Beweisen mithilfe von Vektoren
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- Hajo Albert
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1 330 9 Abstände und Winkel zwischen Geraden und Ebenen Beweisen mithilfe von Vektoren In den vorherigen Abschnitten sind Vektoren dazu benutzt worden, Geraden und Ebenen im Raum zu beschreiben und ihre Lage zueinander zu untersuchen. Aber auch bei Untersuchungen von Eigenschaften geometrischer Figuren erweisen sich Vektoren als nützliche Hilfsmittel. Mithilfe einer vektoriellen Beschreibung eines Problems werden geometrische Überlegungen in algebraische übersetzt. Damit stehen neue Methoden zur Lösung des Problems zur Verfügung. 1. Beweisen mithilfe von Linearkombinationen Einführung Schwerpunkt eines Dreiecks Eine Skulptur hat die Form eines Dreiecks und soll bei einer Kunstausstellung so unter die Decke gehängt werden, dass die Dreiecksfläche möglichst parallel zum Fußboden hängt, damit man das Dreieck von unten betrachten kann. Um den Punkt S der Aufhängung zu bestimmen, zerlegt man gedanklich das Dreieck in schmale Streifen, die parallel zu einer Seite des Dreiecks verlaufen. Jeder dieser Streifen hängt im Gleichgewicht, wenn er in seinem Mittelpunkt aufgehängt wird. Die gleiche Überlegung gilt für Streifen, die parallel zu einer anderen Dreieckseite verlaufen. Der gesuchte Punkt S ist also der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden im Dreieck, der sogenannte Schwerpunkt. Lösung 1 Gegeben ist ein Dreieck ABC. Bestimmen Sie den Schwerpunkt S des Dreiecks. Aus der Einführung ergibt sich, dass der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden im Dreieck bestimmt werden muss. Dazu gehen wir in vier Schritten vor. (1) Planskizze (2) Einführen von Vektoren Ein Dreieck wird durch zwei Vektoren festgelegt, z. B. durch Vektoren #####$ ACund AB. #####$ (3) Beschreiben der Seitenhalbierenden s a durch A und s b durch B mithilfe der Vektoren s a = AM a Gerade durch A und M a s b = BM b s a : OX= #####$ #####$ OA+ r AM ######$ a, r R s b : #####$ OX= OB+ #####$ s BM ######$ b, s R Dabei gilt: ######$ AM a = #####$ AB+ BM ########$ a = #####$ AB+ 1 2 _ #####$ AC #####$ AB + = 1 2 _ #####$ AB+ #####$ AC + BM ######$ b = #####$ BA+ 1 #####$ AC 2 = #####$ AB+ 1 #####$ AC 2 = 1 #####$ AC AB #####$ 2 Also: s a : OX= #####$ #####$ OA+ r 1 2 _ #####$ AB+ AC #####$ +, r R s b : #####$ OX= OB+ #####$ s _ 1 #####$ AC #####$ AB 2 +, s R
2 9.3 Beweisen mithilfe von Vektoren 331 (4) Schnitt der Geraden s a und s b Um den Schnittpunkt zu bestimmen, werden die beiden rechten Seiten der Parameterdarstellungen gleichgesetzt: OA+ #####$ r 1 2 _ #####$ AB+ #####$ AC += #####$ OB+ s _ 1 #####$ AC AB #####$ 2 +. Daraus ergibt sich: #####$ OB #####$ OA= r 1 2 _ #####$ AB+ #####$ AC + s _ 1 #####$ AC #####$ AB 2 + #####$ AB= r 1 2 _ AB+ #####$ AC #####$ + s _ 1 #####$ AC #####$ AB 2 + Also: _ 1 r 2 s + #####$ AB= _ r 2 s 2 + AC #####$ Da die Vektoren #####$ AB und AC #####$ das Dreieck aufspannen, haben sie nicht dieselbe Richtung und können deshalb keine Vielfachen voneinander sein. Die Vektorgleichung ist also nur dann erfüllt, wenn beide Faktoren _ 1 r 2 s + und _ r 2 s 2 + gleich null sind. Dies führt auf das lineare Gleichungssystem 1 2 r s = 0 r 2 s 2 = 0 mit der Lösung _ s = 2 3, r = Der Schnittpunkt S der Geraden s a und s b teilt die Strecke AM a im Verhältnis 2 : 1. (5) Ergebnis Ebenso kann man zeigen, dass der Schnittpunkt T der Geraden s a = AM a und s c = CM c die Strecke AM a im Verhältnis 2 : 1 teilt. Es gilt also: S = T, was bedeutet, dass sich die drei Seitenhalbierenden des Dreiecks in einem Punkt S, dem Schwerpunkt der Dreiecksfläche, schneiden. Weiterführende n 2 Methode des geschlossenen Vektorzuges Max hat die 1 gelöst, indem er den geschlossenen Vektorzug AS+ #####$ SM #######$ b + M ########$ b A= ##$ o durch die Vektoren #####$ ACund #####$ ABausdrückt (siehe Bild auf S. 328). Erläutern Sie sein Vorgehen. Führen Sie die Rechnung mit dieser Idee durch. Geschlossener Vektorzug: geschlossene Kette von Pfeilen 3 Formel zur Bestimmung des Schwer punkts eines Dreiecks aus den Koordinaten der Eckpunkte Zeigen Sie, dass für den Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden eines Dreiecks ABC gilt: OS= #####$ 1 ( #####$ OA+ #####$ OB+ #####$ OC). 