1 Einige Aufgaben zum Rechnen mit Mengen:

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1 Einige Aufgaben zum Rechnen mit Mengen: A.. Gib die folgenden Mengen im aufzählenden Verfahren an: a A { N 8} b B {y Z < y } c C {z N z ist Teiler von } d D { P 0} e E {y N y ist Vielfaches von 5} f F {z Z z < 5} A.. Gib die folgenden Mengen im beschreibenden Verfahren an! a A {,0,,,,,5,6,7,8} b B {5,6,7,8,...} c C {,6,9,,5,...} d D {5,7,,,7,9} e E {,5} f F {,,,0,,,} A.. Berechne A B, B C, C\D, D\C, D E und E F a mit den Mengen von Aufgabe A.! b mit den Mengen von Aufgabe A.! A.. Gib die folgenden Mengen als Intervalle an! a I { R < < } b I { R 0 < } c I { R,5} d I { R π < π} A.5. Stelle die folgenden Intervalle im beschreibenden Verfahren dar: a J [; ] b J ] ; 0,5[ c J ]0;,] d J [,; [ A.6. Gib die Teilermengen der folgenden Zahlen an: 5,, 5,, 6 A.7. Gib an, welche der folgenden Aussagen richtig bzw. falsch sind! a Beim Addieren von natürlichen Zahlen entsteht stets wieder eine natürliche Zahl. b Beim Subtrahieren von natürlichen Zahlen entsteht immer eine rationale Zahl. c Beim Dividieren ganzer Zahlen entsteht stets eine ganze Zahl. d Jede reelle Zahl ist eine rationale Zahl. e Jede rationale Zahl ist eine reelle Zahl. f Jede ganze Zahl ist eine natürliche Zahl. g Beim Dividieren von natürlichen Zahlen entsteht immer eine reelle Zahl.

2 Rechnen mit ganzen Zahlen: A.. Berechne: a b c d 6 + [ ] e [ 6 + 0] + 6 f [ ] A.. Berechne: a + b 6 c + d 7 e [ ] f g [ + ] h 9 A.. Berechne: a 8 : 7 b : c 6 : + d : : 5 e 8 : : f 8 : + +0 : 0 A.. Berechne: a [ +6 ] 8 b [ ] [ 7 8] c + [ : 6 : 9 ] d [ 8 : 7 5 : 5 ] e 7 [ 8 + : 6 : 8] 7 : 9

3 Berechnung des größten gemeinsamen Teilers und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen: Definition: Unter dem größten gemeinsamen Teiler der Zahlen a,a,...,a n versteht man die größte Zahl d, die alle Zahlen a,a,...,a n teilt. Man schreibt: ggt a,a,...,a n d Berechnung des ggta,a,...,a n mittels Primfaktorenzerlegung:. Bestimme die Primfaktorenzerlegung von jeder Zahl a i!. Bilde das Produkt derjenigen Primfaktoren, die in jeder Zerlegung vorkommen!. Potenziere jeden Primfaktor dieses Produkts mit dem kleinsten zugehörigen Eponenten aus den Zerlegungen! Beispiel: Berechne den ggt60,,79! Zur Berechnung des ggt nehmen wir nun aus den drei Primfaktorenzerlegungen alle Primzahlen, die in jeder Zerlegung vorkommen und zwar mit der kleinsten vorkommenden Potenz und bilden das Produkt: ggt60,,79 Definition: Unter dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zahlen a,a,...,a n versteht man die kleinste Zahl v, welche Vielfaches von jeder Zahl a,a,...,a n ist. Man schreibt: kgva,a,...,a n v Berechnung des kgva,a,...,a n mittels Primfaktorenzerlegung: Aufgaben:. Bestimme die Primfaktorenzerlegung von jeder Zahl a i!. Bilde das Produkt aller in den Zerlegungen vorkommenden Primfaktoren!. Potenziere jeden Primfaktor dieses Produkts mit dem höchsten zugehörigen Eponenten aus den Zerlegungen! Beispiel: Berechne das kgv,5, Zur Berechnung des kgv nehmen wir nun aus den drei Zerlegungen jeden vorkommenden Primfaktor und zwar mit der höchsten vorkommenden Hochzahl: kgv,5, A.. Berechne kgv und ggt der angegebenen Zahlen: a, 0 b, 6 c 7, d 59, 7 e 50, 9 f 6, 8 g 5, 60 h 8, 5 i 5, 6, 0 j 96,, 0 k 6, 8, l 0, 5, 0 m 00, 8 n 50, 00 o 8,, 6 p 5, 5, 75 q 6, 9,, 8 r 5589, 9

