BE 1 Gegeben ist die Funktion f mit f ( x ) = 41 x3 3x 2 + 9x 5 und Definitionsmenge IR. Abbildung 1 zeigt den Graphen

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Hertha Albrecht
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Gemeinsame Abituraugabenpools der Länder Augabensammlung Augabe ür das Fach Mathematik Kurzbeschreibung Anorderungsniveau Prüungsteil Sachgebiet digitales Hilsmittel erhöht B Analysis WTR Augabe BE

1 Gemeinsame Abituraugabenpools der Länder Augabensammlung Augabe ür das Fach Mathematik Kurzbeschreibung Anorderungsniveau Prüungsteil Sachgebiet digitales Hilsmittel erhöht B Analysis WTR Augabe BE Gegeben ist die Funktion mit ( x ) = x x + 9x und Deinitionsmenge IR. Abbildung zeigt den Graphen G von. Abb. a Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten und die Art der Extrempunkte von G. b Betrachtet wird die Gleichung ( x ) = c mit c IR. Ermitteln Sie mithile von Abbildung die Anzahl der Lösungen dieser Gleichung in Abhängigkeit von c. Durch Verschiebung von G um in negative x-richtung und um in positive y-richtung entsteht der Graph einer Funktion g. c Geben Sie einen Term von g an, an dem man diese Verschiebung erkennen kann. d Ein vereinachter Term von g ist g= ( x ) x x. Begründen Sie mithile der Funktion g, dass der Graph von symmetrisch bezüglich des Punkts ( ) ist.

2 Augabe e Bestätigen Sie rechnerisch, dass ( x ) dx = gilt. Bestimmen Sie ohne Verwendung einer Stammunktion den Wert des Integrals 7 ( x ) dx und veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen durch geeignete Eintragungen in Abbildung. Die Funktion gehört zur Schar der in IR deinierten Funktionen a mit a ( x )= x x + ax und a IR. Der Graph von a wird mit Ga bezeichnet. g Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunkts von Ga. h Die Wendepunkte aller Graphen Ga liegen au einer zur y-achse parallelen Geraden. Begründen Sie, dass man dies am Term von a erkennen kann. i Ermitteln Sie die Koordinaten des Punkts, durch den alle Graphen der Schar verlauen. Bestimmen Sie den Wert von a so, dass sich die Graphen Ga und G in diesem Punkt senkrecht schneiden. j Untersuchen Sie rechnerisch, ür welche Werte von a der Graph Ga keinen Punkt besitzt, in dem die Tangente parallel zur x-achse verläut. Eine vertikal stehende Getränkedose hat die Form eines geraden Zylinders. Die Lage des gemeinsamen Schwerpunkts S von Dose und enthaltener Flüssigkeit hängt von der Füllhöhe der Flüssigkeit über dem Dosenboden ab. Ist die Dose vollständig geüllt, so beträgt die Füllhöhe cm (vgl. Abbildung ). Abb. Abbildung zeigt den Graphen Gh der Funktion h, die ür 0 x die Höhe des Schwerpunkts S über dem Dosenboden in Zentimetern angibt; dabei ist x die Füllhöhe in Zentimetern. Gh hat den Tiepunkt ( ). Abb.

