Klausur Wirtschaftsmathematik VO

Transkript

1 Klausur Wirtschaftsmathematik VO 20. März 2015 Bitte leserlich in Druckbuchstaben ausfüllen! NACHNAME: VORNAME: MATRIKELNUMMER: ERLAUBT: nur die Formelsammlung des Instituts! VERBOTEN: Taschenrechner und Handys am Arbeitsplatz! Aufgabe max. Punkte erreichte Punkte Summe 60 Note:

2 1. a) (3 Punkte) Berechnen Sie die folgende Doppelsumme: 3ÿ 3ÿ i=1 k=0 b) (3 Punkte) Vereinfachen Sie soweit möglich: 3 4 i 1 k 3 2 ˆ ı Ô 4 Ù x x 5 3Ô x c) (6 Punkte) Wenn Anton von dem Geld, das er in der Tasche hat, Xaver Ä 2.- gibt, so hat Xaver dreimal so viel wie Anton. Gibt Xaver Anton Ä 3.-, so hat Anton dreimal so viel wie Xaver. Wie viel Geld hat jeder? Ausführung Beispiel 1: Lösung: a) ;b)x60, c) Anton: 4,5; Xaver: 5,5

3 Ausführung Beispiel 1:

4 2. a) (2 Punkte) Bestimmen Sie a 24 für eine arithmetische Folge, wenn a 17 = 35 und d = 7 sind. b) (2 Punkte) Entlang einer 100 m langen Strecke werden im Abstand von je 1 m Äpfel ausgelegt. Am Anfang der Strecke steht ein Korb. Ein Spiel besteht nun darin, dass die Äpfel einzeln geholt und in den Korb gelegt werden, der während des ganzen Spiels am Beginn der Strecke stehen bleibt. Welche Weglänge wird insgesamt zurückgelegt, bis alle Äpfel im Korb sind? c) (8 Punkte) Für welche x œ R konvergiert die folgende Reihe? Œÿ Ô 5x t t=10 (2x 3) t Ausführung Beispiel 2: Lösung: a) 84; b) m, c)konvergentfür 0 Æ x<1 oder x> 9 4

5 Ausführung Beispiel 2:

6 3. a) Gegeben ist die Funktion: f : R æ R, x æ a e bx i. (4 Punkte) Für welche Koe zienten a œ R und b œ R \{0} ist die Funktion f positiv und monoton fallend? ii. (3 Punkte) Können die Koe zienten a, b auch so gewählt werden, dass f zusätzlich konkav ist? Begründen Sie analytisch! b) (5 Punkte) (unabhängig von a)) Zeichnen Sie in nachstehendes Koordinatensystem den Graphen einer stetigen Funktion, die auf dem Intervall [1; 9] definiert ist und die genau zwei lokale Extrema besitzt, die aber keine globalen Extrema sind. Kennzeichnen Sie in Ihrer Zeichnung alle Extremstellen, alle Extremwerte sowie die Bildmenge Ihrer Funktion. Bestimmen Sie graphisch die Steigung Ihrer Funktion an der Stelle x = 1. Tragen Sie dann alle (näherungsweise) ermittelten Werte in die untenstehende Tabelle ein! Ausführung Beispiel 3: Lösung: a) a>0 und b<0; b) nicht möglich; c) individuelle Lösung Extremstellen Extremwerte Bildmenge Steigung an der Stelle x =1

7 Ausführung Beispiel 3:

8 4. Eine neu gegründete österreichische Ratingagentur bewertet die Kreditrisiken österreichischer Firmen und gibt dabei jeder Firma eines der drei folgenden Ratings: AAA (sehr gute Bonität), BBB (gute Bonität) oder CCC (schlechte Bonität). Aus historischen Daten hat die Agentur folgende Übergangswahrscheinlichkeiten für die drei Ratingklassen errechnet: Firmen mit dem Rating AAA bekommen im nächsten Jahr in 25% der Fälle das Rating BBB und in 25% der Fälle das Rating CCC, der Rest behält AAA. Firmen mit dem Rating BBB bekommen im nächsten Jahr in 75% der Fälle wieder das Rating BBB und in 25% der Fälle das Rating CCC. Firmen mit dem Rating CCC bekommen im nächsten Jahr zu 100% wieder das Rating CCC. a) (3 Punkte) Erstellen Sie eine passende Übergangsmatrix. b) (3 Punkte) Wie viele Firmen werden voraussichtlich nächstes Jahr in den jeweiligen Ratingklassen sein, falls heuer 1600 Firmen das Rating AAA, 1200 Firmen das Rating BBB und 800 Firmen das Rating CCC haben. c) (3 Punkte) Die inverse Matrix der Übergangsmatrix ist durch Q R M = c 4 a0 3 1 d 3b gegeben. Berechnen Sie mithilfe von M, wie viele Firmen heuer in den jeweiligen Ratingklassen sind, falls nächstes Jahr 300 Firmen das Rating AAA, 600 Firmen das Rating BBB und 600 Firmen das Rating CCC haben. d) (3 Punkte) Wie viele Firmen werden voraussichtlich in fünf Jahren das Rating AAA haben, wenn heuer 3200 Firmen in der Ratingklasse AAA sind. Ausführung Beispiel 4: Lösung: Q R a) A = c a d b b) c) d) 100

9 Ausführung Beispiel 4:

10 5. Firma A produziert x Liter Mineralwasser und verlangt einen Preis von p A e je Liter. Der Konkurrent B produziert y Liter Mineralwasser und verlangt einen Preis p B e je Liter. Die Nachfrage nach den beiden Marken ist x =29 5 p A +4p B y =16+4p A 6 p B Firma A hat Gesamtkosten von K A (x) =5+x und Firma B hat Gesamtkosten von K B (y) = 3+2y. a) (8 Punkte) Die beiden Firmen kommen überein, ihren gemeinsamen Gewinn zu maximieren, so als wären sie ein Anbieter. Zu welchen Preisen und in welchen Mengen werden die beiden Mineralwasser angeboten? Überprüfen Sie die hinreichende Bedingung! b) (4 Punkte) Ein Antitrustgesetz verhindert die Absprache der beiden Firmen. Daher muss jede Firma ihren Gewinn unter der Annahme, dass der Preis des Konkurrenten gegeben ist, maximieren. Zu welchem Preis p A (in Abhängigkeit von p B ) wird A sein Mineralwasser anbieten, wenn der Preis des Konkurrenten B auf p B fixiert ist? Ausführung Beispiel 5: Lösung: a) p A =9,p B =8,x=16,y =4 A B 10 8 H = f xx = 10 < 0 und det(h) =56> 0 Gewinnmaximum b) p = 34+4p B 10, G ÕÕ = 10 < 0

11 Ausführung Beispiel 5: