WERTPAPIERANALYSE UND KAPITALMARKTTHEORIE. Faktormodelle, Marktmodell. Arbitrage Pricing Theory

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1 WRTPAPIRANALYS UND KAPITALMARKTTHORI Faktormodelle, Marktmodell und Arbitrage Pricing Theory 147 Kapitalmarktmodelle x ante- Gleichgewichtsmodelle in-faktor-modelle CAPM Mehr-Faktoren-Modelle APT x post-modelle (renditegenerierende Prozesse) Marktmodell in-index-modell Mehr-Index-Modell in-faktor-modell Mehr-Faktoren-Modell 148

2 IN-INDX-MODLL UND IN-FAKTOR-MODLL Konstruktionsmerkmale von Faktor-Modellen rklärung der zukünftigen Rendite Ri einer Aktie i Allgemeiner Faktor bzw. mehrere allgemeine, d.h. für mehrere Aktien relevante Faktoren o Reaktionen auf allgemeine Faktoren sind unterschiedlich o Messung des influsses des systematischen Risikos auf aktuelle Rendite durch Sensitivitäten Idiosynkratischer Faktor ε i Faktor-Modelle für eine praktikable Lösung der Portefeuille-Planung 149 in-index-modell (Single Index-Modell, Diagonal-Modell): Sharpe (1963) (1) Rit = ai + bi It +ε it mit b ( it t ) σii ( t ) It = cov R, I var I = σ i 2 I t Index, ε it Störterm a i vom Index unabhängige Komponente der Rendite; im Zeitablauf konstant b i Faktorsensitivität; im Zeitablauf konstant Spezifische Annahmen des in-index-modells 2 ( ε ) = 0 bei konstanter Varianz var ( ε ) =σ it cov ( ε, I ) = 0 (d.h. ( ) it t corr ε, I = 0) cov ε, ε = 0 für alle i j ( it jt ) it t it ε 150

3 rwartete Rendite der Aktie i (2) μ = ( R ) = ( a + b I+ε ) = ( a ) + ( b I) + ( ε ) = a + b ( I) i i i i i i i i i i Varianz der Aktienrendite (3) ( ) = ( ) = ( + +ε + +ε ) var R cov R, R cov a b I, a b I i i i i i i i i i ( ) ( ) ( ) = b cov I,I + 2 b cov I, ε + cov ε, ε 2 i i i i i () ( ) = b var I + var ε 2 i i Indexbezogenes Risiko Idiosynkratisches / Faktorrisiko Wertpapierbezogenes Risiko 151 Portfolio-Rendite (4) N N N N N ( ) R = x R = x a + b I+ε = x a + x b I+ x ε P i i i i i i i i i i i i i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 = a + b I+ε P P P rwartungswert der Portfolio-Rendite (5) μ = a + b () I P P P 152

4 Varianz der Portfolio-Rendite 2 2 (6) var ( R P) = bp var ( I) + var ( ε p) = xi bi var () I + xi var ( εi) N 2 i= 1 i= 1 liminierung des wertpapierspezifischen Risikos bei guter Diversifikation N Kovarianz zwischen Aktienrenditen (7) ( i j) = ( i + i +ε i j + j +εj) cov R, R cov a b I, a b I ( ) ( ) ( ) ( ) = b b cov I, I + b cov I, ε + b cov I, ε = b b var I i j i j j i i j 153 Portfolio Selection nach Markowitz benötigt Schätzungen für... risikoloser Zinssatz 1 rwartungswerte der Renditen N Varianzen der Renditen N Kovarianzen (N 2 N)/2 in-index-modell benötigt Schätzungen für... risikoloser Zinssatz 1 rwartungswert des Index 1 Varianz des Index 1 a i für jedes Wertpapier N b i für jedes Wertpapier N Varianzen der Störterme N Summe (N 2 + 3N + 2)/2 Summe 3N

5 Übungsaufgabe: Schätzungsaufwand Bestimmen Sie die Anzahl benötigter Schätzungen beim in-faktor-modell und bei der Portfolio Selection in den Fällen der folgenden Tabelle. n Portfolio Selection in-faktor-modell in-faktor-modell (8) Rit =μ it + bi Ft +ε it (9) als Innovation mit ( Ft ) = 0 (9) F = I ( I ) t t t 156

6 MULTI-INDX- UND MHR-FAKTORN-MODLL Multi-Index-Modell (10) Rit = ai + bi1 I1t + bi2 I2t + K + biκ Iκ t +εit Annahmen 2 ( ε ) = 0 bei konstanter Varianz var ( ε ) =σ it Renditeanteil a i und Faktorsensitivitäten b iκ, k = 1,.., κ sind in Zeit konstant ( it jt ) cov ε, ε = 0 für alle i j ( ) cov ε, I = 0 für alle i, k it kt ( ) cov I, I = 0 für alle m n (Orthogonalität) mt nt it ε 157 rwartungswert der Rendite (11) μ = ( R ) = a + b ( I ) + K + b ( I ) i i i i1 1 iκ κ Varianz der Rendite (12) var ( R ) = b 2 var ( I ) + K + b 2 var ( I ) + var ( ε ) i i1 1 iκ κ i Kovarianz zwischen den Renditen (13) cov ( R, R ) = b b var ( I ) + K + b b var ( I ) i j i1 j1 1 iκ jκ κ Mehr-Faktoren-Modell R =μ + b F + + b F +ε (14) it i i1 1 iκ κ i,t K ( ) ( ) mit F = I I und F = 0 für alle k k k k k 158

7 Übungsaufgabe: Index-Modelle (a) Angenommen, der rendite-erzeugende Prozess wird durch ein in-index- Modell beschrieben: Ri = ai + bi I+ε i (a1) rläutern Sie stichwortartig die Bedeutung der Symbole. Nennen Sie die spezifischen Annahmen eines in-index-modells (bzgl. rwartungswert und Varianz des Störterms sowie bzgl. Kovarianzen zwischen Störtermen bzw. Kovarianzen zwischen Störterm und Index). (a2) Bestimmen Sie die Standardabweichungen der beiden Wertpapiere A, B R = 5% + 0,8 I +ε, R = 7% + 1,2 I +ε, σ = 18%, σ = 25%, σ = 15% A A B B I εa εb 159 (a3) Aus den Wertpapieren wird zu gleichen Teilen ein Portefeuille gebildet. Wie hoch sind die Werte für a P und b P? Bestimmen Sie das Gesamtrisiko des Portefeuille. (b) Gehen Sie nun davon aus, dass der rendite-erzeugende Prozess durch ein Zwei-Index-Modell beschrieben wird. Leiten Sie für das Index-Modell mit 2 Indizes unter den für Multi-Index-Modellen üblichen Annahmen die Zerlegung der Varianz der Wertpapier-Rendite in ein indexbezogenes und ein idiosynkratisches Risiko her. An welchen Stellen nutzen Sie welche Annahmen? 160

8 Übungsaufgabe: Zwei-Faktor-Modell Für eine Aktie wird eine Rendite von μ i = 4% erwartet. Die für das kommende Jahr geschätzte Wachstumsrate des Brutto-Sozialproduktes sei 3,5 %, für das Zinsniveau wird keine Änderung erwartet. Brutto-Sozialprodukt und Zinsniveau sind gleichzeitig die für die Aktie einzig relevanten (systematischen) Faktoren. Die Sensitivitäten der betrachteten Aktie sollen b B = 1,2 und b Z = 0,8 betragen. Im Laufe des Jahres tritt nun folgende Situation ein: Das BSP steigt tatsächlich nur um 2 %, das Zinsniveau fällt aber um 2 %. Schließlich werden über das betrachtete Unternehmen positive Nachrichten bekannt, die mit 3 % zur aktuellen Rendite der Aktie beitragen. Berechnen Sie die Rendite der Aktie nach dem Zwei-Faktor-Modell. 161 BSTIMMUNG DR SNSITIVITÄTN UND FAKTORN Sensitivitäten Historische Aktienkurse bzw. renditen Univariate bzw. multivariate Regression Bestimmung der relevanten Faktoren, Anzahl relevanter Faktoren Statistische Identifikation (Faktorenanalyse, Hauptkomponentenanalyse) Identifikation durch ökonomische Hypothesen Vorabspezifikation von Indizes und Faktoren o Aktienindex als Proxy für Markt-Portfolio o Makroökonomische Variablen; Branchen- oder Industriefaktoren 162

