1.1 Ergebnisräume einfacher Zufallsexperimente. 2) Es gibt mindestens zwei mögliche Ausgänge des Experiments.

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Regina Fuchs
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1 Übungsmaterial 1 1 Zufallsexperimente 1.1 Ergebnisräume einfacher Zufallsexperimente Damit ein Experiment ein Zufallsexperiment ist, müssen folgende Eigenschaften erfüllt sein: 1) Das Experiment lässt sich beliebig oft unter festgelegten Regeln wiederholen. 2) Es gibt mindestens zwei mögliche Ausgänge des Experiments. 3) Das Ergebnis lässt sich nicht vorhersagen. Beispiel: Der Wurf eines Würfels oder einer Münze ist ein Zufallsexperiment, ebenso das blinde Ziehen von Kugeln aus einer Urne oder das Werfen von (leeren) Streichholzschachteln. Denition Unter dem Ergebnisraum Ω (Omega) versteht man die Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments. Die Anzahl der Elemente von Ω nennen wir Mächtigkeit von Ω, in Zeichen Ω. Beispiel: Beim Wurf eines Würfels ist der Ergebnisraum Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6. Beispiele 1) Wir werfen zwei Würfel und addieren jeweils die Augen. Der Ergebnisraum ist Ω = {2, 3, 4,..., 11, 12}, Ω = 11. 2) In einer Lostrommel benden sich 300 Gewinne (G) und 600 Nieten (N). Wenn man ein einziges Los aus der Trommel zieht, ist Ω = {G, N}. Zieht man zwei Lose aus der Trommel, ist Ω = {GG, GN, NG, NN}. Wenn einen nur die Anzahl der Gewinne und nicht der Zeitpunkt ihres Ziehens interessiert, könnte dieser Ergebnisraum auch Ω = {0, 1, 2} lauten. 3) Wurf einer Streichholzschachtel: Eine Streichholzschachtel kann auf sechs verschiedenen Flächen landen, wobei aus Symmetriegründen auf drei Flächen reduziert werden kann: Ω = {1, 2, 3}. Seite 2 Seite 1 Seite 3

2 Übungsmaterial Mehrstuge Zufallsexperimente Führt man ein und das selbe Zufallsexperiment mehrmals hintereinander durch, oder erst ein, dann ein anderes Zufallsexperiment, spricht man von einem mehrstugen Zufallsexperiment. Bei mehrstugen Zufallsexperimenten dient ein Baumdiagramm zur Veranschaulichung. Jeder Pfad durch das Baumdiagramm (vom - bis zum Endpunkt) liefert ein Ergebnis. Ω ist dann die Menge dieser Ergebnisse. Beispiel In einer Urne benden sich drei e und vier e Kugeln, eine zweiten Urne enthält sechs e und 2 grüne Kugeln. Im ersten Schritt des Experiment wählt man nun eine Urne aus, im zweiten Schritt zieht man aus der gewählten Urne eine Kugel. Wir veranschaulichen das Experiment mithilfe eines Baumdiagramms: Urne 1 Urne 2 grün Wir können den Ergebnisraum nun an der rechten Seite des Baumdiagramms ablesen: Ω = {1r, 1b, 2b, 2g}. 1.3 Ereignisse Der Begri Ereignis bezeichnet eine beliebige Teilmenge des Ergebnisraumes Ω. Beim Werfen eines Würfels sind beispielsweise Ich würfele eine 5 und Die gewürfelte Zahl ist gerade Ereignisse. Das erste ist ein Elementarereignis, eine einelementige Teilmenge von Ω, das zweite beinhaltet drei mögliche Ausgänge des Zufallsexperiments (der Würfel zeigt 2, 4 oder 6 an). Ein Ereignis E tritt genau dann ein, wenn sich ein Versuchsergebnis einstellt, das in A enthalten ist. Zu einem Ereignis E bezeichnet E das zugehörige Gegenereignis. Auch die leere Menge Ø (unmögliches Ereignis) und Ω selbst (sicheres Ereignis) sind Ereignisse. Der Ereignisraum P ist die Menge aller möglichen Teilmengen von Ω 1. Er enthält auch das unmögliche und das sichere Ereignis. 1 Den Ereignisraum bezeichnet man auch mit dem Begri Potenzmenge.

3 Übungsmaterial 3 Beispiel Wir werfen wieder zwei Würfel und addieren jeweils die Augen. Das Ereignis A: Die Augensumme ist gerade ist die Menge A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}. Das Ereignis A tritt ein, wenn eine dieser Augensummen erzielt wird. Das Gegenereignis von A ist Die Augensumme ist ungerade, also A = {3, 5, 7, 9, 11}. Das Ereignis B: Die Augensumme ist eine gerade Primzahl ist B = {2}, also ein Elementarereignis. 1.4 Aufgabe 1 1) Aus einer Urne mit zwei en, 3 en und einer en Kugel wird zweimal eine Kugel a) ohne Zurücklegen b) mit Zurücklegen gezogen. Zeichne jeweils ein Baumdiagramm und bestimme den Ergebnisraum Ω. 2) Ein Farb-Würfel trägt auf den Seiten die Farben weiÿ (zweimal), lila (zweimal), und. Er wird zweimal gewürfelt. Die Reihenfolge der Würfe wird beachtet. Gib den Ergebnisraum an sowie die Mengen A: Der zweite Wurf liefert weiÿ und B: Die beiden Würfe haben unterschiedliches Ergebnis. Lösung 1a) Ohne Zurücklegen: Ω = {rr, rs, rb, sr, ss, sb, br, bs} rr rs rb sr ss sb br bs b) Mit Zurücklegen: Ω = {rr, rs, rb, sr, ss, sb, br, bs, bb}

4 Übungsmaterial 4 rr rs rb sr ss sb br bs bb 2) Der Ergebnisraum ist Ω = {ww, wl, wr, wb, lw, ll, lr, lb, rw, rl, rr, rb, bw, bl, br, bb}. A = {ww, lw, rw, bw} B = {wl, wr, wb, lw, lr, lb, rw, rl, rb, bw, bl, br} 1.5 Aufgabe 2 1) Beim Münzwurf werden folgende Ereignisse betrachtet: A: Gerade Augenzahl B: Augenzahl ist Primzahl C: Augenzahl ist durch drei teilbar D: Augenzahl ist gröÿer als 3 a) Gib die Mengenschreibweisen der Ereignisse an. b) Fasse das Ereignis A D (sowohl A als auch D) in Worte und gib seine Mengeschreibweise an. 2) Eine 1-Euro-Münze wird zweimal geworfen. a) Zeichne ein Baumdiagramm und gib den Ergebnisraum an. b) Welche Pfade führen zu den Ereignissen E 1 : Der erste Wurf ist Zahl und E 2 : Der zweite Wurf ist Zahl? Gibt es einen Pfad, der beide Ereignisse erfüllt (in Mengenschreibweise: E 1 E 2 )? Lösung 1a) A = {2, 4, 6} B = {2, 3, 5}

5 Übungsmaterial 5 C = {3, 6} D = {4, 5, 6} b) A D: Die Augenzahl ist gerade und gröÿer als 3; A D = {4, 6} 2) Baumdiagramm: E 1 E 2 E 1 E 2 Der Pfad, der sowohl zum Ereignis E 1 als auch zum Ereignis E 2 führt, ist der Pfad ganz links.

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