4 Bruchrechnen: A.. Multiplizieren von Brüchen: a b 5 A.. Dividieren von Brüchen: a 7 : 6 b 6 : 5 7 c 5 d 5 c 9 : 6 7 d 5 7 : 7 e f e 5 : 5 f : 9 A.. Addieren und Subtrahieren von Brüchen: a + 7 d b 8 7 e c 7 f g 7 h i 9 [ 0 5 ] A.. Kompleere Aufgaben: a : b c d 5 [ ] : : : e f [ 7 ] g 5 : 6 7 h + : A.5. Vereinfache die folgenden Doppelbrüche: a b 9 5 c d 0 e f A.6. Gib jeweils den Bruch als Dezimalzahl oder die Dezimalzahl als Bruch an: a,5 b 5 c 7,5 d e 7 f, 005

5 5 Potenzen: A 5.. Vereinfache: a a a 5 a b b 8 : b 7 c d e f g h i 7 6a y 5 a y 8a b c a 5 b c 5 a b y r 5sz 5y a b j k l m n o p q rs 6r s a b ab 6 y : y y 6 9 : y 6 y [ y ] : 9y5 y 8 [ 5a ] 5a b : y b y [ ] [ 8 ] y : 5y 5y by a A 5.. Vereinfache und stelle die folgenden Ausdrücke mit positiven Hochzahlen dar: a a b 7y z 5 c a b d e r f g h i j k y 6y y z 5 y z y 0 z y z 60 0 y z y z l 6 8 m n o p q r s 6 y y y : y y 5yz y : 0y 5 z 5 0 y 5 5 y 5 y : 9 y 5 8 y y y t y y u 0 y 5

6 A 5.. Vereinfache und stelle die folgenden Ausdrücke mit positiven Hochzahlen dar: a b c y y [ ] 5 : 5y y d e f y y : [ y a 6 y z : y y y z : 6y a ] y z 9 5 A 5.. Stelle das Ergbnis ohne negative Hochzahlen und ohne gebrochen rationale Hochzahlen dar! a 5 b 5a 5a 5 b c 8y d e 9 y 5 y 9 f g a b 7 b 5 ab y : y h i : j k a a : : l y 5 y 7 y m y 5 n a b : a 5 6

7 6 Rechnen mit Termen A 6.. Vereinfache: a y + y b 5e e c m + 9 m k d 9 + k e f g 8 9 y y : u + v r + s 5u 6 7v 8 5r 8 s h i a [ a b a + ab b ] j 5y y { y + y + [ y y + y ]} A 6.. Vereinfache: a a a + a 5 a a a b c 5e f g + h d y + 5y y e 5r 6s t + y z f u + 5v 5u v g a a + 6y + h r s r + s r + 5s r s i r + rs + 5s rs s j r s r + s r 5s r + s A 6.. Berechne: a y b z c a b d y z + z y 5 e 6i k k m f a b 7 g + y 6 h c i v vw 5 j d k 6 k z l b c 8 7

8 A 6.. Vereinfache: a + + m + m 5m 5m + m b y + y + y y + y c 0y 0z 8y 8yz z 5y + y z + y z A 6.5. Vereinfache durch Herausheben: a e + f h b 6 y + 8y 5 c 5v w + 5v w d ve + f + we + f e rv rw + sv sw f a a A 6.6. Hebe - heraus: a a + b c d b y + z c a b c + d d v + b A 6.7. Vereinfache durch Herausheben: a e f eg + f h gh b km mp kn + np c e + f g h e f h g d 7r s y + s ry e r r + + r r + r f + y s s + + y y + y g y + y + y y + y h y z y z 5y + z + y + z y + 6z A 6.8. Zerlege in ein Produkt: a v w b 6v 6w c y z d 00e 8 f e 8 y k + + f 8a b 6a b g 0a 5b h 0k 90m l 9 + i 6a j y y y 8

9 7 Rechnen mit Bruchtermen: A 7.. Vereinfache durch Herausheben und Kürzen: a b c d e f g h i j + y + 5y y 6z 5z z 9y y y 8z z 5z a a 8a a + 8a a 5r + 0rs r 6g g h g k l m n o p q r s t 5 0y 5 + 5y 6 z 6 + z 8a + ab 6ab a 7ab + a a + 7ab 6a + ab ab + b rs + 6r 9r rs y 5 5y 6z 5 z 9z + 6z 5a b 0a ab 6a a + ab ab + b A 7.. Vereinfache: a b c d e f + + 8y 8 y y + 8 y 9 y + y z 0 5z 5z g h i j k l

