS der Measure-Funktion zur Messung der Amplitude Nutzen Sie Delay1 > 2 der Measure-Funktion zur Messung der Phasenverschiebung. Notieren Sie die Messwerte direkt in Scilab. U e (t) U a (t ) TP ch1 ch 2 Bild 6.7: Das Blockschaltbild zur Aufnahme des Amplituden- und des Phasenganges Die Auswertung Vergleichen Sie die Ergebnisse der Messung mit den Ergebnissen der Simulation. Plotten Sie mit Hilfe der Messwerte den Amplituden- und den Phasengang zusammen mit den Ergebnissen der Simulation in ein Bodediagramm. Achten sie darauf, dass Sie bei manchen Messwerten der Phasenverschiebung eine Verschiebungskorrektur durchführen müssen. Worin unterscheiden sich Bodediagramme von Tiefpassfiltern höherer Ordnung von Bodediagrammen von Tiefpassfiltern geringerer Ordnung? WS 2014/15 55

56 Literaturverzeichnis [1] FILBERT, Prof. Dr.-Ing. D. ; GÜHMANN, Prof. Dr.-Ing. C.: Elektronische Messtechnik: Messen Elektrischer Größen. Institut für Energie- und Automatisierungstechnik, Fachgebiet Elektronische Mess- und Diagnosetechnik, TU-Berlin, Berlin, tu-berlin.de/fileadmin/fg184/lehre/messtechnik/skript/mt1skript.pdf [2] NOLL, Peter: Signale und Systeme. Institut für Telekommunikationssysteme, Fachgebiet Nachrichtenübertragung, TU-Berlin, Berlin, [3] TIETZE, Ulrich ; SCHENK, Christoph: Halbleiter-Schaltungstechnik. 12. Aufl. Berlin [u.a.] : Springer, 2002 (Springer-Lehrbuch). ISBN y 56 WS 2014/15

57 7 Digitale Messkette 1 Lernziele Der Studierende ist nach Abschluss des Praktikumsversuches in der Lage die Messkette bestehend aus Verstärker/Anitialiasing-Filter, Sample&Hold-Glied und Analog-Digital- Umsetzer zu dimensionieren und die Eigenschaften der Komponenten zu charakterisieren. HINWEIS: Bitte bringen Sie pro Gruppe mindestens ein Paar Kopfhörer mit! Dieses wird für den praktischen Versuch benötigt! 7.1 Theoretische Aufgaben Kennlinie eines ADU Was ist unter einer ADU-Kennlinie zu verstehen? Zeichen Sie beispielhaft die ADU-Kennlinie eines 3-Bit AD-Umsetzers. Geben Sie die zugehörigen Quantisierungsintervalle an! Signal-Rausch-Verhältnis (SNR) Wie ist das Signal-Rauschverhältnis (SNR) definiert? Quantisierungsrauschen Wodurch entsteht Quantisierungsrauschen und durch welche Maßnahmen lässt sich das Quantisierungsrauschen verringern? Clipping Was ist Clipping? Abtastung (Sampling) Was versteht man in der Messtechnik unter Abtastung? Wozu dient das Sample & Hold-Glied? WS 2014/15 57

