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1 BSc - Sessionsprüfung Regelungstechnik II ( ) Dr. G. Ochsner Musterlösung Dauer der Prüfung: Anzahl der Fragen: Bewertung: 120 Minuten + 15 Minuten Lesezeit am Anfang! 43 (unterschiedlich gewichtet, total 64 Punkte) Um die Note 6 zu erlangen, müssen nicht alle Fragen richtig beantwortet werden. Bei jeder Frage ist die Punktezahl angegeben. Die angegebene Punktezahl kann nur erreicht werden, wenn die vollständig richtig ist, d.h. es gibt keine Punkte für halbrichtige en. Nicht eindeutige en werden als falsch bewertet. Erlaubte Hilfsmittel: 20 A4-Blätter (40 Seiten) Taschenrechner (zur Verfügung gestellt) Die Assistenten dürfen keine Hilfe geben. Zur Beachtung: Die en sind nicht zu begründen. Es zählt ausschliessich das Endresultat. Zu einer korrekten gehört auch die richtige Masseinheit. Geben Sie die en ausschliesslich an den dafür vorbereiteten Stellen an.

2 Seite 2 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Thema: Erweiterte SISO-Reglersynthesemethoden Moser Beschreibung: In den folgenden Teilaufgaben wird die Regelung eines Heizsystems, bei welchem flüssiges Wasser mit Wasserdampf erhitzt wird, betrachtet. Abbildung 1 zeigt den schematischen Aufbau dieser Regelstrecke. Die Regelaufgabe besteht darin, die gemessene Abflusstemperatur des flüssigen Wassers auf einer gewünschten Solltemperatur zu halten. Dazu lässt sich der Massenstrom des Dampfes (ebenfalls gemessen) mit Hilfe eines Stellventils einstellen. Wasserzufluss und Wasserabfluss werden als nicht messbare Störgrössen betrachtet. Strecke Wasserzufluss Dampfkreislauf Stellventil B Messsignal Dampfmassenstrom Wasserabfluss Messsignal Abflusstemperatur C Regler A Solltemperatur C slow + + C fast D Abbildung 1: Schematische Darstellung des Dampfheizsystems und des zugehörigen kaskadierten Regelsystems. F1 (1 Punkt) Welche Ein- und Ausgangscharakteristik hat diese Regelstrecke? SISO (single-input single-output) SIMO (single-input multiple-output) MISO (multiple-input single-output) MIMO (multiple-input multiple-output) F2 (2 Punkte) Ihre Chefin schlägt Ihnen vor, eine kaskadierte Reglerstruktur mit einem schnellen inneren Regler C fast (s) und einem langsamen äusseren Regler C slow (s) zu implementieren. Beschriften Sie in Abbildung 1 die vier leeren, hellgrau hinterlegten Quadrate mit dem zugehörigen Buchstaben A,B,C oder D der zu verbindenden Signale, so dass eine sinnvolle kaskadierte Regelstruktur ensteht.

3 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 3 F1 Die Strecke hat eine Eingangsgrösse (Stellventil) und zwei Ausgangsgrössen (Messung Dampfmassenstrom und Messung Abflusstemperatur). Somit handelt es sich um ein SIMO-System. SISO (single-input single-output) SIMO (single-input multiple-output) MISO (multiple-input single-output) MIMO (multiple-input multiple-output) F2 Der Dampfkreislauf beschreibt in dieser Regelstrecke die schnelle Dynamik und die Wassertemperatur die langsame Dynamik. Somit wird mit dem schnellen, inneren Regler C fast (s)derdampfmassenstromgeregelt undmitdemlangsamen,äusserenreglerc slow (s) die Abflusstemperatur. siehe Abbildung 2. Strecke Wasserzufluss Dampfkreislauf Stellventil Messsignal Dampfmassenstrom Wasserabfluss Messsignal Abflusstemperatur D B C Regler C B A Solltemperatur A C slow + + C fast D Abbildung 2: Schematische Darstellung des Dampfheizsystems und des zugehörigen kaskadierten Regelsystems ().

4 Seite 4 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Beschreibung: Betrachtet wird eine kaskadierte Regelstrecke gemäss Abbildung 3. Gegeben sind die Übertragungsfunktionen der schnellen Strecke P f (s) = k f τ f s+1 sowie der langsamen Strecke P s (s) = ks τ. Für die schnelle Strecke wurde zudem bereits ein P-Regler C s s+1 f(s) = k p ausgelegt, während für die langsame Strecke ein reiner I-Regler C s (s) = 1/(T i s) eingesetzt wird. r s e s r e C f s (s) f u C f (s) f u P f (s) s y s P s (s) y f Abbildung 3: Kaskadierte Reglerstruktur. Index s: slow, index f: fast F3 (2 Punkte) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion der erweiterten Regelstrecke für den äusseren Regelkreis P out (s) : r f y s und verwenden Sie folgende Parameterwerte: τ f = 1s, τ s = 10s, k f = 1, k p = 1, T i = 1s. P out (s) = F3 Zuerst muss die komplementäre Sensitivität T i (s) : r f y f des inneren Regelkreises berechnet werden. Diese ergibt T i (s) = 1 s+2. Die Serieschaltung mit der äusseren Regelstrecke P s (s) ergibt das gesuchte Resultat: P out (s) = k s (s+2) (10 s+1) = k s 10 s s+2 Da der Wert der Variable k s als einzige Grösse nicht gegeben ist, wurde auch die mit k s = 1 akzeptiert.

5 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 5 Beschreibung: In dieser Aufgabe wird die Regelung einer totzeitbehafteten Regelstrecke P(s) = P r (s) e s T d betrachtet, welche sich aus den Anteilen der (unbekannten) totzeitfreien Strecke P r und der (unbekannten) Totzeit T d zusammensetzt. Von dieser Strecke haben sie das Modell ˆPr und die Totzeit ˆT d = 1s identifiziert. Die Regelstrecke wird mit einem Smith-Prädiktor geregelt, siehe Abbildung 4. F4 (2 Punkte) Ordnen Sie die vier in Abbildung 5 dargestellten Signalverläufe den Signalpfeilen im Blockschaltbild in Abbildung 4 zu. Schreiben Sie dazu die vier Zuordnungsbuchstaben A,B,C und D in die hellgrau hinterlegten Quadrate in Abbildung 4. Achtung: Jeder Buchstabe darf nur einmal verwendet werden, d.h. es gibt überzählige Quadrate. d r C r u P r T d y ˆP r ˆTd Abbildung 4: Blockschaltbild eines Smith-Prädiktor Regelsystems A B C D Signal [-] Time [s] Abbildung 5: Signalverläufe des Smith-Prädiktor Regelsystems.