10 A 7.. Finde das kleinste gemeinsame Vielfache und vereinfache: a b c d e f r 5st + s 6rt + t 0rs y y + y y z + 8 9z 6 z + 9z g h i j k l r rs s s r rs r + s rs s s 7s s 9 5s s a + d de e d de e b a ab b a + a b e d + de d + e + d e d + de d + e + d e r + s 6r s r s 6r + s s r s A 7.. Vereinfache: a b c d e f g h i j k y y y l 6 y y 6y m + y + y 9y n + y 7y 9y A 7.5. Vereinfache: a b c a b a b : b a b a a + 8b 0a 0b : a + 6b 0a 5b y + y : y 9y d e f 9 y y 6 y : + y 5r r + s : 0r rs + s pq + q 7q : p + 6q q 0

11 8 Gleichungen A 8.. Löse die folgenden Gleichungen! Gib jede Äquivalenzumformung an! a + 6 b 0v v + c 9 v d + z 5 e f 5 w w c c g 5m + m m m h y + y 5y y i j + + k z z z + l 5u 5u 7 m y y + y y 5 A 8.. Stelle jede Variable eplizit dar! Gib bei den Umformungen jede Äquivalenzumformung an! a b c v s t Q m c T W CU d c λ f e F l F l f ω LC g P U I h p V N k T i P Fv + v 0 A 8.. a 0 Euro sind im Verhältnis :9 aufzuteilen. Berechne die Teilbeträge! b 8 80 Euro sind im Verhältnis 7: aufzuteilen. Berechne die Teilbeträge! c 770 Euro sind im Verhältnis :7 aufzuteilen. Berechne die Teilbeträge! d Eine Strecke von cm ist im Verhältnis 5: zu teilen. Berechne die Länge der Teilstrecken! e Kupferoid besteht aus Kupfer und Sauerstoff im Massenverhältnis :. Berechne, wieviel Gramm Kupfer und wieviel Gramm Sauerstoff in 60 g Kupferoid enthalten sind! f In einer Versammlung von 6 Personen war das Verhältnis der Anzahl der Damen zu der Anzahl der Herren 7:. Berechne, wieviele Damen bzw. Herren anwesend waren! A 8.. Gib die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen über der Grundmenge Q an! a 5 b c d e 6 f

12 A 8.5. Bestimme in den folgenden Aufgaben jeweils die Definitionsmenge über Q und gib die Lösungsmenge an! a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t A 8.6. Löse die folgenden quadratischen Gleichungen für die Grundmenge G R: a 6 0 b c + 0 d e 0,5 6 0 f g + 0 h + 0 i j + 0 k,8 0 l m,5 5 0 n A 8.7. Zerlege die folgenden quadratischen Polynome in ein Produkt von Linearfaktoren: a b c + d + 9 e f + 6 g h 6 + 5

13 A 8.8. Löse die folgenden Gleichungen für die Grundmenge G R und für die Grundmenge G Z: a b c d e f g h i r A 8.9. Tetaufgaben: , j k l m n o p q k k k + k 6 9 k 6k 8k + k 6k + 6k a In einem Rechteck ist die Länge um cm größer als die Breite. Wenn man die Breite um cm verkürzt und die Länge unverändert lässt, so erhält man ein Rechteck mit dem Flächeninhalt 768 cm. Berechne die Seitenlängen des ursprünglichen Rechtecks! b Verlängert man eine Seite eines Quadrats um cm und verkürzt die andere um cm,so entsteht ein Rechteck mit 90 cm Flächeninhalt. Berechne die Seitenlänge des Quadrats! c Der Flächeninhalt eines gleichschenkeligen Dreiecks beträgt 58 cm. Die Basis des Dreiecks ist um 9 cm kürzer als die Höhe des Dreiecks. Berechne die Länge der Höhe und die Länge der Basis des Dreiecks! d Der Flächeninhalt eines gleichschenkeligen Dreiecks beträgt 806 cm. Die Basis des Dreiecks ist um 9 cm länger als die Höhe des Dreiecks. Berechne die Länge der Höhe und die Länge der Basis des Dreiecks! A 8.0. Tetaufgaben zu fortlaufenden Proportionen: a Die Seitenlängen eines Dreiecks verhalten sich wie ::, der Umfang beträgt 5 m. Berechne die Länge der Seiten eines solchen Dreiecks! b Schwefelsäure enthält Wasserstoff, Sauerstoff und Schwefel im Massenverhältnis ::6. Berechne, wieviel Gramm Sauerstoff und wieviel Gramm Schwefel in 750 Gramm Schwefelsäure enthalten sind!