58 7 Digitale Messkette Praktische Aufgaben ADU-Kennlinie eines 4-Bit AD-Umsetzers Nehmen Sie eine ADU-Kennlinie eines 4-Bit AD-Umsetzers auf! Verwenden Sie dazu die SciLab-Funktion mdt_dataread mit der Einstellung 4 Bit. Messen Sie die Umsetzung für die ersten drei Codestufen mit der Gleichspannungsquelle nach. Als Input für die vollständige Kennlinie kann ein Dreiecksignal der Frequenz 1 Hz dienen (Warum?) Clipping Bei dieser Aufgabe sollen die Auswirkungen des Clipping-Effektes untersucht werden. Hinweis: Bei dieser Aufgabe ist es vorteilhaft, dass Signal gleichzeitig mit dem Oszilloskop darzustellen. Nehmen Sie dazu mit der USB-Messkarte ni6009 ein Sinussignal der Frequenz 500 Hz und der Amplitude 3V auf. Benutzen Sie dazu das Scilab-Kommando mdt_dataread. Verwenden Sie einen Messbereich von [ 3V,+3V ] und ein Zeitfenster von 3 Sekunden. Nutzen Sie die Funktion mdt_playsnd und hören Sie sich das Signal mit den Kopfhörern an. Verstärken Sie ggf. das Signal mithilfe von Scilab um die Lautstärke zu erhöhen. Erzeugen Sie auch das Spektrum des Signals mit Hilfe der Scilab-Funktion mdt_spectrum. Verringern Sie nun den Messbereich auf [ 1V, +1V ] und führen Sie eine weitere Aufnahme durch. Hören Sie sich auch hier das aufgezeichnete Signal mit einem Kopfhörer an. Was stellen Sie fest? Vergleichen Sie das Spektrum dieses Signals mit dem zuvor aufgezeichneten Signal Rauschen Erzeugen Sie mit dem Funktionsgenerator ein Dreieck-Signal mit 1/10 Hz und zeichnen Sie insgesamt 20 Sekunden des Signals mit der USB-Messkarte auf. Verwenden Sie dabei eine Abtastrate von 20kHz. Wählen Sie den Messbereich so, dass das Signal leicht übersteuert. Das aufgezeichnete Signal sollte ungefähr zwei Perioden des Testsignals enthalten. Daher ist auch mindestens eine steigende Flanke vorhanden, die aufgrund der Übersteuerung linear den gesamten Messbereich durchläuft. Isolieren Sie diesen Bereich und führen Sie hierfür eine lineare Regression durch, d.h. finden Sie eine Funktion f (k) = c 0 + c 1 k (k - Sampleindex, c 0 und c 1 - zu findende Parameter), so dass die quadratische Abweichung zwischen den Messwerten s(k) und f (k) minimal wird! Berechnen und plotten Sie nun die Differenz s(k) f (k), berechnen Sie auch den Effektivwert der Differenz und interpretieren Sie das Ergebnis! Welchen SNR r entspricht das (bezogen auf ein vollausgesteuertes Sinussignal) und vergleichen Sie das mit einem SNR i mit ein theoretischen Rauschsignal von Fq = 1 2 U LSB? 58 WS 2014/15

59 7.2 Praktische Aufgaben Berechnen Sie nun die effektive Bitanzahl bezogen auf die theoretische Betrachtung. WS 2014/15 59

60 8 Digitale Messkette 2 Lernziele Der Studierende ist nach Abschluss des Praktikumsversuches in der Lage die Messkette bestehend aus Verstärker/Anitialiasing-Filter, Sample&Hold-Glied und Analog-Digital- Umsetzer zu dimensionieren und die Eigenschaften der Komponenten zu charakterisieren. Weiterhin kennt er sich mit den Einflüssen durch Störspannungen über einer Messgröße aus. Genauer, deren Einfluss durch Beachtung der Störspannungsunterdrückung z.b. beim Dual-Slope-Integrierer. Hinweis: Aufgrund der langen Messdauer der Störspannungsmessung von 5 Minuten bietet es sich an, die Messung zu einem andren Zeitpunkt im Praktikum durchzuführen. Geeignet wäre z.b. während der Besprechung der Theorieaufgaben zu starten. 8.1 Theorie Dual-Slope-Integrierer Bild 8.1: Dual-Slope-Integrierer Bild 8.2: Dual-Slope-Verfahren Der Dual-Slope-Integrierer (Bild: 8.1) besteht im Kern aus einem Integrierer, der während der Abtastung in 2 Phasen unterteilt wird (Bild:8.2). In der 1. Phase wird die Eingangsspannung U e über die Zeit t 1 integriert. Wichtig ist hierbei, dass es sich um eine feste Integrationszeit T i handelt, denn dadurch ist eine Dämpfung von Störsignalen möglich. Genauer wird darauf im Abschnitt eingegangen. U 1 (T i ) = 1 Ti U e dt RC t 0 60 WS 2014/15

