Mathematik Anders Machen Eine Initiative zur Lehrerfortbildung

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1 Eine Initiative zur Lehrerfortbildung Materialien zum Kurs Keine Angst vor Stochastik - Teil 2 Referenten Dr. Elke Warmuth und Stephan Lange Projektleiter: Prof. Dr. Günter Törner Fachbereich Mathematik Universität Duisburg-Essen Projektleiter: Prof. Dr. Jürg Kramer Institut für Mathematik Humboldt Universität zu Berlin

2 Keine Angst vor Stochastik Teil 2 Elke Warmuth und Stephan Lange Humboldt-Universität zu Berlin und Georg-Forster-Oberschule Berlin

3 1 Sammelbilderproblem Sammelbilderproblem 2 Hinweise für den Unterricht 3 Erläuterung Arbeitsblätter Hinweise zu den Arbeitsblättern

4 Sammelbilderproblem Quelle:

5 Sammelbilderproblem Beim Sammelbilderproblem geht es darum, Erfahrungen mit zufälligen Vorgängen zu sammeln und zu erkennen, dass man durch Simulationen Vermutungen überprüfen kann und gegebenenfalls revidieren muss. Die Häufigkeitsinterpretation der Wahrscheinlichkeit ermöglicht Vorhersagen über zu erwartende Häufigkeiten. Naiv wird die Additivität des Erwartungswertes benutzt, um Vorhersagen für das arithmetische Mittel zu treffen. Der Einsatz empfiehlt sich ab Klasse 10. An eine wahrscheinlichkeitstheoretische Modellierung ist dabei nicht gedacht. Für Aufgabe 2 ist es sinnvoll, ein Computeralgebrasystem zu verwenden. Die weiterführenden Betrachtungen zur harmonischen Reihe bleiben der Sekundarstufe II vorbehalten, sie stellen eine schöne Verbindung zwischen Stochastik und Analysis her.

6 Sammelbilderproblem Sammelbilderproblem 1. Eine Firma hat eine neue Serie Überraschungseier aufgelegt. Dabei gibt es die 6 beliebtesten Fußballer der Landes im Schlumpfdesign. Insgesamt werden alle 6 Motive in gleicher Anzahl hergestellt. Ihre Verteilung in den Kisten der Supermärkte sei aber völlig zufällig. Max ist begeisterter Fan und möchte natürlich alle Motive haben. Wie oft muss er vermutlich ein Überraschungsei kaufen, bis er alle 6 Fußballer zusammen hat? 2. Simuliere mit Würfeln den oben beschriebenen Prozess. Notiere dabei die Ausgänge des Würfelns bis auch die letzte Augenzahl ein erstes Mal erreicht wurde. Eine solche Serie könnte z. B. so aussehen: Bezeichne dann mit xi die Anzahl der Versuche, die Du benötigt hast, um nach der (i-1)-ten erstmals gewürfelten Augenzahl die i-te erstmals gewürfelte Augenzahl zu erreichen. Im obigen Beispiel ist x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1, x4 = 3, x5 = 3 und x6 = 4. Man hat also =13 Versuche benötigt, um alle 6 Motive zusammen zu bekommen. Wir benutzen dieses Beispiel als Muster in der folgenden Tabelle: Gesamtanzahl der Versuch x1 x2 x3 x4 x5 x6 Versuche Muster Erstelle 5 Serien, die diesen Zufallsversuch simulieren und berechne den Mittelwert x der Anzahl der jeweils benötigten Versuche. Überlege, welche Werte für x1, x2,..., x6 zu erwarten sind und welcher Wert sich daraus für x ergibt. 2. Es gibt 120 verschiedene Pokémon-Karten, die man einzeln kaufen muss und die so verpackt sind, dass man die Motive nicht erkennen kann. Wenn man davon ausgeht, dass vom Hersteller jedes Motiv gleich oft hergestellt wird, bevor die Karten in völlig zufälliger Reihenfolge verkauft werden, stellt sich die Frage, wie viele Karten im Durchschnitt von Eltern gekauft werden müssen, bis ihr Kind alle Motive besitzt. Berechne, welche Anzahl von notwendigen Käufen zu erwarten ist. AB_Sammelbilderproblem_MAM.doc Lange/Warmuth, Berlin

7 Sammelbilderproblem 1. Eine Firma hat eine neue Serie Überraschungseier aufgelegt. Dabei gibt es die 6 beliebtesten Fußballer der Landes im Schlumpfdesign. Insgesamt werden alle 6 Motive in gleicher Anzahl hergestellt. Ihre Verteilung in den Kisten der Supermärkte sei aber völlig zufällig. Max ist begeisterter Fan und möchte natürlich alle Motive haben. Wie oft muss er vermutlich ein Überraschungsei kaufen, bis er alle 6 Fußballer zusammen hat?

