II. Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 II. Wahrschelchketsrechug Vorlesugsmtschrft - Kurzfassug Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk HTW des Saarlades 00

2 II. Wahrschelchketsrechug INHALTSVERZEICHNIS GRUNDLAGEN / DEFINITION DER WAHRSCHEINLICHKEIT...3. ZUFÄLLIGES EREIGNIS / ZUFÄLLIGER VERSUCH...3. DEFINITION DER WAHRSCHEINLICHKEIT VON EREIGNISSEN Relatve Häufgket vo Eregsse Axomatsche Defto der Wahrschelchket DIE KLASSISCHE WAHRSCHEINLICHKEIT BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT UND BERECHNEN VON VERBUNDWAHRSCHEINLICHKEITEN....5 UNABHÄNGIGKEIT VON EREIGNISSEN SATZ VON BAYES UND FORMEL DER TOTALEN WAHRSCHEINLICHKEIT ÜBUNGSAUFGABEN... ZUFALLSGRÖßEN UND IHRE VERTEILUNGEN...4. ZUFALLSGRÖßEN (WIEDERHOLUNG)...4. WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNG DISKRETER ZUFALLSGRÖßEN PARAMETER DISKRETER VERTEILUNGEN Erwartugswert, Varaz ud Vertelugsfukto Quatle dskreter Verteluge STETIGE ZUFALLSGRÖßEN UND IHRE VERTEILUNGEN, VERTEILUNGSFUNKTION UND VERTEILUNGSDICHTE PARAMETER STETIGER VERTEILUNGEN Erwartugswert ud Varaz Quatle EIGENSCHAFTEN VON ERWARTUNGSWERTEN UND VARIANZ VON ZUFALLSGRÖßEN DIE TSCHEBYSCHEFF-UNGLEICHUNG HAUPTSATZ DER STATISTIK ÜBUNGSAUFGABEN MEHRDIMENSIONALE ( ZWEIDIMENSIONALE ) VERTEILUNGEN ZWEIDIMENSIONALE DISKRETE VERTEILUNGEN ZWEIDIMENSIONALE STETIGE VERTEILUNGEN PARAMETER ZWEIDIMENSIONALER VERTEILUNGEN Erwartugswert ud Varaz Kovaraz ud Korrelato ZUSAMMENFASSUNG ÜBUNGSAUFGABEN SPEZIELLE WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN DISKRETE VERTEILUNGEN Zwepuktvertelug Dskrete Glechvertelug Bomalvertelug De Possovertelug...55

3 4. SPEZIELLE STETIGE VERTEILUNGEN De stetge Glechvertelug De Expoetalvertelug De Normalvertelug (Gauß-Vertelug) ÜBUNGSAUFGABEN REPRODUKTIONS- UND GRENZWERTSÄTZE REPRODUKTIONSSÄTZE GRENZWERTSÄTZE ÜBUNGSAUFGABEN ZAHLENTABELLEN VERTEILUNGSFUNKTION DER STANDARDNORMALVERTEILUNG...8

4 II. Wahrschelchketsrechug Grudlage / Defto der Wahrschelchket. Zufällges Eregs / zufällger Versuch Def.: Zufällger Versuch E belebg oft wederholbarer Vorgag mt ubestmmtem Ausgag Zufällges Eregs Ergebs ees zufällge Versuchs Bespel : Zufällger Versuch: x Würfel Zufällges Eregs: A Würfel eer gerade Zahl A Würfel eer 6 Bedeutuge: Wr beschrebe zufällge Eregsse cht ur durch Aussage, soder (ud das st de Regel) durch Mege: A {, 4, 6} A { 6} Wr köe wetere zufällge Eregsse zu desem Versuch defere, de sch durch Aussageverküpfuge (,, ) oder Megeoperatoe (,, \) blde lasse. A 3 Würfel vo oder 4 A 3 4 A 3 A \ A bzw. { } { } Megelehre Aussage-Logk Bedeutug A B A B A oder B trete e A B A B A ud B trete e A \ B A ( B) A ud cht B trete e

5 Uterschedlche Eregstype: Def.: De Eregsse, de ma umttelbar eem Versuch beobachtet, heße Elemetareregsse (Bezechug: {ω}). Eregsse, de sch als Megeoperatoe aus de Elemetareregsse blde lasse, heße zusammegesetzte Eregsse. Bespel : Versuch: x Würfel Elemetareregsse: {}, {},...,{6} Zusammegesetzte Eregsse: {, 4, 6}, {, 3, 5},{ 3, 4, 5, 6} gerade Augezahl ugerade Augezahl Augezahl> See {ω }, {ω },..., {ω m },... alle Elemetareregsse zu eem Versuch. Se Ω:{ω, ω,..., ω m,...} {ω } {ω }... {ω m }... de Mege aller Elemetareregsse. Def.: Ω heßt scheres Eregs (trtt mmer e!). E Eregs, das e etrtt ( Ω bzw. Ω ) heßt umöglches Eregs. Bezechug für das umöglche Eregs: Φ ( Φ Ω Ω \ Ω) Def.: A Ω \ A heßt komplemetäres Eregs zu A ud bedeutet: "A trtt cht e". Def.: Zwe Eregsse A ud B heße uverebar bzw. dsjukt, falls se cht gemesam etrete, d.h., falls glt: A B. Alle zu eem zufällge Versuch deferbare Eregsse sd Telmege vo Ω. Def.: De Potezmege ( Ω) { A A Ω} vo Ω heßt Eregsfeld zum zufällge Versuch V mt der Mege vo Elemetareregsse Ω. Def: Se V e zufällger Versuch mt der Mege Ω der Elemetareregsse ud dem Eregsfeld E. Ee Mege vo Eregsse A, A,..., A (A Ω ) heßt vollstädges Eregssystem E, falls glt: a) A A für j ud b) U A Ω j

6 Se V der zufällge Versuch: "x Würfel". a) Gebe Se Ω a! b) Gebe Se ege Eregsse des Eregsfeldes zu V a! c) Wevele Eregsse ethält das Eregsfeld zu V? d) Gebe Se mdestes zwe vollstädge Eregs-Systeme zu V a! Zel: Gesucht st ee Fukto P: A Ω P( A), de jedem Eregs A, welches ma zu eem Versuch defere ka, ee Wahrschelchket (Chace) P(A) des Etretes vo A zuordet. Es soll gelte: a) Φ umöglches Eregs P( Φ ) 0 (0 % Chace des Etretes) b) Ω scheres Eregs -> P( Ω ) (00% Chace des Etretes) c) A Ω -> 0 P( A) A Ω Bedeutug der Wahrschelchket: Se A Ω belebg: P: A P(A) heßt P ( A) 00% Prozetualer Atel des Etretes vo A be Versuche Bespel 3: Versuch: Müzwurf ω w w, ω K, Z für,. Eregsfeld: (, ) { } {(, ), (, ), ( ), ( )} Ω K K K Z Z, K Z, Z ( Ω) {, {( K, K )}, {( K, Z )}, {( Z, K )}, {( Z, Z )}, {( K, K ), ( K, Z )}, {( K, K ), ( Z, K )}, {( K, K ), ( Z, Z )}, {( K, Z ), ( Z, K )},...} usw das gleche versch. Ergebsse Ich weß: P ( Φ) 0, P( Ω) Versuch K ({ }) Aber we groß st zum Bespel: P ( K K ) ( Z, Z ),,? Versuch K

7 . Defto der Wahrschelchket vo Eregsse.. Relatve Häufgket vo Eregsse Ich möchte wsse, we groß de Chace des Etretes ees Eregsses A be Durchführug ees zufällge Versuchs st. Dazu führe ch de Versuch mal durch ud bereche de relatve Häufgket des Etretes vo A: h ( A) Azahl der Versuche, dee A egetrete st Azahl der Versuche Ka ma deses Maß als Wahrschelchket P(A) verwede? ( ) Bespel 4: Müzwurf: A Kopf trtt auf {K} h (K) 0, Ergebsfolge: K, Z, Z, K, Z, K, Z, Z, Z, Z,... h ( K) h ( K) relatve Häufgkete Abhäggket vo h 3 3 ( K) h0( K) Stelle wr de relatve Häufgket h (K) Abhäggket vo dar, so sehe wr, daß sch dese be wachsedem stets auf de Wert p epegelt. 3 0

8 Bespel 5: Würfel A { 6 } h (A),,, 5, 3, 6,, 6,... 6 h ({ 6} ) p 6 Vorschlag: a) Wr defere de Grezwert p als Wahrschelchket, also p A : lm h A ( ) ( ) cht praktsch verwedbar, da er cht berechebar st. b) P( A) : h 00 ( A) (Wr lege auf 00 fest) st zufallsbehaftet geht auch cht! Trck: Wr utersuche, welche Egeschafte de relatve Häufgket hat ud defere P so, daß P de gleche Egeschafte we de relatve Häufgket hat! Egeschafte der relatve Häufgket: 0, 0, Ω (Normerthet) A B h A h B (Mootoe). 0 h ( A) h ( ) h ( ). ( ) ( ) 3. h ( A B) h ( A) + h ( B) h ( A B) (Addtvtät) Bespel 6: Würfel: A {, 4, 6} gerade Zahl A { 6} A 3 { 4, 5, 6} Zahl 4 0 Versuche:, 5, 3, 4, 6, 5, h A A h A + h A h A A f Zu.) A A, h ( ), h ( 4 6) Zu 3.) ( 3 ) {, 4,5, 6} ( ) ( 3 ) ( 3)