3 Information (1) Linear unabhängige Vektoren im Raum Wenn zwei Vektoren nicht parallel zueinander sind, dann ist keiner der beiden ein Vielfaches (eine Linearkombination) des anderen. Zwei nicht zueinander parallele Vektoren #$ aund ##$ bspannen ein Dreieck auf; aus ihnen lässt sich keine geschlossene Vektorkette bilden. Die Gleichung r #$ a+ s ##$ b= ##$ o ist also nur für r = s = 0 erfüllt. Diese Überlegungen lassen sich auf einen Vektorzug aus drei Vektoren im Raum übertragen: Drei Vektoren #$ a, ##$ bund #$ c im Raum, von denen keiner eine Linearkombination der beiden anderen ist, spannen einen Tetraeder auf. Aus diesen drei Vektoren lässt sich keine geschlossenen Vektorkette bilden. Die Gleichung r #$ a+ s ##$ b+ t #$ c = ##$ o ist also nur für r = s = t = 0 erfüllt. Man sagt, die Vektoren sind linear unabhängig voneinander.
3 332 9 Abstände und Winkel zwischen Geraden und Ebenen Information (2) Strategie beim Beweisen mit Vektoren Nach den Lösungen der n 1 bis 3 kann man folgende Strategie zur Bestimmung von Längenverhältnissen in geometrischen Situationen festhalten: (1) Festlegen des geometrischen Sachverhaltes durch Ortsvektoren und voneinander linear unabhängige Vektoren #$ a, ##$ b, #$ c (2) Aufstellen einer Schnittgleichung bzw. Suchen eines geeigneten geschlossenen Vektorzuges (3) Die in der Schnittgleichung bzw. im geschlossenen Vektorzug vorkommenden Vektoren als Linearkombinationen der Vektoren #$ a, ##$ b, #$ c darstellen (4) Linearkombinationen in die Schnittgleichung bzw. den Vektorzug einsetzen und umformen in Term 1 #$ a+ Term 2 ##$ b+ = ##$ o Da die Vektoren #$ a, ##$ b, #$ c, voneinander linear unabhängig sind, muss gelten: Term 1 = 0, Term 2 = 0, Term (5) Lösen des linearen Gleichungssystems 1 = 0 Term 2 = 0 Übungsaufgaben 3 Beweisen Sie mithilfe von Vektoren: Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn sich die Diagonalen halbieren. Pierre Varignon ( ) französischer Mathematiker 4 Gegeben ist ein Viereck ABCD. Mit U, V, W, X werden die Mittelpunkte der Viereckseiten a, b, c, d bezeichnet. a) Dann gilt: Das Viereck UVWX ist ein Parallelogramm. b) Satz von Varignon: Die Geraden UW und VX schneiden sich in einem Punkt S. Es gilt: OS= #####$ 1 4 _ #####$ OA+ #####$ OB+ #####$ OC+ #####$ OD +. 5 Ist S der Schwerpunkt des Dreiecks ABC, so gilt: #####$ SA+ SB+ #####$ ####$ SC= ##$ o. 6 Bei einem Parallelogramm wird ein Eckpunkt mit den Seitenmitten zweier nicht anliegender Seiten verbunden. a) Zeigen Sie: Durch die zwei Verbindungsstrecken wird eine Diagonale des Parallelogramms in drei gleich lange Teilstrecken zerlegt. b) Vergleichen Sie den vektoriellen mit dem elementargeometrischen Beweis. Spat: Körper mit sechs Seitenflächen, wobei gegenüberliegende Seitenflächen zueinander kongruente Parallelogramme sind. 7 Gegeben ist ein Spat. a) Zeigen Sie, dass sich die Raumdiagonalen in einem Spat in einem Punkt schneiden. b) Beweisen Sie: Die Ebene durch die Mittelpunkte benachbarter Kanten wird von einer Raumdiagonalen im Verhältnis 6 : 1 geteilt. 8 Gegeben ist ein regelmäßiges Sechseck ABCDEF. In welchem Verhältnis teilt S die Strecken AC und BD? 9 Gegeben ist ein Parallelogramm ABCD. Spiegelt man seinen Mittelpunkt an den Seiten a, b, c und d, so erhält man ein Viereck EFGH. Zeigen Sie: Das Viereck EFGH ist ein Parallelogramm.