14 c In einem Testament wird den vier Erben ein Betrag von 5 00 Euro vermacht. Die Erbschaft ist im Verhältnis :::5 zu teilen. Wieviel Euro erhält jeder der Erben? d Wie groß ist der Gewinn eines Loses, wenn nach der Aufteilung an vier Personen im Verhältnis ::: der größte Anteil 75 Euro beträgt? e Drei Erben teilen einen Betrag von 8 00 Euro im Verhältnis ::7. Berechne die einzelnen Anteile! A 8.. Bestimme die Definitionsmenge und löse folgenden Gleichungen über R! a + 5 b + 8 c d 6 6 e + + f g h i j k l m n o p q r s t u v A 8.. Löse die folgenden Gleichungen über R! a b c d e f 9 0 g + 0 h i j k 5 0 l m n 0 o p q r

15 9 Lineare Gleichungssysteme 9. Lineare Gleichungssysteme in Variablen A 9.. Löse die folgenden Gleichungssysteme i mit dem Substitutionsverfahren, ii mit dem Gleichsetzungsverfahren und iii mit dem Eliminationsverfahren! a I: - y II: + y 8 b I: + 9y II: 7 + 6y 9 c I: + 9y 9 II: 7 - y 0 d I: - 8y 85 II: - y 7 A 9.. Löse die folgenden linearen Gleichungssysteme: a I: y 7 + II: y + 7 b I: y 5 II: 5 + y 0 c I: 5y II: 0y + 6 d I: 0, 0,y II: 0, +,y e I: + y II: 5 + 6y f I: 5y + 9 II: y 7 g I: y II: + y 9 h I: + y II: + 6y i I: y 5 6 II: 5 + y 8 A 9.. Vereinfache die Gleichungen zunächst und löse dann die angegebenen Gleichungssysteme! a I: + II: 5 5y+ 6 5y 5 y d I: II: y 5 +y+7 7 y y y 6 b I: II: 5 5y+ 7 9y y 9 c I: 5 5y II: 9 y y + 57 e I: 6 + y y 5 II: + y 6 f I: y + 6 y 6 II: y + 5 y + 0 A 9.. Formuliere aus den folgenden Teten Gleichungen und löse die Gleichungssysteme! a Die Summe zweier Zahlen ist 8, ihr Quotient. Berechne die Zahlen! b Die Summe zweier Zahlen ist. Vermehrt man die erste Zahl um das Doppelte der zweiten, so erhält man. Berechne die beiden Zahlen! c Addiert man zur zweiten Zahl das Siebenfache der ersten, so erhält man 08. Addiert man zur ersten Zahl das Fünffache der zweiten Zahl, so erhält man 98. Berechne die beiden Zahlen. d Die Summe aus einer Zahl und dem Doppelten einer anderen Zahl ist 7. Die Summe aus dem dopelten der ersten Zahl und dem Dreifachen der zweiten Zahl beträgt 9. Wie lauten die Zahlen? 5

