Bewertung von Anleihen

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1 Bewertug vo Aleihe Arithmetik der Aleihebewertug: Überblick Zerobods ud Koupoaleihe Ziskurve: Spot Zise ud Yield to Maturity Day cout Kovetioe Replikatio ud Arbitrage Forward Zise Yield ud ex post realisierte Redite

2 Zerobods oder Strips Zahlugsstrom eies Zerobods t t+ Zahle p Erhalte 00 DM : Laufzeit i Jahre Spotrates Die Spotrate ist die Redite (yield des Zeros: p = 00 ( + y jährliche Verzisug (Aual compudig 00 p = ( + y / p 00 = y e halbjährliche Verzisug (semiaual compoudig kotiuierliche Verzisug (cotiuous compudig 4

3 Verzisugsfrequez ud Vermögesetwicklug Edvermöge ach eiem Jahr i Abhägigkeit vo Zisfrequez Zistermie p.a. Zis Edvermöge Formel 0% 0,00 00*(+0% 0% 0,5 00*(+5%(+5% 0% 0,4 00*(+,%(+,%(+,% 4 0% 0, % 0, % 0, % 0, % 0, % 0, % 0, % 0,5... uedlich 0% 0,5 00*exp(0% * 5 Diskotfaktor Der Diskotfaktor ist der Preis eier zuküftige DM d p = = 00 ( + y Beispiel: Laufzeit Zerobodpreis Diskotfaktor Zerorate 95,69 0,957 4,5% 90,70 0,907 5,0% 8,96 0,840 6,0% 4 77,7 0,777 6,5% 5 76,5 0,765 5,5% 6 75,48 0,755 4,8% 6

4 Bewertug vo Koupoaleihe Koupoaleihe sid Asprüche auf feststehede zuküftige Zahluge: t t+ t+ t+ Koupoaleihe köe durch Zerobods repliziert werde => Preis(Koupoaleihe = Preis (Replikatiosportfolio Pr eis = d c + d c c c = + ( + y ( + y + d c + d c 4 4 c + ( + y +... d c Prizip der arbitragefreie Bewertug Schritt : fide Replikatiosportfolio = idetischer Zahlugsstrom, durch Portfolio aus adere gehadelte Wertpapiere gebildet Schritt : Bewertug ach Arbitragefreiheitsprizip We Preis der Koupoaleihe Preis des Replikatiosportfolio => risikoloser Arbitragegewi durch Kauf (Verkauf der Koupoaleihe + Verkauf (Kauf des Replikatiosportfolios 8

5 Ableitug vo Spotrate aus Koupobodpreise Beispiel: Laufzeit Koupo Preis 6% 0,4 8% 05,6 4% 94,8 4 5% 95, Rekursive Ableitug der Diskotfaktore: 0,4 = d * 06 => d = 0,957 05,6= d * 8 + d * 08 => d = 0,907 94,8 = d * 4 + d * 4 + d * 04 => d = 0,84 95, = d * 5 + d * 5 + d * 5 + d 4 * 05 => d 4 = 0,777 Ableitug der Zerorate aus d = ( + y 9 Impliziere Zerobodpreise ud Koupobodpreise die gleiche Spotkurve? Propositio: Es existiert eie risikolose Arbitragemöglichkeit, we die beide Zisstrukturkurve icht übereistimme Realität: gerige Abweichuge aufgrud: - Bid-Ask-Spread - icht sychroe Preisdate - Koste der Arbitrage (isbesodere des Shortsellig 0

6 Redite eier Aleihe (Yield to Maturity Yield to Maturity ist der itere Zis eier Aleihe: c c = Pr eis + + ( + y ( + y c + ( + y 0 + Beispiel: jährige Aleihe, 8% Koupo 0 = -05,6 + 8/(+y + 08/(+y => y=4,988% (Spotrate y = 5%... Amerkug: Yield hägt vo Koupohöhe ab (! Par Yields (Zisstrukturkurve vo Koupoaleihe Fide Koupohöhe, so daß Wert der Koupoaleihe = = Koupo (d + d + d +...d - + (00+Koupo * d => Zisstrukturkurve vo Koupoaleihe, die zum Nomialwert (00 gehadelt werde

