Abiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1

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1 Abiturprüfung Mthemtik 013 (Bden-Württemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Aufgbe Die Funktion f ist gegeben durch π f( x) = + sin x ; x. Ds Schubild von f ist K (8 Punkte) Beschreiben Sie, die K us dem Schubild mit der Gleichung y = sin(x) hervorgeht. Geben sie die Periode und die Wertemenge von f n. Zeichnen Sie K für 3 x (5 Punkte) Bestimmen Sie den Schnittwinkel der Tngenten n K in zwei benchbrten Wendepunkten von K (8 Punkte) Zwischen zwei benchbrten Tiefpunkten von K schließen K und die x-achse eine Fläche ein. Berechnen Sie den Inhlt dieser Fläche. Ermitteln Sie die Stmmfunktion F von f, deren Schubild durch den Punkt P(-1/0) verläuft. Dem Funktionswert F() entspricht der Inhlt einer Fläche in Ihrer Zeichnung us Schrffieren Sie diese Fläche (5 Punkte) Im.Qudrnten schließt K mit den Koordintenchsen eine Fläche ein. In diese Fläche werden Rechtecke so einbeschrieben, dss zwei Seiten uf den Koordintenchsen liegen. Bestimmen Sie die Seitenlängen des Rechtecks mit dem größten Flächeninhlt (5 Punkte) Ds Schubild K und die Gerde mit der Gleichung y = begrenzen mehrere Flächenstücke. Diese rotieren um die x-achse. Berechnen Sie für eines der Flächenstücke ds Volumen des von ihm erzeugten Rottionskörpers. Zuletzt ktulisiert:

2 1. Für > 0 ist die Funktion g gegeben durch g x x ( x) = x+ e ; Ds Schubild von g ist G ( Punkte) Die Gerde n ist die Normle von G 0, 5 im Schnittpunkt von G 0, 5 mit der y-achse. Weisen Sie nch, dss es keine Tngente n G 0, 5 gibt, die prllel zu n verläuft. 1.. (6 Punkte) Bestimmen Sie so, dss ds Schubild G die x-achse berührt. Geben Sie den Berührpunkt n. 1.3 ( Punkte) In der Abbildung sind die Schubilder der Funktion h, ihrer Ableitungsfunktion h und einer Stmmfunktion H von h eingezeichnet. Ordnen Sie die Schubilder den Funktionen h, h und H zu und begründen Sie Ihre Entscheidung. Zuletzt ktulisiert:

3 Abiturprüfung Mthemtik 013 (Bden-Württemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Aufgbe.1 Gegeben ist für jedes t < 0 die Funktion f t mit t 1+ t f t ( x) = x + ; x t Ds Schubild von f t ist K t..1.1 (9 Punkte) 3 Zeichnen Sie K 1 sowie die Gerde g mit der Gleichung y = x+ 6 in ein gemeinsmes Koordintensystem. Die Orthogonle zur Gerden g durch den Punkt Q(0/6) bildet zusmmen mit g und der x-achse ein Dreieck. K 1 begrenzt mit der x-achse eine Fläche, die us dem Dreieck usgeschnitten wird. Berechnen Sie den Inhlt der verbleibenden Fläche..1. ( Punkte) Weisen sie nch, dss die Gerde mit der Gleichung y = x + Tngente n K 0, 1 ist, und ermitteln Sie den zugehörigen Berührpunkt. Bestimmen Sie die Gleichung der Normlen von K 0, 1 in diesem Punkt..1.3 (3 Punkte) Zeigen Sie, dss es keinen Punkt gibt, der uf llen Schubildern K t liegt..1. (5 Punkte) A ist ds Schubild einer Funktion, B ds Schubild ihrer Ableitungsfunktion und C ds einer ihrer Stmmfunktionen. Es gibt einen Wert von t, für ds t K eines der Schubilder A, B, C ist. Bestimmen Sie diesen Wert von t. Bestimmen Sie dmit die Funktionsterme der zu A, B und C gehörenden Funktionen. 3 Zuletzt ktulisiert:

