Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 15 DER KREIS
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- Maximilian Lange
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1 ARBEITSBLATT 15 DER KREIS Zunächst einmal wollen wi uns übelegen, was man mathematisch unte einem Keis vesteht. Definition: Ein Keis ist die Menge alle Punkte, die von einem gegebenen Punkt ( Keismittelpunkt) gleichen Abstand ( Radius) haben. Schon in de Antike beschäftigten sich Mathematike eingehend mit dem Keis. Bei den empiischen Untesuchungen hatte man zwei mögliche Ausgangssituationen: Entwede man nimmt eine Schnu von konstante Länge, bildet damit einen Keis und misst dann den Radius des Keises, ode abe man nimmt den Radius des Keises fix (z.b. mittels eines Stabes), zieht dann einen Keis und misst dann den Umfang des Keises. Seh schnell kam man zu eine inteessanten Ekenntnis: Umfang und Duchmesse eines Keises sind zueinande popotional, d.h. dividiet man den Umfang duch den Duchmesse, so ehält man imme dieselbe Zahl. Diese Zahl, eine Konstante ehielt einen eigenen Namen, nämlich π (spich pi ). Die Göße diese Zahl betägt ungefäh 3, Definition: Umfang Duchmesse d U π Die möglichst genaue Beechnung diese Zahl π wa und ist bis heute eine Aufgabe fü viele Mathematike. π ist nämlich eine besondee Zahl, eine sogenannte iationale Zahl, d.h. sie ist unendlich lang und nicht peiodisch. In de Paxis hat dies wichtige Auswikungen: Nimmt man einen Keis mit fixen Radius, so lässt sich de Umfang dieses Keises zwa beliebig genau beechnen, es ist abe unmöglich diesen absolut exakt anzugeben. Nimmt man umgekeht den Umfang als fix an, so lässt sich de Radius des Keises nu beliebig genau beechnen. Aus de Definition de Zahl π ehalten wi beeits die Fomel zu Beechnung des Umfangs eines Keises: U π / d d U d De Duchmesse ist natülich Radius und wi ehalten: Satz: U Übungen: Übungsblatt 15; Aufgaben
2 Um die Fomel fü den Flächeninhalt eines Keises zu ehalten, sind duchaus kompliziete Beechnungen duchzufühen, welche wi uns hie schenken. Auch hie gilt abe: Bei gegebenen Radius lässt sich de Flächeninhalt nu beliebig genau beechnen, nicht abe exakt. Satz: Flächeninhalt eines Keises: A Übungen: Übungsblatt 15; Aufgaben Beispiel: REICHEL 4; Seite 198; N. 749 a) ) Zunächst wollen wi den Umfang allgemein ausdücken: Die Figu setzt sich aus einem Halbkeis mit dem Radius a und zwei Halbkeisen mit dem Radius a zusammen. Ein Halbkeis mit Radius a hat folgenden Umfang: U (da Halbkeis) Nun setzen wi fü a ein: U a Die zwei Halbkeise mit Radius a egeben zusammen einen ganzen Keis mit Radius a: U Nun setzen wi fü a ein: U a Fü den Gesamtumfang addieen wi die beiden Umfänge: U aπ + aπ U 4aπ Nun beechnen wi allgemein die Fläche: Fläche des Halbkeises mit Radius a: A (da Halbkeis) Wi setzen fü a ein. ( a) 4a π A a π Fläche des Keises mit Radius a: A Wi setzen fü a ein. A a π Fü die Gesamtfläche addieen wi die beiden Flächen: A a π + a π 3a π 3) Nun sei a 40 mm. Fü den Umfang und die Fläche setzen wi in unsee Fomeln aus ) ein: U 4 aπ π 50, 65mm
3 A π 3a π ,64mm Übungen: Übungsblatt 16; Aufgaben 6-63 Länge eines Keisbogens Wi stellen uns zunächst einmal vo, dass wi aus einem Keis ein Totenstück heausschneiden: M Mittelpunkt des Keises Radius des Keises α b Länge des Keisbogens Ein deatiges Totenstück nennt man mathematisch einen Keissekto. Nun wollen wi uns übelegen, wie wi bei gegebenen Keisadius und α die Länge des Keisbogens beechnen können: Ein ganze Keis hat den Umfang und den. Ein Halbkeis muss also den halben Umfang, also und den haben. Dies können wi nun fotsetzen: Bogenlänge ganze Keis Halbkeis Vietelkeis 90 4 Keisbogen von 1 1 Keisbogen von α α Wenn bei einem Keissekto mit dem 1 die Länge des Keisbogens betägt, so muss ein Keissekto mit α einen α- mal so langen Keisbogen haben, also. Satz: Länge eines Keisbogens: b 3
4 Beispiel: Beechnen Sie die Länge des Keisbogens, wenn de Radius des Keises 8 mm und de 78 ist b 38, 11mm Übungen: Übungsblatt 15; Aufgaben Beispiel: Von einem Keisbogen kennt man die Länge b 45 mm und den α 73. Beechne den Keisadius. Rechnung Anmekungen Wi setzen die bekannten Wete b ein. 73 Wi fomen nach um: :(73 π ) , 3mm 73 Übungen: Übungsblatt 15; Aufgabe 66 Flächeninhalt eines Keissektos Um eine Fomel fü den Flächeninhalt eines Keissektos zu ehalten, gehen wi wie bei de Länge des Keisbogens vo: Flächeninhalt ganze Keis Halbkeis Vietelkeis 90 4 Keissekto mit 1 1 Keissekto mit α α Satz: Flächeninhalt eines Keissektos: A 4
5 Beispiel: Beechne den Flächeninhalt eines Keissektos mit dem Radius 40 mm und dem α A 1500mm Übungen: Übungsblatt 15; Aufgaben De Keising Definition: Unte einem Keising vesteht man zwei konzentische Keise (Haben denselben Mittelpunkt) unteschiedliche Göße. 1-1 Wollen wi also den Flächeninhalt des Keisinges ausechnen, so müssen wi die Fläche des kleinen Keises von jenem des Goßen abziehen: Fläche des goßen Keises: Fläche des kleinen Keises: A g A k 1 Fläche des Keisinges: A 1 ( ) 1 Satz: Flächeninhalt eines Keisinges: A ( 1 ) Übungen: Übungsblatt 15; Aufgaben
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