9 .. Axomatsche Defto der Wahrschelchket Def.: Se V e zufällger Versuch mt der Eregsmege Ω ud se Ω) { A A Ω} Eregsfeld zu V. Da heßt jede Abbldug P : ( Ω) [ 0,] ( das Wahrschelchketsmaß auf (Ω), falls P folgede Egeschafte erfüllt:. 0 P( A) P( ) 0 P( ). A B P( A) P( B) (Mootoe) 3. P( A B) P( A) + P( B) P( A B) (Addtvtät),, Ω (Normerthet) 4. U P ( A ) P( A ), falls A A j für j (σ-addtvtät) Bemerkuge:.) Verallgemeerug vo 3: See A,..., A paarwese dsjukt, d.h. A A j, für j. Da glt: L ( ) ( ) P A A A P A.) Das Axom 4 st ee wetere Verallgemeerug vo Axom 3 auf abzählbar vele paarwese dsjukte Eregsse. Folgeruge:. We A B (dsjukt) ( A B trete cht gemesam auf), da folgt aus 3: P( A B) P( A) + P( B). P( A) P( A) ( \ ) P( A A) P ( A) + P( A) P( A) P( A) qed. Bewes: Zu.) P( Ω) P A ( Ω A) Be der Herstellug ees Produktes trete Fehler "cht maßhaltg" (A) ud "cht fuktosfähg" (A) mt de Wahrschelchkete 0, bzw. 0,5 auf. Bede Fehler trete glechzetg be 5% aller Produkte auf. E Produkt st ur da verkäuflch, we es kee der bede Fehler hat. Mt welcher Wahrschelchket st e Produkt verkäuflch?

10 .3 De klasssche Wahrschelchket Def.: Se V e zufällger Versuch. We für de Mege Ω { ω ω } Elemetareregsse glt: Ω m < Ω edlch. ( ). P( }) p... m,..., m aller { ω (alle {ω } sd glechwahrschelch) da heßt V Laplace-Versuch. (Laplace-Versuche: typsch für Glücksspele) Satz: Se V e Laplace-Versuch, Ω { ω,..., ω m } ud se A Ω mt A { ω,... ω l}, j {,..., m}. Da glt: ( ) m P A l : m A Ω. P( { ω }),..., m. ( ) (Chace für das Etrete vo A) Bewes: Zu : ( ) { m} { } ( ω ω ) ({ } { ω } { ω m} ) ( ω ) ({ ω } ) L ({ ω m }) p p L p m p P Ω P,..., P w L p m P + P + + P P A P( ω ω l ) P( { ω } { ω } { ω l} ) Zu : ( ) { } ged.,..., L P( { ω }) + L+ P( { ω l} ) + L+ m m l m Bespel 7: Werfe eer Müze Ω K, K, K, Z, Z, K, Z, Z {( ) ( ) ( ) ( )} ({ }) P( gleche Ergebsse ) P ( K K ) ( Z, Z ),, : 4

11 Bespel 8: Spel: 5DM Esatz, ee Zahl zwsche 0 ud 50 zufällg zehe. Ist de Zahl durch 6 oder 8 telbar, bekomme Se 0 DM. Würde Se deses Spel spele? Lösug: A 6 : Zahl st durch 6 telbar A 8 : Zahl st durch 8 telbar {,..., } Ω 50 A 6 {6,, 8, 4, 30, 36, 4, 48} A 8 {8, 6, 4, 3, 40, 48} A A A G 8 6 A G P( A G ) 50 Wahrschelcher Gew pro Spel: 5DM + 0DM 0, 50 We groß muß der Gew se, damt der Speler (m Schtt) kee Verlust macht? 5DM + xdm 0DM xdm 5DM x 0, 83 DM Bespel 9: Ich merke mr 6-stellge Zahl z z z z 3 z 4 z 5 z 6, z,..., 9 z z für alle j { } j We hoch st de Wahrschelchket, dese Zahle zu errate? 9! Ω ! A: rchtge Zahl tppe A P( A) A 3! 0, Ω 9! 9! 3! Nützlche kombatorsche Formel! Satz: a) Es gbt k Elemete auszuwähle. ( k )! k! Möglchkete ee k-elemetge Telmege aus b) Es gbt geau! Vertauschuge vo Elemete auf Plätze.

12 Bespel 0: 3 Spelkarte (8 4 Farbe). Speler zeht Karte, ohe Zurücklege. We groß st de Wahrschelchket dafür, A : Bube A : Bube A 3 : 0 Bube zu zehe? Elemetareregs {, }, {,..., 3} ω K K K K Ω Mege aller -elemetge Telmege aus {K,...,K 3 } 3 Ω 4 4 A! 6!! ( ) 6 P A 0, A 4 8 P( A ) 0, A 3 378! 6!! ( ) 378 P A 3 0, Bespel : 4 4 s p m Buchstabe werde der Rehe ach aus der Ure gezoge ud zu eem Wort agelegt. We groß st de Wahrschelchket dafür, daß das Wort msssspp etsteht? Ω b,..., b b 4, 4 s, p, m { { }} Ω! {,...,,..., } A b b b b m s s s s p p A 4! 4!! 4! Möglchkete auf 4 Plätze azuorde 4! Möglchkete s auf 4 Plätze azuorde! Möglchkete p auf Plätze azuorde

13 ! Möglchkete für m 4! 4!!! P( A ) Ω!.4 Bedgte Wahrschelchket ud Bereche vo Verbudwahrschelchkete Bespel : Wr betrachte ee Ure mt weße ud 3 schwarze Kugel aus der acheader Kugel zufällg etomme werde. Gezogee Kugel werde cht zurückgelegt. W : weß m -te Versuch S : schwarz m -te Versuch ( W ) P W ( / S ) P W / 4 ( W uter der Voraussetzug, daß m. Versuch weß gezoge wurde ) 4 Def.: Se V e zufällger Versuch mt der Mege der Elemetareregsse Ω ud see A Ω ud B Ω zwe Eregsse zu desem Versuch. P( A B) Da heßt de Wahrschelchket P( A / B) : bedgte Wahrschelchket P B vo A uter der Bedgug (Zusatzfo), daß B egetrete st. ( ) Das folgede Bespel macht de Defto der bedgte Wahrschelchket plausbel: Bespel 3: Kaste 300 LED s Farbe: rot/grü Form: / grü rot See B ud A grü zwe Eregsse. Da glt :

14 P( grü ) P( ) P(grü ) P(A/B) P(grü / ) aalog: P( / rot) P ( rot ) P( rot) ( B) P( B) P A Iterpretato der bedgte Wahrschelchket: A B Ω A B ( ) ; P( A / B) P A A Ω A B Ω B Ω A B B P(A / B) Ω wrd auf de Mege B egeschräkt. Bereche Se zum Bespel 3 folgede Wahrschelchkete: P( grü/ ), P( /rot)! Satz : Es glt : Das Maß P A ( ): P( / A) st für festes A Ω e Wahrschelchketsmaß auf der Potezmege vo Ω, d.h. P( / A) erfüllt für jedes festes A Ω de 4 Axome der Wahrschelchket. Isbesodere glt da auch : P( B / A) P( B / A) Achtug: Es glt cht!!! : P( B / A) P( B / A) a) Bereche Se zur vorge -Aufgabe de Wahrschelchket dafür, daß e zufällg ausgewähltes Produkt auch de Fehler A bestzt, we bekat st, daß es de Fehler A hat! b) We groß st de Wahrschelchket, daß das Produkt de Fehler A cht hat, we bekat st, daß es berets de Fehler A hat?

15 Bereche vo Verbudwahrschelchkete: De Berechug vo P( A B) ach der klasssche Methode ( P( A B) machmal sehr aufwedg. P( A B) bedgte Wahrschelchkete bereche. Es glt offeschtlch: P A B P B / A P A A B Ω ) st ka ma wesetlch lechter uter Verwedug der ( ) ( ) ( ) Satz: (Multplkatossatz) Se Ω de Mege der Elemetareregsse zu eem zufällge Versuch. See A, A,...,A mt A Ω belebge Eregsse. Da glt: P A A P A / A P A a) ( ) ( ) ( ) b) P( A A A 3 ) P( A ) P( A / A) P( A 3 / ( A A )) c) P( A A A 3 L A ) P( A ) P( A / A) P A 3 / ( A A ) ( ) Bewes: Vollstädge Idukto über! Bespel 4: ( ) ( 4 / 3 ) ( / ( L ) ) P A A A A P A A A A IA: a) Es glt: P( A A ) P( A / A ) P( A ) IS: vor: c) glt für A,..., A c) glt auch für A,..., A stellvertreted zege wr b): P A A A 3 P B A P A B ( ) ( / ) ( ) { A ( 3 / ( )) ( ) P A A A P A A IA a) ( 3 / ( )) ( / ) ( ) P A A A P A A P A qed. W weß be -ter Zehug s schwarz be -ter Zehug

