8 Euklidische Vektorräume und Fourierreihen

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1 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Dienstag 7.7 $Id: fourier.te,v 1.6 9/7/7 13:: hk Ep $ $Id: diff.te,v 1. 9/7/7 16:13:53 hk Ep $ 8 Euklidische Vektorräume und Fourierreihen 8.4 Anwendungen auf Differentialgleichungen Wir beschäftigen uns jetzt weiter mit der Lösung der Wellengleichung u = u u, u(, t) = u(π, t) =, u(, ) = φ(), (, ) = ψ(). t t Als unseren Ansatz schreiben wir die gesuchte Lösung u(, t) als Überlagerung der Grundschwingungen und wir hatten bereits u(, t) = sin(n) (A n sin(nt) + B n cos(nt)), B n = π φ() sin(n) d eingesehen. Zur Bestimmung der A n gehen wir entsprechend vor wenn wir einmal glauben das ψ() =! u t (, ) = na n sin(n), u t (, t) = sin(n) (na n cos(nt) nb n sin(nt)) gilt. Setzen wir auch die Funktion ψ so wie φ fort, also als ungerade Funktion auf [ π, π] und dann periodisch auf ganz R, so ergibt sich na n als der n-te Fourierkoeffizient von ψ, also A n = ψ() sin(n) d nπ für alle n N. Die Bestimmung der A n und B n ist völlig getrennt voneinander, und tatsächlich können wir sie auch von vornherein einzeln behandeln. Lösen wir nämlich die beiden Wellengleichungen mit den Startwerten u 1 (, ) = φ(), u1 t (, ) = und u (, ) =, u (, ) = ψ(), t 4-1

2 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Dienstag 7.7 so ist u(, t) = u 1 (, t)+u (, t) ein Lösung der Gesamtgleichung. Als Beispiel betrachten wir einmal die Funktion f() = sin() mit f() = f(π) =. Angenommen wir wollen die Wellengleichung zu den Startwerten φ() = und ψ() = f() lösen. Es ist B n = für alle n N und die A n ergeben sich als A n = nπ sin() sin(n) d. Wie in.3 gesehen haben wir das unbestimmte Integral cos() sin(n) n sin() cos(n) sin() sin(n) d = n 1 für n 1 und sin d = 1 sin cos für n = 1. Mit partieller Integration folgt für n > 1 A n = nπ cos() sin(n) n sin() cos(n) n 1 n(n 1)π = (n 1)π π (cos() sin(n) n sin() cos(n)) d sin() cos(n) d n(n 1)π cos() sin(n) d, und mit einer weiteren Anwendung von.3 berechnen sich diese Integrale zu π cos() cos(n) + n sin() sin(n) sin() cos(n)) d = = ( 1)n+1 1, n 1 n 1 π n cos(n) cos() + sin(n) sin() cos() sin(n) d = = (( 1)n+1 1)n. 1 n 1 n Setzen wir diese Werte ein, so wird A n = (n 1) π (1 + ( 1)n ) (n 1) (1 + 4 ( 1)n ) = (n 1) π (1 + ( 1)n ) { 8, n ist gerade, (n = 1) π, n ist ungerade. Im Sonderfall n = 1 haben wir A 1 = π 4- sin d

3 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Dienstag 7.7 mit also sin d = Unsere Lösung wird damit zu sin cos π A 1 = π. u(, t) = π sin() sin(t) 8 π ( 1 ) sin cos d = π π sin sin(n) sin(nt) (4n 1). π = π 4, Wie bereits besagt ist die Wellengleichung nur ein Beispiel für die Verwendung von Fourierreihen bei der Behandlung gewisser Differentialgleichungen. Oftmals kann man die erhaltenen Fourierreihen nicht grossartig weiter auswerten. Die Wellengleichung ist hier allerdings ein besonders gutartiger Sonderfall, wir können unsere Reihen noch weiter auswerten, und sie letztlich sogar vollständig eliminieren. Wir beginnen mit dem Sonderfall der Startgeschwindigkeit. In diesem Fall ist die Lösung ja u(, t) = B n sin(n) cos(nt) mit φ() = B n sin(n), und erinnern wir uns an die Formel so erhalten wir u(, t) = sin() cos() = = 1 = 1 = B n sin(n) cos(nt) sin( + ) + sin( ) B n [sin(n + nt) + sin(n nt)] B n sin(n( + t)) + 1 φ( + t) + φ( t). B n sin(n( t)) Bei gegebener Geschwindigkeit ψ und Startauslenkung φ = kann man ähnlich rechnen und erhält ebenfalls eine Lösung u(, t) = Ψ( + t) Ψ( t) 4-3