9 mpirie und Praxis am US-Markt Chen/Roll/Ross (1986) finden... o Änderung der erwarteten Inflationsrate o Nicht-antizipierte Inflationsrate o Nicht-antizipierte Änderung der Zinsstruktur o Nicht-antizipierte Änderung der Risikoprämien zwischen festverszinslichen Wertpapieren guter und schlechter Bonität o Nicht-antizipierte Änderung der erwarteten Industrieproduktion Fama/French (1992) untersuchen... o Markt-Beta-Faktor o Unternehmensgröße o Kurs-Gewinn-Verhältnis o Verschuldungsgrad o Kurswert-Buchwert-Verhältnis 163 DAS MARKTMODLL Standardform des Marktmodells (15) Rit = α+β i i RMt +ε it Marktmodell als empirisch nachprüfbare Form des CAPM Graphische Darstellung des Marktmodels als charakteristische Linie s gilt j ( i j) j x cov ε, ε = 0 ( ε i M) = ( εi j j) = j ( ε i j) = j ( εi α j + M β j +εj) cov, r cov, x r x cov, r x cov, r ( ) ( ) = x β cov ε,r + x cov ε, ε j j i M j i j Übungsaufgabe: Index-Modell und Marktmodell 164

10 Zeigen Sie, daß bei Gültigkeit eines in-index-modells alle Kovarianzen σ ij der Renditen eines Wertpapiers i mit den Renditen der anderen Wertpapiere j gleich Null sind, wenn die Korrelation zwischen der Rendite r i und dem Index gleich Null ist, Warum gilt dies nicht beim Marktmodell? 165 Varianz der Rendite (analog zu (3)) (16) var ( R ) =β 2 var ( R ) + var ( ε ) = β 2 var ( R ) + var ( ε ) i i M i i M i Gesamtrisiko Systematisches Unsystematisches Risiko Risiko Diversifikation führt zur liminierung des unsystematischen Risikos (vgl. (6)) 2 2 (17) var ( R ) =β var ( R ) + var ( ε ) = x β var ( R ) + x var ( ε ) P P M P i i M i i i i 2 166

11 ZUSAMMNHANG ZWISCHN MARKTMODLL UND CAPM Charakteristika CAPM als ex ante-modell, Markmodell als ex post-modell CAPM einperiodig, Marktmodell geschätzt über Zeitreihenregression CAPM Gleichgewichtsmodell Unterschied im systematischen Risiko nur durch Quadrierung Diversifikation eliminiert das unsystematische Risiko Im CAPM bewertetes Kovarianzrisiko wird durch (Regressions-) Zusammenhang des Marktmodells erklärt Problem der praktischen Umsetzung: Markt-Portfolio und Marktrendite nicht bekannt 167 Kompatibiliät von CAPM und Marktmodell bedingt... Rendite-erzeugender Prozess des Marktes entspricht Marktmodell Anleger mit rationalen rwartungen Renditen unabhängig und identisch verteilt Aus Marktmodell geschätztes Beta stimmt mit Beta des CAPM überein Beta-Faktor ist über den Untersuchungszeitraum stabil x post-ermittelte Mittelwerte der Renditen entsprechen den ex anteerwarteten Renditen 168

12 rwartungswert der Wertpapierrendite beim Marktmodell (18) μ i =α i +βi μ M ( ) ( ) μ R =α +β μ R +β R β R =α 1 β R +β μ R i f i i M f i f i f i i f i M f Bedingung für Identität zwischen Marktmodell und CAPM α = 1 β R (19) ( ) i i f 169 Übungsaufgabe: Marktmodell Folgende Schätzungen für den Index M sowie für die Aktien A und B wurden mit der Überschussrendite-Version des Marktmodells ermittelt: var(r M ) = 0,01 var(r A ) = 0,1024 corr(r A,R M ) = 0 α A = 0,03 α B = -0,01 β B = 1,4 var(ε B ) = 0,0064 (a) Wie hoch ist das unsystematische Risiko der Aktie A? (b) Wie hoch sind das unsystematische Risiko und der Alphawert eines Portefeuille, das zu 25% aus Aktie A und zu 75% aus Aktie B besteht? (c) Wie hoch sind das systematische Risiko der Aktie B und die Korrelation zwischen den Renditen der Aktie B und des Marktes? 170

13 (d) Skizzieren Sie die Security Market Line des CAPM und tragen Sie in das Diagramm anhand der Werte für die jeweiligen Alphas und Betas die Lage der Aktien A und B sowie des Marktportefeuille ein Geben Sie die Achsenbezeichnungen an. (e) Nehmen Sie an, dass die Varianz der Rendite der Aktie A aus 256 täglichen Renditen berechnet und dann nach der üblichen Methode annualisiert wurde. Außerdem soll das hier betrachtete Kalenderjahr auch 256 Börsentage besitzen. Wie hoch ist die ursprünglich ermittelte Standardabweichung auf Basis täglicher Renditen. 171 Übungsaufgabe: Systematisches und unsystematisches Risiko (a) Leiten Sie für die Rendite Ri = α i +βi RM +ε i einer Aktie i mit (ε i ) = 0 den formalen Zusammenhang zwischen Gesamtrisiko (Varianz der Rendite), systematischem und unsystematischem Risiko ab. (b) Wie hoch ist der Wert Cov(R i,r M ), wenn das unsystematische Risiko der Aktie gleich Null ist? (c) Leiten Sie für die Rendite R P eines Portefeuille P von Aktien mit den in (a) beschriebenen Renditen den formalen Zusammenhang zwischen Gesamtrisiko (Varianz der Portefeuille-Rendite), systematischem und unsystematischem Portefeuille-Risiko ab. 172

14 SCHÄTZUNG UND PROGNOS DS BTA-FAKTORS Variationsmöglichkeiten bei der Schätzung des Beta-Faktors Wahl des Schätzverfahrens Prozentrenditen oder logarithmierte Renditen Wahl der rsatzgröße für R M Wahl der Länge der Schätzperiode Prognose des Beta-Faktors Branchen-Betas Fundamentale Beta-Werte

15 Übungsaufgabe: Systematisches und unsystematisches Risiko Berechnen Sie anhand der Angaben in den tabellierten Beta-Werten des obigen Abschnitts das systematische und das unsystematische Risiko und das gesamte Risiko der Aktien HypoVereinsbank (BVM), Daimler (DAI) und Siemens (SI) auf 250-Tage-Basis. 175 Übungsaufgabe: Marktmodell Mit der Standardform des Marktmodells Rit = α i + βi R Mt + εit werden die nachfolgend angegebenen Werte für den Alpha-Faktor, den Beta-Faktor, für die Varianz der Aktienrendite und für die Korrelation zwischen Aktien- und Marktrendite geschätzt.. Als rsatzgröße für die Marktrendite wird die Rendite des Aktienindex FIBA verwendet. s wird angenommen, daß die geschätzten Werte auch für die Zukunft gelten. Der Index FIBA enthält neben den Aktien A bis D weitere Wertpapiere, deren Daten für die Aufgabe irrelevant sind. a) Geben Sie ohne Berechnung die in der Tabelle mit einem Fragezeichen versehenen Werte für den Aktienindex FIBA an. b) Berechnen Sie die in der Tabelle fehlenden Werte für die Aktie A. 176

16 c) Sie sollen den Index FIBA mit zwei Aktien nachbilden ( tracken"). Dazu stehen Ihnen die Aktien B, C und D zur Verfügung. Leerverkäufe der Aktien sind nicht möglich. Worauf achten Sie beim Index Tracking in Bezug auf Beta-Faktor und unsystematisches Risiko? Welche zwei Aktien nehmen Sie in Ihr Portfolio auf? Wie groß müssen die Anteile der einzelnen Wertpapiere in dem Portfolio sein? Wie hoch ist das unsystematische Risiko dieses Portfolio? d) Welche der beiden Aktien C und D hat einen höheren rwartungswert der Rendite? Begründen Sie ohne Berechnung kurz Ihre Aussage. 177 Aktie Alpha Beta Varianz Syst. Risiko Unsyst. Risiko Korrelation FIBA?? 0,0100??? A 0,01? 0,0400?? 0,500 B 0,05 0,8 0,0400 0,0064 0,0336 0,400 C 0,04 1,2 0,0256 0,0144 0,0112 0,750 D 0,03 1,2 0,1024 0,0144 0,0880 0,