16 ( 3 4 ) ( ) ( ) ( ) P w s s w ( ) ( ( )) P w P s / w P s / w s P w / w s s Bespel 5: Zustadsautomat (Markowgraph) Zustäde: Letug fre Letug belegt 3 Letug gestört Letug ädert Zustäde taktwese - Takt X,, 3 Zustad der Letug m Takt ( ) { } Vor.: P(X(0) ) (Letug st zu Beg fre) Taktwese werde de Zustäde gemäß Zustadsautomat mt de agegebee Zustadsübergagswahrschelchkete geädert. Offeschtlch glt: P ( X ( ) / X (0), X (),..., X ( ) ) P( X ( ) / X ( ) ) p, d.h. der Zustad mtakt hägt ur vom Zustad m Takt - ab ud cht vo der gaze Vergagehet! De sogeate (Zustads-) Übergagswahrschelchkete häge cht vom Takt ab. (X(), 0,,..., wrd auch als homogee Markowkette bezechet) We groß st de Wahrschelchket für folgede Zustadsverlauf:

17 0 3 4 Nach Multplkatossatz glt: P(X(0) X() X() X(3) X(4) ) P(X(0) ) P(X() / X(0) ) P(X() / X(0) X() ) P(X(3) / X(0) X() X() ) P(X(4) / X(0) X(3) ) P(X(0) ) P(X() / X(0) ) P(X() / X() ) P(X(3) / X() ) P(X(4) / X(3) ) Uabhäggket vo Eregsse ( / w ) P w ( / s) P w ( / w ) P w ( / s ) P w 4 Zehe ohe Zurücklege 5 Zehe mt Zurücklege P w 5 Def.: Zwe Eregsse A ud B heße stochastsch uabhägg, falls glt: P A B P( A) P B ( ) ( ) ( ) 5 Folgerug: See A ud B stochastsch uabhägg, da gelte folgede Bezehuge: P A B P A P B P A / B P A P B / b) ( ) ( ) ( ), c) P( A / B) P( A) P( B) d) P( A / B ) P( A) P( B ) a) ( ) ( ) ( ) (d.h. de Wahrschelchket für das Etrete vo A bzw. A hägt cht vo B ud B ab!)

18 Def.: A, A,..., A heße gegesetg stochastsch uabhägg A,..., A A,..., A glt: Telmege { l} { } P( A A L A ) P( A ) P( A ) L P( A ) l l Bespel 6: Zwe Studete versuche uabhägg voeader de gleche Statstk- Aufgabe zu löse. Jeder löst de Aufgabe mt Wahrschelchket 0,6. We groß st de Wahrschelchket dafür, daß mdestes eer der bede de Augabe löst? S Studet löst Ausgabe, ( ) P (mdestes eer löst de Aufgabe) P S S P S + P S P S S ( ) ( ) ( ) ( ) P( S ) + P( S ) P( S ) P( S ) 0, 6 + 0, 6 0, 6 0, 6, 0, 36 0, 84, P S 0, 6 Bespel 7: Statstk-Klausur, 0 Aufgabe Jede Aufgabe hat 3 Atwortalteratve, vo dee geau ee rchtg st. We groß st de Wahrschelchket dafür, daß e Studet, der rät, alle Aufgabe rchtg löst? A Aufgabe rchtg gerate L L P( A A A 0 ) P( A) P( A ) P( A0 ) 3 (Aufgabe werde uabhägg voeader gerate Ratewahrsc helchket P / ) ( ) 3 A 0 Bespel 8: E Gerät: E E3 E4 See folgede Eregsse defert : G - Gerät st OK, G -Gerät st cht OK, E - Bauelemet E st OK, E - Bauelemet E st cht OK. Zel: vo Ausfallhäufgket q des Geräts G auf Ausfallhäufgket eer bestmmte Baugruppe E (Bauelemet) schleße.

19 Wr verefache dazu user Modell ud treffe folgede Aahme:. Alle Bauelemete sd detsch. Alle Bauelemete falle uabhägg voeader ud mt der gleche Wahrschelchket p aus: P( E )p,,,3,4. 3. Fuktoswese des Gerätes : Rehe fuktoert, falls bede Baugruppe fuktoere, Gerät fuktoert, falls ee Rehe fuktoert. Gegebe st u qp( G ). Gesucht st p. Lösug: Wr stelle ee Zusammehag zwsche p ud q her: ( ) P( Rehe ot OK Rehe ot OK) P G P( Rehe ot OK) P( Rehe ot OK) P( Rehe OK) ( P( Rehe OK) ) ( P( E E )) ( P( E3 E4 )) ( p) p ( ) ( ( ) ) q ( ) q ( p) q p Se q 0,: 0, 0, 87 0, 73 D.h., de Ausfallwahrschelchket der Bauelemete darf 7,3% cht überschrete, damt das Gerät mt 90%tger Wahrschelchket cht ausfällt..6 Satz vo Bayes ud Formel der totale Wahrschelchket Bespel 9: offeschtlch st: w weß -ter Zehug s schwarz -ter Zehug (ohe Zurücklege)

20 P P 3 4 ( w / s ), P( s ) ( w / w ), P( w ) We groß st aber de Wahrschelchket dafür, 'Weß' der zwete Zehug zu zehe (uabhägg davo, was bem erste Mal gezoge wurde)? Es glt: P w P w w w s ( ) (( ) ( )) P( w w ) + P( w s ) P( w w ) P( w ) + p( w / s ) P( s ) / Satz.: Se V e zufällger Versuch mt der Mege Ω vo Elemetareregsse, se E das Eregsfeld zu V. See weterh B Ω e belebges Eregs zu V ud A,...,A e vollstädges Eregssystem E (d.h., A Ω,...,, A A j für j ud A A L A Ω ). Da glt: P( B) P( B / A ) P( A ) + P( B / A ) P( A ) + + P( B / A ) P( A ) L (Formel der totale Wahrschelchket). Bewes: A A Ω B A 3 A P ( B) P( ( B A ) ( B A ) ( B A )) P( B A ) + L+ P( B A ) P( B A ) P( A ) + + P( B / A ) P( A ) / L L qed.

21 Satz: (vo Bayes) a) Es glt: P( A / B) P A ( ) P( B / A) P( B) b) (Verallgemeerug): See A Ω,..., Eregsse mt A A j ud A A L A Ω. Se B Ω. Da glt: P( A ) P( B / A ) P( A ) P( B / A ) P( A / B) P( B) P A P B / A j ( j ) ( j ) Bewes: zu a) P( A / B) ( B) P( B) ( / ) P( A) P( B) P A P B A zu b) aalog qed. Awedug der Sätze zu folgede Fälle: Gegebe: P( A), P( B / A) Gesucht: P( A / B) Bespel 0: Se A Krakhet, de mt 0 % der Bevölkerug vorkommt B Merkmal, ahad desse de Krakhet dagostzert wurde Merkmal Etschedug Arzt B A (krak) B A (cht krak) Fehletschedug: Das Merkmal trtt cht auf ( B ), aber Perso st trotzdem krak (A). Das Merkmal B trtt auf, aber de Perso st krak ( A ) Wrklchket gesud krak Et- A A gesud B P(A/ B ) schedug krak B P( A /B) ----

22 Fehletschedugswahrschelchkete: ( B) P A / Wahrschelchket dafür, daß ee Perso krak st, de als gesud egestuft wurde. P A / B Wahrschelchket dafür, daß ee Perso gesud st, de als ( ) krak egestuft wurde. Zel: E solches Merkmal B fde, daß de Wahrschelchket für Fehletscheduge gerg st! geg.: P( B / A) 0, 8 P( B / A) 0, 3 P( A) 0, ges.: P( A / B), P( A / B) We groß sd de Fehlerwahrschelchkete für user Merkmal? Awedug des Satzes vo Bayes ud totaler Wahrschelchket : Es glt: P( A / B) ( / ) ( ) P( B) P B A P A ( ) ( ) NR: P B / A P B / A 0, 0, 8 0, + 0, 3 0, 9 0, 35 P( B) P( B) 0, 65 ud P B P B A P A P B A P A ( ) ( / ) ( ) + ( / ) ( ) 0, 0, 0, 0 P( A / B) 0, 03 0, 65 0, I 3 % aller Dagose wrd ee krake Perso als gesud egestuft! Bereche Se zu Bespel 0 de Irrtumswahrschelchket ( A B) P /!