16 e Die Summe aus dem Doppelten einer Zahl und dem Dreifachen einer anderen Zahl ist 96. Die Summe aus dem Fünftel der ersten und der Hälfte der zweiten Zahl beträgt 56. Wie lauten die Zahlen? f Ein Gastwirt kauft 00 Liter Weißwein sowie 00 Liter Rotwein und zahlt dafür 080, e. Einen Monat später kauft er 00 Liter Weißwein und 500 Liter Rotwein und zahlt 90, e. Wieviel kostet Liter Weißwein bzw. Liter Rotwein? g Ein Kaufmann kauft im Großhandel um 90 Euro Reis und Zucker, insgesamt 00 kg ein. Er bezahlt,0 Euro für kg Reis und 5 Cent für kg Zucker. Berechne, wieviel kg Reis und wieviel kg Zucker der Kaufmann gekauft hat! h Ein Kaufmann kauf im Großhandel um 98,5 Euro Kaffee und Tee, insgesamt 00 kg ein. Er bezahlt,98 Euro für kg Kaffee und Euro für kg Tee. Berechne, wieviel kg Kaffee und wieviel kg Tee der Kaufmann gekauft hat! 9. Lineare Gleichungssysteme in drei Variablen A 9.5. Löse die folgenden Gleichungssysteme mit dem Eliminationsverfahren: a I: y z 6 II: + y + z 7 III: y + z b I: 5a + b c 5 II: 9a 7b + 8c 9 III: 5a + 6b + 6c 5 c I: + II: 5 + III: d I: y + z 0 II: 7 5y + 6z 5 III: y + z 5 e I: y + z 0 II: 5y + 6z 5 III: + z 0 f I: y + z II: y + 6z 7 III: 6 y + 0z 9 g I: + 9y 7z 8 II: 5 + y z 0 III: 7 + 5y z 8 h I: 5u v II: u + 7w 7 III: 8v 9w 0 i I: y II: + z 6 III: y + z 7 j I: a + b c II: a b III: b c k I: + z II: 7 y + z 5 III: + y + z 5 l I: 6 y + z II: 5y + z III: 9y + 5z 6

17 0 Vektorrechnung: 0. Zweidimensionale Vektorrechnung: A 0.. Gib jeweils den Vektor AB und seine Länge an! a A, B6 5 b A, B c A, B 0 d A0 0, B e A0, B 0 f A, B A 0.. Gib jeweils die Summe a + b und die Differenz a b der beiden Vektoren a und b an! Ermittle die Lösung durch Rechnung und durch eine Zeichnung! a a, b 5 b a 0, b c a, b A 0.. Ermittle i die Koordinaten des Endpunktes E der Wanderung, ii die Koordinaten des Vektors EA für die Rückkehr von E zum Ausgangspunkt A der Wanderung, iii die Gesamtlänge der Wanderung von A nach A! a A, AB, BC, CD, DE b A, AB 0, BC, CD, DE A 0.. Berechne den Umfang der gegebenen Vielecke! a A, B, C, D b A 0, B0, C 5 0 c A 0, B, C 6, D, E0 A 0.5. Die folgenden Vielecke sollen durch den angegebenen Vektor s einer Schiebung unterworfen werden. Gib die neuen Koordinaten des jeweiligen Vielecks an! a A 0, B, C, D 0, s b A, B 6, C7 8, D5, s c A0 0, B, C, s 0 d A0 0, B, C, s 0 e A, B 6, C7 8, D5, s 6 6 A 0.6. Ermittle die Koordinaten des fehlenden Eckpunktes und den Umfang des Parallelogramms ABCD! a A, B5, C b C 5, D7, A c A, B5, C8 d A, C, D e B, C 0, D 7 6 f A, B 8, D7 0 g C, D, B h A, B, D0 7

18 A 0.7. Überprüfe, ob die Vektoren AB und CD zueinander parallel sind! a A, B, C0 5, D b A, B, C0 0, D c A0, B 0, C0 0, D d A, B 0, C 5, D 5 e A, B, C, D 8 f A, B, C, D 5 g A, B, C5 7, D7 5 h Aa b, Bb a, Cc d, Dd c A 0.8. Ergänze die fehlende Koordinate so, dass die beiden Vektoren a und b zueinander parallel sind! a a, b y b b a 0, b 0 y b c a, b b d a 5, b b6 e a, b y b f a 0, b b0 A 0.9. Gib jeweils den normierten Vektor a 0 zum gegebenen Vektor a an! a a 6,,6 b a 7, c a 9,9 d a,,5 e a f a a a A 0.0. Gib jeweils einen Vektor b an, der zum gegebenen Vektor a parallel ist und die Länge l hat a a 5, l 6 b a, l 5 c a, l 0 A 0.. Gib zum Vektor a den i nach links, ii nach rechts gekippten Normalvektor an! a a b a c a d a e a 0 f a 0 g a h a A 0.. Ergänze die fehlende Koordinate des Vektors b so, dass der Vektor b auf a normal steht! a a, b 6 y b b a, b b8 c a, b 9 d a 0, b b y b e a, b 6 y b f a, b b 6 A 0.. Gib jeweils i einen linksgekippten ii einen rechtsgekippten Normalvektor zum Vektor a an, der die Länge l hat a a 5, l 6 b a, l 5 c a, l 0 8