6 Seite 6 Sessionsprüfung Regelungstechnik II F4 Die Zuordnung des Referenzsignals A ist trivial. Signal C ist das einzige bekannte Signal, welches keinen Totzeiteinfluss aufweist. Signal D ergibt sich aus dem Hinweis, dass die modellierte Totzeit genau 1 s beträgt. Signal B wiederum unterliegt einer leicht von 1 s abweichenden Totzeit. Die übrigen Signalverläufe haben eine deutlich andere Form. d r A C r u P r T d y B ˆP r C ˆTd D Abbildung 6: Blockschaltbild eines Smith-Prädiktor Regelsystems ().

7 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 7 Beschreibung: Gegeben sind verschiedene Aussagen zum Thema Vorsteuerung (feed forward). F5 (2 Punkte) Kreuzen Sie bei den jeweiligen Aussagen an, ob diese richtig oder falsch sind. Aussage Eine stabile Vorsteuerung kann die Stabilitätseigenschaften des geschlossenen Regelkreises beeinflussen. Eine Vorsteuerung kann zur Unterdrückung von Störungen am Streckenausgang beitragen. Eine Vorsteuerung kann das Folgeregelungsverhalten (reference tracking) verbessern. Bei der Auslegung der Vorsteuerung muss das Sensorrauschen berücksichtigt werden. richtig falsch F5 Die Vorsteuerung hat keinen Einfluss auf die Stabilitätseigenschaften des geschlossenen Regelkreises, da sie direkt vom Referenzsignal r auf die Stellgrösse u wirkt. Störungen am Streckenausgang und Sensorrauschen sind aber nur im Signal y vorhanden. Somit haben Störungen am Streckenausgang und Sensorrauschen keinen Einfluss auf die Vorsteuerung. siehe Tabelle: Aussage Eine stabile Vorsteuerung kann die Stabilitätseigenschaften des geschlossenen Regelkreises beeinflussen. Eine Vorsteuerung kann zur Unterdrückung von Störungen am Streckenausgang beitragen. Eine Vorsteuerung kann das Folgeregelungsverhalten (reference tracking) verbessern. Bei der Auslegung der Vorsteuerung muss das Sensorrauschen berücksichtigt werden. richtig falsch X X X X

8 Seite 8 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Beschreibung: Gegeben sei eine Regelstrecke 1. Ordnung mit der Übertragungsfunktion P(s) = 1 s+1. F6 (1 Punkt) Legen Sie eine reine Steuerung F(s) für diese Regelstrecke P(s) so aus, dass das Gesamtsystem (Steuerung F(s) seriell zur Regelstrecke P(s)) sich wie ein System 1. Ordnung mit einer Zeitkonstante von 0.5 Sekunden und einer Verstärkung von k = 1 verhält. F(s) = F6 Die Serieschaltung von F(s) und P(s) muss einem System erster Ordnung mit einer 1 Zeitkonstante von 0.5s und einer Verstärkung von k = 1 entsprechen: F(s) s+1 = s+1. Der Zähler von F(s) muss so gewählt werden, dass der Pol von P(s) gekürzt wird. Das Resultat lautet: F(s) = s s+1

9 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 9 Beschreibung: Sie möchten die optimalen Parameter eines PID-Reglers für die Strecke P(s) = 2.5 (s 2) mit Hilfe einer numerischen Optimierung bestimmen. Die Matlab-Funktion (s+1) 2 (s+4) zur Berechnung des Gütekriteriums für die numerische Optimierung wurde bereits fast vollständig geschrieben und lautet wie folgt: 1 function objective = objective_fct(x,p,s) 2 3 % Inputs: 4 % x: vector of optimization variables 5 % P: Plant transfer function 6 % s: Laplace variable 7 8 % Output: 9 % objective: Value of the objective function % Optimization variables 12 kp = x(1); 13 Ti = x(2); 14 Td = x(3); % PID-Controller 17 C = kp*(1+1/(ti*s)+td*s); % Open-loop and closed-loop transfer function 20 L = series(c,p); 21 T = feedback(l,1); % Unit step response 24 [y,~] = step(t,[0:0.001:10]); % Quadratic error 27 errorsquare = sum((y-1).^2); % Over- and undershoot 30 overshoot = max(y)-1; 31 undershoot = ###; % objective function 34 objective = 0.1*errorsquare + 5*overshoot + ###; end F7 (2 Punkte) Ergänzen Sie die fehlenden Stellen im Code in den Zeilen 31 und 34 so, dass die maximale Auslenkung über den Endwert 1(overshoot) gleich stark gewichtet wird wie die maximale Auslenkung unter den Startwert 0 (undershoot). Tipp: Vorzeichen beachten! Schreiben Sie die fehlenden Codefragmente anstelle der beiden Platzhalter ### in die nachfolgende Box: Zeile 31: undershoot = ; Zeile 34: objective = 0.1*errorsquare + 5*overshoot + ;

10 Seite 10 Sessionsprüfung Regelungstechnik II F8 (1 Punkt) Kann eine negative Auslenkung der Sprungantwort (undershoot) für die gegebene Regelstrecke vollständig vermieden werden? Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an. Ja, eine negative Auslenkung (undershoot) kann mit einem PID-Regler und einem geeigneten Gütekriterium vollständig vermieden werden. Nein, aber mit einer anderen Reglerstruktur (d.h. kein PID-Regler) und einem geeigneten Gütekriterium kann eine negative Auslenkung (undershoot) vermieden werden. Nein, es existiert kein Regler mit welchem eine negative Auslenkung(undershoot) vermieden werden kann. F7 Gesucht ist das Minimum von y. Für das Gütekriterium muss entweder ein negatives Vorzeichen verwendet werden -min(y) (Unterschwingen soll ja minimiert werden) oder der Betrag verwendet werden abs(min(y)). Eine gleiche Gewichtung von Über- und Unterschwingen wird dann mit dem gleichen Geweichtungsfaktor erreicht. Das Resultat lautet: Zeile 31: undershoot = -min(y); Zeile 34: objective = 0.1*errorsquare + 5*overshoot + 5*undershoot; F8 Das Unterschwingen wird durch die nicht minimalphasige Nullstelle verursacht. Eine positive Nullstelle kann aber nicht mit einem instabilen Pol im Regler gekürzt werden. Das Unterschwingen lässt sich also mit keinem Regler vermeiden. Ja, eine negative Auslenkung (undershoot) kann mit einem PID-Regler und einem geeigneten Gütekriterium vollständig vermieden werden. Nein, aber mit einer anderen Reglerstruktur (d.h. kein PID-Regler) und einem geeigneten Gütekriterium kann eine negative Auslenkung(undershoot) vermieden werden. Nein, es existiert kein Regler mit welchem eine negative Auslenkung (undershoot) vermieden werden kann.