61 8.1 Theorie In der 2.Phase wird dann in der Messzeit t 2 zurück auf Null integriert. Die dafür benötigte Zeit, lässt die zu bestimmende Eingangsspannung über die Verhältnisgleichung 8.1 ermitteln. U 1 (t 2 ) = 0 = U 1 (T i ) + 1 t2 U re f dt RC T i durch umformen folgt: Ti t 0 U e dt = t2 T i U re f dt U e = U re f t 2 t 1 (8.1) Störspannungsdämpfung Durch den Dual-Slope-Integrierer kann ein sehr gute Störspannungsdämpfung erzielt werden. Die Stördämpfung ist dabei hauptsächlich von der Beziehung der Integrationszeit T i des Integrierers zur Frequenz f s des Störsignals abhängig. Unter welchen Bedingungen eine gute Störspannungsdämpfung gewährleistet ist, kann anhand der Bestimmungsformel und der qualitativen Darstellung dieser ermittelt werden. Deswegen werden diese im Folgenden hergeleitet. Zunächst wird davon ausgegangen, dass eine Gleichspannung U x gemessen werden soll, die von einer sinusförmigen Störgröße u s (t) überlagert ist (s. Abb. 8.3). Die Integrationszeit T i ist optimalerweise so eingestellt, dass der Mittelwert ū des gemessenen Signals u(t) gleich der Gleichspannung U x ist. Die quantitative Darstellung geht jedoch meist nicht über u(t) und ū, sondern über u s (t) und ū s. Damit ū = U x erfüllt ist, muss ū s = 0 gelten. Bild 8.3: Störspannung Störfrequenz: Phase: Integrationszeit: u(t) = u x + û s sin(ω s t + ϕ) f s = 1 T s = ω s 2 π ϕ = ω s t T i Für den Mittelwert des Störsignals gilt dann: WS 2014/15 61

62 8 Digitale Messkette 2 ū s = 1 Ti û s sin(ω s t + ϕ)dt T i ū s = Mit cos(α) cos(β) = 2 sin( α+β 2 0 ûs ω s T i [ cos(ω s T i + ϕ) + cos(ϕ)] α β ) sin( 2 ) erhält man: ū s = ûs ω s T i [ 2sin( ω st i 2 + 2ϕ) sin( ω st i 2 )] ū s = û s sin( ω st i 2 ) ω s T i sin( ω st i 2 + 2ϕ) 2 ū s = û s sin(π f s T i ) sin(π f s T i + 2ϕ) π f s T i ū s = û s si(π f s T i ) sin(π f s T i + 2ϕ) (8.2) Für die relative Messunsicherheit ergibt sich: F rel = ūs U x = ûs U x si(π f s T i ) sin(π f s T i + 2ϕ) (8.3) Der maximale/minimale Fehler ergibt sich aufgrund 1 sin(π f s T i + ϕ) 1 zu: F max = ± ūs U x = ± ûs U x si(π f s T i ) Bild 8.4: Maximaler Fehler Bild 8.5: Störspannungsdämpfung 62 WS 2014/15