4 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Dienstag 7.7 mit Ψ() := ψ(t) dt. Insgesamt haben wir damit die folgende Lösungsmethode für die Wellengleichung mit Anfangsbedingungen: Gegeben: Zwei Funktionen φ, ψ : [, π] R mit φ() = φ(π) = und ψ() = ψ(π) =. Gesucht: Eine Funktion u : [, π] R R mit u = u u, u(, t) = u(π, t) =, u(, ) = φ() und (, ) = ψ() t t jeweils für alle π, t R. Lösung: Die Lösung läuft in den folgenden Schritten ab: 1. Setze φ und ψ durch φ() = φ( ) und ψ() = ψ( ) auf [ π, π] fort.. Setze die in () gebildeten Fortsetzungen mit Periode π auf ganz R fort. 3. Berechne die Funktion Ψ() := ψ(t) dt. 4. Die gesuchte Lösung ist dann u(, t) = 1 (φ( + t) + φ( t) + Ψ( + t) Ψ( t)). Wir rechnen ein letztes Beispiel mit dieser Methode. Wir verwenden die Anfangsbedingungen φ() = sin und ψ() = ( π), π. Die Fortsetzung von φ auf [ π, π] ist dann auch φ() = sin, und für π ist dann ψ() = ψ( ) = ( )( π) = ( + π) = π. Für π haben wir dagegen ψ() = π, und insgesamt können wir ψ() = π = ( π), π π. Die Fortsetzung von φ auf ganz R ist wieder φ() = sin. Für die Fortsetzung von ψ, verwenden wir unsere oben als Beispiel benutzte Sägezahnfunktion S, d.h. die Funktion mit Periode π und S() = für π < π. Dann wird ψ() = ψ(s()) = S()( S() π), R. 4-4

5 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Dienstag 7.7 Für π gilt Ψ() = und für π haben wir Ψ() = t(t π) dt = t3 3 πt t( t π) dt = t3 3 πt = π als zusammengenommen Ψ() = 1 3 π ( = 3 π ) = π, für π. Da Ψ periodisch mit Periode π ist, ist damit auch ( S() Ψ() = S() π ) 3 für jedes R. Nun seien π und t π gegeben. Es ist Die Lösung wird zu φ( + t) + φ( t) = sin( + t) + sin( t) = sin() cos(t). u(, t) = sin() cos(t) + 1 (Ψ( + t) Ψ( t)), wobei wir den letzten Term nicht weiter auswerten, da die dabei auftretenden Fallunterscheidungen recht unangenehm sind. Je nach Kombination von t und können sechs verschiedene Fälle auftreten. Die geschlossene Lösungsformel ist also in Wahrheit rechnerisch gar nicht so angenehm wie man zunächst erwartet. 9 Differentialrechnung für Funktionen in n Variablen Wir wollen jetzt die Differentialrechnung auf Funktionen in mehreren Variablen erweitern, also etwa auf Funktionen wie u(, t) = sin( ) 3. Von den vielfältigen und unverzichtbaren Anwendungen werden wir in diesem Semester hauptsächlich die Bestimmung von Maima und Minima derartiger Funktionen behandeln. In vielerlei Hinsicht wichtigere Anwendungen, wie etwa die Besprechung 4-5

