Formelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt

Transkript

1 Formelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt Inhalt...1 Trigonometrie Grundlagen... Vektoren...3 Skalarprodukt...4 Geraden...5 Abstandsberechnungen...6 Ebenen...7 Lineare Gleichungssysteme (LGS)...8 Gauß'sches Eliminationsverfahren...9 Formelsammlung analytische Geometrie Seite 1

2 Trigonometrie Grundlagen Rechtwinkliges Dreieck sin = g h tan = g a Sinussatz sin sin sin = = a b c cos= a h cot = a g a= Ankathete, g= Gegenkathete, h= Hypothenuse h =a g (Satz des Pythagoras) Konsinussatz a =b c bc cos b =a c ac cos c =a b ab cos Formelsammlung analytische Geometrie Seite

3 Vektoren Betrag eines Vektors (seine Länge) = 1 3 = 1 3 =1 3 =14 Vektor normieren (Einheitsvektor) (Länge auf 1 verkürzen unter Beibehaltung der Richtung) = 1 = 1 3 a = Gleichheit zweier Vektoren Zwei Vektoren gelten dann als gleich, wenn Betrag und Richtung identisch sind. Die absolute Position ist kein Kriterium. Ortsvektor Zeigt vom Nullpunkt (oder ) auf einen bestimmten Punkt (gegeben durch absolute Koordinaten) =P=r P Strecke zwischen zwei Punkten (Abstand zwischen zwei Punkten) 1 A= a B=b1 b a 3, 3 b AB=b1 a1 b a 3 b 3 a Der Abstand ist der Betrag dieses Vektors! Vektor-Addition 1 b=c = a 3, a b=b1 b 3 b c=1b1 a b a 3 b 3 Skalare Multiplikation (ein Vektor mit einer reellen Zahl multiplizieren) 1 b= b = b= a a a a 3= 1 3 a Formelsammlung analytische Geometrie Seite 3

4 Skalarprodukt Das Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt eine reelle Zahl. b= 1 a b a 3 b1 b 3=a 1 b 1 b 3 b 3 = b cos arccos b b b (=9 ) wenn b=! b 9 b 9 = Richtungswinkel Winkel, die ein Vektor zusammen mit der x- oder y-achse einschließt (ohne Drehsinn, d.h. es wird immer der Kleinere angegeben). x arccos a 1 y y arccos a z arccos a y 3 x x cos x cos x =1 (Ebene) cos x cos x cos z =1 (Raum) Projektion eines Vektors auf einen anderen b hat die selbe Richtung wie. b = cos b = b b b = b a = b b Formelsammlung analytische Geometrie Seite 4

5 Geraden Punkt-Richtungsform (Parameter-Darstellung) (gegeben sind ein Punkt P und ein Vektor ) g :q=p, R P q Q p Zwei-Punkt-Form (gegeben sind zwei Punkte P 1 und P ) P 1 P P 1 P g :q=p 1 p, R p 1 p Verhalten zweier Geraden zueinander g 1 :q= p 1 1, R g :q= p, R 1) gleich a 1, und p sind kollinear ) parallel 1 und sind kollinear 3) sich in einem Punkt schneiden p 1 1 = p 4) windschief 1), ) und 3) gelten nicht Formelsammlung analytische Geometrie Seite 5

6 Abstandsberechnungen Punkt Gerade Gegeben sind eine Gerade g :q=p 1 sowie ein Punkt P. Mit Hilfe des Skalarprodukt f lot = p 1 d = f lot p d = [ p 1 p ] = p p 1 = p p = a a d = p p 1 p p 1 a Die Länge von d läßt sich mit der Längenformel ausrechnen P 1 p p 1 p P d f lot g Abstand: Gerade Gerade (gegeben sind zwei Geraden: g 1 :q= p 1 1 und g :q= p ) Geraden sind parallel: ( 1 linear abhängig von ) Abstand des Aufpunktes von p 1 zur anderen Geraden bestimmen. (Siehe Punkt-Gerade) Geraden windschief: ( 1 linear unabhängig von, g_1 und g_ schneiden sich nicht) (Berechnung für Grundkurse nicht Pflicht) Formelsammlung analytische Geometrie Seite 6

