3. Versuch M2 - Trägheitsmomente. zum Physikalischen Praktikum

Transkript

1 HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN INSTITUT FÜR PHYSIK 3. Versuch M2 - Trägheitsmomente zum Physikalischen Praktikum Bearbeitet von: Andreas Prang Jens Pöthig Abgabe in der Übung am Anlagen: Messdatenblatt zum Versuch M2 Seite 1 von 7

2 AUFGABENSTELLUNG / VERSUCHSDURCHFÜHRUNG Zu Beginn des Versuchs muss der Drehtisch (siehe Deckblatt a) waagerecht justiert werden. Dies geschieht durch die an der Grundplatte angebrachten schrauben. Zur Findung der Waagerechten ist auf der Grundplatte ebenfalls eine zweidimensionale Wasserwaage angebracht (hier nicht sichtbar). 1. Messung der Periodendauer des Drehisches ohne Scheibe und mit sechs verschiedenen Lagen der Scheibe (Sch) relativ zur Drehachse. Es wurde für jede Position der Scheibe (sechs) jeweils zwei mal die Zeit für 10 Schwingungen gemessen. 2. Grafische Darstellung T 2 = f (J Z ) und Ermittlung des Trägheitsmomentes J T des Drehtisches. T 2 = 4! 2 D J Z + 4! 2 D J T 3. Messung der Trägheitsmomente des Zylinders in Abhängigkeit vom Neigungswinkel! zwischen Zylinder und der Drehachse. 4. Überprüfung der Formel für das Trägheitsellipsoid J x p x 2 + J y p y 2 + J z p z 2 = 1 durch die grafische Darstellung J! = f (sin 2! ). 5. Vergleich der experimentellen Werte der Hauptträgheitsmomente für! = 0 und! = 90 mit den historischen Werten J! =0 = 1 2 mr2 J! =90 = 1 4 mr mh2. Zeichenerklärung: T: eine Periode Tq: mittlere Periodendauer Tq2: mittlere Periodendauer^2 JZ: Trägheit der Scheibe samt Drehteller m: Masse der Scheibe / Zylinders (je nach Aufgabe) s: Abstand Scheibe Tellermittelpunkt J i : Trägheitsmoment in Richtung i R: Radius der Scheibe / Zylinders (je nach Aufgabe) h: Höhe des Zylinders Seite 2 von 7

3 1. Ergebnisse entsprechend des Messdatenblattes (siehe Anlage) und Auswertung der Daten nach Aufgabe 2: Abstand: Scheibe Zentrum T1 in [s] nach T2 in [s] nach Tq in [s] für 1 Periode Tq2 in [s2] für 1 Periode JZ in [kg*cm2] ohne Scheibe 4,72 7,40 0,606 0,367 0, ,91 4,73 0,482 0,232 0, ,5 4,91 4,85 0,488 0,238 0, ,50 5,35 0,543 0,294 2, ,5 6,18 6,18 0,618 0,382 4, ,13 7,16 0,715 0,511 8, ,5 8,13 8,32 0,823 0,677 13, Ablesung des Trägheitsmomentes der Scheibe: c) Die lineare Eichkurve T 2 = 4! 2 D J + 4! 2 Z D J T schneidet die J Z -Achse bei J Z =!J T. Somit ist J T! 7kg " m 3. Seite 3 von 7

4 Ergebnisse der 3. Aufgabe: Neigungswinkel γ T1 in [s] nach T2 in [s] nach Tq in [s] für 1 Periode Tq2 in [s2] für 1 Periode 0 5,63 5,68 0,566 0, ,82 5,87 0,585 0, ,28 6,44 0,636 0, ,85 7,00 0,693 0, ,41 7,56 0,749 0, ,75 7,91 0,783 0, ,87 8,00 0,794 0,6296 Fehlerbetrachtung: Systematischer Restfehler: Der Systematische Restfehler in diesem Versuch beschränkt sich auf die Messung mittels Stoppuhr. Dieser beträgt X ± 5!10 "4. Auf Grund dieser geringen Abweichung wird dieser vernachlässigt. Zufälliger Fehler: Da bei jeder Messung lediglich zwei Messungen durchgeführt wurden, die Messungmittels Stoppuhr sehr ungenau ist und einer die Intervalle zählt und der zweite die Zeit stoppt. Aus diesen gründen ist eine Angabe von Messfehlern kein genauer Wert angebbar. Seite 4 von 7