23 .7 Übugsaufgabe. E zufällger Versuch bestehe m Werfe zweer Würfel. Ma bereche de Wahrschelchket dafür, daß de Summe 6, 7 oder 8 st! (Hwes: Klasssche Wahrschelchketsdefto beutze!). Jemad bewrbt sch be zwe Frme A ud B. De Wahrschelchket der Aahme seer Bewerbug schätzt er be Frma A mt 0,5 ud be Frma B mt 0,6 e. Weterh rechet er mt eer Wahrschelchket vo 0,3 vo bede Frme ageomme zu werde. We groß st de Wahrschelchket dafür, vo wegstes eer der bede Frme ee Zusage zu erhalte? (Hwes: Axom 3 beutze!) 3. (Aus eer USA-Stude über de Zusammehag zwsche Hautfarbe ud Beschäftgugsstatus) Es werde folgede Symbole beutzt: F Farbg, W Weß, B Beschäftgt, U Arbetslos. Be eer Utersuchug der Bevölkerug auf Hautfarbe ud Beschäftgugsstatus ergab sch folgede Häufgketstabelle: W F Total U B a) Vervollstädge Se de Tabelle! b) Bereche Se für e zufällges Idvduum de Wahrschelchkete: P(U), P(F), P(U/F)! c) Sd de Eregsse "de Hautfarbe st weß" ud " Beschäftgt" stochastsch uabhägg voeader? 4. G se e Gerät mt parallel geschaltete Bauelemete gleche Typs. Dabe sd jewels Bauelemete Rehe geschaltet. Das Gerät fällt aus, falls de Rehe ausfalle. Ee Rehe fällt aus, falls ees der bede Bauelemete ausfällt. De Bauelemete E j falle uabhägg voeader mt der gleche Wahrschelchket P(E j ot OK) 0, für alle,...,; j,, aus. Wevele Rehe muß das Gerät habe, damt de Ausfallwahrschelchket p des Gerätes 0, % cht überschretet, d.h. damt glt p P G ot OK 0, 00? ( )

24 G E E E E E E % eer bestmmte Populato see Fraue, 30 % Mäer, 0 % Kder. 5 % der Mäer, % der Fraue ud 0,5 % der Kder see zuckerkrak. a) We groß st de Wahrschelchket dafür, daß ee zufällg ausgewählte Perso zuckerkrak st? b) Sd de Eregsse De Perso st zuckerkrak ud De Perso st weblch stochastsch uabhägg voeader? c) Ee zufällg ausgewählte Perso st zuckerkrak. Mt welcher Wahrschelchket st dese Perso e Ma? (Hwes: Satz vo Bayes, Formel der totale Wahrschelchket) 6. E Arzt hat es sch zur Lebesaufgabe gemacht, zu dagostzere, ob ee vo zwe Krakhete A oder A oder kee vo bede be eem Patete vorlege. Der Arzt dagostzert dabe ahad der Beobachtug ees bestmmte Blutwertes, ob der Patet ee der bede Krakhete hat oder cht; d.h. de Dagoseregel des Arztes lautet: Blutwert erhöht etweder ur A oder ur A oder bede Krakhete lege vor Blutwert cht erhöht weder A och A lege vor. Es se bekat, daß be 90% aller Persoe, de sowohl A als auch A habe der Blutwert erhöht st; sowe be 80% aller Persoe, de ur de Krakhet A habe (ud cht A), be 70% aller Persoe, de ur A habe (ud cht A) ud 0% aller Fälle, de weder A och A habe. Weterh se bekat, daß A mt 5%ger Wahrschelchket ud A mt %ger Wahrschelchket der Bevölkerug vorkomme, ud 0% der Persoe, de A habe, auch de Krakhet A habe. Bereche Se de Wahrschelchket dafür, a) daß ee Perso ee erhöhte Blutwert ud de Krakhet A hat, b) daß ee Perso, de ee erhöhte Blutwert aufwest, de Krakhet A hat! c) daß ee Perso, de ee erhöhte Blutwert hat, weder A och A hat! Hwes: Bereche Se zuächst de Wahrschelchkete für folgede 4 Fälle: - A ud A lege vor - A ud cht A legt vor - A ud cht A legt vor - Weder A och A legt vor

25 Zufallsgröße ud hre Verteluge. Zufallsgröße (Wederholug) Def.: Zufallsgröße sd zufällge Merkmale, de eem zufällge Versuch beobachtet werde ud dere Merkmalsauspräguge (Realseruge) durch Zahlewerte (drekt oder durch Skalerug) charaktersert werde. X Zufallsgröße x Realserug, Beobachtug X Werteberech vo X, X { a a k } [ a b],...,,... dskret, X X stetg Zufallsgröße Merkmalswerte Realserug Typ X Blutgruppe A, B, AB, 0,,, 3 dskret (omal) X Azahl der ω ( M, M ) 0,, dskret (ordal) Wappe be (festgelegte M { K, Z} Müzwurf Bedeutug der T zufällge Lebesdauer (K, K) (K, Z) (Z, K) (Z, Z) Us teressere folgede Wahrschelchkete:. P(X x) Wahrschelchket dafür, daß X de Wert x ammt. P(a X b) Wahrschelchket dafür, daß X [a, b] 3. P(X a), P(X a) Zahle) 0 [0, ) stetg (proportoal). Wahrschelchketsvertelug dskreter Zufallsgröße Se X dskret, X { a a k },...,,.... Wr beötge ur p P(X a ) für,..., k,... Mt Hlfe der p köe Se alle Wahrschelchkete. 3. bereche: P(5 X 8) P(X 5 X 6 X 7 X 8) P(X 5) + P(X 6) + P(X 7) + P(X 8)

26 P(a X b) P( X a ) ud P(X a) a : a a b P(X a ) a : a a Def.: De Gesamthet ((p P(X a ), a X )) heßt Wahrschelchketsvertelug vo X. Darstellug: grafsch: P P p3... X a a a k X p p tabellarsch: X a a a k p p p p k aalytsch als Fukto: p f(, a ) Bespel 5: Zufallsexpermet: Werfe zweer Müze 0,,, 3, X Azahl K, X { } Ω ( K, K),( K, Z),( Z, K),( Z, Z) X { } X{ 0 } Gesucht: Wahrschelchketsvertelug vo X X 0 p p 0 p p p 0 P(X 0) P((Z, Z)) 4 p P(X ) P ( {( K Z ) ( Z, K,, )} ) 4 X 0 p 4 4

27 Verallgemeerug: (Berechug der p ) Ma betrachte de Zufallsgröße X als Abbldug vo Ω X: X : Ω X R Äquvalez vo Eregsse: { ω Ω ( ω) } Ω P( X x) P( A) ' X x' A X x A Ω Bespel 6: Versuch: Würfel mt Würfel X Summe der Augezahle ges.: Wahrschelchketsvertelug vo X: X p p p 3 p 4... p p P( X ),,..., ω ( ω) ( ) mt X A p Wahrschelchketsvertelug vo X, 36,, 36,,, ,,,, ,,,,, ,,,,,, ,,,,, ,,,, ,,, ,, 36, 36 3 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( 3) 5 ( 4) ( 3 ) ( 3) ( 4 ) 6 ( 5) ( 4) ( 3 3) ( 4 ) ( 5) 7 ( 6) ( 5) ( 3 4) ( 4 3) ( 5 ) ( 6 ) 8 ( 6) ( 3 5) ( 4 4) ( 5 3) ( 6 ) 9 ( 3 6) ( 4 5) ( 5 4) ( 6 3) 0 ( 4 6) ( 5 5) ( 6 4) ( 5 6) ( 6 5) ( 6 6) ω ( w, w ) w {,..., 6} ( ) X ω w + w Ω 36 allgeme: p ( ) 36 ( 3 ) 36, 3,..., 7 8, 9,...,

28 Bespel 7: (Awedug der Gesetze zum Reche mt Wahrschelchkete) k Schlüssel ur eer st rchtg! a) Besoffe: Auswahl (Probere) ees Schlüssels mt Zurücklege b) Nüchter: Auswahl (Probere) ees Schlüssels ohe Zurücklege Frage: We groß st de mttlere Zahl der Versuche bs zum Fde des rchtge Schlüssels? Lösug: Wr bereche zuächst de Wahrschelchketsvertelug für de Azahl X der Versuche bs zum Fde des rchtge Schlüssels: Se X 0 Schlüssel cht gefude Schlüssel gefude das Ergebs m.-te Versuch. zu a) X {,,..., k } ( X ) P( 0 X 0 X 0 X ) P X P X 0 P X 0 L P X 0 P X p L ( k ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( k ) k k k k L k k k k k p :, k,,... k Bsp.: ( 3) k p p p p 3 3 4,, 3 L zu b) X {,,..., k } p P( X ) P( X 0 X 0 L X 0 X ) P( X 0) P( X 0/X 0) P( X 3 0/(X 0 X 0) ) L P( X 0 /( X 0... X 0) P( X /(X 0... X 0) ) k k k k k L k 3 k k ( ) ( ) ( ) k + k p,..., k k

29 Um de o.g.frage ach der mttlere Azahl der Versuche bs zum Fde des rchtge Schlüssels zu beatworte, beötge wr de Begrff des Erwartugswertes eer Zufallsgröße, der m ächste abschtt egeführt wrd..3 Parameter dskreter Verteluge.3. Erwartugswert, Varaz ud Vertelugsfukto Se X dskret, X { a, a,..., a k } deskrptve Statstk Wahrschelchketsrechug a h (a ) a p P(X a ) a h (a ) a p a h (a ) h ( a ) p a k h (a k ) a k p k rel. Häufgketsvertelug Wahrschelchketsvertelug Aus der Kovergez der relatve Häufgket gege de Wahrschelchket ergbt sch: arthm. Mttel: k x x k a h ( a ) EX k a p Erwartugswert vo X Streuug: s ( x x) k ( a x) H ( a ) k ( a x) h ( a ) k Var ( X) a EX p ( ) - Varaz vo X

30 Emprsche Vertelugsfukto: F ( x) h ( a ) : a x Beobachtuge x, j,..., mt x x j j ( ) ( ) F x p P X x : a x Vertelugsfukto vo X Atel aller Def.: Se X dskret, X { a, a,..., a k,...} ud se ( ) Da heßt: Var (X) : F EX : a p - Erwartugswert vo X ( a EX ) p p P X a,,,... - Varaz vo X ( x) P( X x) - Vertelugsfukto vo X Zu Bespel 7: k 4, se X Zahl Versuche bs Fde des rchtge Schlüssels (ohe Zurücklege) p P( X ),, 3, 4 4 Wevel Versuche brauche ch m Mttel? EX , 5 + 0, , , 5, Zege Se für das Bespel 7 Fall a) daß für de erwartete Azahl vo Versuche bs zum Fde des rchtge Schlüssels glt k EX : p k k k : Bespel 8: Würfel mt Würfel, Spel: DM Esatz Gew: 0 DM Summe der Augezahle 5 DM Summe der Augezahle 6 DM Summe der Augezahle Würde Se deses Spel spele?