7 Ebenen Punkt-Richtungs-Form (Parameter-Darstellung) (gegeben sind ein Punkt P ( p = Ortsvektor) und zwei nicht kollineare Vektoren und b (,b = Richtungsvektoren)) P b E :q=p b,, R p Drei-Punkt-Form (Parameter-Darstellung) (gegeben sind drei Punkte P 1, P, P 3, die nicht auf einer Gerade liegen) p P E :q= p 1 p p 3,, R P 1 p 3 p 1 P 3 Umwandlung: Koordinatendarstellung Parameterdarstellung Für x und y werte annehmen und Ebenengleichung nach z umformen. Damit ist ein Punkt P 1 auf der Ebene bestimmt. Das gleiche für P und P 3 wiederholen. = p, b= p3 und Aufpunkt P_1 Umwandlung: Paramenterform Koordinatenform Lineares Gleichungssystem aufstellen. Koordinaten x,y und z als Konstanten betrachten und im LGS alle Konstanten eliminieren. Beispiel: : g [ x=1 y= z=3 ] [ x=1 z=3 x y= 1 ] [ x=1 x y= 1 z x y=4 ] Formelsammlung analytische Geometrie Seite 7

8 Lineare Abhängigkeit k Vektoren 1,, k R heißen linear abhängig (l.a.) : 1,, k R, die nicht alle gleich Null sind, sodass 1 1 k k =. Andernfalls heißen sie linear unabhängig (l.u.). Zwei Vektoren sind l.a., wenn sich einer durch die skalare Multiplikation eines anderen erzeugen lässt. Lineare Gleichungssysteme (LGS) Ein LGS vom Typ m n sieht folgendermaßen aus: m : Anzahl der Gleichungen n : Anzahl der Unbekannten In Matrixschreibweise: A x=b A : Koeffizientenmatrix x : Lösungsvektor b : rechte Seite 11 a 1 a 1n x1 A= a m1 a m a mn x= n x a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n = b a m1 x 1 + a m x + + a mn x n = b m b1 b= m b LGS können mit verschiedenen Verfahren wie dem Gauß'schem Eliminationsverfahren gelöst werden Lösungsmöglichkeiten 1. genau eine Lösung ( RgA=n ). unendlich viele Lösungen ( RgAn, aufgrund von Abhängigkeiten zwischen Gleichungen, müssen Parameter eingeführt werden; es ergibt sich z.b. eine Lösungsgerade bei einem Paramenter, Lösungsebene bei zweien usw.) 3. keine Lösung (es entsteht ein Widerspruch; z.b. =5 ) Beispiel mit einem -System: Eine Lösung: (die Geraden Kreuzen sich) Unendlich viele Lösungen: (Geraden liegen aufeinander) Keine Lösung: (Geraden parallel) 1 A= b= x 1 A= b= x y =,5 oder b= 1 A= 1 4 b= y = 3 1,5 Ein homogenes LGS hat als Lösung den Nullvektor und ist aufgrund dessen immer eindeutig lösbar (Triviallösung ). Erhält man eine allgemeine Lösung, z.b. Schnittgerade zweier Ebenen im dreidimensionalen Raum, so kann man man durch annehmen von Werten für die Parameter auch spezielle Lösungen bestimmen. Formelsammlung analytische Geometrie Seite 8

9 Gauß'sches Eliminationsverfahren Es wird die Koeffizientenmatrix eines LGS in eine Einheitsmatrix (Diognale mit 1, Rest ) umgeformt. Zuerst wird das Dreieck links unten der Diagonale von oben nach unten komplett eliminiert (alle Faktoren werden ), dann das Dreieck rechts oben von unten aus. Hierbei können Vielfache von Zeilen zu anderen addiert werden, Zeilen und Spalten vertauscht werden. Sollten im Laufe dieser Umformung eine oder mehrere Zeilen komplett Null werden, so waren die entsprechenden Gleichungen linear abhängig. Sind nun weniger Gleichungen als Unbekannte vorhanden, so müssen Parameter eingeführt werden (normalerweise griechische Kleinbuchstaben) um zu einer allgemeinen Lösung dieses System zu gelangen. Beispiel: x 1 x x 3 Operation Zeile 1 nach oben verschieben x Zeile 1; Vorzeichen umkehren x Zeile x Zeile ; Zeile wird ; Parameter! x Zeile x Zeile x Zeile Dieses LGS hat als unendlich viele Lösungen die auf einer Gerade liegen: x= = Setzt man nun für z.b. 1 ein, erhält man eine spezielle Lösung (Punkt auf der Geraden): x= Formelsammlung analytische Geometrie Seite 9