17 ARBITRAG PRICING THORY APT Arbitrage Pricing Theory APT von Ross (1976) Alternatives Bewertungsmodell zum CAPM Keine Arbitrage-Möglichkeiten: Investments mit identischem Risiko müssen identischen Preis besitzen Zentrale Bewertungsgleichung der APT (20) ( ) R = μ =λ +λ b + K +λ b i i 0 1 i1 κ iκ mit rendite-erzeugendem Prozess eines Faktormodells gemäß (14), d.h. R =μ + b F + + b F +ε K ( ) it i i1 1 iκ κ i,t mit F = 0 für alle k k 179 Weitere Annahmen der APT Annahmen der Indexmodelle Gemeinsame Faktoren (also bspw. keine Unternehmenskennzahlen) Anzahl der Wertpapiere N größer als Anzahl der Faktoren κ Atomistische Nachfragestruktur Rationale Anleger mit positivem Grenznutzen Homogene rwartungen bezüglich Anzahl, Art und rwartungswert der Faktoren. Vollkommener Kapitalmarkt Kapitalmarkt ist arbitragefrei 180

18 Arbitrage-Portefeuille (a) Summe der Anteile x i gleich Null ( Selbstfinanzierend ) N i= 1 x = 0 i (b) Portefeuille-Sensitivitäten bezüglich der Faktoren gleich Null ( Portefeuille frei von systematischem Risiko ) N b = x b = 0 für alle k = 1, K, κ Pk i ik i= 1 (c) Idiosynkratisches Risiko gleich Null N ε = x ε = 0 P i i i= Übungsaufgabe: Arbitrage-Portefeuille im APT Bestimmen Sie die Rendite des Arbitrage-Portefeuille ( ) r = r + b F + K+ b F +ε P0 P0 P1 1 Pκ κ P ( r ) = = x μ = 0 N P0 i i i= 1 182

19 Zero-Beta-Portefeuille Sensitivität gegenüber allen Faktoren gleich Null: b ik = 0 für alle k Summation der Anteile gleich ins Bewertungsgleichung: μ i =λ 0 Kein systematisches bzw. faktorbezogenes Risiko und nach Annahme kein (bzw. fast kein) idiosynkratisches Risiko Risikoloses Portefeuille λ 0 = R f APT nimmt nicht die xistenz eines risikolosen Zinses an, sondern dessen xistenz folgt aus den Annahmen der APT 183 Faktor-Portefeuilles Sensitivität bezüglich eines Faktors gleich ins; Sensitivität bezüglich der anderen Faktoren gleich Null Faktor-k-Portefeuille mit Bewertungsgleichung μ =λ +λ b = R +λ Pk 0 k Pk f k λ k =μpk R f λ k erwartete Überschussrendite der Faktor-k-Portefeuilles über risikolosen Zins (Risikoprämie des Faktor-k-Portefeuille) Alternative Notierung der Bewertungsgleichung (20) ( ) = μ = + ( μ ) + K + ( μ ) R r b R b R i i f i1 P1 f iκ Pκ f 184

20 Übungsaufgabe: Faktor-k-Portefeuilles Portfolio μ b 1 b 2 A 15% 1 0,6 B 14% 0,5 1 C 10% 0,3 0,2 (a) Geben Sie die jeweiligen rendite-erzeugenden Prozesse an. (b) Bestimmen Sie durch Aufstellung und Lösung eines Gleichungssystems die Fläche im 3-dimensionalen μ-b 1 -b 2 -Raum, auf der bei Arbitrage- Freiheit alle Portfolios liegen. (c) Bestimmen Sie das Faktor-1-Portefeuille und die erwartete Rendite des Faktor-1-Portefeuille

21 Übungsaufgabe: Faktor-k-Portefeuilles Betrachtet werden Faktor-Portefeuilles mit 3 Wertpapieren und 2 Faktoren mit den nachfolgend angegebenen Sensitivitäten. b i1 b i2 WP1 0,40 1,75 WP2 1,60 0,75 WP3 0,67 0, (a) Zeigen Sie, durch welche Anlage in WP1, WP2 und WP3 ein Faktor-1- Portefeuille realisiert werden kann. (b) Zeigen Sie, durch welche Anlage in WP1, WP2 und WP3 ein Faktor-2- Portefeuille realisiert werden kann. (c) Berechnen Sie die Risikoprämien der Faktor-Portefeuilles, wenn die rwartungswerte des Faktor-1- bzw. Faktor-2-Portefeuille 16,6 bzw. 13,4 bei einem risikolosen Zinssatz von 7% betragen. (d) Berechnen Sie die erwartete Rendite des Wertpapiers WP1. 188

22 PASSIVS PORTFOLIO MANAGMNT Index-Nachbildung mit wenigen Aktien (Index Tracking) Abweichung der Portefeuille-Rendite von der Index-Rendite (Tracking rror) Optimierung mit Index-Modell AKTIVS PORTFOLIO MANAGMNT o Market Timing und/oder Stock Picking (Selektion) o rwartung eines steigenden Marktes führt zu rhöhung des Portfolio- Beta o rwartung eines fallenden Marktes führt zu Verringerung des Portfolio- Beta 189 Übungsaufgabe: Tracking des DAX DAX BAS BMW RW Volatilität 250 Tage Korrelation 250 Tage Beta 250 Tage 24,84% 31,40% 39,61% 32,15% 1,0000 0,8203 0,7600 0,6962 1,0000 1,0370 1,2120 0,9011 in Anleger möchte den DAX approximativ, aber möglichst exakt mit ein oder zwei Aktien nachbilden ( tracken ). In der Zeitung findet er für den Angaben über Volatilitäten und Beta-Werte. (a) Bestätigen (d.h. ermitteln) Sie für BAS den angegebenen Beta-Wert durch eine Rechnung aus der angegebenen Volatilität und der Korrelation. (b) Berechnen Sie das unsystematische Risiko von BAS. 190

23 (c) Worauf ist beim Index-Tracking (Beta, unsystematisches Risiko) zu achten? (d) Der DAX soll nur über eine einzelne Aktie nachgebildet werden. Sollte der Anleger eher BAS, BMW oder eher RW zum Tracken des DAX kaufen? (e) Der DAX soll nun über zwei Aktien (keine Leerverkäufe) reproduziert werden. Begründen Sie, welche der Kombinationen BAS/RW oder BMW/RW vorzuziehen ist. Wie groß sind die Wertpapieranteile im Tracking-Portefeuille? 191 RGÄNZND LITRATURHINWIS ZU FAKTORMODLL. MARKTMODLL UND ARBITRAG PRICING THORY Faktormodelle und APT sind ausführlich enthalten bspw. in Albrecht, Peter / Maurer, Raimond (2005) Investment- und Risikomanagement, 2. Auflage, Stuttgart lton, dwin J. / Gruber, Martin J. (2003) Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, 6 th ed., New York et al. Sharpe, William F. / Alexander, Gordon J. / Bailey, Jeffrey V. (1999) Investments, 6th ed., nglewood Cliffs, N.J. Steiner, Manfred / Bruns, Christoph (2002) Wertpapiermanagement, 8. Auflage, Stuttgart Steiner, Peter / Uhlir, Helmut (2000) Wertpapieranalyse, 4. Auflage, Heidelberg Siehe weiter auch wie zitiert Chen, Nai-fu / Roll, Richard / Ross, Stephen A. (1986) conomic Forces and the Stock Market, Journal of Business 59, S Fama, ugene F. / French, Kenneth R. (1992) The Cross-Section of xpected Stock Returns, Journal of Finance 47, S