8 Sammelbilderproblem 2. Simuliere mit Würfeln den oben beschriebenen Prozess. Notiere dabei die Ausgänge des Würfelns, bis auch die letzte Augenzahl ein erstes Mal erreicht wurde. Eine solche Serie könnte z. B. so aussehen: Bezeichne dann mit x i die Anzahl der Versuche, die Du benötigt hast, um nach der (i 1) ten erstmals gewürfelten Augenzahl die i te erstmals gewürfelte Augenzahl zu erreichen. Im obigen Beispiel ist x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1, x 4 = 3, x 5 = 3 und x 6 = 4. Man hat also = 13 Versuche benötigt, um alle 6 Motive zusammen zu bekommen.

9 Sammelbilderproblem Wir benutzen dieses Beispiel als Muster in der folgenden Tabelle: Versuch x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Gesamtanzahl der Versuche Muster Erstelle 5 Serien, die diesen Zufallsversuch simulieren und berechne den Mittelwert x der Anzahl der jeweils benötigten Versuche. Überlege, welche Werte für x 1, x 2,..., x 6 zu erwarten sind und welcher Wert sich daraus für x ergibt.

10 Sammelbilderproblem 3. Es gibt 120 verschiedene Pokémon-Karten, die man einzeln kaufen muss und die so verpackt sind, dass man die Motive nicht erkennen kann. Wenn man davon ausgeht, dass vom Hersteller jedes Motiv gleich oft hergestellt wird, bevor die Karten in völlig zufälliger Reihenfolge verkauft werden, stellt sich die Frage, wie viele Karten im Durchschnitt von Eltern gekauft werden müssen, bis ihr Kind alle Motive besitzt. Berechne, welche Anzahl von notwendigen Käufen zu erwarten ist.

11 Sammelbilderproblem 1. Der Wert x 1 wird immer 1 sein, weil das erste Ü-Ei natürlich zwangsläufig ein noch nicht vorhandenes Motiv enthalten wird. Beim zweiten Kauf ist die Wahrscheinlichkeit, ein neues Motiv zu erwerben, 5 6. Man hat also durchschnittlich bei 6 Käufen in dieser Phase 5 mal Glück. Man erwartet also für x 2 als Mittelwert 6 5. Diese Überlegung weitergeführt, liefert uns für x x = x 1 + x x 6 = 6 ( ) = , 7 Man kann nun gut mit den durch Simulation ermittelten Werten vergleichen.

12 Sammelbilderproblem 2. Eine Lösung durch Simulation verbietet sich hier. Mit den Überlegungen aus Aufgabe 1 kommt man zu dem Ansatz: x = 120 k k=1 Nun kann man diese Summe ausrechnen, was einige Zeit oder einen halbwegs guten Rechner erfordert, oder man kann diese Summe abschätzen.

13 Sammelbilderproblem Zur Abschätzung muss man wissen, dass sich die harmonische Reihe etwa wie die Logarithmusfunktion verhält. Genauer gesagt gilt folgender Zusammenhang: lim n ( n k=1 1 k (ln(n) + c) ) = 0 Dabei ist c die Eulersche bzw. Mascheronische Konstante, für die näherungsweise gilt c = 0,

14 Sammelbilderproblem In der folgenden Tabelle wird eine Übersicht gegeben, welche Werte bei exakter Rechnung und welche als Abschätzung mit c = 0, entstehen. Dabei findet man für n = 120 die Lösung zu Aufgabe 2. n n n k=1 1 k Abschätzung Relative mit Eulerscher Abweichung Konstanten in % 20 71, ,459 0, , ,765 0, , ,67 0, , ,91 0, , ,98 0,007

15 Hinweise für den Unterricht Quelle:

16 Hinweise für den Unterricht Das Problem eignet sich sehr gut, um Schülerinnen und Schülern Fehlvorstellungen von Schwankungen bei zufälligen Vorgängen bewusst zu machen. Das Arbeitsblatt kann in der Sekundarstufe I im Zusammenhang mit der Behandlung der Pfadregeln eingesetzt werden. Die Behandlung der Wechsel erfordert die Kenntnis der Binomialverteilung und kann in der Sekundarstufe II zur Differenzierung genutzt werden. Mit dem Thema werden Grundideen statistischer Tests vorbereitet.