31 P( Y ) Berechug des erwartete Gews pro Spel: Se X Summe der Augezahle ud Y Gew be Augezahl X, p P( X ) Gew X p Gew Y , ( ) 5 9 P Y 5, P ( Y 0 ), P ( Y 0 ) EY DM Erwarteter realer Gew: EY Esatz 0 DM.3. Quatle dskreter Verteluge Def.: Se X dskret, X { a,..., a k,...} ud se ( ) Wahrschelchketsvertelug vo X ud se F x) P( X x) p P X a,,,..., k,... de ( p de Vertelugsfukto vo X. Da heßt x α mt F( x ) α < F( x + ε) ε > 0, α-quatl der Vertelug X. α α a x.4 Stetge Zufallsgröße ud hre Verteluge, Vertelugsfukto ud Vertelugsdchte X stetg, d.h. [ a b], X. De Wahrschelchkete stetger Zufallsgröße werde mt Hlfe der Vertelugsfukto F(x) berechet. De Gestalt der Vertelugsfukto für stetge Zufallsgröße erhalte wr, dem wr de Übergag ees edlche Werteberech X { a,..., a k } zu eem kotuerlche Berech betrachte (sehe folgede Abblduge!).

32 Dskrete Vertelugsfukto: X X { a,..., a k } F(x) [ P F(x) { [ ) ) P [ { ) a a a 3 ak X X a k groß a k Übegag zur stetge Vertelugsfukto: F(x) Stetges F(x) X X stetg kotuerlches X Def.: Wr bezeche jede Fukto F(x) mt folgede Egeschafte als F( x) P X x vo X: Vertelugsfukto ( ). x X : 0 F ( x). x x F( x) F( x ) (F: mooto wachsed) 3. lm F( x) 0, lm F( x) x x + 4. F(x) st überall stetg

33 Folgerug:. 4. F(x) st bs auf höchstes edlch vele Stelle dfferezerbar, ud de Abletuge f ( x) F ( x) sd bs auf edlch vele Stelle auch stetg. Def.: De Abletug vo X. Es glt: F ( x) f ( x), x X heßt Wahrschelchketsdchte (Dchtefukto) x F ( x) f ( t) dt De Dchtefukto hat folgede Egeschafte:. f ( x) 0. f ( x) dx Überlege Se sch ahad eer Grafk, we de Wahrschelchketsvertelug eer dskrete Zufallsgröße be Übergag zu eem kotuerlche Werteberech (zu eer stetge Zufallsgröße) ausseht! We ka ma Wahrschelchkete, z.b. P(a<X<b), m stetge Fall bereche? Berechug vo Wahrschelchkete:. ( X b) F( b) P f ( x) dx. ( ) ( ) b P X a P X a F( a) f ( x) dx 3. P( a X b) F( b) F( a) a Graphsch: f (x) F (b) P(X b) b X

34 f (x) P(X a) a X P( a X b) f (x) a b X Zu 3.) F ( b) P( X b) P( X < a X [ a, b] ) P( X < a) + P( a X b ) P( a X b) P( X b) P( X < a ) P( X b) P( X a ) Es glt weterh: P X a 0 4. ( ) 5. P( X a) P( X < a X a) P( X < a) + P( X a) P( X < a) Zur Berechug vo Wahrschelchkete stetger Zufallsgröße beötge wr ur de Kets vo F(x) bzw. f(x). Bespel 9: Se X de Verspätug der U-Bah a eer bestmmte Haltestelle. X bestze folgede Dchtefukto: f ( x) 0,5 0,5 x für 0 für x [ 0,4] 0 x 4

35 f (x) 0, Gesucht.: Wahrschelchket dafür, daß de Verspätug zwsche ud Mute legt! X Lös.: P ( X ) f ( x) dx ( 0, 5 0, 5 x) dx 5 x x 0, Parameter stetger Verteluge.5. Erwartugswert ud Varaz Übergag zu kotuerlchem Werteberech: k X dskret EX a p k ( ) ( ) Var X a EX p x f ( x) dx EX ( x EX ) f ( x) dx Var(X) Def.: Se X ee stetge Zufallsgröße. Da heße EX x f ( x) dx Erwartugswert vo X ud Var ( X ) ( x EX ) f ( x) dx Varaz vo X.

36 Bespel 30: U-Bah ges.: Erwartete Verspätug der U-Bah EX x f ( x) dx x x x x dx 4 3 m 0 sek.5. Quatle Def.: Se X ee stetge Zufallsgröße mt der Vertelugsfukto F(x) ud Vertelugsdchte f(x). x α Der Wert x α X, für de glt: F(x α ) α bzw. f x) dx P( X x ) α Quatl. ( α heßt (uteres) α x α X Bespel 3: Se X de zufällge Dauer vo Telefogespräche ud se de Dchte vo X x 5 durch f ( x) e gegebe. 5 a) We groß st de mttlere Gesprächsdauer? b) Welche Zet überschrete 80 % der Gespräche cht? c) We groß st de Wahrschelchket dafür, daß de zufällge Gesprächsdauer > 0 m st? (We groß st der Atel aller Gespräche, de läger als 0 m. dauer?) Zu a) Mt α /5 glt: EX α 0 x f ( x) dx x e αx dx 0 x αe αx dx partelle Itegrato

37 x α + α α x [ e ] 0 e 0 αx dx α x e α αx α + α α α e αx dx 0 α Ergebs: x 5 f ( x) e EX 5 5 m. α 5 Zu b) 0,8 80 % t Wr müsse das 80 % Quatl t 0,8 bereche! t 0,8 t 0,8 : f ( x) dx 0, 8 dese Glechug st ach t 0,8 aufzulöse! t 0 0 0,8 e e 0,8 e l 5 e x 5 t 5 x 5 0,8 0 ( 0,8) t dx 0,8 0,8 0,8 0,8 t 5 0,8 l t 5 0,8 t 0,8 5 l ( 0, ) 5 (, 6) 8 m.

38 x 5 Zu c) P( X > 0 ) e dx e + e 0 x 5 e x 5 ( ) 0 e 0,35 3,5%.6 Egeschafte vo Erwartugswerte ud Varaz vo Zufallsgröße X dskret oder stetg (belebg) Satz:.) E( ax) aex.) E( a) a 3.) E( X + Y) EX + EY 4.) E( X Y) ( EX) ( EY) falls X ud Y stochastsch uabhägg Bewes.: Zu 4.) See X ud Y dskret, X { a,..., a k }, Y { b,..., b k } Satz: Es glt: Var X Var a Z X Y Z { a b,..., k j j,..., l } ( j ) ( j ) P Z a b P X a Y b ( ) ( ) P X a P Y b stoch. uabh. EZ E X Y a b P Z a b ( ) j ( j ), j k l ( ) ( ) a b P X a P Y b k j ( ) ( ) a P X a b P Y b EX.) ( ) [ ] [ ] ( ) E X E X E X EX j j l j j j.) ( ) 0 3.) Var( ax + b) a Var( X ) 4.) Var( ax + by ) a Var( X ) + b Var( Y ) EY, falls X ud Y stochastsch uabhägg sd

39 Bewes: Zu 3.) X stetg Var ( ax + b) ( ax + b E( ax + b) ) a ( ax a EX ) a ( x EX ) Var ( X ) f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx Bespel 3: See X ud Y Zufallsgröße mt EX 3 ud Var (X) bzw. EY 0 ud Var (Y). Gesucht: Leare Trasformato Y ay + b vo Y so, daß EY EX ud Var Y Var X. Lösug: EY EX E( ay + b) 3 + Var ( Y ) Var ( X) Var ( ay + b) a EY b 3 a 0 + b 3 ( ) a Var Y a a ± ± 0,707 b 3 7,07 4,07 b 3 + 7,07 0,07 Ergebs: Y 0,707 X 4,07 oder Y 0,707X + 0, 07 Bespel 33: See µ : EX, σ Var ( X) E X µ E( X µ ) ( EX Eµ ) ( EX µ ) 0 σ σ σ σ X µ Var Var ( X µ ) σ σ σ Var ( X) Def.: Ee Zufallsgröße X mt EX 0 ud Var (X) heßt Stadardserte Zufallsgröße X X EX Stadardserug eer Zufallsgröße Var X ( )

40 Def.: Var ( X ) Stadardabwechug vo X..7 De Tschebyscheff-Uglechug Satz: Es glt: (( ) ε) ( ) Var X a) P X EX > ε Var X b) P( ( X EX ) ε) ε ( ) ε > 0 Wr köe also Wahrschelchkete ohe Kets der Vertelug abschätze, ur durch Verwedug vo EX, Var(X). Bespel 34: Produkto vo Schraube ( 5mm Norm! : d) X zufällger Schraubedurchmesser Es glt: EX d ud Var X 0,005 mm Ausschuß: Jede Schraube, de um mehr als 0, mm vom d abwecht. Ges.: Ausschußrate der Produkto Lös.: P( X d 0 mm) Var ( X), ( 0 ) mm ( 0, ) > 0, 73 7, 3% Satz a), Ausschußrate überschretet 7,3 % cht!.8 Hauptsatz der Statstk De Kovergez vo h ( a ) p P( X a ) Satz: (Hauptsatz der Statstk) beruht auf dem Hauptsatz der Statstk. Es glt: P lm sup F ( x) F( x) 0 x ℵ