11 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 11 Beschreibung: Die Regelstrecke P(s) = 3 s+1 wird mit einem PI-Regler C(s) = s geregelt. Der Aktuator unterliegt einer Saturation im Bereich 0.5 u 0.5. Ein anti reset-windup wurde nicht eingebaut. Erste Simulationen haben gezeigt, dass der Aktuator unmittelbar nach einem Einheitssprung im Referenzsignal während ca. 2.3 Sekunden an der oberen Grenze der Saturation anliegt. F9 (1 Punkt) Wie gross ist der Ausgang y(t) der Regelstrecke zum Zeitpunkt t = 1s nach dem Einheitssprung im Referenzsignal? y(t = 1s) = F9 Solange der Aktuator in der Saturation ist, ist der Regelkreis nicht geschlossen. Die Sprungantwort in dieser Situation entspricht damit der Sprungantwort der Regelstrecke P(s) auf einen Sprung im Eingangssignal von 0 auf 0.5. Zur kann man die gegebenen Werte in die der Sprungantwort eines Systems 1. Ordnung im Zeitbereich einsetzen: y(t = 1s) = (1 e 1/1 )) = y(t=1 s) = Bereich: [0.94 bis 0.95]

12 Seite 12 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Beschreibung: In Ihrer Simulationsumgebung verwenden Sie einen I-Regler zur Regelung der Strecke. Sie möchten nun in ihrem Modell berücksichtigen, dass der Aktuator keine beliebig grossen Signale ausgeben kann. Ausserdem möchten Sie ein anti reset-windup implementieren. In Abbildung 7 ist das Blockdiagramm des Simulinkmodells dargestellt. Dabei sind e der Regelfehler und u die Stellgrösse. F10 (2 Punkte) Tragen Sie in die Tabelle ein, welche der nachfolgend gezeigten Simulink Blöcke anstatt der Platzhalter in Abbildung 7 eingesetzt werden müssen um einen I-Regler mit anti reset-windup zu erhalten. Es gilt Ti > 0 und k ARW > 0. #1 #2 #3 #4 #5 #6 #7 #8 #9 #10 #11 #12 e A B C D u F E Abbildung 7: I-Regler mit anti reset-windup. Buchstabe des Platzhalters A B C D E F Nummer des Simulink Blocks

13 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 13 F10 Aufgrund der Vorzeichen kommt für den Platzhalter B nur Simulink Block #2 und für den Platzhalter E nur Simulink Block #7 in Frage. In Abbildung 8 ist die Implementation in Simulink gezeigt. Buchstabe des Platzhalter A B C D E F Nummer des Simulink Blocks #5 #2 #3 #9 #7 #11 Abbildung 8: : I-Regler mit anti reset-windup.

14 Seite 14 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Thema: MIMO Systemanalyse Moser Beschreibung: Gegeben ist eine Regelstrecke 4. Ordnung mit 3 Eingangsgrössen und 2 Ausgangsgrössen. Die Regelstrecke wird mit einem Regler mit Ausgangsrückführung (output feedback control) geregelt. F11 (2 Punkte) Geben Sie die Dimensionen der Matrizen A,B,C und D der Zustandsraumdarstellung dieser Regelstrecke an. Füllen Sie dazu Tabelle 1 aus. Matrix Anzahl Zeilen Anzahl Spalten A B C D Tabelle 1: Matrix-Dimensionen. F12 (1 Punkt) Welche Dimensionen hat die zugehörige Regler-Übertragungsfunktion C(s)? C(s) C 2 2 C(s) C 2 3 C(s) C 3 2 C(s) C 3 3 C(s) C 3 4 C(s) C 4 3 C(s) C 4 4 F11 Die korrekten Matrixdimensionen lauten: Matrix Anzahl Zeilen Anzahl Spalten A 4 4 B 4 3 C 2 4 D 2 3 Tabelle 2: Matrix-Dimensionen ().

15 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 15 F12 Da es sich um eine Ausgangsrückführung handelt muss die Regler-Übertragungsfunktion 3 Zeilen (3 Eingangsgrössen in die Strecke) und 2 Spalten (2 Ausgangsgrössen aus der Strecke) haben. C(s) C 2 2 C(s) C 2 3 C(s) C 3 2 C(s) C 3 3 C(s) C 3 4 C(s) C 4 3 C(s) C 4 4

16 Seite 16 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Beschreibung: In dieser Aufgabe werden Unterschiede zwischen SISO und MIMO Regelstrecken behandelt. F13 (2 Punkte) Füllen Sie die folgende Tabelle aus, indem Sie bei jeder Aussage entscheiden, ob diese für SISO und/oder für MIMO Regelstrecken zutrifft und kreuzen Sie falls zutreffend das entsprechende Feld an. Aussage Eigenwerte der Systemmatrix A der Zustandsraumdarstellung erlauben Beurteilung der Stabilität Robustheitseigenschaften lassen sich im Nyquist-Diagramm ablesen Pole und Nullstellen, die in der komplexen Ebene aufeinander liegen, lassen sich immer kürzen LQG-Regelung ist möglich Die Anzahl der Eingangsgrössen entspricht immer der Anzahl der Ausgangsgrössen SISO MIMO F13 siehe Tabelle. Eine Stabilitätsbeurteilung ist sowohl bei SISO als auch bei MIMO Systemen anhand der Systemmatrix A möglich. Bei MIMO-Systemen ist keine Information über die Phase vorhanden. Deshalb gibt das Nyquist-Diagramm auch keine Auskunft über die Robustheitseigenschaften. Bei MIMO-Systemen muss für Pol- und Nullstellenkürzungen auch die jeweilige Richtung berücksichtigt werden. LQG-Regelung ist grundsätzlich für SISO und MIMO Regelstrecken möglich. Die Anzahl der Eingangs- und Ausgangsgrössen ist nur bei quadratischen MIMO- Systemen gleich. Aussage SISO MIMO Eigenwerte der Systemmatrix A der Zustandsraumdarstellung X X erlauben Beurteilung der Stabilität Robustheitseigenschaften lassen sich im Nyquist-Diagramm X ablesen Pole und Nullstellen, die in der komplexen Ebene aufeinander X liegen, lassen sich immer kürzen LQG-Regelung ist möglich X X Die Anzahl der Eingangsgrössen entspricht immer der Anzahl der Ausgangsgrössen X

17 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 17 Beschreibung: Gegeben sind die 3 Regelstrecken (a), (b), und (c) mit jeweils 2 Ein- und Ausgangsgrössen. Für alle drei Regelstrecken soll ein Regler ausgelegt werden, der eine Durchtrittsfrequenz von 1 rad /s erreicht. Beurteilen Sie anhand der in den Abbildungen 9-11 gezeigten RGA-Frequenzverläufen, ob für diese Regelstrecken die Reglerauslegung unter Verwendung von SISO-Werkzeugen möglich ist, oder ob Sie auf MIMO-Werkzeuge zurückgreifen müssen. F14 (1 Punkt) Kreuzen Sie diejenige(n) Regelstrecke(n) an, für welche SISO-Werkzeuge zur Reglerauslegung verwendet werden können. System (a) (Abbildung 9) System (b) (Abbildung 10) System (c) (Abbildung 11) RGA11, RGA22 [db] RGA12, RGA21 [db] Frequency [rad/s] Frequency [rad/s] Abbildung 9: Frequenzverläufe der RGA-Matrix der Regelstrecke (a). RGA11, RGA22 [db] RGA12, RGA21 [db] Frequency [rad/s] Frequency [rad/s] Abbildung 10: Frequenzverläufe der RGA-Matrix der Regelstrecke (b). RGA11, RGA22 [db] RGA12, RGA21 [db] Frequency [rad/s] Frequency [rad/s] Abbildung 11: Frequenzverläufe der RGA-Matrix der Regelstrecke (c).

