Logistische Funktion Verhulst ( ), belgischer Mathematiker

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Britta Braun
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1 Logistische Funktion Verhulst ( ), belgischer Mthemtiker Wchstumsvorgänge sind letztendlich immer begrenzt. Beim begrenzten Wchstum wird die Sättigungsgrenze von Anfng n berücksichtigt. Bei vielen Wchstumsprozessen ist die renze ufgrund ihrer röße für die nfängliche Entwicklung ohne Belng. Im Folgenden versuchen wir ein nfänglich eponentielles, schließlich jedoch begrenztes Wchstums zu modellieren. Wegen des eponentiellen Wchstums zu Beginn sei der Ausgngspunkt die Funktion f() = e. D eine Begrenzung vorliegen soll, muss ds Ansteigen von e usgeglichen werden. Dies knn durch eine Division durch 1+e erfolgen. Die Funktion f() = e 1+e (= 1 1+e ) besitzt die renze = 1, einen Wendepunkt n der Stelle = 0 (wird noch bewiesen) mit der Steigung f (0) = 1. Die renze knn durch eine Multipliktion mit verändert werden. 4 1,0 f() = e 1+e 0,8 0,6 f() = e 1+e 0,4 0, Die Steilheit des Anstiegs im Wendepunkt knn durch den Prmeter k vriiert werden. 1,0 f() = ek 1+e, k f (0) = k 4 0,8 0,6 f() = e 1+e 0,4 0, frnz. logis Unterkunft, Wohnrum 1

2 Logistische Funktion, Fortsetzung Schließlich knn der rph geeignet verschoben werden, ist die Stelle des Wendepunkts. 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 f() = 1 1+e 2(3 ) f() = ek( ) 1+e k( ), (= 1+e k( ) ) f(0) = 1+e k f () = k Wir untersuchen die Wchstumsgeschwindigkeit f (). f() = e 1+e f () = e (1+e ) (e ) 2 (1+e ) 2 = e 1+e (e ) 2 (1+e ) 2 = = f() (1 f()) e e (1 1+e 1+e ) Für die obige Funktion gilt die Beziehung: f () = k f() ( f()) mit k = k 1. Erläutere diese Beziehung. 2. Begründe, dss die Funktion f() = e n der Stelle = 0 einen Wendepunkt ht. 1+e 3. Vier Schüler einer Schule mit 400 Schülern setzen ein erücht in die Welt. Ds erücht breitet sich nfänglich nnähernd eponentiell mit einem prozentulen Zuwchs von 20% pro Minute us. Nch welcher Zeit kennen 380 Schüler ds erücht? 2

3 Logistische Funktion 3. Vier Schüler einer Schule mit 400 Schülern setzen ein erücht in die Welt. Ds erücht breitet sich nfänglich nnähernd eponentiell mit einem prozentulen Zuwchs von 20% pro Minute us. Nch welcher Zeit kennen 380 Schüler ds erücht? Lösung Mit dem Funktionsnstz f() = können die beiden leichungen 1+e k( ) e k = 4 Aus ihnen ergeben sich k =0,1843 und =24,927. Mit f() = 380 ermitteln wir = 41 (Minuten) e k( 1) = 4,8 ufgestellt werden. lterntiver Lösungsweg f () = k f() ( f())... f () = k f() (1 f() ) mit k = k k ist lso die Wchstumskonstnte des (nfänglichen) eponentiellen Wchstums, hier k = ln(1,2). ergibt sich us f(0) =

5 Logistische Funktionen Übung Logistische Funktionen können uf vielfältige Weise ngegeben werden. Einige Funktionsterme lssen sich durch Umformung ineinnder überführen, welche? eübt werden knn ds Ermitteln: ) der Sättigungsgrenze, b) des Anfngswerts, c) der 1. Ableitung, d) der Stelle des stärksten Anstiegs, e) einer Stmmfunktion, f) des Einflusses eines Prmeters uf den Verluf des rphen. 1. f() = 1+ b e b k f () = k ( f()) f() 2. f() = b+e k f () = k f() kb f2 () 3. f() = 1+e k( b) f () = k ( f()) f() 4. f() = ek b+e k f () = k f() k f2 () 5. f() = 1+be k f () = k ( f()) f() 6. f() = b b+e k f () = k f() k f2 () 5

6 Logistische Funktion Ergänzungen = f() = 1+be k f() = 1+be k f () = bke k (1+be k ) 2 w = lnb k 1. Wendepunkt f( w ) = 2 = w = lnb k 2. Smmetrie Der rph ist punktsmmetrisch zum Wendepunkt. Die Bedingung lutet: f( w +) 2 = 2 f( w ) f( w +)+f( w ) = 6

7 Logistisches Wchstum Ds logistische Wchstum wird m sinnträchtigsten durch die Funktion f() = 1+e k( ) mit der Wendestelle und der renze beschrieben. g f f knn us g() = durch Verschiebung gewonnen werden. 1+e k Es ist zu vermuten, dss k die Wchstumskonstnte der eponentiellen Approimtion ist. Hierzu ist us f die Näherung h() = f(0) e k für ds nfängliche Wchstum zu ermitteln. Wir formen um. f() = = 1+e k( ) 1+be k e k( ) = e k+k = e k e k, e k = b = ek e k +b mit e k erweitert = e k e k +b ek 1+b = ek f(0) Die zugehörige DL beschreibt ds Änderungsverhlten: f () = k f() ( f()) mit k = k h f 7

8 Vrition der Prmeter f() = 1+e k( ) 8

9 Logistisches Wchstum Zeit (in Wochen) Höhe (in m) 0,2 0,62 1,65 5,60 5,87 5, Um die Prmeter der (nheliegenden) logistischen Funktion f() = zu ermitteln, wird zunächst = 6 geschätzt. 1+be k b = 29 wird mit dem Anfngsbestnd f(0) = 1+b ermittelt, k = 0,6 durch Einsetzten eines Wertepres, z.b. f(10) = 5,6. Wir erhlten: f() = e 0,6 Um die Koordinten des Wendepunkts zu errechnen, formen wir den Funktionsterm um: f() = 1+e k( ) 29 = e ln(29) 29 e 0,6 = e ln(29) e 0,6 = e k( ln(29) k ), = ln(29) k W(5,61 3) 9

10 Logistische Funktion 2 w Die Zunhme der Individuennzhl f() ist proportionl zu f() und zur Differenz von oberer renze und f(). f () = r f() ( f()) f() = mit = f(0) 1+e k f(0) und k = r Folgern Sie us der DL, dss f( w ) = 2 gilt. 10

11 Logistische Funktion f() = 1+e k( ) Ermittle die Prmeter. egeben: ) = 20 f(0) = 0,09 f(8) = 5,07 b) = 30 f(0) = 1,175 f(6) = 2,886 11

12 Logistische Funktion f() = 1+e k( ) Ermittle die Prmeter. egeben: ) = 20 f(0) = 0,09 f(8) = 5,07 = 10 k = 0,54 b) = 30 f(0) = 1,175 f(6) = 2,886 = 20 k = 0,16 12

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