41 .9 Übugsaufgabe. I eer Sedug vo 8 Stück befde sch fehlerhafte Stücke. Es werde zufällg 3 Stück acheader ohe Zurücklege etomme. X se de zufällge Azahl der fehlerhafte Stücke uter dese 3 etommee. a) Bereche Se de Wahrschelchketsvertelug vo X ud stelle Se dese grafsch dar! b) Bereche Se EX ud Var(X).. Se 0 F ( x) x für x < für x < für x a) Zege Se, daß F(x) ) ee Vertelugsfukto eer Zufallsgröße X st! b) Stelle Se de Vertelugsfukto ud de Dchtefukto grafsch dar! c) Bestmme Se de Dchtefukto, de Erwartugswert ud de Meda! 3 d) Bereche Se P( 0 < X <, 5) ud P X > 4! 3. Be der Herstellug vo Welle sd alle Welle Ausschuß, de mm oder mehr vom Sollmaß vo 00mm Läge abweche. De zufällg schwakede Läge hat de Erwartugswert 00mm ud de Stadardabwechug Var( X) We groß st der Ausschußatel höchstes? 0, mm. 4. Se X ee Zufallsgröße mt EX 0 ud Var(X) 4. We muß ma X trasformere, damt für de trasformerte Zufallsgröße Y glt: EY 0, Var(Y)? 5. Se X ee stetge Zufallsgröße mt um xc symmetrscher Vertelugsdchte f(x), d.h. es gelte: f(c-x) f(c+x) für alle x R. a) Zege Se: EXc! b) Se Var(X)d. Bereche Se Abhäggket vo c ud d e möglchst klees Itervall I[c-h, c+h] mt h>0 (also h), welchem X mt mdestes 80% ger Wahrschelchket legt!

42 3 Mehrdmesoale ( zwedmesoale ) Verteluge 3. Zwedmesoale dskrete Verteluge See X, Y zwe dskrete Zufallsgröße mt de Wertebereche X { a,..., a k }, Y { b,..., b l }. Def.: De zwedmesoale Wahrschelchketsvertelug vo X ud Y st de Gesamthet p : P X a Y b,,..., k; j,..., l aller Wahrschelchkete j ( j ) Es glt:.) 0 p j k l.) p j j Bespel 35: Se M ee Masche mt empfdlche Bauelemete B, B. X, Y - Azahl der Ausfälle vo B bzw. B pro Tag. Se X { 0 } gemesame Ausfallvertelug se:,,, Y { 0 } X / Y 0 0 0,3 0,0 0,4 0,46 0,8 0,0 0, 0,3 0, 0,06 0,06 0,4 0,6 0, 0,3 p j P( X Y j) z.b.: p 0 0, 0,,. De Def.: De bedgte Vertelug vo X uter der Bedgug Y b j st de Gesamthet aller Wahrschelchkete. ( ) ( / j ) P( Y b j ) P X a Y b P / : P X a / Y b j j Pj,..., k. P j Def.: X X { a,..., a k }, Y Y { b b l },...,. X ud Y heße stochastsch uabhägg, falls glt: p / j P j,..., k, j,..., l. Folgerug: X ud Y stochastsch uabhägg Pj p p j für alle,...,k ud j,...,l. ( P ( X a Y b ) P ( X a ) P ( Y b )) j j

43 Zu Bespel 35: Sd de Ausfälle B ud B voeader uabhägg? ( ) P P X 0 Y 0 0, 3 P P ? ( 0) P( Y 0 ) P X 0, 46 0, 6 0, 3 X ud Y sd cht stochastsch uabhägg. 3. Zwedmesoale stetge Verteluge See X, Y zwe stetge Zufallsgröße Def.: De Fukto F x, y) : P( X < x Y < y), x, y R ( heßt zwedmesoale Vertelugsfukto vo X ud Y. De Fukto f(x,y) mt de Egeschafte. f ( x, y) 0 x R, y R x y. F( x, y) 3. f ( x, y) dxdy f ( ~ x, ~ y) dxdv ~ ~ heßt zwedmesoale Vertelugsdchte vo X ud Y. Def.: Rad-Dchte (bzw. Rad-Verteluge) für X ud Y f X ( x) : f ( x, y) dy heßt (Rad-) Dchte vo X. b P( a < X < b) f X x dx ( ) a f Y ( y) : f ( x, y) dx heßt (Rad-) Dchte vo Y. b P( a < Y < b) fy x dy ( ) a Def.: X ud Y stetg mt der Dchtefukto f(x, y). Da heße X ud Y stochastsch uabhägg geau da we glt: f ( x, y) f ( x) f ( Y ) x R, y R. X y

44 Folgerug: X,Y see stetg. X ud Y sd stochastsch uabhägg. Da glt: F( x, y) F ( x) F ( Y ) X ( P( X x) Y y) P( X x) P( Y y) y < < X Y Bewes: F( x, y) f ( x, y) dxdy ~ ~ ~ ~ X Y f X uabh. x y ( ~ x) f f ( ~ x) dx ~ f ( ~ y) dy ~ X F ( x) F ( y) X Y Y Y ( ~ y) dxdy ~ ~ Bespel 36: See X, Y zwe Zufallsgröße mt der gemesame Dchtefukto f(x,y) x y e e für x 0 y 0 f ( x, y) 0 sost a) ges.: EX, EY Lös.: EX x f ( x) dx, EY y f ( y) dy X (X X R) Y f X ( x) 0 f ( x, y) dy für x < 0 0 e x e y dy e x 0 e y dy e x y [ e ] 0 e x für x 0 f Y y e für y 0 ( y) 0 für y < 0 [ ] x x x EX x f ( x) dx x e dx x e + e dx X aalog: EY 0 0 b) ges.: P( X < Y < 3 ) Lös.: P ( X < Y < 3) F(,3) 3 f ( x, y) dxdy 3 x y e e dx dy x 0 y 0

45 3 [ ] [ ] 3 x y x y 0 0 ( 3 e )( e ) e dx e dy e e c) Sd X ud Y stochastsch uabhägg?? f ( x, y) f ( x) f X Y x y x y ( y) e e e e x, y 0 X ud Y sd stochastsch uabhägg! 0 0 Bespel 37: B B B3 B4 Se X de zufällge Lebesdauer vo Bauelemet B,,...,4 mt der jewelge Dchte: ( ) ( ) ( ) X : f ( x) 5 e X : f ( x) 6 e X : f ( x) e X 4 : f4 ( x) e ( ) 3 3 x 5x 6x x x 0 Voraussetzug: Lebesdauer der Bauelemete sd uabhägg! Bereche Se de Wahrschelchket dafür, daß das Gerät läger als 0 Jahre fuktoert! Ges.: P ( G >0), G - zufällge Lebesdauer des Gerätes. Lös.: P ( G > 0 ) P(. Rehe > 0.Rehe > 0) P(.Rehe > 0) + P(.Rehe > 0) P(.Rehe > 0.Rehe > 0) Ax. 3 P (.Rehe > 0) + P(.Rehe > 0) P(.Rehe > 0) P(. Rehe > 0)

46 (.Re > 0) ( > 0 > 0) P( B > 0) P( B > 0) P he P B B ( FX ( 0) ) ( FX ( 0) ) 0 0 f( x) dx f ( x) dx L 0 0 Bereche Se zu Bespel 37 de Wahrschelchket P(G>0)! 3.3 Parameter zwedmesoaler Verteluge 3.3. Erwartugswert ud Varaz See (X, Y) Zufallsgröße. Zur Berechug der Erwartugswerte EX, EY ud Varaze Var(X), Var(Y) sd deftosgemäß de (Rad-) Verteluge vo X ud Y zu bereche: See X bzw. Y dskret mt de Wertebereche X { a,..., a k } bzw. Y { b b j } Wahrschelchketsvertelug p j P( X a Y b j ),,..., k, j,..., l. Da glt: bzw. ud k EX a p l j EY b j p k l j ( ) ( ) Var X a EX p ( ) ( j ) Var Y b EY p j j,..., mt der wobe p bzw. p j de Radverteluge der gemesame Wahrschelchketsvertelug ( p j,,..., k, j,..., l) sd. See X ud Y stetg mt der gemesame Dchtefukto f(x,y). Da glt:

47 EX x f x ( x) dx EY y f y ( y) dy ( ) ( ) Var X x EX f ( x) dx ( ) ( ) Var Y y EY f ( y) dy wobe f x (x) ud f y (y) de Raddchte vo f(x,y) sd. x y 3.3. Kovaraz ud Korrelato Def.: ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] Cov X, Y : E X EX Y EY E X Y EX EY heßt Kovaraz zwsche X ud Y. Satz:.) Cov( X, X) Var( X).) Cov( X, Y) 0 falls X ud Y stochastsch uabhägg 3.) Cov( X, Y + Z) Cov( X, Y) + Cov( X, Z) 4.) Cov( a + bx, Y) b Cov( X, Y) Def.: Uter der Korrelato zwsche X ud Y verstehe wr de Term R: (, ) ( ) Var( Y) Cov X Y Var X Satz: Es glt:.) R ( R ) falls Y ax + b, a > 0.) R falls Y ax + b, a < 0 0 falls X ud Y stochastsch uabhägg

48 Bewese Se de Satz! 3.4 Zusammefassug deskrptve Statstk Wahrschelchketsrechug X Y x y L x y Stchprobe Stchprobekovaraz: sxy: x x y y ( )( ) E( X EX) ( Y EY) Cov( X, Y ) s x x s y y Var (X) Var (Y) Pearsosche Korrelato: sxy rxy: s s xx yy R (, ) ( ) Var( Y) Cov X Y Var X

49 3.5 Übugsaufgabe. E Gerät bestehe aus 4 Bauelemete B, B, B3, B4 gemäß folgeder Schaltug: B B B3 B4 X se de zufällge Lebesdauer des Bauelemets B. De Zufallsgröße X bestze folgede Dchtefuktoe f (x): f ( x) e x 4+ für x < 0 für x 0,, 3, 4 De Bauelemete falle uabhägg voeader aus. Bereche Se de Wahrschelchket dafür, daß das Gerät ee Lebesdauer vo mdestes 0 Jahre bestzt!. Ee Masche habe zwe besoders empfdlche Bautele B ud B, de häufg - aber höchstes mal pro Tag - ausfalle. See X bzw. Y de zufällge Azahl der Ausfälle vo B bzw. B pro Tag. De gemesame Wahrschelchketsvertelug vo X ud Y se folgeder Tabelle gegebe: 0 X/Y 0 0,3 0, 0, 0, 0,05 0,05 0,05 0,05 0 a) Bereche Se P( X > ) ud Y! b) Bereche Se de erwartete Zahl EX ud EY der Ausfälle vo B ud B! c) Falle B ud B stochastsch uabhägg voeader aus? 3. Aus eer Gruppe vo Ehepaare, be dee bede Parter berufstätg sd, wrd e Paar zufällg ausgewählt. We groß st de Korrelato zwsche dem Ekomme der bede Parter, we bekat st, daß für das Ekomme X des Maes EX 600 DM, Var(X) 50 DM glt, ud für das Ekomme Y der Frau EY 850 DM, Var(Y) 300 DM glt, sowe de Kovaraz zwsche X ud Y Cox(X,Y) 36 DM beträgt?

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51 4 Spezelle Wahrschelchketsverteluge 4. Dskrete Verteluge Voraussetzug: X dskret, X X { a,..., a k,...} p P( X a ),,,... Wr köe be dskrete Zufallsgröße de Wahrschelchketsvertelug aus der Versuchsaordug bestmme! 4.. Zwepuktvertelug X, X { a a } p P( X a) p ( ) p P X a p, a p, a ( p) Def: Ee Zufallsgröße X, dere Werteberech ur zwe Werte a, a umfaßt, heßt zwepuktvertelt. a Mßerfolg ( p) Schrebwese: X a Erfo lg p Üblcherwese werde Zwepuktverteluge we folgt skalert: a 0, a Def: Ee zwepuktvertelte Zufallsgröße mt dem Werteberech X { 0,} Beroull-Varable. Für ee Beroull-Varable glt offeschtlch: Bespel: Müzwurf! ( ) ( ) EX p, Var X p p heßt 4.. Dskrete Glechvertelug Def.: Ee dskrete Zufallsgröße X mt edlchem Werteberech X { a,..., a k } heßt glechvertelt auf X, falls glt: P( X a ) ( ) Bezechug: X ~ G { a,..., a k } für alle,,...,k. k [ bedeutet: st vertelt we (X F bedeutet: X bestzt de Vertelugsfukto F)]

52 Bespele: a) Würfel, a,,...,6, p 6 b) Smulato: glechwahrschelch: Routg Bomalvertelug Bespel 38: Ich würfele 3 mal uabhägg voeader. Se X de zufällge Azahl der gewürfelte Sechse. Gesucht: Vertelug vo X Lösug: Wr bereche stellvertreted de Wahrschelchket ( ) Se w - Würfelergebs vo Wurf,,,3 P X. ( ) ( ) ( 6, 6, 3 6) ( 6, 6, 3 6) ( 6, 6, 3 6) P( ( w 6, w 6, w 3 6) ) + P( w 6, w 6, w 3 6) + P( ( w 6, w 6, w 3 6) ) P( w 6) P( w 6) P( w 3 6) + P( w 6) P( w 6) P( w 3 6) + P( w 6) P( w 6) P( w 3 6) p p ( p) + p ( p) p + ( p) p p 3 p ( p) P X P w w w w w w w w w p p 3 3 0,,, 3 Verallgemeerug: P( X ) ( ) Def.: Se X ee Zufallsgröße (dskret) mt dem Werteberech X { 0,,..., }. We de Wahrschelchketsvertelug vo X de Gestalt p P( X ) p ( p) 0,..., bestzt, et ma X bomalvertelt mt de Parameter ud p. X ~ B, p Schrebwese: ( )

53 Typsches Versuchsschema be der Bomalvertelug: (Beroull'sches Versuchsschema) Ich wederhole mal uabhägg voeader ee zwepuktvertelte Beroull-Versuch mt der Erfolgswahrschelchket p: X p 0 ( p) Erfo lg Mßerfo lg,..., X-Azahl der Erfolge (der ) be dese Wederholuge X Da glt: X ~ B(, p) X Bespel 39: Ich würfele 3 mal, X zufällge Azahl der 6 e, Zwepuktvertelter Versuch: Würfel eer 6 p 6 X 5 0 Würfel keer 6 p 6 p, 3 6 X ~ B 3, p 6 Bespel 40: Ee Statstkklausur umfasse 0 Aufgabe mt je 4 Atwortalteratve, vo dee ur ee rchtg st. We groß st de Wahrschelchket dafür, ur durch Rate wegstes 4 Aufgabe zu löse? Lös.: Aufgabe st rchtg gerate p 4 X 3 0 falsch ( p) 4

54 X Azahl rchtg gerateer Aufgabe X ~ B 0, p 4 4 ( 4) ( 4) ( ) P X p X P X P( X ) P( X ) M M Berechug vo EX ud Var(X) der Bomalvertelug: Satz : Se X~B(,p). Da glt: EX p ud Var(X) p(-p) Bewes: Es glt: X X, wobe ( p) X ~ 0 p,,...,. Uter Verwedug der Egeschafte vo Erwartugswert ud Varaz erhalte wr: qed. EX E X EX p p Var X Var X Var X ( ) ( ) ( ) ( ) p p p p Bespel 4: 0 Persoe werde glechwahrschelch Gruppe G, G egeordet. We groß st de Wahrschelchket dafür, daß am Ede bede Gruppe glechvele Persoe sd? X Azahl der Persoe G ges.: P( X 0 ) X ~ B 0, p

55 Zwepuktvertelter Versuch: G( K) p X 0 G ( Z) ( p),..., 0 (Müzwurf) P( X ) !!! 0 k k ( k) Bespel 4: De Wahrschelchket be eer U-Bah-Fahrt kotrollert zu werde beträgt 0 %. We groß st de Wahrschelchket dafür, erhalb vo 0 Fahrte P X 3 P X 0 X X X 3 p 0 + p + p + p3 a) höchstes 3x ( ) ( ) b) mehr als 3x P( X > 3) P( X 3 ) c) weger als 3x P( X < 3) p 0 + p + p d) geau 3x P( X 3) p 3 e) mdestes 3x P( X 3) P( X < 3 ) f) mehr als x ud weger als 4x ( > < ) + kotrollert zuwerde? Ax.3 P X X 4 p p3 X Azahl der Kotrolle erhalb vo 0 Fahrte X { 0,,..., 0} 0 p 0, X Kotrolle be Fahrt X ~ B( 0;0, ) p P X 0 ( p) 0,9 ( ) (, ) (, ) Reche Se zu Bespel 4 ee der Telaufgabe a)-f) aus!

56 4..4 De Possovertelug Se X ~ B(, p) We sehr groß, p sehr kle, da führt de Berechug vo p p ( p) machmal zu umersche Probleme. Ma ka p durch ee adere Ausdruck approxmere: Satz: Es glt: lm p 0 p λ kost. ( λ) p ( p) e 0! λ (ohe Bewes!) Für 0, p 0, 0 st de Approxmato: p ( p) e λ! λ mt λ p ausreched gut. Bespel 43: 000 Sadkörer, vo eer Sorte keme der Regel % cht. We groß st de Wahrschelchket dafür, daß vo dese 000 Körer mehr als 4 cht keme? Lösug: Se X Azahl der cht kemede Samekörer. Da glt: X ~ B 000, p 0, 0 ( ) 000 p Gesucht : P(X>4). ( 0, 0) ( 0, 09) e 0,..., 4! Es glt: ( ) ( ) P X > 4 P X 4 p 0 p p p3 p4 3 4 λ λ λ λ λ λ λ λ e λ e e e e! 3! 4! 3 4 e λ ( λ λ / λ / 3! λ / 4!) wobe λ p 0. Reche Se de gesuchte Wahrschelchket zu Bespel 43 aus!