24 Franke, Günter (1984) On Tests of the Arbitrage Pricing Theory, OR Spektrum 6, S Kruschwitz, Lutz / Löffler, Andreas (1997a) Ross APT ist gescheitert. Was nun?, Zeitschrift für betriebswirtschaftliche Forschung 49, S Kruschwitz, Lutz / Löffler, Andreas (1997b) Mors certa, hora incerta (rwiderung auf die Stellungnahme von Manfred Steiner und Martin Wallmeier), Zeitschrift für betriebswirtschaftliche Forschung 49, S Ross, Stephen A. (1976) The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing, Journal of conomic Theory 13, S Rudolph, Bernd (1979) Zur Theorie des Kapitalmarktes Grundlagen, rweiterungen und Anwendungsbereiche des Capital Asset Pricing Model (CAPM), Zeitschrift für Betriebswirtschaft 49, S Sharpe, William F. (1963) A Simplified Model for Portfolio Analysis, Management Science 9, S Steiner, Manfred / Wallmeier, Martin (1997) Totgesagte leben länger! (Anmerkungen zum Beitrag Ross APT ist gescheitert. Was nun? von Lutz Kruschwitz und Andreas Löffler), Zeitschrift für betriebswirtschaftliche Forschung 49, S Zimmermann, Peter (1997) Schätzung und Prognose von Betawerten. ine Untersuchung am deutschen Aktienmarkt, Bad Soden/Ts

25 WRTPAPIRANALYS UND KAPITALMARKTTHORI Bewertung derivativer Finanzinstrumente 195 DRIVAT UND TRMINGSCHÄFT in derivatives (= abgeleitetes) Finanzinstrument - kurz: Derivat - ist ein im Wert (Preis) von der ntwicklung anderer originärer, synthetischer oder derivativer Finanzinstrumente, Währungen, Referenzzinssätze oder Indizes abhängig und wesentlich durch ein auf die Zukunft gerichtetes Vertragselement gekennzeichnet. in Termingeschäfte ist eine Vereinbarung über den tatsächlichen oder durch Differenzzahlungen substituierbaren bedingten oder unbedingten Kauf, Verkauf oder Tausch genau bestimmter Gegenstände (Finanzinstrumente) zu einem späteren Termin, aber zu einem bereits im vorhinein festgelegten Preis. in Optionsgeschäfte ist eine Vereinbarung, aus der der Käufer der Option das Recht erwirbt, vom Verkäufer eine bestimmte vertraglich vereinbarte Leistung zu im vorhinein bestimmten Konditionen zu verlangen. 196

26 Ausgewählte Instrumente zum Management von... Währungskursrisiken Zins(änderungs)- risiken Aktienkursänderungsrisiken Kreditrisiken Devisentermingeschäfte Währungsfutures Devisenoptionen Währungsswaps... Forward Rate Agreements Zinsfutures Zinsoptionen Zinsswaps Zinsbegrenzungsverträge... Aktienoptionen Indexfutures Indexoptionen... Asset Swaps Kreditderivate FORWARDS / FUTURS in unbedingtes Termingeschäft beinhaltet die verbindliche Vereinbarung über die Lieferung (Verkäufer) bzw. die Abnahme (Käufer) der Menge eines bestimmten Finanztitels (Basiswert, Basisobjekt) zu einem im voraus festgelegten Preis (Preis des Termingeschäfts, Future- Preis, Forward-Preis) und zu einem späteren Zeitpunkt (Liefertag) Unbedingtes Termingeschäft an der Börse = Terminkontrakt = Future Unbedingtes außerbörsliches Termingeschäft = Forward 198

27 Long- Hedge Short- Hedge 199 OPTIONN ine Option ist das Recht, zum Kauf (Kaufoption, Call) oder zum Verkauf (Verkaufsoption, Put) einer fixierten Menge eines fixierten Gutes (Basiswert, Basisobjekt, Underlying) zu einem fixierten Preis (Basispreis, Ausübungspreis) an einem oder bis zu einem fixierten zukünftigen Zeitpunkt (Fälligkeit). Käufer der Option (Inhaber, Long Option-Position) zahlt Optionsprämie Verkäufer (Stillhalter, Short Option-Position) erhält Optionsprämie europäische versus amerikanische Option Ausüben der Option, Verfall der Option 200

28 Käufer (zahlt Prämie, ntscheidungsrecht, aktiv ) Verkäufer (erhält Prämie, Verpflichtung, passiv) Kaufoption (Call) Optionsinhaber: Recht auf Bezug des Optionsgegenstandes Stillhalter im Optionsgegenstand: Pflicht, ggf. den Optionsgegenstand zu verkaufen Verkaufsoption (Put) Optionsinhaber: Recht auf Abgabe des Optionsgegenstandes Stillhalter in Geld: Pflicht, ggf. den Optionsgegenstand zu kaufen 201 Abb. Grundpositionen in Calls Gewinn Long Call Gewinn Short Call 0 -Vmax max. Verlust K K+C Gmax 0 Basiswert bei Fälligkeit max. Gewinn K K+C Basiswert bei Fälligkeit Verlust Verlust 202

29 Abb. Grundpositionen in Puts Gewinn Long Put Gewinn Short Put Gmax 0 -Vmax K-P K G max Basiswert bei Fälligkeit 0 max. Verlust K-P K max. Gewinn Basiswert bei Fälligkeit -Vmax Verlust Verlust 203 Restlaufzeit < 1 Jahr 1 < Restlaufzeit < 5 Jahre Restlaufzeit > 5 Jahre Nominalbetrag insgesamt Netto- Marktwert Zinsbezogene Geschäfte OTC-Produkte FRAs Zins-Swaps Zinsoptionen-Käufe Zinsoptionen-Verkäufe Börsengeh. Produkte Zins-Futures Zinsoptionen-Käufe Zinsoptionen-Verkäufe Währungsbezogene Geschäfte OTC-Produkte Börsengeh. Produkte Aktien-/Indexbezogene Geschäfte OTC-Produkte Börsengeh. Produkte Aktien-/Index-Futures Aktien-/Indexoptionen-Käufe Aktien-/Indexoptionen-Verkäufe Warenbezogene Geschäfte OTC-GSCHÄFT INSGSAMT BÖRSNGH. GSCHÄFT INSGS Tabelle: Derivate-Positionen der Deutsche Bank AG; in Mio UR 204

30 Kategorie uro-geldmarktprodukte uro- Kapitalmarktprodukte Aktienprodukte Aktienindexprodukte Derivat Dreimonats-URIBOR-Futures Optionen auf Dreimonats-URIBOR-Futures inmonats-onia-futures uro-schatz-futures, Optionen auf uro-schatz-futures uro-bobl-futures, Optionen auf uro-bobl-futures uro-bund-futures, Optionen auf uro-bund-futures uro-buxl-futures CONF-Futures Delta-neutrale Handelsprodukte Aktienoptionen auf deutsche, schweizerische, finnische, französische, holländische, italienische, USamerikanische Basiswerte Low xercise Price-Aktienoptionen LPOs DAX-Futures und Optionen NMAX-Futures und Optionen TecDAX-Futures sowie Optionen SMI-Futures und Optionen HX25-Futures und Optionen Dow Jones Italy Titans 30-Futures Dow Jones uro STOXX 50-Futures und Optionen Dow Jones STOXX 50-Futures und Optionen Dow Jones uro STOXX-Branchen-Futures und -Branchen-Optionen Dow Jones STOXX 600-Branchen-Futures und -Branchen-Optionen Dow Jones Global Titans 50-Futures und Optionen Delta-neutrale Handelsprodukte xchange Traded Fund XTF-Derivate XTF-Futures und Optionen Tabelle: Produkte der URX uropean xchange 205 insatzmotive Finanzderivate sind Instrumente, mit denen Wirtschaftssubjekte ihre Risikopositionen entsprechend ihrer individuellen Ausgangspositionen, ihrer rwartungen und Risikopräferenzen schnell und mit geringen Transaktionskosten gestalten oder umgestalten können. o Hedging o Spekulation, Trading o Arbitrage Kauf oder Verkauf der Basistitel kann insbesondere bei kurzfristig orientierten Transaktionen verschiedene Nachteile aufweisen: o Transaktionskosten, Verschuldungsnotwendigkeiten o Kauf oder Verkauf der Basistitel mit weiteren Beschränkungen verbunden 206