19 A 0.. Von einem in positivem Umlaufsinn beschrifteten Quadrat ABCD kennt man die Endpunkte einer Seite. Ermittle die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte! Fertige eine Skizze an! a A, B b B, C0 c C, D d A 0, D 0 e A 0, B0 f C0 0, B A 0.5. Von einem in positivem Umlaufsinn beschrifteten Quadrat ABCD kennt man einen Eckpunkt und den Mittelpunkt. Ermittle die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte! Fertige eine Skizze an! a A 0, M b B, M c C, M0 0 d D 0, M0 0 e A 0, M0 f A 7, M A 0.6. Berechne die Winkel in den gegebenen Dreiecken: a A, B0 5, C b A0 0, B, C 5 0 c A 8, B, C 0 d A, B, C A 0.7. Trage die angegebene Strecke l von A aus in Richtung des Vektors v ab und gib die Koordinaten des entstehenden Punktes B an! a A, v, l 0 b A, v, l c A, v,7,, l 5 d A, v a a, l 0 e A, v 6,,6, l f A, v 9,9, l 0, A 0.8. Berechne die Koordinaten des Halbierungspunktes der gegebenen Strecke! a A, B5 6 b P 5, Q c R0 0, S A 0.9. Von einem in positivem Umlaufsinn beschrifteten Rechteck ABCD kennt man die Endpunkte einer Seite und die Länge der anderen Seite. Ermittle die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte und des Mittelpunktes des Rechtecks! a A, B 5, b b B, C5, a 0 c C, D 0, b d D0, A, a e A, B 7, b 5 f B 0, C,, a 5, g C, D5,,, b h D5, A 6,7,, a 0 A 0.0. Von einem Quadrat ABCD kennt man die Koordinaten zweier diagonal gegenüberliegender Eckpunkte. Gib die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte an! 9

20 a A 7, C5 b D5, B c A, C7 d B 6, D e B, D f B 0, D A 0.. Berechne bei den folgenden Rauten mit Diagonalenschnittpunkt M die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte! a A, M, f 0 b A, C7, f 0 A 0.. Gib die Koordinaten jenes Punktes T an, der die Strecke AB im angegebenen Verhältnis δ teilt! a A 5 9, B9, δ : 5 b A 5, B9, δ : c A 8, B6 9, δ 7 : 5 d A, B8 6, δ : e A 5 9, B9, δ : f A 5, B9, δ : A 0.. Gib eine Gleichung jener Geraden an, auf der die beiden Punkte P und Q liegen. i in Parameterform, ii in Normalvektorform, iii in allgemeiner Form iv in Hauptform falls möglich a P, Q5 7 b P0, Q c P, Q d P 5, Q 5 e P0 0, Q f P9, Q A 0.. Untersuche, ob der gegebene Punkt auf der Geraden g liegt! g : X a P 0 b Q +t c R 5 9 d S,5 e T 6 f U0 g V 6 h W 6 A 0.5. Überprüfe, ob die drei Punkte P, Q und R auf einer Geraden liegen! a P, Q, R b P, Q5, R 7 5 d P 5 7, Q, R0 8 e P0, Q 0, R A 0.6. Untersuche, wie die beiden Gerade g und h zueinander liegen. Berechne gegebenenfalls die Koordinaten des Schnittpunktes S und den Schnittwinkel ϕ der beiden Geraden! a g : + y 6, h : X 0 + s b g : X c g : X + r 5 +t, h : y +, h : X 0 + s

21 d g : + y 5, h : + y 7 0 e g : X + d, h : y + f g : y + 9, h : + y 8 0 g g : y +, h : X 0 + s h g : X 8 +t, h : X + k A 0.7. Ermittle die Hauptform jener Geraden, i die parallel zu g und durch den Punkt Q verläuft. ii die auf g normal steht und durch den Punkt Q geht. iii Ermittle den Normalabstand des Punktes Q von der Geraden g mit der Hesseschen Normalform! a g : X +t, Q b g : + 6y 7, Q0 0 c g : y 9, Q d g : y, Q e g : X +t, Q5 f g : X, Q 0 A 0.8. Ermittle die Streckensymmetrale auf die Punkte A und B! a A, B b A, B 7 c A 0, B0 0 d A, B5 e A0 0, B f A, B A 0.9. Ermittle die Koordinaten des Inkreismittelpunkts des Dreiecks ABC! a A, B5, C 0 b A, B, C 7 c A, B, C 6 d A0, B 7, C0 e A, B9 9, C 5 f A0 0, B, C 8 A 0.0. Ermittle i den Schwerpunkt des Dreiecks ABC als Schnittpunkt der Schwerlinien ii den Höhenschnittpunkt des Dreiecks ABC! iii den Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC! iv die Eulersche Gerade des Dreiecks ABC! a A 9 6, B8 5, C5 6 b A, B, C 8 c A 5, B0, C 9 d A5 5, B5 9, C 7 e A, B5 0, C5 f A 9, B6, C6 A 0.. Ermittle die Längen der Höhen der Dreiecke ABC aus Aufgabe A 0.0 mit der Hesseschen Normalform! A 0.. Ermittle den Flächeninhalt der Dreiecke ABC aus Aufgabe A 0.0!

22 0. Dreidimensionale Vektorrechnung: A 0.. Untersuche, ob die drei Punkte A, B und C auf einer Geraden liegen! a A 5, B0 6, C 9 b A0 5, B0 0, C0 0 5 c A 6, B, C0 d A7 5, B0 9 7, C6 7 7 A 0.. Untersuche, welche Lage die beiden Geraden g und h zueinander haben und ermittle gegebenenfalls die Koordinaten des Schnittpunkts und den Schnittwinkel der beiden Geraden! a g: 0 X +t 7 b g: 9 X +t c g: X +t 7 d g: 5 X +t 5 e g: 8 X +t 5 f g: 6 X +t 9 g g: X +t 5 h g: 0 X +t 7 h: X + s 5 6 h: 7 8 X + s 5 h: 7 6 X + s 8 h: 7 X + s 8 7 h: X s 5 5 h: 6 X + s 5 8 h: X + s 0 h: 0 X + s A 0.5. i Ermittle, ob das Dreieck ABC rechtwinkelig ist! ii Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC auf zwei Arten! iii Berechne die Länge der Höhen des Dreiecks ABC iv Ermittle die Koordinaten des Schwerpunkts! a A, B 5, C b A 0, B, C c A, B 6 5, C7 8 d A, B 5, C 5 A 0.6. Gib die Gleichung jener Ebene an, auf der das Dreieck ABC liegt! Gib die Ebenengleichung i in Parameterdarstellung ii in Normalvektorform iii als allgemeine Ebenengleichung an! a A, B 0 0, C5 b a0 0 0, B, C c A0, B, C6 5 d A, B0 0 0, C 5

23 A 0.7. Gib die allgemeine Gleichung und die Normalvektorform der Ebene ε : 0 0 X + s +t 8 0 an und überprüfe, ob die folgenden Punkte auf der Ebene ε liegen: a R b R c R 0 d R A 0.8. Der Punkt P j liegt auf der Ebene ε. Ergänze die fehlende Koordinate! ε : 0 0 X + s +t 8 0 a P 5 8 z p b P 5 z p c P p 0 5 d P p 0 6 A 0.9. i Gib eine Gleichung jener Ebene an, auf der die Gerade g und der Punkt S liegen! ii Berechne den Abstand des Punktes P von der Geraden g! a g : X + s, S0 9 5 b g : X + s, 0 S 0 8 c g : 90 X + s, 5 0 S0 0 7 A 0.0. Gib die Gleichung jener Normalebene zur Geraden h an, welche den Punkt Q enthält! a h : X +t, Q 0 7 b h : 0 5 X +t, Q 8 0 c h : 0 X +t, Q 0 0 A 0.. Gib eine Gleichung jener Ebene an, auf der die beiden schneidenden Geraden g und h liegen! a g : 0 X + s, h : 0 0 X +t b g : 9 X + s, h : 9 X +t 0 0

24 A 0.. Gib eine Gleichung jener Ebene an, die durch den Punkt P geht und zu den Geraden g und h parallel ist! a P, g : 0 X + s, h : X +t 0 0 b P 5, g : 0 X + s, h : 0 X +t 0 A 0.. Ermittle Gleichungen jener Ebenen, die zur Ebene ε parallel sind mit Abstand d! a ε : 8y + z, d 8 c ε : X +s +t, 0 d 0 b ε : 6 y+z, d 7 d ε : X +s +t, 0 d A 0.. Gib eine Gleichung jener Geraden an, die durch den Punkt P geht und auf die Ebene ε normal steht! a P, ε : y + z 5 b P5, ε : z 7 c P 0 0, ε : 6 d P0 0 0, ε : y + z 0 e P 8 0, ε : + y z f P 8, ε : y 5z 8 A 0.5. Gib eine Ebenengleichung der Streckensymmetralebene σ der Strecke AB an! a A, B8 6 9 b A 0, B0 c A 0, B0 d A5 0 0, B5 e A 5, B8 f A0, B0 A 0.6. Gib eine Parameterdarstellung jener Geraden an, welche durch den Punkt P geht und zu der von den Geraden g und h aufgespannten Ebene normal steht! a g : 0 X +t, h : 0 X + s, P b g : X +t, h : 0 X + s, P 0 0 c g : X t, h : 0 X s 5, P A 0.7. Gib an, welche Lage die Gerade g zur Ebene ε hat und ermittle gegebenenfalls die Koordinaten des Schnittpunktes und den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene! a g : 8 X +t ε : X + s +t

25 b g : X +t ε : y c g : 0 6 X +t 5 ε : + y z d g : 0 X t ε : + y z e g : X t 5 ε : 6 7y + 6z 0 f g : 0 X +t 7 ε : y + z 9 g g : 66 X t 7 ε : 5y 5z h g : 0 X t ε : + 7y z 0 A 0.8. Wo schneidet die Ebene ε i die Achse, ii die y Achse, iii die z Achse? a ε : + y z 7 b ε : 7 y + z 8 A 0.9. Wo schneidet die Gerade g i die y Ebene, ii die z Ebene, iii die yz Ebene? a g : 6 X +t b g : 8 X +t 6 A i Spiegle den Punkt T an der Ebene ε! ii Spiegle die Ebene ε am Punkt T! iii Berechne den Normalabstand des Punktes T von der Ebene ε! a T 5 5, ε : +y z 0 c T, ε : 7 65 X + s +t 8 b T 5 7, ε : + y 8 d T 0 5, ε : 0 X + s +t 5 A 0.5. i Spiegle den Punkt Q an der Geraden g ii Gib den Normalabstand des Punktes Q von der Geraden g an! a Q, g : 5 0 X +t c Q5, g : 0 X +t 8 5 b Q 5, g : 66 0 X +t d Q 5, g : 5 X +t 7 5

26 A 0.5. Bestimme, wie die beiden Ebenen liegen, gib gegebenenfalls die Schnittgerade der beiden Ebenen an und berechne den Winkel, unter dem die Ebenen schneiden! a ε : + y + z 0 ε : y + 5z 0 b ε : y + 5z 8 ε : + y + z c ε : y + z 5 ε : +y z 0 d ε : 5 8y + 7z 0 ε : 5 + 6y z e ε : + y + 5z 6 ε : 8 + y + 5z 0 f ε : 8y z ε : 7y + z 9 g ε : + y z 6 ε : 6y + 9z 8 h ε : y + z 0 ε : 5 + y 7z 0 i ε : 0y + z 6 ε : 6 + 5y z A 0.5. Bestimme, wie die drei Ebenen ε, ε und ε liegen und gib gegebenenfalls die Schnittgerade der drei Ebenen oder den Schnittpunkt der drei Ebenen an! a ε : y + z 7 ε : z ε : y z b ε : y + z 0 ε : + 9y z ε : 6 5y+8z 8 c ε : 8y z ε : 6y z ε : + y 8z d ε : 5y + z 0 ε : 9 + y 8z 0 ε : 6 y + z e ε : 6 y + 5z 0 ε : 5 y + z 8 ε : 6+y 5z f ε : y z ε : + y z 5 ε : 9 + y z g ε : + y + z ε : y + z ε : 5 + y z h ε : y + z 6 ε : + y + z 6 ε : 5y + 7z 8 i ε : + y z ε : y + z ε : 7 + y + z 8 A 0.5. Ermittle die Länge jeder Höhe des Dreiecks ABC! a A, B8 5, C6 b A 0, B, C0 6 5 c A, B9 6, C9 d A 0, B5, C9 A Ermittle den Abstand der beiden parallelen Ebenen auf zwei Arten: a ε : + y z ε : y + z 56 b ε : y + z ε : y + z 5 A Ermittle den Abstand zwischen den beiden parallelen Geraden g und h! a g : 5 0 X +t, h : 0 X + s 7 b g : 0 X +t, h : 0 X + s c g : 55 8 X +t 0, h : 5 5 X + s 6 A Berechne i die Höhe, ii das Volumen, iii die Oberfläche des Tetraeders ABCD! a A, B7 0, C 6, D 9 b A5, B6 0, C, D