57 Rekursosformel zur Berechug der Wahrschelchkete p p 0 e λ, p λ p,,,... λ e! λ p e 0 λ λ λ λ p e p 0 λ λ λ p e p! Bemerkug: Be eer B(, p) - vertelte Zufallsgröße X glt: EX p Var X p p λ ( ) ( ) Es gbt oft Stuatoe, dee ud p ubekat sd, aber p λ bekat st. I dese Stuatoe köe wr de Wahrschelchkete p P( X ) p ( p) cht bereche, aber de dese approxmerede Größe λ e! λ! Bespel 44: I eer Vermttlugsstelle gehe m Schtt 5 Arufe pro µs e. Maxmal schafft de Vermttlugsstelle 0 Arufe pro µs. We groß st de Wahrschelchket dafür, daß de Kapaztät der Vermttlugsstelle überschrtte wrd? (Merke: Azahl st her mmer bomalvertelt!) Aschlüsse Vermttlugsstelle

58 Lösug: Se X Azahl vo Arufe pro µs. Da st gesucht: P( X > 0 ). Es glt: X B( p) ~, EX p 5 Azahl der egehede Telehmer p Wahrschelchket für de Aruf ees Telehmers eer µs., p ubekat aber > 0, p < 0,0 ud p λ P X > ( 0) P( X 0) 0 0 p 0 0 λ λ 5 e e!! bekat Def.: X se ee Zufallsgröße mt dem Werteberech X { } posso-vertelt mt dem Parameter λ, falls glt: ( ) ( λ) P X e! λ Bezechug : X ~ P( λ ) für 0,,,... 0,,,... N 0. Da heßt X Satz: Se X P( ) ~ λ. Da glt: EX λ, Var(X) λ. Bewes: (Taylorrehe der e-fukto) ( ) EX p e e e λ λ λ λ λ e e λ λ λ λ λ λ λ!!! 0 0 ( ) 0 0

59 Zur Var(X): X p p 0 λ ~ B(, p) Var( X) p ( p) p 0 p λ X ~ P( λ ) Var(X) λ ged. Bespel 45: De mttlere Azahl etreffeder Kude be Ald se 5 pro 0 Mute (½ Kude pro Mute). We groß st de Wahrschelchket dafür, daß erhalb vo 0 Mute geau Kude etrfft? Lösug: Se X zufällge Azahl etreffeder Kude pro Mute ( ) X ~ P λ P X e 0, , 3 % 30,3 % aller Mutetervalle kommt geau e Kude a! Typsche Aweduge der Possovertelug: X Azahl etreffeder Sgale eer Empfägerstato pro Zetehet X Azahl etreffeder Kude eer Verkaufserchtug pro Zetehet X Azahl etreffeder Autos a eer Kreuzug pro Zetehet

60 4. Spezelle stetge Verteluge Se X stetg, X R. De Wahrschelchketsvertelug wrd her durch de Dchtefukto f(x) bzw. Vertelugsfukto F(x) beschrebe. P b ( a X b) f ( x) dx F( b) F( a) a P( a X b) f (x) a b X gesucht: f Ma uterschedet verschedee Type vo f. Dese etspreche typsche beobachtete Verläufe der Hstogramme. Bespel 46: a) X Lebesdauer vo Kühlschräke, Beobachtuge: x,...,x Klasseetelug K,...,K k, grafsche Darstellug der relatve Häufgketsdchte h ( K ) h * ( K ) K H (K ) P(X K ) K Kk X X αx α e, x 0 f ( x) 0, x < 0 Wese Se ach, daß de Fläche uter der Fukto αx βe, x 0 f ( x) α > 0, β > 0 0, x < 0 ur da glech st, we glt: α β!

61 a) X zufällge Körpergröße vo Persoe h * ( K ) x,...,x K 0 X µ σ µ µ + σ X Bemerkug: f ( x) e π σ ( x µ ) σ, x R De Gestalt der Dchtefukto st zuächst vom Typ: ( x µ ) σ f ( x) c e, x R Ma ka zege, daß c se muß, damt de Fläche uter der π σ Fukto f(x) glech st; d.h., damt f(x) ee Vertelugsdchte st! c) X zufällge Zet zwsche Etreffe zweer Autos a eer Kreuzug h * ( K ) x,...,x f (x) X X a b f ( x),für x b a 0 sost Begrüde Se dese Wahl vo f(x) als Vertelugsdchte für X! [ a, b] Bemerkug: Im Utersched zu Verteluge dskreter Zufallsgröße, de aus dem Versuchsaufbau theoretsch hergeletet werde, werde Verteluge stetger Zufallsgröße aus der Gestalt des Hstogramms, also expermetell, bestmmt.

62 4.. De stetge Glechvertelug Def.: Se X stetg. X heßt auf dem Itervall [ a, b] R glechvertelt, falls X de Dchtefukto f ( x) b a, für x, 0, für x, bestzt. X ~ R a, b Bezechug: [ ] [ a b] [ a b] Es glt: F( x) EX Var x f ( u) du x f ( x) dx x b ( X ) ( x EX ) b a 0 a a x b b a für für für f ( x) dx a ( b a) ( b ) a x < a x [ a, b] x > b a + b Wese Se das Ergebs für de Varaz ach! Awedug: Systemtechk II (Smulato) 4.. De Expoetalvertelug Def.: Se X stetg. X heßt expoetalvertelt mt dem Paramater α, falls de Dchtefukto de Gestalt f ( x) αx α e, x 0 0, x < 0 α α bestzt. α Itestätsparameter (Geschwdgket des Abklges gege 0) Bezechug: X ε(α) X

63 Satz: Es glt: αx e, x 0 a) F( x) 0, x < 0 b) EX α c) Var( X ) α Bewes: Zu a) qed. F( x) x 0 x α f ( u) du α e α u du x α u α x α x ( ) 0 e e e Wese Se de Aussage b) ud c) des Satzes ach! We ka ma be eer expoetalvertelte Zufallsgröße de Parameter α zumdest äherugswese ermttel? Typsche Awedugsgebete: X zufällge Lebesdauer vo Bauelemete X zufällge Gesprächsdauer vo Telefoate X zufällger Zetabstad zwsche Sgale (,de eer Empfagsstato etreffe) X - zufällger Zetabstad zwsche Kude (, de eem Supermarkt etreffe) X Abbauzet vo Droge m meschlche Blut Bespel 47: De zufällge Lebesdauer vo Kühlschräke se expoetalvertelt. Im Mttel beträgt se 0 Jahre: a) Wevel % aller Kühlschräke werde dese 0 Jahre überschrete? b) Nach welcher Zet habe 80% aller Kühlschräke 'hr Lebe ausgehaucht'? Lösug: X zufällge Lebesdauer, X ε α 0 Jahre-

64 Zu a) P( X > 0) P( X 0) F(0) e 0 0 e 0, 3 e 3% aller Kühlschräke werde älter als 0 Jahre. Zu b) P( X t ) 0,8 0, 8 F 0 8 ( 0,8), t 0, 8 e 0 0, 8 t 0, 8 e 0 0, / l t 0,8 l ( 0, ) 0 t 0 l 0, 6, 09 6 Jahre 0,8 ( ) 0,8 t Ca. 0% aller Kühlschräke überschrete ee Lebesdauer vo 6 Jahre. Satz: (Zusammehag zwsche der Posso- ud der Expoetalvertelug) Se X de zufällge Azahl etreffeder Sgale pro Zetehet ud se T de zufällge Zet zwsche zwe Sgale. Da glt: X ~ P( λ ) T ε (λ) Bewes ud Aweduge: -> Vorlesug: Dskrete Smulato De zufällge Zet T zwsche dem Etreffe zweer Studete zur Vorlesug se expoetalvertelt mt dem Erwartugswert ET m. a) We groß st de Wahrschelchket dafür, daß mehr als Studet pro Mute etrfft? b) Wevele Studete werde m Mttel pro Mute etreffe?

65 4..3 De Normalvertelug (Gauß-Vertelug) Def.: X se stetg. X heßt ormalvertelt mt de Parameter ( µ, σ ) Dchtefukto f(x) folgede Gestalt bestzt:, falls de Bezechug: X ~ N( µ, σ ) f ( x µ ) σ ( ) x e π σ x R. f (x) sym m etrsch µ σ, µ + σ µ 3σ µ σ µ σ µ µ + σ X R µ L ageparam eter µ µ σ > σ µ σ µ σ µ µ + σ µ + σ σ Streuugsparameter Vervollstädge Se dese Grafk, dem Se de Dchte der Normalvertelug N ( µ,σ ) für σ > σ ezeche! Wrd dese steler oder flacher als de berets egezechete Dchte?

66 Satz: Se X ~ N(, ) µ σ. Da glt: EX, Var( X) µ σ (ohe Bewes!). Def.: Uter der Stadardormalvertelug versteht ma de Vertelug N(0, ), also de Normalvertelug mt Erwartug 0 ud Varaz. Bezechuge: ϕ (x) :f(x) Dchtefukto der Stadardormalvertelug Φ (x) :F(x) Vertelugsfukto der Stadardormalvertelug Berechug der Wahrschelchkete: Se X ~ N(, ) µ σ. Gesucht P( X < a) F a a ( x µ ) σ ( a) f ( x) dx e π σ dx Aalytsch cht lösbar umersch löse zu aufwedg für us µ a Wr führe F(a) auf de Stadardormalvertelugsfukto Φ zurück. De Fukto Φ st tabellert. Satz: Se X ~ N(, ) µ σ. Se F de Vertelugsfukto vo X. Da glt: a µ F ( a) Φ ( Φ - Vertelugsfukto vo N(0, )) σ Bewes des Satzes: Es glt: Substtuto: u ( x µ ) σ du dx σ dx σdu