63 8.2 Theoretische Aufgaben Der Fehler bewegt sich, wie in Bild:8.4 dargestellt zwischen der oberen und unteren SI-Funktion. Der Fehler wird null, wenn die SI-Funktion null wird (Gl. 8.4) völlig unabhängig von der Phase des Störsignals. si(π f s T i ) = 0 (8.4) Die Gleichung 8.4 wird gelöst, wenn f s T i = n gilt, mit n N. D.h. der Fehler beträgt immer Null, wenn die Periode des Störsignals ein Vielfaches der Integrationszeit beträgt: T s = 1 f s, F = 0 für f s T i = n T i = n T s mit n N (8.5) Die Störspannungsdämpfung ist nun wie folgt definiert: S = 20log(ūs û s ) (8.6) D.h. die Störspannungdämpfung ist unabhängig von der Störamplitude wie Gl. 8.7 zeigt und nur von der Frequenz und Phase des Störsignals und der Integrationszeit des Dual-Slope-Integrierers abhängig. S = 20log(si(π f s T i ) sin(π f s T i + 2ϕ)) (8.7) Um die maximale Stördämpfung zu bestimmen sind die gleichen Überlegungen und Rechnungen durchzuführen wie zur Bestimmung des maximalen Fehlers F max = 0. In der Praxis gilt T i = 5T s = 100ms häufig als gute Dämpfung für Netzbrummen (50 Hz & 60 Hz). Für die Phase ϕ und Frequenz f s des Störsignals u s ergeben sich folgende Auswirkungen auf die Störspannungsdämpfung. bei konstanter Integrationszeit T i und konstanter Störspannungsfrequenz f s entsteht ein sinusförmiger Zusammenhang zwischen Störspannung u s und der Phase ϕ der Störgröße (vergl. Gl.: 8.2). die Störspannungsdämpfung S, steigt bei konstanter Integrationszeit für zunehmende Störfrequenzen f s und hat da, wo die Integrationszeit ein Vielfaches der Periode des Störsignals beträgt (Bild: 8.5) Zusammenfassend ist zu sagen, dass über die richtige Wahl der Integrationszeit T i des Dual- Slope-Integrierers die Störeinflüsse in einem Signal ausblendbar sind. Welches die richtige Wahl ist lässt sich unter Berücksichtigung der korrelierenden Zusammenhänge von relativer Unsicherheit 8.2 und Störspannungsdämpfung ermitteln Theoretische Aufgaben WS 2014/15 63

64 8 Digitale Messkette Aliasing Worum handelt es sich bei Aliasing? Wie kann es vermieden werden? Entwurf eines Aliasing-Filters Wie muss ein Aliasing-Filter entworfen werden? Warum spielt dabei auch die Auflösung (Bitanzahl) des AD-Umsetzers eine Rolle? DNL eines Analog-Digital-Umsetzers Was ist die differentielle Nichtlinearität eines AD-Umsetzers und wie kann sie messtechnisch bestimmt werden? INL eines Analog-Digital-Umsetzers Was ist die integrale Nichtlinearität eines AD-Umsetzers? Störspannungsunterdrückung Vorteil des Dual-Slope-Integrierers Welchen Vorteil hat der Dual-Slope-Integrierer, bei der Verarbeitung eines der Messgröße U x überlagertem Störsignals u s? Wie kann die Integrationszeit T i für die 1. Phase des Dual-Slope-Integrierers bestimmt werden, sodass idealerweise das Störsignal vollständig unterdrückt wird? In der Praxis wird das Dual-Slope-Verfahren meistens benutzt, um Netzbrummen zu unterdrücken. In diesem Fall wird meistens eine Integrationszeit von 100ms gewählt. Berechnung Bestimmen Sie für Fall 1 und Fall 2 aus Abb.:8.6, den Mittelwert des Störsignals ū s und die Störspannungsdämpfung S. Festlegen der Messparameter für Störspannungsmessung In Abb. 8.7 ist das Front-Panel der Störspannungsmessung mit den einstellbaren Messparametern gezeigt. Nähere Beschreibungen zum Front-Panel finden sich im Abschnitt Bestimmen Sie die Parameterwerte für die leeren Felder des Panels so, dass eine sinnvolle Störspannungsdämpfung gemessen werden kann. Orientieren Sie sich an den vorangegangen Aufgaben für Ihre Wahl. Wählen Sie außerdem die Frequenzparameter so aus, dass sie zwischen Frequenzstützpunkte für die Störspannungsdämpfung S erhalten. Das stellt einen guten Kompromiss zwischen guter Kurvenauflösung und Messdauer dar. 64 WS 2014/15