31 Trennung von Risiko und Liquidität Deutsche Bundesbank (1994), S. 44: Die zentrale ökonomische Funktion derivativer Instrumente besteht in einer isolierten Bewertung, Bündelung und Weitergabe von Marktpreisrisiken. Die Verwendung von Derivaten ermöglicht im Unterschied zu klassischen Risikotransfergeschäften und -techniken eine Steuerung der individuellen Risikoposition mit geringem Mitteleinsatz, weil ein rwerb, Verkauf oder Austausch der zugrundeliegenden Aktiva nicht erforderlich ist; diese dienen lediglich als rechnerische Bezugsgröße. Die damit verbundene Transaktionskostenersparnis verleiht Finanzderivaten eine beträchtliche Hebelwirkung und ist mit ausschlaggebend für ihre starke Verbreitung. 207 Hedging Hedge: Hecke; to hedge a bet: auf Nummer sicher gehen Reduktion eines Preisänderungsrisikos einer Kassaposition durch eine entsprechende Gegenposition am Terminmarkt mit möglichst hoher negativer Korrelation Traditionelles Hedging versus Perfekter Hedge versus Optimaler Hedge o Bestands-Hedge als Absicherung einer Kassaposition im Bestand o Antizipativer Hedge als Absicherung einer geplanten Kassaposition o Mikro-Hedge o Makro-Hedge 208

32 Spekulation und Trading Übernahme eines Preisänderungsrisikos in rwartung von Änderungen der Marktpreise von Finanztiteln Unterschied zwischen Hedging und Spekulation o Initiatior einer Hedge-Strategie hält aufgrund seiner sonstigen Geschäftstätigkeit bereits eine Risikoposition o Spekulanten halten ursprünglich keine Risikopositionen und engagieren sich direkt am Terminmarkt in wichtiges Charakteristikum der Spekulation liegt in der geplanten (kurzen) Dauer der gehaltenen Position (Day Trading, Scalping). 209 Arbitrage und Spreading Risikoloses, gewinnbringendes Ausnutzen räumlicher und zeitlicher Preisdifferenzen für gleiche Positionen durch simultane Kauf- und Verkaufstransaktionen o Räumliche Arbitrage durch Ausnutzen von Preisdifferenzen für Kontrakte an verschiedenen Börsenplätzen (Ausgleichs- oder Differenz-Arbitrage, Intramarket-Arbitrage, Intermarket-Arbitrage) o Zeitliche Arbitrage (Cash and Carry-Arbitrage) o Future- und Forward-Arbitrage Bei vollkommenem Kapitalmarkt, existieren keine Arbitrage-Möglichkeiten. Arbitrage trägt dazu bei, das Preisgleichgewicht zwischen Märkten, wie dem Termin- und Kassamarkt aufrechtzuerhalten. 210

33 Kombinierte Finanzderivate und synthetische Positionen Standardisierte kombinierte Optionsstrategien Volatilitätsstrategien Spread-Strategien Straddle, Strangle Vertical, Time Spreads 211 Standardisierte Optionsstrategien Long Straddle Kaufe Call, Kaufe Put Short Straddle Verkaufe Call, Verkaufe Put Long Strangle Kaufe Put mit geringerem Basispreis, Kaufe Call mit höherem Basispreis Short Strangle Verkaufe Put mit geringerem Basispreis, Verkaufe Call mit höherem Basispreis Vertical Spreads Bull Put Vertical Spread Kaufe Put mit geringerem Basispreis, Verkaufe Put mit höherem Basispreis Bull Call Vertical Spread Kaufe Call mit geringerem Basispreis, Verkaufe Call mit höherem Basispreis Bear Put Vertical Spread Kaufe Put mit höherem Basispreis, Verkaufe Put mit geringerem Basispreis Bear Call Vertical Spread Kaufe Call mit höherem Basispreis, Verkaufe Call mit geringerem Basispreis Time Spreads 212

34 Synthetische Nachbildung von... durch... Long Call Long Put und Kauf des Basiswertes Short Call Short Put und Leerverkauf des Basiswertes Long Put Long Call und Leerverkauf des Basiswertes Short Put Short Call und Kauf des Basiswertes Kauf des Basiswertes Short Put und Long Call Leerverkauf des Basiswertes Long Put und Short Call 213 Bewertung unbedingter Termingeschäfte Arbitrage-Ansatz: Kauf des Terminkontraktes versus Kauf des Basisobjekts und Lagerung Annahme: Vollkommener und vollständiger Kapitalmarkt F1 = S0 + S0 i+ W1 = S0 + CoC1 bzw. FT = S0 + CoCT mit t = 0 Ausgangszeitpunkt, t = T Liefertermin, S= S0 Kassakurs zum Ausgangszeitpunkt, ST = S % T Kassakurs zum Liefertermin, T 0,T F = F Forward-Kurs zum Ausgangszeitpunkt mit Liefertermin T, CoC T Cost of Carry für den Zeitraum von t = 0 bis t = T, WT = W0,T Kosten der Lagerung während der Laufzeit des Termingeschäfts, i Kalkulationszinssatz für eine Periode der Länge 1, r =1+i Zinsfaktor 214

35 Strategie Zahlungsstrom in t = 0 Zahlungstrom in t = 1 Kauf Basisobjekt und Zahlung Lagerkosten Rücklage für Lagerkosten Verkauf Forward Geldaufnahme Summe Tab.: Cost of Carry-Bewertung 215 Übungsaufgabe: Bewertung von Forwards Der Kassakurs für Gold in t = 0 beträgt nach Annahme 360 US$ pro Unze, der Terminkurs eines Forward-Geschäfts mit Fälligkeit in einem Jahr 400 US$ pro Unze. Der Kalkulationszinssatz ist mit 9% p.a. gegeben. Die Lagerungskosten bestimmen sich zu 3,60 US$ pro Unze im Jahr und sind am nde der Laufzeit zu entrichten. a) Bestimmen Sie den Forward-Preis nach dem Cost of Carry-Ansatz. b) Zeigen Sie, wie ein Investor die identifizierte Überbewertung ausnutzen kann. 216

36 VRTILUNGSFRI ABSCHÄTZUNGN VON OPTIONSWRTN Annahmen Vollkommener Kapitalmarkt o Keine Informations- und Transaktionskosten sowie Steuern o (Leer-) Käufe von Finanztiteln unbeschränkt möglich o Geldaufnahmen und -anlagen können zu einem gegebenen konstanten risikolosen Zinssatz getätigt werden. Vollständiger Kapitalmarkt: Positionen mit der gesuchten Zahlungscharakteristik am Markt vorhanden Kurse etwaiger Aktien fallen unmittelbar nach einer erfolgten Dividendenausschüttung um den jeweiligen Dividendenbetrag. 217 Notation S S0 = Kurs des Basisobjekts in t = 0 S t Kurs des Basisobjekts im Zeitpunkt t C= C0,T Preis einer Kaufoption in t = 0 mit Fälligkeit in T Ct = Ct,T Preis einer Kaufoption im Zeitpunkt t mit Fälligkeit in T A C,C Preis einer europäischen bzw. amerikanischen Kaufoption P = P0,T Preis einer Verkaufsoption in t = 0 mit Fälligkeit in T Pt = Pt,T Preis einer Verkaufsoption im Zeitpunkt t mit Fälligkeit in T A P,P Preis einer europäischen bzw. amerikanischen Verkaufsoption K Basispreis der Option t D Zeitpunkt einer Dividendenausschüttung D, D % sichere bzw. unsichere Dividendenausschüttung pro Aktie D min,d max Abschätzung einer unsicheren Dividende nach unten bzw. oben barw D Barwert der sicheren Dividendenausschüttungen barw barw D,D Barwert der minimal bzw. maximal erwarteten Dividenden min max 218

