Funktionen und Mächtigkeiten

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1 Vorlesung Funktionen und Mähtigkeiten. Etws Mengenlehre In der Folge reiten wir intuitiv mit Mengen. Eine Menge ist eine Zusmmenfssung von Elementen. Zum Beispiel ist A = {,,,,5} eine endlihe Menge mit 5 Elementen. Die Menge N der ntürlihen Zhlen ht unendlih viele Elemente. Die Menge R uh. Es stellt sih herus, dss R mähtiger ls N ist. Definition... Bei einer endlihen Menge A ezeihnet ihre Mähtigkeit die Anzhl der Elemente von A. Wir shreien hierfür A oder uh #A. Beispiel. Für A = {,,,,5} gilt A = 5. Um die Mähtigkeit für unendlihe Mengen zu erklären, enötigen wir gewisse Klssen von Funktionen.. Injektive, surjektive und ijektive Funktionen Definition... Es seien und Mengen und f : eine Funktion. f ist injektiv, wenn gilt: Äquivlente Formulierungen sind x,x : f(x ) = f(x ) x = x. x,x : x = x f(x ) = f(x ) Jedes y tritt höhstens einml ls Bild (Funktionswert) unter f uf Stimmen zwei Bilder üerein, so müssen shon die Urilder üereinstimmen. 67

2 Vorsiht: Injektivität edeutet niht x,x : x = x f(x ) = f(x ) Diese Impliktion gilt für lle Funktionen und ist dmit keine Chrkterisierung von Injektivität. Bemerkung. Eine injektive Funktion f heißt Injektion. Wir injizieren zw. etten die Menge in ein. Beispiele. In Aildung. ist die Funktion f : injektiv, d jedes y höhstens einml ls Bild uftritt. d e Aildung.: Injektive Funktion f In Aildung. ist die Funktion f : niht injektiv, d ds Element zweiml getroffen wird. Aildung.: Niht injektive Funktion f Es seien und endlihe Mengen. Dmit eine injektive Funktion f : existieren knn, drf höhstens so viele Elemente hen wir, d.h.. Würde > gelten, so hätten mindestens zwei Elemente x,x und x = x ds gleihe Bild, d.h. f(x ) = f(x ). 68

3 Weitere Beispiele. (i) f : Z Z n n ist injektiv, denn f(n ) = f(n ) n = n n = n. (ii) Die Funktion f : R R x x ist niht injektiv, denn f() = f( ), er = (siehe Aildung.) Aildung.: Normlprel Definition... Es seien, Mengen und f : eine Funktion. f heißt surjektiv, wenn gilt: y x : f(x) = y. Äquivlente Formulierung: f ist surjektiv, wenn jedes Element y unter der Aildung f mindestens einml getroffen wird. Beispiele. In Aildung. ist die Funktion f : surjektiv, d jedes y mindestens einml getroffen wird. 69

4 5 d Aildung.: Surjektive Funktion f In Aildung. ist die Funktion f : niht surjektiv, d ds Element niht im Bild von f ist. 5 d Aildung.5: Niht surjektive Funktion f Es seien, Mengen. Dmit eine surjektive Aildung f : existieren knn, muss mindestens genuso viele Elemente hen wir, d.h.. Würde < gelten, so git es ein y, ds niht ls Bild unter f uftritt. Beispiele. (i) Die Funktion f : N N n n ist injektiv. f ist niht surjektiv, denn für y = N existiert kein n N, so dss f(n) =. (ii) Die Funktion f : R R x x+ ist surjektiv (siehe Aildung.6). Sei y vorgegeen. Gesuht ist x, so dss f(x) = y. Neenrehnung: Wir hen x + = y x = y x = y y. Sei y. Wir setzen x :=. Dnn gilt 70

5 Aildung.6: Gerde f(x) = x+ f(x) = f( y ) = (y )+ = y. Somit git es zu jedem y ein x mit f(x) = y. Definition... Es seien und Mengen. Eine Funktion f : ist ijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. D.h. für jedes y git es genu ein x mit f(x) = y. Beispiel. In Aildung.7 ist die Funktion f : ijektiv. d Aildung.7: Bijektive Funktion f Beispiel. Die Funktion f : R R x x+ ist injektiv: Es gelte f(x ) = f(x ) x + = x + x = x f ist surjektiv: Für y wählen wir x = y. Dnn gilt f(x) = f(y ) = (y )+ = y. Also ist f ijektiv. Bemerkung. Bei den Begriffen Injektivität, Surjektivität und Bijektivität einer Funktion f : kommt es entsheidend uf den Definitionsereih und die Zielmenge n. Beispiel. (i) Die Funktion f : R R x x 7

6 ist niht injektiv (siehe Aildung.8), zum Beispiel gilt f () = f ( ) er =.f istnihtsurjektiv,dennesgitkeinxmitf (x) = R Aildung.8: Funktion f : R R mit x x (ii) Die Funktion f :R + 0 R x x ist injektiv (im Vergleih zu f ist der Definitionsereih eingeshränkt), denn f (x ) = f (x ) x = x (siehe Aildung.9). f ist niht surjektiv, wieder git es kein x R + 0 mit f (x) = Aildung.9: Funktion f : R + 0 R mit x x (iii) Die Funktion f :R R + 0 x x ist niht injektiv (siehe Aildung.0). f ist surjektiv, denn für lle y R + 0 git es ein x R mit f (x) = y. 7

7 Aildung.0: Funktion f : R R + 0 mit x x (iv) Die Funktion f :R + 0 R+ 0 x x ist injektiv und surjektiv, und dmit ijektiv (siehe Aildung.) Aildung.: Funktion f : R + 0 R+ 0 mit x x Es seien und endlihe Mengen. Wir hen gesehen: Es existiert eine injektive Aildung f :. ist weniger mähtig ls oder gleihmähtig zu. Es existiert eine surjektive Aildung f :. ist mähtiger ls oder gleihmähtig zu. = Es existiert eine ijektive Aildung f :. ist genuso mähtig wie. Wir können diese Sprehweise üertrgen uf die unendlihe Menge N. Definition... Eine Menge M heißt gleihmähtig zu N, wenn es eine Bijektion f : N M git. M heißt dnn zählr (unendlih). Zum Beispiel ist die Menge M = {0,,,6,8,0,...} der gerden Zhlen gleihmähtig zu N. Owohl M eine ehte Teilmenge von N ist, hen eide gleih 7

8 viele Elemente. Dies ist ei endlihen Mengen niht möglih! Eine ehte Teilmenge knn niht gleihmähtig (d.h. genuso viele Elemente hen) wie ihre Oermenge. Wir weisen nun nh, dss M = N. Wir definieren f : N M Dnn ist f ijektiv, denn f ist injektiv: n n. f(n ) = f(n ) n = n n = n. f ist surjektiv: Sei y = n. Wähle x = n. Dnn gilt f(n) = n = y. Illustrtion (siehe Aildung.): Die ntürlihen Zhlen hen einen Bezeihner. Mit der Bijektion f kleen wir ndere Bezeihnungen uf, so wird us 0 eine neue 0, us wird, us wird, usw. die ntürlihen Zhlen 0 die gerden Zhlen 0 6 Aildung.: Bijektion zwishen N und M 7

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