65 8.3 Praktische Aufgaben Bild 8.6: Spannungsverlauf 8.3 Praktische Aufgaben Aliasing In dieser Aufgabe soll der Aliasing-Effekt untersucht werden. Nehmen Sie dazu ein Sinus- Signal der Frequenz 10 khz bei unterschiedlichen Abtastfrequenzen auf, beispielsweise 40, 35, 30, 25, 20, 17.5, 15, 12.5 und 10 khz. Achten Sie darauf, dass kein Clipping auftritt! Sehen Sie sich die Spektren der aufgezeichneten Signale an (mit mdt_spectrum)! Wo liegen die Signalfrequenzen und warum liegen sie dort? Die Spektren bestimmter Zeitsignale (z.b. Musik oder Sprache) enthalten viele verschiedene Frequenzen bis ca. 15 khz. Wie würde sich der Aliasing-Effekt auswirken, wenn ein solches Signal mit einer Abtastrate von 8 khz abgetastet werden würde? Gibt es eine Möglichkeit zur Vermeidung der negativen Effekte? Aliasingfilter Nichtsinusförmige Signale enthalten Oberwellen, die bei zu niedriger Abtastrate durch Aliasing als störendes Rauschen in Erscheinung treten. Dieser Effekt soll untersucht werden. Erzeugen Sie dazu ein rechteckförmiges Signal mit einer Grundfrequenz von 1kHz. Geben Sie dieses Signal auf den Filter (blaue Box) und verbinden Sie den Output des Filters mit dem AD-Wandler. Auf einen weiteren Kanal legen Sie das ungefilterte Signal. Tasten Sie das gefilterte und das ungefilterte Signal mit jeweils 48 khz ab. HINWEIS: Die Messkarte NI USB-6009 hat eine maximale Summen-Abtastfrequenz von 48 khz, d.h. Sie können nur einen Kanal zu einer Zeit mit 48kHz abtasten (die maximale Abtastfrequenz für zwei Kanäle ist dementsprechend 24kHz, usw.). Stellen Sie beide Spektren mit mdt_spectrum dar. Hinweis: Falls die Spektrallinien schlecht zu erkennen sind, multiplizieren sie das Signal mit einem Verstärkungsfaktor. WS 2014/15 65