3 Erwartungshorizont a Ermitteln Sie graisch die Füllhöhen, bei denen der Schwerpunkt au halber Höhe der Dose liegt. b Die zunächst leere Dose wird langsam mit Flüssigkeit geüllt, bis die maximale Füllhöhe von cm erreicht ist. Beschreiben Sie die Bewegung des Schwerpunkts S während des Füllvorgangs. Stellen Sie ür den Moment, in dem sich der Schwerpunkt in seiner geringsten Höhe beindet, Dose, Füllhöhe und Schwerpunkt schematisch dar und beschreiben Sie die Besonderheit dieser Situation. c Für die Funktion h gilt h 8 ( x) x = +. Bestimmen Sie rechnerisch die Füllhöhen, bei denen der Schwerpunkt cm über dem Dosenboden x+ liegt. d Nun wird eine andere vertikal stehende Dose betrachtet, die ebenalls die Form eines geraden Zylinders hat. Sowohl bei leerer als auch bei vollständig geüllter Dose liegt der gemeinsame Schwerpunkt von Dose und enthaltener Flüssigkeit genau in der Mitte der Dose. Ist diese Dose vollständig geüllt, so beträgt die Füllhöhe cm. Die Höhe des Schwerpunkts wird durch eine Funktion k mit k(x) = x + s + t mit s, t IR beschrieben. Bestimmen Sie die passenden Werte x+ von s und t. 0 Erwartungshorizont Der Erwartungshorizont stellt ür jede Teilaugabe dar, in welchem Umang und in welcher Form eine Lösung erwartet wird; nicht alle Lösungen sind dazu vollständig ausgeührt. Nicht dargestellte korrekte Lösungen sind als gleichwertig zu akzeptieren. a ( x) = x 6x + 9, ( ) Vorzeichenbetrachtung von ( x) x = 0 x = x = 6 ührt zu: Hochpunkt: ( ), Tiepunkt: ( 6 ) b Die Gleichung besitzt ür c < und ür c > jeweils genau eine Lösung, ür c = und ür c = jeweils genau zwei Lösungen und ür < c < genau drei Lösungen. c ( ) ( ) ( ) ( ) g x = x x 9 x d Der angegebene Term von g enthält nur Potenzen von x mit ungeradem Exponenten; der Graph von g ist damit symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs. G geht aus dem Graphen von g durch Verschiebung um in positive x-richtung und um in negative y-richtung hervor und ist damit symmetrisch bezüglich des. e Punkts ( ) 9 ( x) dx = x x + x x = 6 BE

4 Erwartungshorizont 7 = 9 x dx = x dx + ( ) ( ) g a ( x ) = x) x 6x + a, a ( = Wendepunkt: ( a 7 ) x 6, a ( x ) = 0 x = h Der Parameter a ist im Funktionsterm von a nur im Summanden ax enthalten, tritt im Term der zweiten Ableitung von a also nicht au. Damit ist die x-koordinate des Wendepunkts von Ga unabhängig von a. i Für a a gilt: a ( x ) = a ( x ) a x = a x x = 0 Damit verlauen alle Graphen der Schar durch den Punkt ( 0 ). a ( 0 ) = j a= ( 0 ) a ( x ) = 0 x 6x + a = 0 Betrachtung der Diskriminante: ( 6 ) a < 0 a > a Als Lösungen der Gleichung h ( x ) = 7, lassen sich der Abbildung näherungsweise x = 0 und x = entnehmen. Damit liegt der Schwerpunkt bei den Füllhöhen 0 cm und cm jeweils au halber Höhe der Dose. b Die Höhe des Schwerpunkts S nimmt zunächst ab und steigt dann wieder bis zum Ausgangswert an. Beindet sich der Schwerpunkt in seiner geringsten Höhe, so liegt er au der Oberläche der Flüssigkeit. c h ( x ) = x 8x + 7 =0 x = x =7 Bei den Füllhöhen cm und 7 cm liegt der Schwerpunkt jeweils cm über dem Dosenboden. t= 0 d k ( 0 )=, s + t=, ; k ()=, s + Damit: s =, t = 6 0

5 Standardbezug Standardbezug BE Leitideen allgemeine mathematische Kompetenzen Teilaug. Anorderungsbereich L L L L L K K K K K K6 I II III a X X I I X b X X II II II X c X X II II X d X X III III II X e X I X X X X III III II X g X X I X h X X II II X i X X X X II II X j X X X X II III X a X X X I II II X b X X X II II II X c X X X I II X d X X X II III II X Bewertungshinweise Die Bewertung der erbrachten Prüungsleistungen hat sich ür jede Teilaugabe nach der am rechten Rand der Augabenstellung angegebenen Anzahl maximal erreichbarer Bewertungseinheiten (BE) zu richten. Für die Bewertung der Gesamtleistung eines Prülings ist passend zur Konzeption der Augaben der Augabensammlung und des Abituraugabenpools ein Bewertungsschlüssel vorgesehen, der angibt, wie die in den Prüungsteilen A und B insgesamt erreichten Bewertungseinheiten in Notenpunkte umgesetzt werden. Für jede Kompetenz, die bei der Bearbeitung der Teilaugabe eine wesentliche Rolle spielt, ist der Anorderungsbereich (I, II oder III) eingetragen, in dem die Kompetenz benötigt wird. Der Bewertungsschlüssel ist Teil des Dokuments Beschreibung der Struktur, das au den Internetseiten des IQB zum Download bereitsteht.

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