17 Hinweise für den Unterricht 1. Welche der beiden Münzwurffolgen hältst Du für echt? Begründe! Folge A ZWZW WZZW WZZW ZWZW WZWW ZWZZ ZWWW ZZZW WZWW ZWZW ZWWZ ZWZZ ZWWZ WZWZ ZWWZ ZZWW ZWZW WZZW ZWWZ ZWZW WZZW ZZWZ WWWZ WWZZ WWZW WWWW ZWZZ WZWW ZZWZ WZWW WZZW ZZWW ZWZW WZZW WWZW WWZW ZWWZ ZZWZ ZWWZ ZZWW ZZWZ ZWWW ZWZZ WZWW ZWZW WZWW WZZW ZWZZ ZWWZ WWZZ Folge B WZZW WWZW WWWZ WZZW WWZZ WZZW WWZZ WZZZ WWWZ WWWW WWZW ZWZW ZWWW WZZZ ZZZW ZZZW ZWZZ WZZZ ZZWZ ZZWW ZZZW ZWZZ ZZZZ ZZZW WZZW ZZZZ ZZZW WWWW ZZZZ WWZW ZWZZ WZZW ZZWW WWWW ZWZZ WWZZ ZWWZ ZZWZ ZZWW WWWZ ZZWW WWZW ZWZZ ZWZW ZZWW WZWW WWZZ WWWZ WWWW ZZWW 2. Wir bezeichnen mit X die Anzahl der W s in einem Viererblock. Stelle eine Häufigkeitstabelle und eine Häufigkeitsverteilung für die beobachteten Werte von X in den Viererblocks der beiden Folgen auf und bestimme das arithmetische Mittel x und die mittlere lineare Abweichung a. absolute Häufigkeit Werte von X Folge A Folge B relative Häufigkeit Werte von X x a Folge A Folge B 3. Zeichne ein Baumdiagramm für den viermaligen Münzwurf mit einer echten Münze. Notiere an jedem Pfadende die Anzahl der Wappen auf diesem Pfad. Berechne die Wahrscheinlichkeiten dieser Werte. Werte von X Wahrscheinlichkeit 4. Beantworte und begründe noch einmal die Antwort auf die Anfangsfrage. Bist Du sicher? AB_W_Z_Folgen_MAM.doc Lange/Warmuth, Berlin

18 Hinweise für den Unterricht 1. Welche der beiden Münzwurffolgen hältst du für echt? Begründe! Folge A ZWZW WZZW WZZW ZWZW WZWW ZWZZ ZWWW ZZZW WZWW ZWZW ZWWZ ZWZZ ZWWZ WZWZ ZWWZ ZZWW ZWZW WZZW ZWWZ ZWZW WZZW ZZWZ WWWZ WWZZ WWZW WWWW ZWZZ WZWW ZZWZ WZWW WZZW ZZWW ZWZW WZZW WWZW WWZW ZWWZ ZZWZ ZWWZ ZZWW ZZWZ ZWWW ZWZZ WZWW ZWZW WZWW WZZW ZWZZ ZWWZ WWZZ Folge B WZZW WWZW WWWZ WZZW WWZZ WZZW WWZZ WZZZ WWWZ WWWW WWZW ZWZW ZWWW WZZZ ZZZW ZZZW ZWZZ WZZZ ZZWZ ZZWW ZZZW ZWZZ ZZZZ ZZZW WZZW ZZZZ ZZZW WWWW ZZZZ WWZW ZWZZ WZZW ZZWW WWWW ZWZZ WWZZ ZWWZ ZZWZ ZZWW WWWZ ZZWW WWZW ZWZZ ZWZW ZZWW WZWW WWZZ WWWZ WWWW ZZWW

19 Hinweise für den Unterricht 2. Wir bezeichnen mit X die Anzahl der W s in einem Viererblock. Stelle eine Häufigkeitstabelle und eine Häufigkeitsverteilung für die beobachteten Werte von X in den Viererblocks der beiden Folgen auf und bestimme das arithmetische Mittel x und die mittlere lineare Abweichung a. absolute Häufigkeit Werte von X Folge A Folge B relative Häufigkeit Werte von X x a Folge A Folge B

20 Hinweise für den Unterricht 3. Zeichne ein Baumdiagramm für den viermaligen Münzwurf mit einer echten Münze. Notiere an jedem Pfadende die Anzahl der Wappen auf diesem Pfad. Berechne die Wahrscheinlichkeiten dieser Werte. Werte von X Wahrscheinlichkeit 4. Beantworte und begründe noch einmal die Antwort auf die Anfangsfrage. Bist Du sicher?

21 Hinweise für den Unterricht 2. absolute Häufigkeit Werte von X Folge A Folge B relative Häufigkeit Werte von X x a Folge A 0,00 0,20 0,54 0,24 0,02 2,08 0,52 Folge B 0,06 0,30 0,36 0,20 0,08 1,94 0,80 Werte von X Wahrscheinlichkeit 0,0625 0,250 0,375 0,250 0,0625 Die Modellparameter zu x und a sind der Erwartungswert der Anzahl der Wappen E(X ) = 2 und die theoretische lineare Abweichung A(X ) = 0, 75. Bei sehr vielen Beobachtungen von X sollten sich die beobachteten Parameter von den Modellparametern nur wenig unterscheiden.