18 Seite 18 Sessionsprüfung Regelungstechnik II F14 Falls die RGA-Matrix für die relevanten Frequenzen (d.h. um die Durchtrittsfrequenz ω c = 1rad/s) annähernd der Einheitsmatrix (bzw. einer gespiegelten Einheitsmatrix) entspricht, lassen sich SISO-Werkzeuge für die Reglerauslegung verwenden. Ansonsten muss man MIMO-Werkzeuge verwenden. Nur für die Regelstrecke (b) sind zwei Einträge bei ω = 1 rad /s kleiner als 0.1 und die anderen zwei ungefähr 1. Das wird als genug diagonal betrachtet, um SISO-Werkzeuge anwenden zu können. Die Tatsache, dass die Diagonaleinträge RGA 11 und RGA 22 klein sind ist kein Problem, da die SISO-Regler übers Kreuz geschaltet werden können. System (a) (Abbildung 9) System (b) (Abbildung 10) System (c) (Abbildung 11)

19 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 19 Beschreibung: Gegeben sind eine Regelstrecke in der Zustandsraumdarstellung ẋ(t) = ( ) 3 0 x(t)+ 0 2 ( ) 0 2 u(t), y(t) = 3 0 ( ) 2 0 x(t)+ 0 1 ( ) 0 0 u(t) (1) 0 0 wobei x(t),y(t),u(t) R 2 1, sowie der für diese Regelstrecke ausgelegte Regler in der Zustandsraumdarstellung ( ) ( ) ( ) ż(t) = z(t)+ e(t), u(t) = z(t), (2) wobei z(t),e(t) R 2 1. Der Vektor e(t) beschreibt dabei den Regelfehler. F15 (1 Punkt) Beurteilen Sie die Stabilität der Regelstrecke (ohne Regler), welche in Gleichung (1) dargestellt ist. Lyapunov asymptotisch stabil Lyapunov stabil Lyapunov instabil F16 (1 Punkt) Beurteilen Sie die Beobachtbarkeit und Steuerbarkeit der Regeltrecke, welche in Gleichung (1) dargestellt ist. Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an. Weder vollständig steuerbar noch vollständig beobachtbar Vollständig steuerbar und vollständig beobachtbar Vollständig steuerbar, nicht vollständig beobachtbar Nicht vollständig steuerbar, vollständig beobachtbar Lässt sich mit den gegebenen Angaben nicht eindeutig beurteilen F17 (2 Punkte) Kreuzen Sie alle zutreffenden Eigenschaften ( ) des geschlossenen Regelkreises an. Tipp: Verwenden Sie den Vektor ζ = als erweiterten Zustandsvektor. x z Lyapunov asymptotisch stabil Lyapunov stabil Lyapunov instabil Schwingfähig Nicht schwingfähig F15 Die Eigenwerte der Systemmatrix der Regelstrecke lassen sich direkt aus Gleichung 1 ablesen: λ 1 = 3, λ 2 = 2. Aufgrund des positiven Eigenwertes λ 2 = 2 ist die Strecke Lyapunov instabil.

20 Seite 20 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Lyapunov asymptotisch stabil Lyapunov stabil Lyapunov instabil F16 Da die Strecke 2 Eingangs-, 2 Ausgangs- und 2 Zustandsgrössen aufweist müssen für die Beurteilung der Beobachtbarkeit und Steuerbarkeit der Regelstrecke nur die Ein- und Ausgangsmatrizen (üblicherweise mit B und C bezeichnet) betrachtet werden. Da diese beiden Matrizen jeweils vollen Rang aufweisen ist die Regelstrecke vollständig steuerbar und vollständig beobachtbar. Weder vollständig steuerbar noch vollständig beobachtbar Vollständig steuerbar und vollständig beobachtbar Vollständig steuerbar, nicht vollständig beobachtbar Nicht vollständig steuerbar, vollständig beobachtbar Lässt sich mit den gegebenen Angaben nicht eindeutig beurteilen F17 Im ersten Schritt muss die kombinierte Systemmatrix A cl des geschlossenen ( ) Regelkreises x berechnet werden. Mit dem vorgeschlagenen Zustandsvektor ζ = ergibt sich z (ẋ ) = ż ( ) A BH GC F ( ) x = z ( ) x. (3) z A cl isalso eineblockdiagonalmatrix. Dadurchlassen sich zwei von vier Eigenwerten direkt ablesen: λ 1 = 3 und λ 4 = 1. Die Eigenwerte des mittleren Blocks lassen sich mit einer kurzen Rechnung ebenfalls bestimmen: λ 2,3 = 1/2 ( 1±j 47). Alle Eigenwerte haben negativen Realteil, d.h. das geschlossene Regelsystem ist Lyapunov asymptotisch stabil. Da ein komplex konjugiertes Paar von Eigenwerten auftritt ist das geschlossene Regelsystem zudem schwingfähig. Lyapunov asymptotisch stabil Lyapunov stabil Lyapunov instabil Schwingfähig Nicht schwingfähig

21 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 21 Beschreibung: Betrachtet wird eine MIMO-Regelstrecke mit zwei Eingangsgrössen und zwei Ausgangsgrössen. Mit dem Matlab-Befehl sigma wurde für diese (lineare) Regelstrecke Abbildung 12 erstellt. 10 Singular Values 0 Singular Values (db) Frequency (rad/s) Abbildung 12: Singulärwertverläufe einer 2 2 MIMO-Regelstrecke. ( ) cos(0.1 t) F18 (2 Punkte) Die Strecke wird mit dem Eingangssignal u(t) = angeregt. 0 Kreuzen Sie alle möglichen Ausgangssignale (im eingeschwungenen Zustand) an. ( ) 0.01 cos(0.1 t+0.2) y(t) = 0.02 cos(0.1 t+0.4) ( ) 0.1 cos(0.1 t 0.34) y(t) = 1 cos(0.1 t) ( ) cos(0.2 t) y(t) = cos(0.2 t+π/2) ( ) 0.7 cos(0.2 t+0.21) y(t) = 0.2 cos(0.1 t) ( ) 0.1 cos(0.1 t π/3) y(t) = 0.5 cos(0.1 t π/4) F18 Der Eingang wird mit der Frequenz ω = 0.1rad/s angeregt. Da es sich um eine lineare Regelstrecke handelt, hat das Ausgangssignal im eingeschwungenen Zustand die gleiche