7 Vergleich vo Spotziskurve ud Yieldkurve (Beispiel Schätzug vo Zisstrukturkurve i der Praxis Fittig eier Fuktio (z.b. Polyom a empirische Date 4

8 Forwardzise Eiperiodiger Forwardzis = Zis eies heute vereibarte zuküftige eiperiodige Kredit-/Alagegeschäfts t+ t t++ 00 Z.B. Forward Kredit: Erhalte Zahle 00 + f 5 Ableitug des Forwardzises aus Arbitragefreiheitsbedigug Sythetische Geerierug durch Zeros: t t+ t++ - p x*p x*00 Wähle x so, daß sich Zahluge i t zu ull saldiere: => - p + + x*p = 0 => x = p + / p Berechug des Zises des sythetische Forwardgeschäfts: p+ x*00* ( + f = 00 *( + f = p f = p p p + + 6

9 Ableitug der Forwardzisstruktur aus Zerozisstruktur Laufzeit Zerobodpreis Zerorate Forwardrate 95,69 4,5%.a. 90,70 5,0% 5,50% 8,96 6,0% 8,0% 4 77,7 6,5% 8,0% 5 76,5 5,5%,59% 6 75,48 4,8%,7% p p f = p + + Approximativ gilt: Spotrate sid Durchschitte vo Forwards * z.b. y = 6% ( f 0 + f + f = 4,5% + 5,5% + 8,0% / = 6,0%! 0 y f = * exakt für kotiuierliche Verzisug 7 Alterative Herleitug vo Forwardzise Alage i -jährige Zerobod brigt gleiches Edvermöge wie revolvierede eiperiodige Alage zum Forwardzis ( + y ( + y ( + y ( + y... = ( + f = ( + f = ( + f = ( + f = ( + y 0 0 ( + f 0 ( + ( + f ( + f ( + f f ( + f 8

10 Erwartugstheorie des Zises Forwardzis = erwarteter zuküftiger Spotzis f = E (y i Zeitpukt eiperiodiger Zerobodzis i Zeitpukt risikoeutraler Kapitalmarkt => revolvierede -periodige Alage muß gleiche erwartete Edwert wie -periodiger Zerobod aufweise => Erwartugstheorie muß gelte risikoaverser Kapitalmarkt => Geltug der Erwartugstheorie offe 9 Adere Zistheorie Liquiditätspräfereztheorie Aleger beforzuge kurze Laufzeite Kurzfristige Zise i der Regel geriger als lagfristige ormale Zisstruktur Preferred Habitat Theorie / Theorie segmetierter Märkte Verschiedee Schulder/Alager habe uterschiedliche Laufzeitpräfereze Steigug der Zisstrukturkurve beliebig / im Extremfall kei Zusammehag mit Erwartuge der Marktteilehmer ( 0

11 Zisstrukturkurve Zis Iverse Zisstruktur Normale Zisstruktur Laufzeit Spotkurve ud Forwardkurve: Beispiel

12 Realisierte Redite = versprochee Redite? Mögliche Vermögesetwicklug bei Alage i Aleihe Kursrisiko T Wiederalagerisiko Zeit Ex ate Redite (Yield ud ex post realisierte Redite Realisierte Redite vo Zerobods. Bis Laufzeitede: y (Ex post Redite = Yield. Kürzerer Zeithorizot: Ex post Redite vo Verkaufserlös, d.h. vo zuküftiger Zisetwicklug abhägig Realisierte Redite vo Koupobods Erfolg der Wiederalage der Koupos abhägig vo zuküftige Zise => Ex post Redite Yield 4

13 Zusammefassug ( Folgede Date stelle äquivalete, vollstädige Charakterisieruge der Zisstruktur dar: - Preise vo Zerobods (jeweils für alle Laufzeite - Diskotfaktore - Zerobodzise - Forwardzise - Yield to Maturity vo Bods, die zum Nomialwert gehadelt werde ( Par bods Koupo Bods mit verschiedee Koupos weise bei fairer Bewertug uterschiedliche Yields auf => Yield to Maturity kei Idikator für Ivestitiosetscheidug 5 Zusammefassug ( Alle Fiazistrumete mit feststehede Zahlugströme köe mit Zerobods repliziert ud aufgrud des Arbitragefreiheitsprizip bewertet werde Im allgemeie divergiere Yield ud ex post realisierte Redite 6

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