22 Hinweise für den Unterricht 4. Die Schüler sollen sich an den beobachteten relativen Häufigkeiten orientieren, ohne hier einen statistischen Test durchzuführen. Besonders eklatant ist der Unterschied bei zwei Wappen, der zeigt, dass häufige Wechsel naiv bevorzugt werden. Sie sollen aber auch erkennen, dass sichere Aussagen prinzipiell unmöglich sind. Auch die Folge A könnte von einer echten Münzwurffolge stammen. Somit bereitet diese Aufgabe auch die Grundphilosophie des Testens vor. Bemerkung: Die lineare Abweichung ist ein Inhalt, den der Rahmenplan verlangt. Eigentlich passt diese Größe nicht als Abweichungsmaß zum arithmetischen Mittel und entzieht sich auch einer vernünftigen Deutung. Sie ist allenfalls zum Vergleich zweier Verteilungen geeignet. Folge B streut in diesem Sinne mehr um ihr arithmetisches Mittel als Folge A.

23 Hinweise für den Unterricht Lassen Sie von Ihren Schülern Folgen der Länge 200 mit den Symbolen W und Z herstellen. Dabei soll ein Teil der Schüler eine Münze werfen und die Ergebnisse fortlaufend notieren, wobei nach jeweils 4 Würfen ein kleiner Abstand gelassen werden soll. Der andere Teil soll keine Münze werfen, sondern sich eine Folge ausdenken, die seiner Meinung nach von Münzwürfen stammen könnte. Sie müssen darauf bauen können, dass Ihre Schüler ehrlich arbeiten.

24 Hinweise für den Unterricht Wenn die Schüler noch keine hinreichende Erfahrung mit Schwankungen bei Zufallsexperimenten haben, dann wird folgendes passieren: Bei den ausgedachten Folgen werden sich W s und Z s zu häufig abwechseln. Dies können Sie relativ sicher auf zwei Wegen überblicken: 1. In den Viererblöcken der ausgedachten Folgen wird es zu wenige reine Blöcke WWWW oder ZZZZ geben. Genaue Auskunft gibt das Identifizieren von W-Z-Folgen. 2. In der ausgedachten Folge wird es zu viele Wechsel zwischen den Symbolen W und Z geben. Diese wollen wir im Folgenden untersuchen.

25 Hinweise für den Unterricht Es sei W n die Anzahl der Wechsel in einer echten Münzwurffolge der Länge n. Wir zählen mit dem Zählalgorithmus die Anzahl der W-Z-Folgen der Länge n mit genau k Wechseln. 1. Schritt: Für das erste Symbol gibt es 2 Möglichkeiten (W oder Z). 2. Schritt: Wir markieren unter den nächsten n 1 Stellen die k ( Stellen, bei denen das Symbol wechselt. Dafür gibt es je n 1 ) k Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also 2 (n 1 ) k W-Z-Folgen der Länge n mit genau k Wechseln.

26 Hinweise für den Unterricht Jede echte Münzwurffolge der Länge n hat die Wahrscheinlichkeit 1. Also gilt 2n P(W n = k) = 2 (n 1 ) ( n 1 ) k k 2 n =, k = 0, 1, 2,..., n 1 2n 1 Es sieht nach einer bekannten Verteilung aus: ( ) ( ) n 1 1 n 1 P(W n = k) =, k = 0, 1, 2,..., n 1 k 2 Wir sehen, dass die Anzahl der Wechsel binomialverteilt ist mit den Parametern n 1 und 1 2.

27 Hinweise für den Unterricht Also gilt E(W n ) = n 1 2. In einer echten Münzwurffolge der Länge 200 müssten etwa 100 Wechsel auftreten. Genauere Auskunft gibt das 2σ-Intervall, das für große n eine Wahrscheinlichkeit von etwa 95% hat: ( n 1 P 2 n 1 W n n ) n 1 0, 95. Für n = 200 erhalten wir als 2σ-Intervall [86; 113]. Mehr als 113 Wechsel sind also schon sehr verdächtig. Die Folge A hat 122 Wechsel, die Folge B hat 91. Wir halten die Folge B für die echte und können uns dabei irren.

28 Hinweise für den Unterricht Wir sehen, dass die 2σ-Intervalle eine wesentlich stärkere Aussagekraft haben als die Erwartungswerte. Sie sind außerdem sehr gut geeignet, das Testen von Hypothesen vorzubereiten. Bemerkung: Wenn es gegenüber den Schülern um eine schnelle Entscheidung geht, dann sollte man entweder die Schüler die Wechsel in ihren eigenen Folgen zählen lassen oder sich die Viererblocks anschauen.