22 Seite 22 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Frequenz wie das Eingangssignal. Der maximale und der minimale Singulärwert bei der Frequenz ω = 0.1 rad /s gibt den möglichen Verstärkungsbereich zwischen dem Eingangsund dem Ausgangssignal an. Hierbei muss für die Verstärkung die euklidische Norm (2- Norm) der Amplitudenvektoren betrachtet werden. Der Amplitudenvektor des Eingangssignals hat eine euklidische Norm von 1. Somit ergibt sich für die euklidische Norm des Amplitudenvektors des Ausgangssignals der mögliche Bereich zwischen dem minimalen Singulärwert σ min 0.1 und dem maximalen Singulärwert σ max 0.9 (abgelesen aus Abbildung 12). Die Phase ist für die Beurteilung in dieser Aufgabe irrelevant. ( ) 0.01 cos(0.1 t+0.2) y(t) =, y(t) = cos(0.1 t+0.4) = [σ min,σ max ] ( ) 0.1 cos(0.1 t 0.34) y(t) =, y(t) = cos(0.1 t) = [σ min,σ max ] ( ) cos(0.2 t) y(t) =, ausgeschlossen da Frequenz cos(0.2 t+π/2) rad /s ( ) 0.7 cos(0.2 t+0.21) y(t) =, ausgeschlossen da Frequenz 0.1 rad/s 0.2 cos(0.1 t) ( ) 0.1 cos(0.1 t π/3) y(t) =, y(t) = cos(0.1 t π/4) = [σ min,σ max ]

23 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 23 Beschreibung: Gegeben sei eine Regelstrecke mit der Übertragungsfunktion P(s) = 1 s s+1 C 2 1. (4) F19 (2 Punkte) Bestimmen Sie den maximalen Singulärwert σ max von P(s) bei der Frequenz ω = 1rad/s. σ max = F19 Da die Regelstrecke nur eine Eingangsgrösse hat, gibt es nur einen Singulärwert ungleich 0. Zur Berechnung dieses (maximalen) Singulärwertes σ max von P(j) muss folgender Ausdruck berechnet werden: σ max = λ P(j) T ) ( P(j) berechnet werden. Es ergibt sich P(j) T P(j) = ( 1+j 2 1+2j 5 ) ( 1 j ) 2 1 2j = 0.7 = σmax. 2 (5) 5 Das Resultat lautet somit: σ max = 0.7 = Bereich: [0.83 bis 0.84]

24 Seite 24 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Thema: H Moser Beschreibung: Sie möchten einen H -Regler mit dem Mixed Sensitivity Approach (S/KS/T- Schema) auslegen und haben dazu von einem Kollegen bereits die Spezifikationen W1 1 (s) und W2 1 (s) erhalten, von denen die Betragsverläufe in Abbildung 13 dargestellt sind. 0 5 W 1 1 W 1 2 Magnitude [db] Frequency [rad/s] Abbildung 13: Spezifikationen W 1 1 und W 1 2 F20 (1 Punkt) Welchen Wert von γ (Betrag des optimierten H -Gütekriteriums) erwarten Sie aufgrund der in Abbildung 13 dargestellten Wahl von W1 1 und W2 1? γ (,0) γ = 0 γ (0,1) γ = 1 γ (1, ) F20 Betrachtet wird für die die Frequenz 2 rad/s, da diese für die nachfolgenden Betrachtungen am kritischsten ist. Um bei der Frequenz 2 rad/s beide Spezifikationen zu erfüllen,

25 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 25 d.h. S(2j) < W1 1 (2j) und T(2j) < W2 1 (2j) müsstegelten S(2j) < 10dB = 0.31 sowie T(2j) < 10dB = Die komplexen Vektoren S(2j) und T(2j) mit einem Betrag < 0.31 können aber den Zusammenhang T(2j) + S(2j) = 1 unmöglich erfüllen. Folglich muss mindestens eine der Spezifikationen verletzt werden, was einen Wert von γ > 1 zur Folge hat. γ (,0) γ = 0 γ (0,1) γ = 1 γ (1, )

26 Seite 26 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Beschreibung: Sie legen einen Regler mit dem H Mixed Sensitivity Approach aus und möchten, dass das resultierende Regelsystem einen stationären Nachlauffehler von maximal 1% aufweist und hochfrequentes Rauschen um den Faktor 10 gedämpft wird. F21 (2 Punkte) Wählen Sie aus folgender Liste je die geeigneten Spezifikationen für W 1 1 und W 1 2? W 1 1 = s+1 s+0.01 W 1 1 = s+0.01 s+1 W 1 1 = 0.1 s+1 s+1 W 1 2 = s+0.01 s+1 W 1 2 = s s+1 W 1 2 = 0.1 s+1 s+1 F21 Um über die Spezifikationen W1 1 und W2 1 einen statischen Nachlauffehler von maximal 1% sicherzustellen muss gelten W1 1 (s 0) Eine Dämpfung des hochfrequenten Rauschens um einen Faktor 10 wird mit der Wahl W2 1 (s ) 0.1 sichergestellt. W1 1 = s+1 s+0.01 W1 1 = s+0.01 s+1 W1 1 = 0.1 s+1 s+1 W2 1 = s+0.01 s+1 W2 1 = s s+1 W2 1 = 0.1 s+1 s+1

27 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 27 Thema: LQR, LQG/LTR Zsiga Beschreibung: Sie haben für eine MIMO Regelstrecke vier verschiedene LQ-Regulatoren entworfen. Die Regelstrecke hat zwei Zustandsvariablen x 1 und x 2. Die verwendete Gewichtungsmatrix R wurde stets gleich gewählt, Sie haben nur die Einträge der Gewichtungsmatrix Q verändert. Die simulierten Systemantworten zeigen das Verhalten mit den Startwerten x 1 = +1 und x 2 = 1. Sie haben vergessen, welche Gewichtungsmatrix Q zu welcher Systemantwort gehört. Abbildung 14: Simulationsergebnisse erzielt mit unterschiedlichen LQ-Regulatoren. F22 (2 Punkte) Ordnen Sie den folgenden Gewichtungsmatrizen Q je eine Systemantwort aus Abbildung 14 zu. Gewichtungsmatrix ( ) Systemantwort 1 0 Q 1 = ( 0 1 ) 20 0 Q 2 = ( 0 1 ) 1 0 Q 3 = ( 0 20 ) 20 0 Q 4 = 0 20

28 Seite 28 Sessionsprüfung Regelungstechnik II F23 (1 Punkt) Eine der vier Systemantworten in Abbildung 14 wird im Vergleich zu den übrigen drei als cheap control bezeichnet. Welche? Systemantwort 1 Systemantwort 2 Systemantwort 3 Systemantwort 4 F22 Eine hohe Gewichtung führt dazu, dass die entsprechende Zustandsvariable schnell zu Null zurckgeführt wird. siehe unten. Gewichtungsmatrix ( ) Systemantwort 1 0 Q 1 = 1 ( 0 1 ) 20 0 Q 2 = 4 ( 0 1 ) 1 0 Q 3 = 3 ( 0 20 ) 20 0 Q 4 = F23 Von cheap control wird gesprochen, wenn die Steuerenergie, die der Regler einsetzen darf, günstig ist und daher die Zustandsvariablen schnell zu Null zurckgeführt werden. In dieser Aufgabe entspricht das dem Fall, wenn Q gross gewählt wird. Systemantwort 1 Systemantwort 2 Systemantwort 3 Systemantwort 4

