Werkstoffe der Elektrotechnik im Studiengang Elektrotechnik

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1 Werkstoffe der lektrotechnik im Studiengang lektrotechnik - Bändermodell der lektronen im Kristall - Prof. Dr. Ulrich Hahn WS 2008/2009

2 Orbitale für lektronen im Kristall Kristall: regelmäßige Anordnung von Atomen Bindung: Valenzelektronen Orbitale H 2 Molekül: (1s 1 ) I + (1s 1 ) II σ b2 + σ * 0 N Atome (je n Orbitale) im Molekül: im Kristall: N. n Orbitale Pauliprinzip: 2 e - /Orbital auffüllen, bis N. n e - in Orbitalen sind max. nergie: Fermienergie Fermienergie Atomorbitale: nergie Größe (n), Gestalt (l), Orientierung (m), Spin (s) Kristallorbitale: lokalisiert zwischen Atomen kovalenter Kristall delokalisiert im Kristall Metallbindung Bändermodell 2

3 Orbitale delokalisierter lektronen Molekül: Wechselwirkung nergieaufspaltung Delokalisierung Kristall: N gleiche Atome N gleiche Orbitale N-fache nergieaufspaltung Delokalisierung typ. Gitterkonst. Abstand scharfe nergieniveaus nergien der Bänder abhängig von: ursprünglichen Atomorbitalen Kristallstruktur Atomabstand Bändermodell 3

4 Quantenzahlen für Kristallorbitale Orbitalmodell Unschärferelation p x x h 4π Größe Atom: m Größe Kristall: 10-3 m Impuls ist im Kristall genau bestimmbar Quantenzahlen für Kristallelektronen: p x, p y, p z, s Quantenzahlen für Kristallelektronen: p x, p y, p z, s nergieunterschiede zwischen Kristallorbitalen klein: nergieband nergieunterschiede zwischen Kristallorbitalen groß: nergielücke Bändermodell 4

5 Bänder in Leitern Beispiel Li: 1s 2 2s 1 Ionisierung 3 nergienivaus 3 Bänder jeweils N Orbitale F W A 2p 0 2s 1 1s 2 Kristall Atom Abstand (1s)- Band: N Orbitale, 2N lektronen voll besetztes Band (2s)- Band: N Orbitale, N lektronen halb besetztes Band Fermi in der Bandmitte e - nahe F : Wechsel in unbesetzte Orbitale möglich nergiezufuhr lektronenleitung, Leitungsband Bändermodell 5

6 Bänder in Leitern Beispiel Be: 1s 2 2s 2 Ionisierung (1s)- Band: voll besetzt (2s)- Band: voll besetzt Valenzband F Kristall Atom 2p 0 2s 2 1s 2 Abstand 2s und 2p Bänder überlappen e - nahe F : Wechsel in unbesetzte Orbitale (2p-Band) möglich lektronenleitung, Leitungsband lektronenleitung, Leitungsband Leitfähigkeit durch Wechsel des Bandes Leiter 2. Art Bändermodell 6

7 Bänder in Leitern Beispiel Cu: = 0 3s 2 3p 6 3d 10 4s 1 (1s), (2s), (2p), (3s), (3p), (3d)- Bänder: voll besetzt F Kristall Atom 4s 1 3d 10 3p 6 3s 2 Abstand (4s)- Band: N Orbitale, N lektronen halb besetztes Band Leiter 1. Art Fermi in der Bandmitte Bändermodell 7

8 Vorzeichenkonvention für lektronenenergien Atomphysik: = 0: e - weit vom Atom entfernt, kin = 0 < 0: e - an den Atomkern gebunden Festkörperphysik: im Band: nergien von der Bandunterkante oder: = 0: Ferminergie > 0: angeregte lektronen > W A : lektron verlässt den Kristall Bändermodell 8

9 Bänder in Nichtleitern Beispiel C (Diamant): 1s 2 2s 2 2p 2 Tetraederstruktur: 2sp 3 Hybrid kovalenter Kristall: 4 bindende & 4 antibindende σ Orbitale Bändermodell: 4N bindende Orbitale 4N antibindende Orb. = 0 7eV 2sp 3 1s 2 Kristall Atom Abstand (2sp 3 ) b - Band: 4N Orbitale, 4N lektronen (2sp 3 )*- Band: 4N Orbitale voll besetztes Band leeres Band Valenzband Leitungsband : nergielücke kann von e - nicht überwunden werden keine Leitung Bändermodell 9

10 Abhängigkeit der nergielücke von der Gitterkonstanten Bändermodell 10

11 nergieverteilung in den Bändern Modell: freies lektronengas Die Geschwindigkeitsverteilung n(, +d) von Molekülen im idealen Gas hängt ab von der: Wahrscheinlichkeit, dass eine Geschwindigkeit in [, +d] vorkommt Verteilungsfunktion f() Anzahl der Zustände gleicher nergie in [, +d] statistisches Gewicht g() n(, + d) = N f ( ) g( ) d Maxwell: 4 n(, + d) = N e d π ( kt)³ kt Bändermodell 11