29 Erläuterung Arbeitsblätter Hinweise zu den Arbeitsblättern Quelle:

30 Erläuterung Arbeitsblätter Hinweise zu den Arbeitsblättern Das Thema behandelt ein anwendungsrelevantes Problem. Es zeigt, wie wahrscheinlichkeitstheoretische Modelle helfen können, ökonomische Entscheidungen zu treffen. Das Thema kann in der Sekundarstufe II im Kontext von Binomialverteilung, Zufallsgrößen und Erwartungswerten aufgegriffen werden. Das Problem bietet eine Reihe von Differenzierungsmöglichkeiten und interessante Verbindungen zur Analysis.

31 Erläuterung Arbeitsblätter Hinweise zu den Arbeitsblättern In kurzer Zeit soll eine große Anzahl n von Individuen auf eine Krankheit untersucht werden. Die Krankheit ist durch eine Blutanalyse nachweisbar. Es wird angenommen, dass die Individuen unabhängig voneinander erkranken und dass jedes Individuum mit derselben Wahrscheinlichkeit p gesund ist. Die naive Methode untersucht jedes einzelne Individuum. Die raffinierte Methode bildet Gruppen von je r Individuen. Aus den einzelnen Blutproben wird eine Sammelprobe gebildet und untersucht. Nur wenn der Befund der Sammelprobe positiv ist, wird anschließend jedes Individuum einzeln untersucht. Die Frage lautet: Bei welcher Methode fallen im Mittel weniger Analysen an und wie groß ist die durchschnittliche Einsparung?

32 Erläuterung Arbeitsblätter Hinweise zu den Arbeitsblättern Dieses Problem kann auf verschiedenen Niveaustufen bearbeitet werden. 1. Im einfachsten Fall gibt man p und die Gesamtzahl n vor und lässt mehrere gegebene Gruppengrößen r hinsichtlich der mittleren Anzahl an Analysen vergleichen (Arbeitsblatt 1). 2. Schwieriger ist es, wenn man nur n und p vorgibt und nach der optimalen Gruppengröße fragt. Hier müssen die Schüler zunächst die mittlere Anzahl von Analysen pro Gruppe mit einem beliebigen r berechnen. Dann werden sie zur Erkenntnis geführt, dass die mittlere Anzahl der Analysen pro Person eine wichtige Kenngröße ist. Das optimale r im Sinne der größten durchschnittlichen Einsparung kann durch Einschachteln oder mit Hilfe eines Funktionsplotters gefunden werden (Arbeitsblatt 2).

33 Erläuterung Arbeitsblätter Hinweise zu den Arbeitsblättern 3. Interessante Verbindungen zur Analysis bietet das anspruchsvolle Arbeitsblatt 3. Dort ist zunächst nachzuweisen, dass im Mittel eine Ersparnis nur dann eintreten kann, wenn p > e 1 e 0, 69 gilt. Mittels zweier Approximationen soll dann eine Näherungsformel für r gefunden werden. Diese Näherungsformel vermindert den Aufwand beim Einschachteln der Lösung erheblich. Wichtig: Modellkritik. Diskutieren Sie die Annahmen, die in die Berechnungen eingehen, kritisch. Welche Vereinfachung scheint am wenigsten realistisch?

34 Erläuterung Arbeitsblätter Hinweise zu den Arbeitsblättern 1 In kurzer Zeit soll eine große Anzahl n von Individuen auf eine Krankheit untersucht werden. Die Krankheit ist durch eine Blutanalyse nachweisbar. Es wird angenommen, dass die Individuen unabhängig voneinander erkranken und dass jedes Individuum mit derselben Wahrscheinlichkeit p gesund ist. Die naive Methode untersucht jedes einzelne Individuum. Die raffinierte Methode bildet Gruppen von r Individuen. Aus den einzelnen Blutproben wird eine Sammelprobe gebildet und untersucht. Nur wenn der Befund der Sammelprobe positiv ist, wird anschließend jedes Individuum einzeln untersucht. Die Frage lautet: Bei welcher Methode fallen im Mittel weniger Analysen an und wie groß ist die durchschnittliche Einsparung? 1. Äußere Vermutungen, wie p und r qualitativ beschaffen sein müssen, damit die Gruppenprüfung im Mittel weniger Analysen erfordert als die Einzelprüfung. 2. Es sei n = 100 und p = 0,98. Eine Blutanalyse kostet 2. Bei der naiven Methode betragen die Gesamtkosten 200. Wir bezeichnen mit G die Kosten für eine Gruppe bei der Gruppenprüfung. Begründe, dass G eine Zufallsgröße ist und gib für die Gruppengrößen r = 5, r = 10 und r = 20 die Verteilung von G an. Runde die Wahrscheinlichkeiten auf 2 Stellen nach dem Komma. r = 5 Werte von G Wahrscheinlichkeit r = 10 Werte von G Wahrscheinlichkeit r = 20 Werte von G Wahrscheinlichkeit 3. Berechne für die drei Gruppengrößen den Erwartungswert von G. Berechne für die drei Gruppengrößen den Erwartungswert der Gesamtkosten bei Gruppenprüfung. 4. Bei welcher Gruppengröße ist im Mittel die größte Einsparung bei den Gesamtkosten gegenüber der naiven Methode zu erwarten? Wie viel Prozent beträgt diese Einsparung? AB 1_MAM.doc Lange/Warmuth, Berlin