29 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 29 Beschreibung: Sie wollen eine Regelstrecke mit 2 Eingangsgrössen, 3 Ausgangsgrössen und 4 Zustandsvariablen mit einem LQ-Regulator stabilisieren. F24 (1 Punkt) Wie sind die Dimensionen der Zustandsrückführungsmatrix K? K R 2x3 K R 4x3 K R 2x4 K R 4x4 K R 4x2 F24 Der Zustandsvektor und die Stellgrösse haben die Dimension x R 4,1 und u R 2,1. Das Rückführungsgesetzt lautet u(t) = Kx(t). Deshalb gilt: K R 2x3 K R 4x3 K R 2x4 K R 4x4 K R 4x2

30 Seite 30 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Beschreibung: Sie haben einen LQ-Regulator für eine SISO Regelstrecke erster Ordnung ausgelegt. Die Regelstrecke wird beschriebendurch A = [ 1], B = [1], C = [4], und D = [0]. Siehaben für die Zustandsrückführungsmatrix K = [1] erhalten. Der LQ-Regulator soll nun durch einen P-Regler ersetzt werden, ohne dass sich das Verhalten des Regelkreises für das Regulatorproblem (r = 0) ändert. F25 (1 Punkt) Welche Verstärkung hat der P-Regler? k p = F25 Der Ausgang ist y = 4x. Wenn anstatt des Zustandes x der Ausgang y rückgeführt wird, muss die Verstärkung um den Faktor 4 reduziert werden, um die gleiche Reglerperformance zu erhalten. Deshalb lautet das Resultat: k p = 0.25

31 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 31 Beschreibung: Sie haben einen LQ-Regulator für eine SISO Regelstrecke zweiter Ordnung ausgelegt. Die Regelstrecke wird beschrieben durch: [ ] [ ] A =, B =, C = [ 0 1 ] und D = [ 0 ]. (6) Sie haben für die Zustandsrückführungsmatrix K = [ ] erhalten. Der LQ-Regulator soll nun durch einen PID-Regler der Form C(s) = k p +k i /s+k d s ersetzt werden, ohne dass sich das Verhalten des Regelkreises für das Regulatorproblem (r = 0) ändert. F26 (2 Punkte) Berechnen Sie die Parameter des Reglers k p, k i und k d. k p = k i = k d = F26 Aus der unteren Zeile der A-Matrix sieht man ẋ 2 (t) = x 1 (t), d.h. x 2 (t) kann als eine Position und x 1 (t) als eine Geschwindigkeit interpretiert werden. Das Ausgangssignal y entspricht der Position x 2 (t) (siehe C-Matrix) und über eine Ableitung dieses Signals erhält man die Geschwindigkeit. Die Parameter k p und k d findet man aus der Zustandsrückführungsmatrix K: u(t) = (0.51x 1 (t)+x 2 (t)) = (0.51ẋ 2 (t)+x 2 (t)) = 0.51( ẏ(t)) y(t). Der LQ-Regulator hat keinen Integrator, deshalb gilt k i = 0. k p = 1 k i = 0 k d = 0.51

32 Seite 32 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Beschreibung: Eine Regelstrecke mit 2 Eingangs- und 2 Ausgangsgrössen wird mit einem LQ- Regulator geregelt. Die Regelstrecke wird durch die folgenden Matrizen beschrieben [ ] [ ] [ ] [ ] A =, B =, C =, D = (7) und die Zustandsrückführungsmatris K lautet [ ] 1 2 K =. 2 3 (8) Sie kennen für den Zeitpunkt t = 2s folgende Signale [ ] [ ] 1 2 x(t = 2s) =, y(t = 2s) =. (9) 1 4 F27 (1 Punkt) Berechnen Sie die Stellgrösse u(t) zum Zeitpunkt t = 2s. u(t = 2s) = [, ] T F27 Das Rückführungsgesetzt des LQ-Regulators ist statisch und lautet u(t) = Kx(t). Damit kann die Stellgrösse zu jedem Zeitpunkt aus dem Zustand berechnet werden. u(t = 2s) = [ 3, 5 ] T

33 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 33 Beschreibung: Sie entwerfen ein Regelsystem mit Zustandsbeobachter und möchten, dass die Dynamik des Beobachtungsfehlers durch die beiden Pole π 1 = π 2 = 1 beschrieben wird. Folgende Systemmatrizen sind bekannt: A = [ ] 1 2, B = 3 5 [ ] 3, C = [ 0 2 ], D = [ 0 ]. (10) 0 F28 (2 Punkte) Berechnen Sie die Matrix L des Zustandsbeobachters, die zur gewünschten Pollage führt. L = [, ] T F28 Die Aufgabe erfordert, dass die Eigenwerte des Beobachters (sprich von A LC) bei 1 liegen. Zuerst definiert man den Vektor L = [l 1,l 2 ] T. Nun kann die Determinante von (A LC λi) mit (λ+1) [ 2 gleichgesetzt werden. ] det((a LC λi)) = 1 λ 2 2l1 (λ+1) 3 5 2l 2 λ 2. Durch einen Koeffizientenvergleich von λ 2 + λ(2l 2 4) + (1 + 2l 2 + 6l 1 ) λ 2 + 2λ + 1 erhält man l 1 = 1 und l 2 = 3. L = [ 1, 3 ] T

34 Seite 34 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Beschreibung: Eine Regelstrecke zweiter Ordnung wird mit einem LQ-Regulator mit I-Erweiterung geregelt. Für den Entwurf wird der erweiterte Zustand x(t) = [x(t) v(t)] T verwendet. Beim Reglerentwurf gibt Matlab auf den Befehl K tilde = lqr(a tilde,b tilde,c tilde *C tilde,r) folgende Matrix aus: [ ] K tilde = (11) F29 (1 Punkt) Geben Sie einen Matlab Befehl an, mit dem die Matrix K i aus der Matrix K tilde extrahiert werden kann. K i = F29 K setzt sich zusammen aus K = [K KI ], wobei K aus zwei Spalten besteht (Regelstrecke zweiter Ordnung). Deshalb lautet das Resultat: K i = K tilde(:,3:4) oder K i = K tilde(1:2,3:4) Es wurden beide Vorzeichen von K tilde akzeptiert, da in erster Linie nach der Extraktion der Werte gefragt wurde. Für eine korrekte Implementation eines LQR mit Integrator- Erweiterung muss natürlich das Vorzeichen berücksichtigt werden.