66 8 Digitale Messkette 2 Verringern Sie nun die Abtastrate auf 10kHz und stellen Sie erneut beide Spektren dar. Interpretieren Sie die Ergebnisse! FFT-Analyse (optional) Messen Sie mittels des Oszilloskops ein Rechtecksignal (CH1). Filtern Sie dieses Signal mit Hilfe der blauen Filterbox und messen Sie das Outputsignal ebenfalls mit dem Oszilloskop (CH2). Nutzen Sie nun die Funktion: math -> Funktion -> FFT, um das Frequenzspectrum der Signale darzustellen (beachten, welcher Kanal jeweils als Quelle eingestellt ist). Führen Sie nun die Messung für ein 500Hz und ein 1200Hz Rechtecksignal durch. 1. Was passiert im FFT-Fenster mit dem Signal auf Kanal 1 bei Änderung der Frequenz? 2. Was wird mittels der FFT-Funktion dargestellt? 3. Wie lassen sich die gemessenen Signale und Spektren erklären? ADU-Histogramm-Test Analog-Digital-Umsetzer sind nichtideale Bauelemente, die ein Signal nie völlig fehlerfrei aufzeichnen können. Daher ist es wichtig, die Qualität eines ADU s zu testen, um den Einfluss dieser Störungen abzuschätzen. Es wurde in einer Aufgabe des letzten Übungsblattes bereits gezeigt, wie die effektive Bitanzahl eines konkreten ADU s ermittelt werden kann. In dieser Aufgabe soll ein weiteres Verfahren zur Güteschätzung eines ADU s eingesetzt werden. Erzeugen Sie dazu ein Dreiecksignal im Bereich [ 2.5,+2.5] V mit einer Frequenz von ca. 3 khz. Zeichnen Sie nun für 60 Sekunden das Signal bei einer Abtastfrequenz von 40 khz und einer Messbereichsamplitude von 2V auf. Da es sich um ein Dreieck-Signal handelt sollten alle Codes des ADU s, bis auf die Codes am Rand, gleich häufig auftreten. Die Codes am Rand (0 und ) sind auf Grund der Übersteuerung (Clipping) wesentlich häufiger vorhanden. Stellen Sie das Histogramm des aufgezeichneten Signals dar! Sie können dazu die Funktion mdt_histogram benutzen, welche die Häufigkeit pro Code bestimmt. Die Randcodes werden von der Funktion bereits beseitigt. Berechnen Sie weiterhin die differentielle Nichtlinearität (DNL) und interpretieren Sie das Ergebnis! Störspannungsunterdrückung In diesem Versuch soll anhand eines durch Labview vorgefertigten Programms, der Verlauf der Störspannungsdämpfung S eines Störsignals mit der Frequenz f s nachgebildet werden. Die Frequenz f s soll erhöht werden, sodass nach Beendigung der Messung ein mit Bild:8.5 vergleichbares Ergebnis entsteht. Hinweise zum Front Panel (Bild:8.7): auf dem Bildschirm wird nach Abschluss der Messung die Störspannungsdämpfung angezeigt mögliche Signalformen sind: Dreieck, Rechteck und Sinus 66 WS 2014/15

67 8.3 Praktische Aufgaben durch V pp wird die Peak to Peak Spannung des Störsignals festgelegt mit Offset stellt man den Wert der gleichspannungsförmigen Messgröße ein die Startfrequenz steigt um die Höhe des Inkrements bis die Endfrequenz erreicht ist die Sampleanzahl legt fest wie viele Abtastwerte pro betrachteter Störfrequenz f s gemessen werden über die Integrationszeit wird die Dauer der 1.Phase t 1 des Dual-Slope-Integrierers als konstant festgelegt (Bild:8.2). Das bedeutet, dass die Störspannungsdämpfung nur noch mit Änderung der Störfrequenz variiert. Zur Durchführung des Versuchs sollen die, in der Theorie, bestimmten Werte verwendet werden. Nach Beendigung der Messung werden Ihnen die Störspannungsdämfungen S in einer.txt Datei ausgegeben. Laden Sie den Inhalt mit Hilfe des folgendes Befehls in Scilab ein: >M=fscanfMat( Dateiname.txt ); Plotten Sie aus den Messwerten die Störspannungsdämpfung als Funktion der Störfrequenz f s. Plotten Sie nun die Störspannungsdämpfung in normierter Darstellung, wie in Abb.:8.5. D.h. die Störspannungsdämpfung ist in Abhängigkeit des Produkts aus Störfrequenz f s und Integrationnszeit T i darzustellen. Berechnen und plotten Sie den maximalen Fehler Bild 8.7: Front Panel WS 2014/15 67