37 Wertgrenzen Obere und untere Schranken für den Wert von Optionen Verteilungsfrei Ableitung aus Arbitrage-Tabelle ( Beweis durch Widerspruch ) Arbitrage-Tabelle o nthält in der Horizontalen Zahlungsströme von Positionen einer geeigneten Portfolio-Strategie o Vertikal: Anfangszeitpunkt, ndzeitpunkt, evtl. auch Zwischenzeitpunkte o Selbstfinanzierende Strategie: Alle Positionen werden in t = 0 aufgebaut und zum nde aufgelöst. 219 Untere Wertgrenze für Calls C S K r T Strategie Zahlungsstrom Zahlungsstrom in t = T in t = 0 S T < K S T K Kauf Call C S T K Verkauf Aktie + S S T S T Geldanlage T K r + K + K Summe > 0 = 0 220

38 Untere Wertgrenze für Calls Call-Prämie nie kleiner als Differenz aus Aktienkurs und diskontiertem Ausübungspreis T C S K r > S K = Wert bei vorzeitiger Ausübung Beweis zunächst nur für europäische Kaufoptionen ohne Dividenden T C S K r Aber: Beweis sofort übertragbar auf amerikanische Kaufoptionen, da bereits im speziellen Falle der Nichtausübung der Widerspruchsbeweis funktioniert und die Ausübung nicht beweis-extern gesteuert wird A T C S K r 221 Untere Wertgrenze für Puts T P K r S Strategie Zahlungsstrom Zahlungsstrom in t = T in t = 0 S T < K S T K Kauf Put P K S T Kauf Aktie S + S T + S T Geldaufnahme T + K r K K Summe =

39 Vorzeitige Ausübung amerikanischer Calls Fall ohne Dividenden o Vorzeitige Ausübung ist nicht vorteilhaft o s gilt C = C A Fall mit Dividenden o Wenn der Barwert der während der Restlaufzeit einer amerikanischen Aktienkaufoption maximal erwarteten Dividendenausschüttungen zu jedem Zeitpunkt kleiner ist als der Zinsertrag, der sich aus der Anlage des Basispreises während dieses Zeitraums ergibt, dann wird die Kaufoption nicht vorzeitig ausgeübt. o Mögliche optimale Ausübungszeitpunkte nur unmittelbar vor einer Dividendenausschüttung 223 Vorzeitige Ausübung amerikanischer Calls ( T t) A t t t C S K r > S K für 0 t < T ( T t) A t = t + t C S K r VWC t ( T t) = S K+ K K r + VWC t ( ) ( T t) A t t = + t C S K K K r VWC Verlust aufgrund vorzeitiger Ausübung Zeitwert für Anlage von K Versicherungswert der Option 224

40 Vorzeitige Ausübung amerikanischer Puts Fall ohne Dividenden o Wahrscheinlichkeit einer optimalen vorzeitigen Ausübung einer Verkaufsoption ist in jedem Zeitpunkt größer als null. o s gilt P P A Fall mit Dividenden o Falls in jedem Zeitpunkt der Barwert der mindestens erwarteten Dividendenausschüttungen größer ist als der Zinsertrag durch die Anlage des Basispreises, dann wird eine amerikanische Aktienverkaufsoption nicht vorzeitig ausgeübt. o Setzt zwingend voraus, dass Fälligkeit mit einem Dividendentermin zusammenfällt 225 Vorzeitige Ausübung amerikanischer Puts A t ( T t) P K r S für 0 t < T t ( T t) A t = t + t P K r S VWP t ( T t) = K S + K r K+ VWP t ( ) ( T t) A t t t P K S = K1 r42443 K + VWP für 0 t < T Verlust oder Gewinn aufgrund vorzeitiger Ausübung Zeitwert für Versicherungswert Anlage von K der Option <

41 Übungsaufgabe: Vorzeitige Ausübung a) Zeigen Sie für den Fall einer dividendenlosen Aktie, daß auf einem vollkommenen Kapitalmarkt der Wert eines Call nie kleiner als die Differenz zwischen dem Aktienwert und dem Barwert des Basiskurses sein kann. b) Zeigen Sie kurz mit Hilfe des rgebnisses aus a), dass ein amerikanischer Call auf eine dividendenlose Aktie nicht vorteilhaft vorzeitig ausgeübt wird. c) Welche Aussage können Sie bzgl. der optimalen Ausübungszeitpunkte von amerikanischen Calls auf Aktien unter Berücksichtigung von anfallenden Dividendenausschüttungen treffen? 227 Put-Call-Parität T P = C S+ K r Strategie Zahlungsstrom Zahlungsstrom in t = T in t = 0 S T < K S T K Kauf Put P K S T Verkauf Call + C S T + K Kauf Aktie S + S T + S T Geldaufnahme T + K r K K Summe = 0 = 0 228

42 Put-Call-Paritäten (Quelle: Rudolph/Schäfer (2005), S ) T P = C S+ K r t P = C S+ D r D + K r T barw T P = C S+ D + K r td td C S+ D r + K r P C S+ D r + K r T T min max C S+ D + K r P C S+ D + K r barw T barw T min max A T A A C S+ K r P C S+ K A T A A t C S+ K r P C S+ D r D + K A T A A t C S+ K r P C S+ D r D + K max C S+ K r P C S+ D + K A T A A barw max 229 Übungsaufgabe: Put-Call-Parität Quelle: Rudolph/Schäfer (2005), S ine europäische Kaufoption auf eine Aktie notiert zu 5,75 bei einem Basispreis von 90. Die Option hat eine Restlaufzeit von einem Jahr. Der Kalkulationszinssatz ist 10% p.a. Der heutige Aktienkurs beträgt 87,50. a) Bestimmen Sie den Wert einer Verkaufsoption gleichen Typs über die Put-Call-Parität. b) Bestimmen Sie den Wert einer Verkaufsoption gleichen Typs, wenn genau nach der Hälfte der Restlaufzeit eine Dividende in Höhe von 4,50 ausgeschüttet wird. 230

43 Übungsaufgabe: Put-Call-Paritäten a) Zeigen Sie, dass für amerikanische Aktienoptionen die Beziehung C S + Kr T P bei Vernachlässigung von Dividenden gilt. Bilden Sie im Rahmen des Beweises eine Strategie bestehend aus dem Kauf eines Put, dem Verkauf eines Call, dem Kauf einer Aktie und einer Geldaufnahme in einem Arbitragetableau ab. Begründen Sie, ob und inwieweit die vorzeitigen Ausübungsmöglichkeiten der Optionen im Beweis eingehen. b) Zeigen Sie - ebenfalls in einer vollständigen Argumentation - für amerikanische Aktienoptionen ohne Dividenden die Ungleichung: P C S + K 231 Übungsaufgabe: Beispiel zur Put-Call-Parität Der DAX-Call mit Basispreis und Fälligkeit in drei Monaten notiert am zu 87,0. Berechnen Sie den Preis einer Verkaufsoption des gleichen Typs bei einem Jahreszinssatz von 4,75% und einem aktuellen DAX- Stand bei 2.229,99 Punkten. Begründen Sie die von Ihnen ausgewählte Form der Put-Call-Parität. 232

44 BINOMIALMODLL ZUR BWRTUNG VON OPTIONN inperiodenfall Annahmen zur Bewertung einer Aktienoption im Binomialmodell Handel zu diskreten Zeitpunkten mit konstanter Periodenlänge Binomialer Kursprozess mit konstanten Änderungsraten u, d Vollkommener und vollständiger Kapitalmarkt uropäische Option Keine Dividendenzahlungen 233 t = 0 t = 1 S C =? Δ C S + B Quelle: In Anlehnung an Rudolph/Schäfer (2005), S u S C = max 0, u S K u ( ) ( 1 ) Δ C u S + + i B d S C = max 0, d S K d ( ) ( 1 ) Δ C d S + + i B Abbildung: inperiodige Kursbewegungen im Binomialmodell 234

45 Duplikations-Portfolio C Δ + = us rb C C Δ + = ds rb C u d Bedingung C C C u d Δ = ( ) u d S und B = u C d C d ( ) u d r u Optionswert ( ) C 1 r d p C u r u + 1 p C C =Δ S+ B= Cu + Cd = r u d u d r d 235 Binomialmodell im Zweiperiodenfall t = 0 t = 1 t = 2 S C =? u S C u d S C d Quelle: In Anlehnung an Rudolph/Schäfer (2005), S u S 2 ( ) C = max 0, u S K uu u d S = d u S C = max 0, u d S K ud 2 d S ( ) 2 ( ) C = max 0, d S K dd 236