35 Erläuterung Arbeitsblätter Hinweise zu den Arbeitsblättern 2 In kurzer Zeit sollen 1000 Individuen auf eine Krankheit untersucht werden. Die Krankheit ist durch eine Blutanalyse nachweisbar. Es wird angenommen, dass die Individuen unabhängig voneinander erkranken und dass jedes Individuum mit derselben Wahrscheinlichkeit 0,98 gesund ist. Die naive Methode untersucht jedes einzelne Individuum. Bei Kosten von 2 pro Blutprobe fallen 2000 Gesamtkosten an. Die raffinierte Methode bildet Gruppen von je r Individuen. Aus den einzelnen Blutproben wird eine Sammelprobe gebildet und untersucht. Nur wenn der Befund der Sammelprobe positiv ist, wird anschließend jedes Individuum einzeln untersucht. Die Frage lautet: Wie groß muss r sein, damit im Mittel die Gesamtanzahl der Analysen möglichst klein ist und wie groß ist die durchschnittliche Einsparung gegenüber der naiven Methode? 1. Welche Werte kommen für r in Frage? 2. Es bezeichne Xr die Anzahl der Analysen für eine Gruppe. Welche Werte kann Xr annehmen und wie groß sind die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten? Du kannst die Pfadregeln benutzen. r 3. Weise nach, dass für den Erwartungswert gilt E( X r ) = r + 1 r 0, 98. Gib eine Interpretation dieses Erwartungswertes an. 4. Wie groß sind die mittleren Gesamtkosten E(K) für die Untersuchung der 1000 Personen, wenn die Gruppengröße r beträgt? 1 r 5. Weise nach, dass für die mittleren Gesamtkosten gilt E (K) = ,98. r Gib eine Interpretation des Terms in der Klammer. 6. Die Differenz aus den Gesamtkosten bei Einzelprüfung und bei Gruppenprüfung beträgt folglich r ,98 = : d(r). Untersuche, für welches r die Funktion d ihr Maximum annimmt. r Hinweis: Du kannst Aufgabe 1 zu Hilfe nehmen oder die Maximalstelle schrittweise einschachteln. Es gibt nur ein Maximum. AB 2_MAM.doc Lange/Warmuth, Berlin

36 r Erläuterung Arbeitsblätter Hinweise zu den Arbeitsblättern 3 In kurzer Zeit sollen eine große Anzahl von Individuen auf eine Krankheit untersucht werden. Die Krankheit ist durch eine Blutanalyse nachweisbar. Es wird angenommen, dass die Individuen unabhängig voneinander erkranken und dass jedes Individuum mit derselben Wahrscheinlichkeit p gesund ist. Die naive Methode untersucht jedes einzelne Individuum. Bei Kosten von 2 pro Blutprobe fallen 2n Gesamtkosten an. Die raffinierte Methode bildet Gruppen von je r Individuen. Aus den einzelnen Blutproben wird eine Sammelprobe gebildet und untersucht. Nur wenn der Befund der Sammelprobe positiv ist, wird anschließend jedes Individuum einzeln untersucht. Die Frage lautet: Bei welcher Methode fallen im Mittel weniger Analysen an und wie groß ist die durchschnittliche Einsparung? Folgende Fragen sollen untersucht werden: Bei welchem p ist bei Gruppenprüfung im Durchschnitt mit weniger Blutproben zu rechnen als bei Einzelprüfung? Wie groß muss r sein, damit im Mittel die Gesamtanzahl der Analysen möglichst klein ist und wie groß ist die durchschnittliche Einsparung gegenüber der naiven Methode? 1. Die durchschnittliche Einsparung pro Person durch die Gruppenprüfung ist gegeben durch 1 e(r) = p. Gib eine notwendige Bedingung für p an, damit e (r) positiv ist. r Hinweis: Eine Funktion f nimmt ein Minimum an derselben Stelle an wie ln f. 2. Vervollständige den Satz: Damit Gruppenbildung im Mittel eine Einsparung bringen kann, muss p gelten. Im Folgenden sei die notwendige Bedingung für p erfüllt. Es geht nun darum, diejenige Gruppengröße zu finden, für die die Einsparung maximal ist. 3. a) Leite eine notwenige Bedingung für eine Extremstelle der Funktion e her. b) Ersetze in der Gleichung den Term ln p durch einen Term für die Tangente an den Graphen von ln p im Punkt (1; 0). c) Ersetze p r durch 1 und löse die resultierende Gleichung nach r auf. 4. Gib Begründungen für die Schritte b) und c) in 3. Die Lösung aus 3. beruht auf Näherungen. Erläutere Dein weiteres Vorgehen ausgehend von diesem Näherungswert, um die optimale Gruppengröße zu bestimmen. Bestimme die optimale Gruppengröße für p=0,99 und die zugehörige prozentuale Einsparung. AB 3_MAM.doc Lange/Warmuth, Berlin