68 9 Leistungsmessung 1 Lernziele Leistungen bei sinusförmigen Strömen und Spannungen Blindleistungsmessung mittels Dreiphasennetz 9.1 Einleitung Es werden sinusförmige Spannungen und ein sinusförmige Ströme an unterschiedlichen Verbrauchern gemessen und hierdurch Schein-, Wirk- und Blindleistung bestimmt. Um die Blindleistung messtechnisch zu ermitteln, wird die Phasenverschiebung der Spannungen im Drehstromnetz ausgenutzt. Als ohmsches Element wird eine Glühlampe verwendet. Zur Untersuchung des Einflusses eines induktiven Elements wird eine Leuchtstoffröhre mit Drosselspule betrachtet. Außerdem wird das Verhalten einer Energiesparlampe erörtert. 9.2 Theorie Messgrundlagen Messgrundlagen zur Leistungsmessung finden Sie unter anderem im Auszug aus dem HAMEG Instruments 8kW Power-Meter HM Handbuch im Anhang Leuchtstoffröhre Eine Leuchtstoffröhre ist eine Niederdruck-Gasentladungslampe, die auf der Innenseite mit einem fluoreszierenden Leuchtstoff beschichtet ist. Sie ist mit Gas, z.b. Quecksilberdampf und Argon, gefüllt, dessen Ultraviolettstrahlung von der Leuchtstoffbeschichtung in sichtbares Licht umgewandelt wird. Zum Einschalten ist eine Zündspannung nötig, die die Gasfüllung ionisiert und elektrisch leitfähig macht. Es entsteht ein Niederdruck-Plasma, das so lange erhalten bleibt, wie die Brennspannung (abhängig von Röhrenlänge und Gasdruck) erhalten bleibt. Das Plasma hat einen negativen differentiellen Innenwiderstand, d.h. die Spannung sinkt bei zunehmenden Strom. Es ist also eine Strombegrenzung notwendig. Deshalb werden Gasentladungslampen mit einem Vorschaltgerät betrieben, das aus einer Drosselspule in Reihe zur Leuchtstoffröhre und einem Starter besteht (siehe links oben in Bild 9.1). Die Drossel hat die Aufgabe die zur Zündung erforderliche Spannung zu erzeugen und den Betriebsstrom zu begrenzen. Dieses konventionelle Vorschaltgerät (KVG) hat z.b. bei einer 58W-Röhre eine Verlustleistung von etwa 12W. 68 WS 2014/15

69 9.2 Theorie Der Starter sorgt für die Zündung und ist parallel zur Leuchtstoffröhre geschaltet. Er besteht aus einer Glimmlampe mit Bimetallstreifen als Elektroden und parallel dazu einem Entstörkondensator. Nach dem Einschalten liegt zunächst die gesamte Netzspannung am Bimetallstarter an, was zu einer Glimmentladung führt (siehe oben rechts in Bild 9.1). Die Bimetallstreifen erwärmen und verbiegen sich, so dass ein Kurzschluss entsteht (siehe links unten in Bild 9.1). Dadurch fließt ein großer Strom durch die Heizwendeln in der Leuchtstoffröhre und sie beginnen zu glühen. Die dabei entsendeten Elektronen reichern das Gas mit Ladungsträgern an. Die durch den Kurzschluss am Starter fehlende Glimmentladung lässt das Bimetall abkühlen und der Kontakt öffnet sich wieder. Jetzt besitzen die Glimmlampe und die noch nicht gezündete Leuchtstoffröhre einen hohen Widerstand, wodurch der Strom in der Drosselspule schnell abfällt und durch Selbstinduktion entsteht kurzzeitig eine hohe Spannung, die die mit Ladungsträgern angereicherte Röhre nun zündet (siehe rechts unten in Bild 9.1). Starter Glimmentladung Elektroden Leuchtstoffröhre Drossel Spannungsquelle Stromfluß 230 V Glühemission 230 V 230 V Bild 9.1: Startvorgang Energiesparlampe (Quelle: Die Funktion der Kompaktleuchtstofflampen entspricht im Wesentlichen derjenigen der konventionellen Leuchtstofflampen. Sie arbeiten diesen gegenüber jedoch bei höherem Innendruck, sind daher kleiner und haben eine höhere Leuchtdichte. Der Druckaufbau beziehungsweise die Verdampfung des Quecksilbers geschieht beim Einschalten durch Vorheizung der Kathoden beziehungsweise Heizfäden (direkt geheizte Kathoden) und nachfolgender Eigenerwärmung. Daher erreichen Kompaktleuchtstofflampen nicht sofort ihre volle Leuchtkraft. WS 2014/15 69