4 Für jedes > 0 ist C ds Schubild der Funktion h mit h x. x ( x) = ( x ) e ;..1 (3 Punkte) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte von C... (6 Punkte) Zeichnen Sie C. 1 Die Koordintenchsen und ds Schubild C 1 schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert um die x-achse. Bestimmen Sie ds Volumen des dbei entstehenden Rottionskörpers...3 (7 Punkte) Zeigen Sie, dss die Gerde mit der Gleichung y = ( + 1) x mit > 0 ds Schubild C uf der y-achse berührt. Berechnen Sie den Wert von, für den der Schnittpunkt dieser Gerden mit der x- Achse m weitesten rechts liegt..3 (8 Punkte) Die Funktion g ht folgende Eigenschften: (1) g ( 1) = 1 und g ( 1) = 0 () g ( 0) > 0 (3) g ( ) > 0 6 () g ( x) dx = 0 0 Welche Bedeutung ht jede einzelne Eigenschft für ds Schubild von g? Skizzieren Sie ein mögliches Schubild von g. Zuletzt ktulisiert:

5 Abiturprüfung Mthemtik 013 (Bden-Württemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Lösung Aufgbe Ds Schubild K geht in folgenden Schritten us y= sin(x) hervor: 1.) Streckung mit Fktor in y-richtung: y= sin(x).) Streckung mit Fktor π in x-richtung (Kehrwert!): y= sin( x) π π 3.) Verschiebung um nch oben: y= sin( x) + Zeichnung des Schubildes K: π Die Periode von f beträgt p= = (ws mn uch us der Zeichnung blesen knn) π Die Wertemenge von f ist W = [0; ] Berechnung der Wendepunkte von f(x): Hinreichende Bedingung: f (x) = 0 und f (x) 0. Mit dem GTR ergibt sich die Wendestelle ls Extremstelle der Ableitungsfunktion f(x) Die Ableitungsfunktion ht zwei benchbrte Extremstellen bei x = 0 und x =. Somit besitzt f zwei benchbrten Wendestellen bei x = 0 und x =. Für die Schnittwinkel der Tngenten werden die Tngentensteigungen benötigt. 5 Zuletzt ktulisiert:

6 π π π Es gilt f(x) = cos x =π cos x Tngentensteigung bei x = 0: f(0) =π Tngentensteigung bei x= : f() = π Schnittwinkel der Tngenten: m1 m π ( π) tnα= tnα= tnα 0,708 α= 35,3 1+ m m 1 π Anhnd des Schubildes K erkennt mn, dss n den Stellen x = -1 und x = 3 zwei benchbrte Tiefpunkte existieren. Fläche zwischen K und der x-achse = 3 f(x)dx= 8 (GTR) 1 π π Stmmfunktion F von f: F(x) = x cos x + C= x cos x + C π π π P(-1/0) liegt uf F(x): 0= ( 1) cos + C C= π π Die gesuchte Stmmfunktion lutet F(x) = x cos x + π Es gilt F() = 8 cos( π ) + = 10 8,73 π π D F(-1) = 0 ist, entspricht F() der Fläche im Intervll x = -1 bis x = zwischen f(x) und der x-achse: 6 Zuletzt ktulisiert:

7 Skizze des Rechtecks im.qudrnt: Gesucht ist der Wert von u mit u < 0, so dss ds Rechteck RPQO einen mximlen Flächeninhlt besitzt. Aufstellen der Zielfunktion, die die Fläche des Rechtecks drstellt: A= PR OR mit PR= f(u) 0= f(u) und OR = (0 u) = u π Drus folgt A(u) = u f(u) = u + sin u Gesucht ist ds bsolute Mximum von A(u) im Intervll 1 u 0: Hinreichende Bedingung für lokles Mximum: A(u) = 0 und A (u) < 0. Lösung mit dem GTR: A(u) besitzt bei u = -0,35 ein lokles Mximum. D n den Rändern A(-1) = 0 und A(0) = 0 gilt, liegt bei u = -0,35 sogr ein bsolutes Mximum vor. Die mximle Fläche des Rechtecks ist A(-0,35) = 0,33 Flächeneinheiten. Die Seitenlängen des Rechtecks betrgen OR= 0,35 und PR= f( 0,35) = 0,9 7 Zuletzt ktulisiert:

8 Ds Volumen soll für die Rottion der gruen Fläche bestimmt werden: Für ds Rottionsvolumen gilt: 0 Volumeneinheiten (GTR) V =π ( f(x) )dx 19, x Es ist g (x) = 0,5x + e mit g (x) = 0,5 e 0,5 0,5 Der Schnittpunkt mit der y-achse lutet S y(0/g 0,5(0)) = S y(0/1) x Die Steigung der Tngente n der Stelle x = 0 lutet g 0,5(0) = 0, Die Steigung der Normlen n der Stelle x = 0 lutet mnormle = = =. m 0,5 Tngente Nchweis, dss es keine Tngente mit der Steigung m = existiert: x x g (x) = 0,5 e = e = 1,5 diese Gleichung ist nicht lösbr 0,5 Dmit gibt es keine Tngente, die prllel zur Normlen n ist. 1.. Es gilt x g (x) = x+ e mit g (x) = e x Bedingung, dss ds Schubild Gdie x-achse berührt: 1.) gemeinsme Steigung: g (x) = 0, lso.) gemeinsmer Punkt: g (x) = 0, lso Aus (*) folgt: = e x. x x x x e = 0 (*) x x+ e = 0 (**) Einsetzen in (**): e x+ e = 0 e (x+ 1) = 0 Mit dem Stz vom Nullprodukt folgt ls einzige Lösung x = Drus folgt us (*): = e. Für = e berührt ds Schubild G die x-achse. Der Berührpunkt ht die Koordinten B(-1/0). 8 Zuletzt ktulisiert:

9 1.3 Die Zuordnung der Schubilder A, B, C uf die Funktionen H, h und h knn mn m einfchsten m Verhlten n der Stelle x = 0 durchführen: Bei x = 0 besitzt ds Schubild C eine Wendestelle. Bei x = 0 besitzt ds Schubild B eine Extremstelle (reltives Minimum). Bei x = 0 besitzt ds Schubild A eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von - nch +. Somit gehört Schubild C zur Stmmfunktion H. Schubild B gehört zur Funktion h Schubild A gehört zur Ableitungsfunktion h. 9 Zuletzt ktulisiert:

10 Abiturprüfung Mthemtik 013 (Bden-Württemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Lösung Aufgbe.1.1 Zeichnung von K 1 sowie der Gerden g: Es ist 1 f 1(x) = x y= x Die Orthogonle zu g besitzt die Steigung m= = =. m 3 g 3 Die Orthogonle durch Q(0/6) besitzt die Gleichung y= x+ 6 3 Schnittstelle der Orthogonlen (gestrichelt) mit der x-achse: x + 6 = 0 x = 9 3 Die Grundseite des Dreiecks ht die Länge 13, die Dreieckshöhe ist 6. 1 Die Dreiecksfläche beträgt A1= 13 6= 39FE Schnittpunkt von K 1 mit der x-achse: Fläche, die K 1 mit der x-achse begrenzt: 1 x 3 0 x 1 + = =± 1 A = f 1(x)dx 13,856 FE Der Inhlt der verbleibenden Fläche beträgt A= A1 A = 5,1FE 1 10 Zuletzt ktulisiert:

11 0,1 = mit 0,1 Es ist f (x) 0,05x 6 f (x) = 0,05x. Die Tngente besitzt die Steigung m = 1. Berechnung der Berührstelle der Tngente: f 0,1(x) = 1 0,05x = 1 x= 0 y-wert des Berührpunktes: f 0,1( 0) = 16, lso B(-0/-16) Die Gerde y = x + ist dnn die Tngente, wenn B uf der Gerde liegt. Punktprobe: 16= 0+ ergibt eine whre Aussge. Dmit ist y = x + eine Tngente n ds Schubild mit dem Berührpunkt B(-0/-16). Gleichung der Normlen im Punkt B(-0/-16): 1 1 Die Normlensteigung beträgt mnormle = = = 1. m 1 Tngente Anstz für die Normle: y= 1 x+ b Einsetzen von B(-0/-16): 0= 16+ b b= 36. Die Gleichung der Normlen lutet y= x Nchweis, dss es keinen Punkt gibt, der uf llen Schubildern der Schr liegt: Zunächst werden zwei (beliebige) konkrete Prmeterwerte gewählt: t = -0,1 und t = -1 Berechnung der Schnittpunkte der Schubilder K 0,1 und K 1: 1 Mit f 0,1(x) = 0,05x 6 und f 1(x) = x + 3 folgt: 1 0,05x 6= x + 3 0,5x = 9 x = 0 x=± 0 1 Mit f 1( ± 0) = 0+ 3= 7 luten die Schnittpunkte S 1,( ± 0 / 7). Nun wird geprüft, ob diese Schnittpunkte uch uf llen nderen Schubildern der Schr liegt. Punktprobe von S 1,( ± 0 / 7) für die Funktionenschr: t 1+ t 1 7= 0+ 7= 10t+ + t t D diese Gleichung nicht für lle Werte von t gültig ist (dies wäre nur der Fll, wenn sich die Prmeterwerte uflösen würden), liegen die beiden Punkte nicht uf llen Schubildern der Schr. Somit gibt es keinen Punkt, der uf llen Schubildern der Schr liegt. 11 Zuletzt ktulisiert:

12 Ds Schubild A ist eine gnzrtionle Funktion 3.Grdes, B ist eine gnzrtionle Funktion.Grdes und C eine gnzrtionle Funktion.Grdes. Somit knn K t nur zu Schubild B gehören. Ds Schubild B verläuft durch O(0/0). t 1+ t Es muss lso gelten: f(0) t = = 0 1+ t= 0 t= 0,5 t 1 Die Funktion f 0,5(x) = x gehört zum Schubild B Die Funktion g(x) = x gehört ls Stmmfunktion von f 0,5 zum Schubild A. 8 1 Die Funktion h(x) = x + 0,5 gehört ls Stmmfunktion von g zum Schubild C. 19 (Der Summnd "+0,5" ist erforderlich, d ds Schubild C durch den Punkt P(0/0,5) verläuft...1 Schnittpunkt von C mit der y-achse: 0 h (0) = (0 ) e =, lso S y(0/ ). Schnittpunkt von C mit der x-achse: h (x) = 0 (x ) e = 0 Mit dem Stz vom Nullprodukt folgt x =. Der Schnittpunkt mit der x-achse lutet N(/0). x.. Es ist h (x) = (x 1) e 0,5 Zeichnung von C 0,5 : 0,5x Die Funktion 0,5x h (x) = (x 1) e schneidet die x-achse n der Stelle x = 1. 1 Berechnung des Volumens des Rottionskörpers: 1 0,5 VE (GTR) 0 V=π h (x) dx 0,98 1 Zuletzt ktulisiert:

13 Die Gerde wird bezeichnet mit g (x) = ( + 1) x Nchweis, dss die Gerde ds Schubild C uf der y-achse berührt: 1. Bedingung: gemeinsmer Punkt der Gerde und des Schubildes bei x = 0: h (0) = und g (0) = Die beiden Schubilder hben den gemeinsmen Punkt B(0/).. Bedingung: gemeinsme Steigung n der Stelle x = 0: Es ist Es ist = + und dher g (x) 1 = +. g (0) 1 x x = + und dher h (x) 1 e (x ) e ( ) h (0) = 1 e + ( ) e ( ) = Die beiden Schubilder besitzen bei x = 0 dieselbe Steigung. Dmit ist gezeigt, dss sich die beiden Schubilder uf der y-achse berühren. Schnittstelle der Gerden mit der x-achse: ( + 1) x = 0 x= + 1 Gesucht ist der Wert von, für den der Term + 1 nnimmt. für > 0 ein bsolutes Mximum Lösung mit dem GTR: Der Term besitzt ein bsolutes Mximum für = 0,5..3 (1) g(1) = -1 und g(1) = 0: Der Punkt P(1/-1) liegt uf dem Schubild von g und besitzt eine wgrechte Tngente. () g(0) > 0: An der Stelle x = 0 ist die Steigung der Tngente n ds Schubild von g positiv. (3) g( ) > 0: An der Stelle x = - ist ds Schubild von g linksgekrümmt. 13 Zuletzt ktulisiert:

14 () 6 0 g(x)dx = 0 : Zwischen x = 0 und x = 6 sind die Flächen, die ds Schubild von g(x) oberhlb und unterhlb mit der x-achse einschließen, gleich groß. Ein mögliches Schubild von g könnte so ussehen: 1 Zuletzt ktulisiert:

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