35 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 35 Beschreibung: Eine SISO Regelstrecke wird mit einem LQRI-Regler geregelt, siehe Abbildung 15. Die relevanten Systemmatrizen sind A = [ 1], B = [1], C = [1], K = [1] und K i = [ 1]. r(t) v(t) + + K I u(t) + w(t) + B + + x(t) C y(t) A K Abbildung 15: Regelstrecke mit LQ-Regulator und Erweiterung mit einem Integrator. F30 (2 Punkte) Im eingeschwungenen Zustand erreicht die Ausgangsgrösse genau den Sollwert d.h. es gilt r(t) = y(t) = 2. Ausserdem gilt w(t) = 0 t. Berechnen Sie in diesem Fall die konstanten Signale v(t) und u(t). v(t) = u(t) = F30 Im eingeschwungenen Zustand sind die Eingangsgrössen in die Integratoren jeweils gleich Null. Für x(t) ergibt sich x(t) = C 1 y(t) = 2. Damit ergibt sich auch Ax(t) = 2. Um zu erreichen, dass der Eingang in den rechten Integrator gleich Null ist, muss das Signal Bu(t) = 2 sein. Wegen B = 1 gilt u(t) = 2. Der Eingang in den linken Integrator is gleich Null, da im eingeschwungenen Zustand gilt y(t) = r(t). Weiter ist bekannt, dass x(t) = 2 ist und daher gilt Kx(t) = 2. Aus u(t) = Kx(t)+K I v(t) und K I = 1 ergibt sich v(t) = 4. v(t) = 4 u(t) = 2

36 Seite 36 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Beschreibung: Eine Regelstrecke wird mit einem LQG-Regler geregelt. Die A-Matrix des geschlossenen Regelkreis A cl lautet: [ ] A BK A cl = = LC A BK LC (12) F31 (2 Punkte) Berechnen Sie alle Eigenwerte von A cl. Die Reihenfolge spielt dabei keine Rolle. λ = {,,, } F31 Aufgrund des Separationsprinzips sind die Eigenwerte von A cl gleich wie die Eigenwerte von A BK [ und ] A LC. [ Diese ] Matrizen[ können ] aus A cl abgelesen werden: A =, BK = und LC = det(a BK λi) 0 liefert die Eigenwerte 1 und 3 und det(a LC λi) 0 liefert die Eigenwerte 3 und 9. λ = { 1, 3, 3, 9 }

37 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 37 Thema: Digitale Regelsysteme Zsiga Beschreibung: Ein zeitkontinuierliches Signal y c wirdvon einem Mikroprozessor eingelesen und gespeichert. Abbildung 16 zeigt das resultierende zeitdiskrete Signal y. Abbildung 16: Zeitdiskretes Signal y. F32 (1 Punkt) Bestimmen Sie die Abtastfrequenz f s des Signals y. f s = Hz F32 Das Signal besteht aus 20 Messpunkten pro Sekunde, daher lautet das Resultat: f s = 20 Hz

38 Seite 38 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Beschreibung: Die maximale Abtastfrequenz eines Mikroprozessors beträgt 500 Hz. F33 (1 Punkt) Bestimmen Sie die höchste Frequenz ω max in rad /s, die mit dieser Abtastfrequenz abgebildet werden kann. ω max = rad/s F33 Mit einer Abtastfrequenz von 500 Hz können Signale bis 250 Hz abgebildet werden. In rad/s entspricht das 2π 250rad/s. ω max = 500π rad /s = rad /s

39 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 39 Beschreibung: Der Analogeingang ihres Analog-Digital-Wandlers (ADC) kann Spannungen zwischen 0V und 5V einlesen. Ein daran angeschlossenes Thermoelement liefert eine Spannung von 0V bei -100 C und 5V bei +600 C, die Kennlinie ist linear. Der verwendete ADC hat eine Auflösung von 12 bit. F34 (1 Punkt) Wie gross ist der kleinste Temperaturunterschied ϑ, den Sie mit diesem Aufbau messen können? ϑ = K F34 Da die Kennlinie linear ist, kann der gesamte Messbereich in gleich grosse Teile unterteilt werden. Der Messbereich beträgt 700K und mit einer Auflösung von 12 bit können 2 12 verschiedene diskrete Werte dargestellt werden. Daher gilt: ϑ = 700K = 700K = 0.17K ϑ = 0.17 K Bereich: 0.16 K K

40 Seite 40 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Beschreibung: Ein diskretes System erster Ordnung wird beschrieben durch die Matrizen F = [0.9910], G = [0.1250], C = [0.0717] und D = [0]. Die Anfangsbedingung ist x(k = 0) = 10 und das Eingangssignal in das System ist u(k) = 0 k. F35 (1 Punkte) Berechnen Sie x(k) für k = 500. x(500) = F35 Da das Eingangssignal gleich Null ist erfolgt in jedem Zeitschritt nur eine Multiplikation mit F (x(1) = Fx(0), x(2) = Fx(1) = F 2 x(0)...). Damit kann die explizit berechnet werden: x(500) = x(0) F 500 = ( )

41 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 41 Beschreibung: An einem Prüfstand wollen Sie Messungen mit einem Regelsystem durchführen, welches eine Durchtrittsfrequenz von 3 Hz hat. Von einem Kollegen wissen Sie, dass an diesem Prüfstand immer ein Störsignal mit einer Frequenz von 50 Hz auftritt(netzrauschen). Sie müssen nun die Abtastfrequenz ihres Messaufbaus auswählen und bestimmen, ob sie einen Anti-Aliasing- Filter (AAF) benötigen. Gehen sie von einem idealen AAF aus, der Signalanteile mit Frequenzen niedriger als f AAF nicht verändert und Signalanteile mit Frequenzen grösser als f AAF vollständig entfernt. F36 (2 Punkt) Kreuzen Sie die Kombinationen an, mit denen Sie brauchbare Messungen erwarten. Brauchbar bedeutet in diesem Zusammenhang, dass kein Aliasing auftritt. f s = 30Hz, kein AAF f s = 30Hz, AAF mit f AAF = 40Hz f s = 500Hz, AAF mit f AAF = 40Hz f s = 500Hz, kein AAF F36 Wird ein AAF mit einer Frequenz f AAF < 50Hz verwendet wird das Störsignal vor dem Abtasten des Signals herausgefiltert. Für eine Abtastfrequenz von 30 Hz ist ein AAF unbedingt erforderlich, da sonst ein Alias des Störsignals bei 10 Hz in der Messung auftreten würde. Wird eine Abtastfrequenz von 500 Hz (das zehnfache der Störfrequenz) verwendet ist das Störsignal in der Messung enthalten aber es tritt kein Aliasing auf. Das Störsignal kann daher später mit einem digitalen Filter aus dem Signal entfernt werden. f s = 30Hz, kein AAF f s = 30Hz, AAF mit f AAF = 40Hz f s = 500Hz, AAF mit f AAF = 40Hz f s = 500Hz, kein AAF