37 Erläuterung Arbeitsblätter Hinweise zu den Arbeitsblättern 1 Die Frage lautet: Bei welcher Methode fallen im Mittel weniger Analysen an und wie groß ist die durchschnittliche Einsparung? 1. Äußere Vermutungen, wie p und r qualitativ beschaffen sein müssen, damit die Gruppenprüfung im Mittel weniger Analysen erfordert als die Einzelprüfung. 2. Es sei n = 100 und p = 0, 98. Eine Blutanalyse kostet 2 Euro. Bei der naiven Methode betragen die Gesamtkosten 200 Euro. Wir bezeichnen mit G die Kosten für eine Gruppe bei der Gruppenprüfung. Begründe, dass G eine Zufallsgröße ist und gib für die Gruppengrößen r = 5, r = 10 und r = 20 die Verteilung von G an. Runde die Wahrscheinlichkeiten auf 2 Stellen nach dem Komma.

38 Erläuterung Arbeitsblätter Hinweise zu den Arbeitsblättern 3. Berechne für die drei Gruppengrößen den Erwartungswert von G. Berechne für die drei Gruppengrößen den Erwartungswert der Gesamtkosten bei Gruppenprüfung. 4. Bei welcher Gruppengröße ist im Mittel die größte Einsparung bei den Gesamtkosten gegenüber der naiven Methode zu erwarten? Wie viel Prozent beträgt diese Einsparung?

39 Erläuterung Arbeitsblätter Hinweise zu den Arbeitsblättern 2 Die Frage lautet: Wie groß muss r sein, damit im Mittel die Gesamtanzahl der Analysen möglichst klein ist und wie groß ist die durchschnittliche Einsparung gegenüber der naiven Methode? 1. Welche Werte kommen für r in Frage? 2. Es bezeichne X r die Anzahl der Analysen für eine Gruppe. Welche Werte kann X r annehmen und wie groß sind die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten? Du kannst die Pfadregeln benutzen. 3. Weise nach, dass für den Erwartungswert gilt E(X r ) = r + 1 r 0, 98 r. Gib eine Interpretation dieses Erwartungswertes an.

40 Erläuterung Arbeitsblätter Hinweise zu den Arbeitsblättern 4. Wie groß sind die mittleren Gesamtkosten E(K) für die Untersuchung der 1000 Personen, wenn die Gruppengröße r beträgt? 5. Weise nach, dass für die mittleren Gesamtkosten gilt E(K) = 2000 (1 + 1 r 0, 98r ). Gib eine Interpretation des Terms in der Klammer. 6. Die Differenz aus den Gesamtkosten bei Einzelprüfung und bei Gruppenprüfung beträgt folglich 2000 (0, 98 r 1 r ) =: d(r). Untersuche, für welches r die Funktion d ihr Maximum annimmt. Hinweis: Du kannst Aufgabe 1 zu Hilfe nehmen oder die Maximalstelle schrittweise einschachteln. Es gibt nur ein Maximum.

41 Erläuterung Arbeitsblätter Hinweise zu den Arbeitsblättern 3 Folgende Fragen sollen untersucht werden: Bei welchem p ist bei Gruppenprüfung im Durchschnitt mit weniger Blutproben zu rechnen als bei Einzelprüfung? Wie groß muss r sein, damit im Mittel die Gesamtanzahl der Analysen möglichst klein ist und wie groß ist die durchschnittliche Einsparung gegenüber der naiven Methode? 1. Die durchschnittliche Einsparung pro Person durch die Gruppenprüfung ist gegeben durch e(r) = p r 1 r. Gib eine notwendige Bedingung für p an, damit e(r) positiv ist. Hinweis: Eine Funktion f nimmt ein Minimum an derselben Stelle an wie ln(f ). 2. Vervollständige den Satz: Damit Gruppenbildung im Mittel eine Einsparung bringen kann, muss p gelten.