6 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Dienstag 7.7 von Differentialgleichungen, werden dann im nächsten Semester behandelt. Um bei einer Funktion f : [a, b] R das Maimum zu berechnen, suchte man die Nullstellen der Ableitung f, berechnete die Funktionswerte in diesen Nullstellen, nahm die beiden Randwerte f(a) und f(b) hinzu, und suchte unter all diesen Zahlen die größte. Wir werden sehen, dass sich dieses Vorgehen bei Funktionen in mehreren Variablen nicht großartig ändert. Für die Nullstellen der Ableitung, müssen wir aber erst einmal klären was mit die Ableitung überhaupt gemeint ist. Schon in 1 hatten wir die partiellen Ableitungen einer Funktion f : M R mit M R n eingeführt. Die partielle Ableitung nach der i-ten Variablen i entstand dabei indem alle anderen Variablen als Konstanten interpretiert wurden, und die so erhaltene reelle Funktion einer Variablen dann ganz normal abgeleitet wurde. Für unsere obige Beispielfunktion ist also f (, ) = 4 cos( ). In einem Punkt M ist also f () = d i d f( 1,..., i 1,, i+1,..., n )( i ). Ein kleines Problem wird hier aber noch verschleiert, und dieses betrifft die Menge M auf der die Funktion f definiert ist. Nicht jede Menge M ist für die obige Definition einer partiellen Ableitung geeignet. Nehmen wir als Beispiel einmal die Diagonale M := {(, ) R} R, (,) M und irgendeine auf M definierte Funktion f, beispielsweise f(, ) :=. Wollen wir die partielle Ableitung f/ (, ) in einem Punkt (, ) M bilden, so müssen wir = als Konstante behandeln und f als Funktion von betrachten. Aber dann ist diese Funktion nur in einem einzigen Punkt, nämlich = definiert, und es sinnlos von einer Ableitung zu reden. Allgemein kann man partielle Ableitungen in einem Punkt M also nur bilden, wenn man auf allen Koordinatenachsen von M aus erreichen kann. Da es nicht sinnvoll ist, das Standardkoordinatensstem hier auszuzeichnen, sollte sogar von allen Richtungen aus erreichbar sein. Man fordert üblicherweise noch etwas stärker, dass ein innerer Punkt von M im Sinne der folgenden Definition ist. 9.1 Topologische Grundbegriffe Definition 9.1: Sei M R n eine Menge. Ein Punkt M heißt ein innerer Punkt von M, wenn M eine Kugel mit positiven Radius um den Mittelpunkt enthält, d.h. wenn es ein ɛ > mit B ɛ () := { R n : < ɛ} M 4-6

7 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Dienstag 7.7 gibt. Dabei ist B ɛ () gerade die Kugel mit dem Radius ɛ > und dem Mittelpunkt. Bei nicht fiierten n spricht man neutral immer von einer Kugel, für n = sind dies natürlich Kreise. Die Menge M := { M ist ein innerer Punkt von M} aller inneren Punkte von M heißt das Innere von M. Schließlich heißt die Menge M offen, wenn jeder Punkt von M ein innerer Punkt von M ist. Wir wollen ein paar Beispiele besprechen. (1) Sei M := R die gesamte Ebene. Ist dann R irgendein Punkt, so ist überhaupt jeder Kreis mit Mittelpunkt ganz in M = R enthalten, d.h. ist ein innerer Punkt von M. Damit ist M = R offen und M = R. () Jetzt betrachten wir die rechte Halbebene M := {(, ) R }. Welche Punkte sind jetzt die inneren Punkte von M? (,) M M Innerer Punkt Kein innerer Punkt Wir müssen zwei Fälle unterscheiden. In der Situation des linken Bildes haben wir einen Punkt (, ) M mit >. Dann gibt es Kreise mit dem Mittelpunkt (, ), die ganz in der Halbebene M enthalten sind, beispielsweise der Kreis mit Radius um (, ). Damit ist (, ) dann ein innerer Punkt von M. Haben wir dagegen wie im rechten Bild einen Punkt (, ) M auf der -Achse, so enthält jeder Kreis mit Mittelpunkt (, ) auch Punkte mit negativer erster Koordinate, d.h. (, ) ist kein innerer Punkt von M. Damit ist M = {(, ) R > }, und insbesondere ist M keine offene Menge. 4-7

8 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Dienstag 7.7 (3) Seien n N, R n und r > gegeben, und wir betrachten die Kugel M = B r () R n. Dann ist jeder Punkt von M ein innerer Punkt von M, denn ist M, so ist < r und für jeden weiteren Punkt z B r () ist auch r z = (z ) + ( ) z + < r + = r = z B r (), d.h. es gilt B r () B r (). Damit ist B r () eine offene Menge, und man spricht auch von einer offenen Kugel. (4) Jetzt betrachten wir ein ähnliches Beispiel nämlich die Menge M := B r () := { R n : r} R n. Für die Punkt B r () in der offenen Kugel rechnen wir r genau wie oben nach, dass diese alle innere Punkte von M sind. Was ist jetzt mit den Punkten R n mit = r? Ist dann ɛ > ein beliebiger positiver Radius, so enthält die Kugel B ɛ () sowohl Punkt z mit z < r, als auch Punkte z mit z > r, es ist also stets B ɛ () B r (). Somit sind diese Punkte keine inneren Punkte von M. Dann Innere von M ist also und M ist nicht offen. M = { R n : < r} = B r (), (5) Diesmal betrachten wir die -Achse in der Ebene, also M := {(, ) R} = {} R. Jeder Kreis mit Mittelpunkt (, ), R enthält natürlich Punkte außerhalb der -Achse, d.h. kein Punkt von M ist ein innerer Punkt. Folglich ist M =, und M ist insbesondere nicht offen. (6) Kommen wir zu einem letzten Beispiel, diesmal betrachten wir die Menge M := B 1 ( 1, ) B 1 (1, ) {} R R. Wie oben folgt, dass die Elemente der beiden offenen Kugeln B 1 ( 1, ) und B 1 (1, ) innere Punkte von M sind, während die Punkte mit Abstand 1 zu einem der beiden Mittelpunkte ( 1, ) beziehungsweise (1, ) keine inneren 4-8 M ε ε

9 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Dienstag 7.7 Punkte von M sind. Wie im Bild angedeutet, beziehungsweise wie im Beispiel (4), sind auch die Punkte der Form (, ) M keine inneren Punkte von M. Insgesamt ist damit M = B 1 ( 1, ) B 1 (1, ). Das Innere einer Menge M R n ist immer offen, also M = M. Neben dem Inneren einer Menge spielt auch der Abschluß einer Menge oft eine Rolle. Der Abschluß einer Menge M besteht aus den Punkten des R n, die zwar nicht unbedingt in M liegen müssen, aber beliebig nahe dran an M sind. Definition 9.: Sei M R n. Ein Punkt R n heißt Berührpunkt von M wenn für jeden positiven Radius ɛ > stets B ɛ () M ist. Gleichwertig hierzu ist, dass es eine Folge ( k ) k N in M mit lim k k = gibt. Die Menge aller Berührpunkte von M M := { R n ist Berührpunkt von M} heißt der Abschluss von M. Schließlich heißt M abgeschlossen, wenn M = M gilt. Dass die beiden Beschreibungen von Berührpunkten in der obigen Definition äquivalent sind, wollen wir hier nicht formal beweisen. Anschaulich bedeuten beide einfach das M dem Punkt beliebig nahe kommt. Betrachten wir als ein Beispiel einmal eine offene Kugel M := B r (). Wann ist ein Punkt R n ein Berührpunkt der Kugel M? Wir müssen die folgenden drei Fälle unterscheiden: r r r < r = M = r = M > r = / M Als Abschluß ergibt sich die Menge B r () = { R n : r} = B r (), und aus diesem Grund nennt man B r () auch die abgeschlossene Kugel um mit Radius r. Die abgeschlossene Kugel B r () ist eine abgeschlossene Menge. Als ein letztes Beispiel betrachten wir wieder die Halbebene M := {(, ) R > }. Für einen Punkt (, ) R gibt es drei mögliche Fälle 4-9

10 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Dienstag 7.7 (,) (,) M M M > = M = = M < = / M Der Abschluß von M ist damit die Menge M = {(, ) R }. 4-1

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