12 nergieverteilung in den Bändern freies lektronengas im teilweise besetzen Band: kinetische nergie außerhalb der Bänder: keine lektronen nergie ab Unterkante des Bandes: g( ) g( ) Pauliprinzip: keine thermische Anregung (T = 0 K) Pauliprinzip: T 0 = 0 0 im Band außerhalb f ( ) = 1 g( ) = 0 für für < > Anregung nur in nicht besetzte Orbitale F F f (, T ) 1 = kt e Fermi-Dirac Verteilung F + 1 Bändermodell 12

13 statistisches Gewicht im Band Unschärferelation: p x x = h 4π p y y = h 4π p z z = h 4π Pauliprinzip: r r r Anzahl der Zustände in [ p, p + dp ] Zustände mit gleichem jedes Orbital muss sich in p mindestens um p x, p und p y z unterscheiden p r Kugel im Impulsraum Minimalvolumen für jeden Zustand: p x. p y. p z g( p) dp = 4πp²dp 2 p p p x y z p² mit = 2 m (4π) (2m)³ h³ 4 g( ) d = VKrist. d Bändermodell 13

14 nergieverteilung in den Bändern 4 (4π) (2m)³ n(, + d) = g( ) f ( ) d = VKrist ( F ) / h³ e. kt + 1 d g()f()/v K -- Bändermodell 14

15 influss der Impulsrichtung freies lektronengas: Impulsraum: p2 r + pot = ( p ) = 2m Orbitale gleicher nergie Kugeloberfläche pz py andere Metalle: pot abhängig von der Richtung p andere Fermiflächen pz px Modell ok für einwertige Metalle Bändermodell px py 15

16 Bandstruktur lektronen: Welle Teilchen Dualismus Orbital Welle Impuls Wellenlänge nge freie lektronen: Kristallstruktur: räumlich periodisch Wellen Abtasttheorem alle Wellen: gleiche Aus- lenkung an Gitterplätzen tzen k > k> kgitter = => k < m e r h r p = k 2π 2π = λ p² = gleich für alle Richtungen 2 Auslenkung 1,5 1 0,5 0-0,5-1 -1,5 Bändermodell Ort 16 r k Welle 1 Gitter Welle 2 Welle 3 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25

17 Bandstruktur Beschränkung auf k < k Gitter : reduziertes Zonenschema aber: (k > ) > (k > k Gitter ) reale Bandstrukturen: 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 2π 1,2 k g Cu C, Si Be Bändermodell 17

18 Kontaktspannung 2 Metalle ohne Kontakt: Vak unterschiedliche W A freie e - : kin = 0 gemeinsame Vak Vak W A,1 W A,2 Metall 1 Metall 2 x 2 Metalle in Kontakt: lektronenfluss Metall 2 Metall 1 Aufladung: Metall 1: F,1 Metall 2: + eu F,1 = F,2 = W W Metall 1 Bändermodell K A, 1 A,2 18 W A,1 eu Kontakt W A,2 Metall 2 x Vak

19 Kontaktspannung Austrittsarbeit von Metallen: Voltasche Spannungsreihe Metall W A /e [V] Kontaktspannungen im geschlossenen Stromkreis: Pb Cu Sn i U Cu-Pb = U 0 K, i Fe UPb-Sn USn-Fe Bändermodell 19 UFe-Cu U

20 Thermoelektrische ffekte Seebeck - ffekt: Thermoelement T T+ T Kontaktstellen unterschiedlicher Leiter auf unterschiedlichen Temperaturen Thermospannung U F 1 f() T eu K 2 T+ T 1 f() eu th T+ T: mehr e - oberhalb von F e - fließen von 1 2 Aufladung: 1: + 2: F (1) Bändermodell 20 x U th th

21 Seebeck - ffekt: Thermoelektrische ffekte häufig gebraucht: isen-konstantan 5,37 mv/100 C Bändermodell 21

22 Seebeck - ffekt: Thermoelektrische ffekte 1: NiCr-Konstantan 2: Cu-Konstantan 3: Fe-Konstantan 4: PtRh5-AuPd46Pt2 5: NiCr-Ni 6: PtRh13-Pt 7:PtRh10-Pt 8: PtRh30-PtRh6 Bändermodell 22

23 T+ T T Peltiereffekt Stromkreis mit unterschiedlichen Leitern Kontaktstelle wärmer Kontaktstelle kälter F,l F,r eu 1 kin,1 kin,2 2 kin,1 kin,2 1 Übergang Metall 1 Metall 2 Gesamtenergie der e- konstant rhöhung von kin Verkleinerung von pot Gitterenergie Abkühlung Übergang Metall 2 Metall 1 Bändermodell 23 x Verkleinerung von kin Gitterenergie rwärmung rmung

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