42 Erläuterung Arbeitsblätter Hinweise zu den Arbeitsblättern Im Folgenden sei die notwendige Bedingung für p erfüllt. Es geht nun darum, diejenige Gruppengröße zu finden, für die die Einsparung maximal ist. 3. a) Leite eine notwenige Bedingung für eine Extremstelle der Funktion e her. b) Ersetze in der Gleichung den Term ln p durch einen Term für die Tangente an den Graphen von ln p im Punkt (1; 0). c) Ersetze p r durch 1 und löse die resultierende Gleichung nach r auf. 4. Gib Begründungen für die Schritte b) und c) in 3. Die Lösung aus 3. beruht auf Näherungen. Erläutere Dein weiteres Vorgehen ausgehend von diesem Näherungswert, um die optimale Gruppengröße zu bestimmen. Bestimme die optimale Gruppengröße für p = 0, 99 und die zugehörige prozentuale Einsparung.

43 Erläuterung Arbeitsblätter Hinweise zu den Arbeitsblättern 1: 1. Die Krankheitshäufigkeit darf nicht zu groß und auch die Gruppen dürfen nicht zu groß sein, damit die Sammelprobe einen negativen Befund ergibt. 2. Der Wert von G kann vor der Analyse nicht sicher vorhergesagt werden. r = 5 : P(G = 2) = 0, , 90, P(G = 12) 0, 10 r = 10 : P(G = 2) = 0, , 82, P(G = 22) 0, 18 r = 20 : P(G = 2) = 0, , 67, P(G = 42) 0, n E(G) in Euro Gruppenanzahl E(K) in Euro Einsparung in % 5 3, , , , , ,00 62 Optimal im Sinne der größten mittleren Einsparung ist die Gruppengröße 10.

44 Erläuterung Arbeitsblätter Hinweise zu den Arbeitsblättern 2: 1. Es kommen 15 Werte (alle 16 Teiler von 1000 außer 1) in Frage. 2. X r kann die Werte 1 und r + 1 annehmen. P(X r = 1) = 0, 98 r (alle r Individuen gesund). P(X r = r + 1) = 1 0, 98 r 3. E(X r ) = 1 0, 98 r + (r + 1) (1 0, 98 r ) = r + 1 r 0, 98 r Interpretation: Der Erwartungswert gibt die mittlere Anzahl von Proben je Gruppe bei vielen Gruppenprüfungen an. 4. E(K) = r (r + 1 r 0, 98 r ) = 2000 (1 + 1 ) r 0, 98r

45 Erläuterung Arbeitsblätter Hinweise zu den Arbeitsblättern 5. Interpretation des Terms in der Klammer: mittlere Anzahl der Proben pro Person in der Gruppe. 6. Die Funktion nimmt ihr Maximum für r = 8 an und d(8) = 1451, 53. Man spart also bei dieser Gruppengröße im Mittel 1451,53 Euro bzw. rund 73%. Bemerkung: Diese Ersparnis ist unabhängig von der Gesamtzahl der zu untersuchenden Individuen. Es kommt nur auf mittlere Anzahl der Proben pro Person in der Gruppe an.

46 Erläuterung Arbeitsblätter Hinweise zu den Arbeitsblättern 3: 1. p r 1 r > 0 p > 1 r r Betrachte f (r) = 1 r r. ( Gemäß Hinweis: g(r) = ln 1 = ln(r) r. Die Funktion g hat ein Minimum bei e, demzufolge hat auch f ein Minimum bei e. Untersuchung der beiden benachbarten Werte 2 und 3 liefert als notwenige Bedingung: p > 0, 693. r r ) 2. Damit Gruppenbildung im Mittel eine Einsparung bringen kann, muss p > 0, 693 gelten.

47 Erläuterung Arbeitsblätter Hinweise zu den Arbeitsblättern 3. a) e (r) = p r ln(p) + 1 r. Notwendige Bedingung: 2 p r ln(p) + 1 r = 0 2 b) Tangente an den Graphen von ln(p) im Punkt (1; 0): t(p) = p 1. Resultierende Gleichung: p r (p 1) + 1 r = 0 2 c) p r = 0 r = p

48 Erläuterung Arbeitsblätter Hinweise zu den Arbeitsblättern 4. b) In der Nähe von 1 wird die Funktion linear approximiert. c) In der Nähe von 1 ist p r nahe 1. Beide Schritte sind umso mehr gerechtfertigt, je näher p an 1 ist. Ausgehend von r = 1 1 p wird man nun durch Einschachteln das optimale r finden. p = 0, 99 : = 10. r e(r) 0, , ,80305 Damit ist ein lokales Maximum gefunden. Bei der Gruppengröße 11 beträgt die durchschnittlich Einsparung 80,4%. Man kann sich inhaltlich überlegen, dass es kein weiteres Maximum gibt.