46 Werte der Option in t = 1 C C u d = = uu ( ) p C + 1 p C ud r ( ) p C + 1 p C r ud dd Wert der Option in t = 0 C ( ) p C u + 1 p Cd = r bzw. C = ( ) ( ) 2 p C + 2 p 1 p C + 1 p C 2 uu ud udd 2 r 237 Binomialmodell im N-Periodenfall t = 0 t = 1 t = 2... t = n n u S S 2 u S n 1 u S u d S... d S 2 d S u d S n 1 u d S Quelle: In Anlehnung an Rudolph/Schäfer (2005), S n d S Abbildung: Aktienkursbewegung über n Perioden im Binomialmodell 238

47 Werte der Option in t = n ( ) C = max 0, u d S K für j = 0,1, 2, K, n j n j j n j ud Werte der Option in t = n - 1 ( ) pc + 1 p C j n j j 1 n j+ 1 ud u d C j1 n j für j 1,2,,n u d = = K r Wert der Option in t = 0 n 1 n j n j C = n p ( 1 p) C j n j ud r j 0 j = n 1 n = n r j= 0 j n j ( ) ( ) j j n j p 1 p max 0,u d S K 239 Mit genügend großem a folgt n j n j n n j n j u d n n j n j C = S p ( 1 p) K r p n ( 1 p) j= a j r j= a j Binomiale Optionsbewertungsformel 1. Summand 2. Summand n ( ) ( ) C = SBan,p* Kr Ban,p n ( ) ( ) = + P S 1 B a n,p* K r 1 B a n,p mit der Verteilungsfunktion einer binomialverteilten Zufallsvariablen n n Ban,p p 1 p j= a j j ( ) = ( ) n j und der Setzung u p* p r = und damit 1 p* = ( 1 p ) d r 240

48 Übungsaufgabe: Binomialmodell im in-perioden-fall Quelle: Rudolph/Schäfer (2005), S ine Aktie steht heute bei 200. In einer Periode notiert die Aktie nach Annahme entweder zu 220 oder zu 180. Der Marktzins für sichere Anlagen beträgt 5% pro Periode. Bestimmen Sie den Wert einer europäischen Kaufoption und einer europäischen Verkaufsoption jeweils mit Basispreis 200 und Restlaufzeit von einer Periode! 241 Übungsaufgabe: Binomialmodell im Drei-Perioden-Fall Quelle: Rudolph/Schäfer (2005), S Der Deutsche Aktienindex DAX steht bei Punkten. s wird angenommen, dass der DAX über die nächsten drei Perioden eine binomiale Veränderung um die Faktoren u = 1,1 oder d = 0,9 erfährt. Der Kalkulationszinssatz beträgt 2% pro Periode. a) Berechnen Sie den aktuellen Wert einer DAX-Kaufoption mit K = und einer Restlaufzeit von drei Perioden! b) Wie viele Kursaufwärtsbewegungen sind nötig, damit die Kaufoption zur Fälligkeit im Geld ist? 242

49 Übungsaufgabe: Binomialmodell im Drei-Perioden-Fall Quelle: Rudolph/Schäfer (2005), S Gegeben ist eine Aktie mit aktuellem Kurs 300. Für die kommenden drei Perioden mit den Zeitpunkten t = 0, t = 1, t = 2 und t = 3 wird mit einer binomialen Kursveränderung um die Faktoren u =1,05 beziehungsweise d = 1,01 gerechnet. Berechnen Sie den Wert einer europäischen Verkaufsoption mit Fälligkeit in t = 3 und Basispreis 320, wenn der risikolose Zinssatz pro Periode 2% beträgt! 243 OPTIONSBWRTUNG MIT DR BLACK/SCHOLS-FORML Annahmen des Modells von Black, Scholes und Merton Normalverteilte Aktienrenditen bei konstanter Momentanvarianz p.a. Kontinuierlicher Handel Vollkommener und vollständiger Kapitalmarkt uropäische Option; keine Dividendenzahlungen Herleitung Bspw. Black/Scholes-Differentialgleichung Risikoadjustierte Diskontierung des rwartungswertes der Optionspreise Grenzübergang aus dem Binomialmodell 244

50 Black/Scholes-Formel mit T ( ) ( ) C = S N d1 K r N d2 ( ) ( ) ( ) ( ) P = S 1 N d + K r 1 N d = S N d + K r N d T T d 1 = 2 S σ ln + ln r T K + 2 σ T und d2 = d1 σ T σ Standardabweichung der Aktienrendite pro Periode (Volatilität) N(.) Verteilungsfunktion einer standardnormalverteilten Zufallsvariable 245 Übungsaufgabe: Black/Scholes a) Auf welchen Annahmen basiert das Black/Scholes-Modell? b) Nennen Sie die fünf wichtigsten influssfaktoren auf den Wert einer Option (nach dem Black/Scholes-Modell). Wie reagiert jeweils der Wert einer Kauf- bzw. einer Verkaufsoption (steigend, fallend) auf Veränderungen der influssvariablen. Begründen Sie kurz (in Stichpunkten) Ihre Antworten. c) Wann kann man das Black/Scholes-Modell ohne inschränkungen auch zur Bewertung Amerikanischer Optionen anwenden? Begründen Sie Ihre Antwort. 246

51 influssparameter der Optionsbewertung influss einer Zunahme des Faktors auf den Optionswert S = heutiger Kurs des Basistitels (bei Aktienoptionen = heutiger Aktienkurs) K = im Optionskontrakt festgelegter Ausübungspreis Preis eines Put Preis eines Call T = Laufzeit der Option in Jahren σ = Standardabweichung der Rendite des Basistitels p.a. (= Volatilität der Basisaktie) r = kurzfristiger risikoloser Zins p.a. 247 Übungsaufgabe: Sensitivitäten Quelle: Rudolph/Schäfer (2005), S Geben Sie das asymptotische Verhalten des Wertes einer europäischen Kaufoption nach der Black/Scholes-Formel bei der jeweils angegebenen grenzwertigen Veränderung einer der influssgrößen und gleichzeitiger Konstanz der restlichen influssvariablen an: Für S < K gilt T 0 C? Für S > K gilt T 0 C? T Für S < Kr gilt σ 0 C? T Für S > Kr gilt σ 0 C? 248

52 S 0 C? S C? K 0 C? K C? T C? r C? σ C? 249 Volatilität Beispiel Volatilität als Maß für die Neigung eines Werts, im Preis zu schwanken Historische versus implizite Volatilität 14. Juli 2000: DAX 7.318,38 Punkte DAX-Call mit Fälligkeit August 2000 und Basiskurs Punkte 3-Monats-URIBOR 4,55% Call notiert am Markt bei 95 Punkten Black/Scholes-Werte bei o Historische Volatilität des DAX 17,93% (30 Tage) o Historische Volatilität des DAX 23,26% (250 Tage) o Implizite Volatilität des VDAX 19,32% C( σ= 0,1793) = 87,93 C( σ= 0,1932) = 98,91 C( σ= 0,2326) = 130,56 250

53 Implizite Volatilität Volatilty Smile bei DAX-Calls Quelle: Rudolph/Schäfer (2005), S ,29 Implizite Volatilität 0,27 0,25 0,23 0,21 0,19 0,17 0, Aug 04 Sep 04 Dez 04 Mrz 05 Jun 05 Dez 05 Ausübungspreis 251 Optionskennzahlen Delta Optionskennzahlen: Sensitivitäten des Optionswerts Delta Δ o Sensitivität des Optionspreises gegenüber dem Basisobjektkurs o Delta eines Call liegt zwischen 0 und 1 o Put-Delta liegt zwischen 1 und 0 o Black/Scholes-Deltas o Binomial-Deltas C S P S C Δ = = ( ) N d 1 ( ) ( ) N d 1 N d P Δ = = 1 = 1 252