42 Seite 42 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Beschreibung: Für die Geschwindigkeitsregelung in einem PKW wird ein zeitdiskreter Regler (Tempomat) auf dem Motorsteuergerät verwendet. Die Sollgeschwindigkeit steht digital auf dem Steuergerät zur Verfügung. Die Geschwindigkeit (Messwert) wird mit einem analogen Sensor gemessen. F37 (1 Punkt) Tragen Sie die Abkürzungen der folgenden Elemente an der korrekten Stelle in das Blockdiagramm in Abbildung 17 ein: AAF: Anti-Aliasing-Filter ADC: Analog-Digital-Wandler DAC: Digital-Analog-Wandler P(s): Zeitkontinuierliche Strecke C(z): Zeitdiskreter Regler Sollwert - + Messwert Abbildung 17: Blockdiagramm des Regelkreises des Tempomaten. F37 Ein analoges Signal muss vor dem Sampeln mit einem AAF gefiltert werden, um Aliasing Effekte zu vermeiden. Da in diesem Fall der Sollwert digital zur Verfügung steht kann die Differenz zum Istwert nach dem ADC diskret berechnet werden. Der diskrete Regler berechnet daraufhin das Stellsignal, welches mit einem DAC in ein analoges Spannungssignal umgewandelt und der Strecke zugeführt wird. Sollwert AAF ADC - + C(z) DAC P(s) Messwert Abbildung 18: Blockdiagramm des Regelkreises des Tempomaten ().

43 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 43 Beschreibung: Ein zeitdiskreter Regler hat eine Abtastzeit von 50ms. Die Durchtrittsfrequenz der Kreisverstärkung beträgt 5 rad /s. Ihr Kollege schlägt vor, einen Anti-Aliasing-Filter mit der Übertragungsfunktion AAF(s) = 5 s+5. (13) im Messaufbau zu verwenden. F38 (1 Punkt) Berechnen Sie den durch das Abtasten entstehenden Phasenverlust bei der Durchtrittsfrequenz (Tipp: Faustregel verwenden). ϕ 1 = F39 (1 Punkt) Berechnen Sie den zusätzlichen Phasenverlust durch den Anti-Aliasing- Filter bei der Durchtrittsfrequenz. ϕ 2 = F38 Nach Faustregel beträgt die Totzeit, die durch das Abtasten eingeführt wird Ts 2 s. Der Phasenabfall berechnet sich durch ϕ 1 = T s 2 ω (14) ϕ 1 = Ts 2 5 = rad = ( ) Anmerkung: Die entsprechenden negativen Werte werden auch akzeptiert. F39 Die Durchtrittsfrequenz der Kreisverstärkung liegt denau bei der Eckfrequenz des AAF. Deshalb beträgt die Phase 45 und der Phasenabfall +45. Alternativ kann auch die Phase der komplexen Zahl 5j+5 = j berechnet werden: atan( 0.5 ) = π 4.

44 Seite 44 Sessionsprüfung Regelungstechnik II ϕ 2 = π 4 rad = 45 Anmerkung: Die entsprechenden negativen Werte werden auch akzeptiert.

45 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 45 Beschreibung: Die Pole eines zeitdiskreten Regelsystems liegen bei π 1 = j, π 2 = j und π 3 = F40 (1 Punkt) Beurteilen sie die Stabilität dieses Regelsystems. Instabil Stabil Asymptotisch stabil F40 Ein zeitdiskretes System ist asymptotisch stabil wenn der Betrag aller Eigenwerte kleiner als 1 ist. Instabil Stabil Asymptotisch stabil

46 Seite 46 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Beschreibung: Das zeitdiskrete SISO-System Σ(z) = 0.36z z z (15) wird mit einem Einheitssprung angeregt. Die Werte y(k = 2) = 0.36 und y(k = 3) = 0.93 sind gegeben. F41 (2 Punkte) Berechnen Sie y(k = 4). y(k = 4) = F41 Die Übertragungsfunktion kann umgeschrieben werden zu Y(z)(z z +0.45) = U(z)(0.36z +0.27). Im Zeitbereich entspricht das y(k + 2) 0.82y(k + 1) y(k) = 0.36u(k + 1) u(k). Der diskrete Index in dieser Gleichung muss nun um 2 Zeitschritte verschoben werden, damit der neueste Wert y(k = 4) berechnet werden kann. Ein Umstellen der Gleichung liefert: y(k) = 0.82y(k 1) 0.45y(k 2)+0.36u(k 1)+0.27u(k 2). Mit k = 4 und den Werten für y(k = 2) = 0.36 und y(k = 3) = 0.93 sowie u(k = 1) = u(k = 2) = 1 erhält man: y(k = 4) = ( )

47 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 47 Beschreibung: Sie sollen einen Regler für einen Verbrennungsmotor entwerfen. Die geforderte Durchtrittsfrequenz beträgt 10 rad /s. Da es sich um einen 1-Zylinder 4-Takt Motor handelt ist ein Update des Reglers nur alle 2 Umdrehungen möglich. Sie wollen einen kontinuierlichen Regler entwerfen und diesen danach emulieren. F42 (2 Punkte) Wie gross sollte laut Faustregel die Drehzahl mindestens sein, damit eine Emulation des Reglers akzeptable Ergebnisse liefert? N Mot Umdr./min F42 Nach Faustregel soll die Abtastfrequenz mindestens das zehnfache der Durchtrittsfrequenz sein, was 100 rad /s entspricht. Dies ist umgerechnet eine Frequenz von 15.92Hz. Da ein Update nur alle 2 Umdrehungen stattfindet muss der Motor dafür eine Drehzahl von = Umdr. /s = 1909 Umdr. /min erreichen. N Mot 1909 Umdr. /min ( Umdr. /min)

48 Seite 48 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Beschreibung: Sie haben den zeitkontinuierlichen Regler C(s) = s+1 (s+2)(s+10) (16) für ihr Regelsystem ausgelegt und möchten diesen nun auf einem Mikroprozessor implementieren. Sie entscheiden sich für die Emulationsmethode Euler forward. F43 (2 Punkte) Geben Sie den Bereich für die Abtastzeit T s an, in welchem ein asymptotisch stabiler diskreter Regler resultiert. 0s < T s < F43 Durch Einsetzen von s = z 1 T s erfolgt die Emulation mit Euler forward. Der Nenner der Übertragungsfunktion lautet damit ( 1 T s (z 1) + 2)( 1 T s (z 1) + 10) und die Pole liegen bei π 1 = 1 2T s und π 2 = 1 10T s. Der Betrag jedes Pols muss kleiner als 1 sein. Da die Abtastzeit T eine reelle, positive Zahl ist, können für jeden Pol die beiden Grenzfälle betrachtet werden: 1 2T s > 1 T s < 1s 1 2T s < +1 T s > 0s 1 10T s > 1 T s < 0.2s 1 10T s < +1 T s > 0s. Daher muss für die Abtastzeit gelten 0s < T s < 0.2s. 0s < T s < 0.2s