5 4. Aufgabe: Überprüfung der Formel für das Trägheitsellipsoid J x p x 2 + J y p y 2 + J z p z 2 = 1 durch die grafische Darstellung von J! = f (sin 2! ). Wie in Grafik b) zu sehen ist das Trägheitsmoment in x-richtung J x = 0, da es sich hierbei um die Aufhängung handelt. Es sind somit noch die x und y Achse zu betrachten. Diese ergeben sich aus den auf der T 2 - Achse eingetragenen Punkte --> Ergebnisse aus den verschiedenen Winkeln der Messung mit dem Zyliner (siehe Tabelle oben Spalte Tq2). Anhand dieser wurde der dazugehörige J Wert abgelesen. Das abgelesene Maximum (y Achse maximal) J y = J! = 12,50kg " m 2 Das abgelesene Minimum (z Achse maximal) J z = J! = 3kg " m 2!! # p = # " # p x p y p z $ = 1 ' n! stellt die Koordinaten des Ellipsoiden dar. (1) J! n % $ 0 ' Dabei ist n! cos(! " # = 2 ) ) ) ). cos! ) % ( ) Hergeleitet aus dem Hauptachsensystem des Trägheitsellipsoiden ergibt sich: J! n = J x cos 2! + J y cos 2 " + J z cos 2 #. Aus (1) ergibt sich für : p y = 1 J y cos(! " # 2 ) = 1 p z = 1 J z cos! = 1 3 kg m 2 12,5 kg m 2 " 0,5 = 0,29 $ 0,886 = 0,25 Seite 5 von 7

6 eingesetzt in J x p x 2 + J y p y 2 + J z p z 2 = 1 J x! ,5!(0,25) 2 + 3! ( 0,29) 2 = 1 1,03355! 1 Dieses Ergebnis lässt erkennen, dass die Formel richtig zu sein scheint. Eine häufigere Messung würde das Ergebnis quallitativ Aufgabe 5: Zur Berechnung der theoretischen Werte für J! =0 und J! =90 sind folgende Formeln gegeben: J! =0 = 1 2 mr2 = 1 2 1,352 " 0,0222 kg " m 2 = 0,000327kg " m 2 J! =90 = 1 12 m(3r2 + h 2 ) = ,352(3" 0, ,1 2 )kg " m 2 = 0,00129kg " m 2 Es wird deutlich, dass die theoretischen werte welche hier nach der Theorie berechnet wurden von den berechneten werten aus der Praxis nur geringfügig abweichen. Hier zu vergleichen sind die oben zu sehenden Ergebnisse mit denen in der Mitte der 4. Aufgabe. Zu beachten ist ebenfalls, dass durch das butzen von cm in der Berechnung der in 4. Zu sehenden egebnisse sich das Ergebnis um vier Potenzstellen verschoben hat. Bei der nächsten Auswertung sollten an alles Stellen Grundeinheiten genutzt werden. Seite 6 von 7

7 Beantwortung der Fragen: 1. Frage: Wenn das Trägheitsmoment aller Achsen des Zylinders gleich sind ist das Trägheitsellipsoid eine Kugel. 2. Frage: Durch das Vernachlässigen des Trägheitsmoments der aufhängung wird verständlicherweise ein systematischer Fehler produziert. Dieser wäre erfassbar und korrigierbar. In diesem fall führt er zu ungenauen Messergebnissen. 3. Frage: Freie Achsen sind in der Technik von Bedeutung, da diese mit hohen Stabilität laufen. Das auswuchten bedeutet, eine Achse, welche in eineim Laager läuft wieder in seine ursprüngliche / vorgesehene Laage zu bringen. Was bedeutet, dass die Rotation ausschließlich um eine Achse geschieht und keine schlänker macht, wodurch weitere Trägheitsmomente und eine allgemeine Laufunruhe entstehen. 4. Frage: Das Trägheitsmoment eines homogenen Zylinders bezüglich seiner Symetrieachse berechnet sich mittels J = 1 2 mr2. Bei verschobener Rotationsachse kommt man auf den Steinerschen Satz: J = 1 2 mr2 + ms 2, wobei R den Radius des Zylinders und s den Abstang von der Symetrieachse darstellt. Seite 7 von 7