54 Optionskennzahlen Delta Delta einer Kaufoption 1 0,8 0,6 0,4 0,2 Volatilität 0 Kurs des Basisobjekts 253 Optionskennzahlen Delta im Binomialmodell Kursbewegung in der Basisaktie o Zeitdiskret o Biomial o Kursveränderungen um Faktoren u und d o Beispiel: Zwei Perioden, Call o Delta-Werte: Δ = C C C u d ( ) u d S C Cuu Cud C Cud Cdd Δ u = Δ = u d u S u d d S d ( ) ( ) 254

55 Optionskennzahlen Delta Beispiel Aktienkursbewegung S = 250 mit u = 1,6 und d = 0,80 Optionswerte zur Fälligkeit o C uu = 390; C ud = 70; C dd = 0 Optionswerte in t = 1 o C u = 176,79; C d = 25 Optionswert in t = 0 o C = 76,53 Delta-Wert für erste Periode: 0,7589 Delta-Werte für zweite Periode: 1 bzw. 0, Beispiel zum Delta-Hedging im Binomialmodell in t = 0 Strategie Zahlungsstrom Zahlungsstrom in t = 1 in t = 0 d S = 200 u S = 400 Kauf Call 76, , ,79 Verkauf Δ C Akti- + 0, = 0, = 0, = en + 189,73 151,78 303,56 Geldanlage 113, , ,78 Summe = 0 = 0 = 0 256

56 Beispiel zum Delta-Hedging im Binomialmodell für u S in t = 1 Strategie Zahlungsstrom Zahlungsstrom in t = 2 in t = 1 d u S = 320 u u S = 640 Kauf Call 176, Verkauf eine Aktie + 400, Geldanlage 223, Summe = 0 = 0 = Beispiel zum Delta-Hedging im Binomialmodell für d S in t = 1 Strategie Zahlungsstrom Zahlungsstrom in t = 2 in t = 1 d d S = 160 d u S = 320 Kauf Call 25, Verkauf 0, , = 0, = 0, = Aktien + 87, Geldanlage 62, Summe = 0 = 0 = 0 258

57 Übungsaufgabe: Delta im Binomialmodell Quelle: Rudolph/Schäfer (2005), S Gegeben ist eine dividendenlose Aktie mit dem Kurs 300. s wird angenommen, dass der Kurs der Aktie pro Periode entweder mit dem Faktor 1,3 steigt oder mit dem Faktor 0,8 fällt. Unterstellt wird ein Kursprozess gemäß eines zweiperiodigen Binomialmodells. a) Wie hoch ist der theoretische Wert einer europäischen Kaufoption mit dem Basispreis 310, wenn der Marktzins pro Periode 10% beträgt? b) Wie groß ist das Options-Delta in t = 0? Zeigen Sie, dass das Hedge- Portfolio bei dem von Ihnen berechneten Delta risikofrei ist. c) Geben Sie die beiden Delta-Werte für die zweite Periode an. Konstruieren Sie entsprechende Arbitrage-Strategien. 259 Optionskennzahlen Gamma Beschreibt die Sensitivität des Delta bzgl. Veränderungen des Underlying- Wertes Berechnet sich als zweite Ableitung einer Optionsbewertungsformel Notation: Γ o Ist für Calls und Puts gleich groß o Immer positiv o Ist für stark out und in the money-liegende Optionen nahezu gleich Null o Ist maximal für at the money-liegende Optionen insatz: Steuerung des Delta 260

58 Optionskennzahlen von Portfolios Gewichtete Summe der einzelnen Optionskennzahlen Δ = n j= 1 x j Δ j Delta-Neutralität = Delta eines Portfolio gleich Null Analog: Neutralität bezüglich weiterer Kennzahlen 261 Übungsaufgabe: Delta-neutral Quelle: Rudolph/Schäfer (2005), S Sie kaufen 100 Puts mit einem Delta von jeweils 0,3. Wie viele Puts mit einem Delta von 0,85 sollten Sie zur Konstruktion einer Delta-neutralen Position verkaufen? 262

59 Übungsaufgabe: Delta und Gamma Quelle: Rudolph/Schäfer (2005), S in Investor-Portfolio umfasst die in der Tabelle abgetragenene Position in DAX-Optionen. Berechnen Sie Delta und Gamma des Portfolio. Option Long / Short Anzahl Delta Gamma Call A Long ,7 0,5 Call B Short 500 0,5 0,6 Put A Long ,6 0,4 Put B Short ,4 0,8 263 Übungsaufgabe: Delta und Gamma Quelle: Rudolph/Schäfer (2005), S a) rmitteln Sie mit Hilfe einfachster Ableitungsregeln aus dem Delta einer europäischen Kaufoption das Delta einer europäischen Verkaufsoption mit Hilfe der Put-Call-Parität. b) Zeigen Sie mit Hilfe einfachster Ableitungsregeln und der Put-Call- Parität, dass das Gamma europäischer Calls und Puts identisch ist. 264

60 Übungsaufgabe: Neutrale Strategien ine Bank ist allgemein sehr erfolgreich beim Verkauf von Wechselkursabsicherungen an ihre Kunden. Sie verfügt deshalb über ein großes USD/UR- Optionsportefeuille, dessen Risiken sie allerdings nicht gerne tragen möchte. Die Bank hat keine Möglichkeit die Positionen des Optionsportefeuilles durch den Aufbau exakt gegenläufiger Optionspositionen glattzustellen, sie kennt aber die folgenden Optionskennzahlen des Portefeuilles: Delta: Δ PF = Gamma: Γ PF = Lambda: Λ PF = Am Markt wird eine USD/UR-Option mit einem Delta von 0,35 einem Gamma von 0,8 und einem Lambda von 0,4 gehandelt. 265 a) Was versteht man hier unter dem Delta-, Gamma- und Lambda-Wert des Portefeuilles? b) Mit welchen Positionen in der Option und in uro kann die Bank ein Delta-Gamma-neutrales Portefeuille realisieren? c) Am Markt existiert eine zweite USD/UR-Option mit einem Delta von -0,6 einem Gamma von 0,75 und einem Lambda von 0,25. Mit welchen Positionen in den Optionen sowie und in uro kann die Bank ein Delta- Gamma-Lambda-neutrales Portefeuille realisieren? 266

61 Optionskennzahlen Greeks Wertbestimmende Größe Greek Kaufoption Verkaufsoption Delta C = N d1 S Δ C ist positiv: ( ) 2 Delta-Faktor Gamma C 1 Γ ist positiv: = N' ( d ) Optionslaufzeit Theta Volatilität der Kursrendite Kurs des Basisobjekts Kalkulationszinssatz Basispreis Lambda (Vega) Rho Alpha Θ C ist negativ 2 S S T σ C S σ = N' d K r lnr N d T 2 T T ( ) ( ) ( ) 1 2 C Λ ist positiv: = S T N' ( d1 ) σ Ρ C ist positiv = r C ( T+ 1 T K r ) N d2 C ( ) Α C T ist negativ: = r N( d ) K 2 1 P = N d 1 1 S Δ P ist negativ: ( ) 2 P 1 Γ ist positiv: = N' ( d ) Θ P wechselnd 2 S S T σ P C = + ( ln r) K r T T T P Λ ist positiv: = S T N' ( d1 ) σ Ρ P ist negativ P + = T K r r ( T 1) N( d ) Α P T ist positiv: r [ 1 N( d2 )] 2 P = K Übungsaufgabe: Greeks bei Puts Der faire Wert eines Put läßt sich als Funktion seiner Determinanten darstellen: P=P(S, K, σ, r, T). a) Benennen Sie die in der Formel angegebenen Determinanten des Putpreises. b) Benennen Sie die Optionskennzahlen eines Put anhand der jeweiligen Ableitungen der Funktion P, geben Sie Hypothesen für das Vorzeichen der Ableitungen und skizzieren Sie für die Ableitung nach S den Wert der Kennzahl in Abhängigkeit von S. c) Was versteht man unter dem Gamma-Wert einer Verkaufsoption? d) Was ist eine Delta-Gamma-neutrale Strategie? e) Was versteht man unter dem Options-Omega eines Put? (1P) 268