4 9.3 Beweisen mithilfe von Vektoren Satz von G. Thomsen Gegeben sind ein Dreieck ABC und ein Punkt P 1 auf BC. Zeichnet man die Parallele zu AC durch P 1, so schneidet diese AB im Punkt P 2. Setzt man dieses Verfahren fort, so erhält man die Punkte P 2,, P 7. Zeigen Sie: P 1, P 2,, P 7 bilden einen geschlossenen Streckenzug. Gerhard Thomsen ( ) studierte Mathematik in Heidelberg und Hamburg, von 1929 bis 1934 war er Professor in Rostock. Thomsen forschte in der Geometrie und der Gruppentheorie. Nach der Machtübernahme Hitlers hielt Thomsen einen Vortrag über die Gefahr der Zurückdrängung der exakten Naturwissenschaften an Schulen und Hochschulen, dessen Text der Generalstaatsanwalt anforderte. Bald darauf wurde Thomsen vom Zug überfahren. Die Gerichtsakten über die Hintergründe sind nicht auffindbar. 11 Die drei voneinander linear unabhängigen Vektoren #$ a, ##$ b, #$ c spannen eine Pyramide auf. Die Grundfläche dieser Pyramide ist das Parallelogramm OADB mit dem Schnittpunkt M der Diagonalen. E ist der Mittelpunkt von OB und S der Schwerpunkt des Dreiecks ADC. a) Zeigen Sie, dass sich die Geraden ES und MC in einem Punkt T schneiden. b) Berechnen Sie u, v mit ####$ ET= u TS ####$ und MT= #####$ v ####$ TC. 12 Gegeben ist ein Tetraeder mit den Ecken Q 1, Q 2, Q 3 und Q 4. S i ist der Schwerpunkt der Seitenfläche, die dem Eckpunkt Q i gegenüberliegt, i = 1, 2, 3, 4. a) Zeigen Sie, dass alle Geraden Q i S i sich in einem Punkt S schneiden. b) Bestimmen Sie Zahlen r i mit #######$ Q i S i = r S #####$ i S. c) Zeigen Sie: #####$ OS= 1 4 _ #######$ OQ 1 + OQ #######$ 2 + OQ #######$ 3 + #######$ OQ 4 +. Menalaos von Alexandria lebte um 100 n. Chr. in Rom. 13 Satz von Menelaos Gegeben ist ein Dreieck ABC. Die Gerade s schneidet die Geraden BC, CA und AB in den Punkten A9, B9 bzw. C9, die von den Punkten A, B, C verschieden sind. Dann gibt es Zahlen x, y, z mit AC9= #######$ x #######$ C9B, BA9= #######$ y #######$ A9C und #######$ CB9= z #######$ B9A. Zeigen Sie: x y z = 1. Giovanni Ceva ( ) italienischer Mathematiker 14 Satz von Ceva Gegeben sind ein Dreieck ABC und ein Punkt Z im Inneren des Dreiecks. Die Verbindungsgeraden von Z mit den Eckpunkten des Dreiecks schneiden die Dreieckseiten BC, AC, AB in den Punkten U, V, W. Es gibt Zahlen u, v, w mit: AW= ######$ w ######$ WB, BU= #####$ u #####$ UC und ####$ CV= v VA. ####$ Zeigen Sie: u v w = 1.
5 334 9 Abstände und Winkel zwischen Geraden und Ebenen 2. Beweisen mithilfe von Skalarprodukten Wir haben gesehen, dass das Skalarprodukt ein geeignetes Instrument zum Berechnen von Winkeln sowie von Längen, Abständen und Flächeninhalten ist. Das Skalarprodukt bietet sich daher immer dann als Hilfsmittel in einem Beweis an, wenn entweder eine Aussage über eine Orthogonalitätsbeziehung oder über Längen- bzw. Flächenmaße zu beweisen ist. 1 Beweis einer Orthogonalitätsbeziehung Gegeben ist ein ebenes Viereck ABCD mit zwei Paaren benachbarter gleich langer Seiten. Das heißt: Das Viereck ist ein Drachenviereck. Dann gilt: Die Diagonalen sind orthogonal zueinander. Lösung (1) Zunächst fertigen wir eine Planskizze an. (2) Es muss gezeigt werden: AC ' BD, also #####$ AC #####$ BD= 0. Um das Skalarprodukt verwenden zu können, müssen wir Vektoren einführen. Dabei sind die Vektoren so zu wählen, dass man mit ihrer Hilfe sämtliche benötigten Größen beschreiben kann und zugleich die Voraussetzung leicht verwendet werden kann. Wir führen die Vektoren #$ a= #####$ AB, ##$ b= #####$ BC, #$ f = #####$ BD ein. Damit gilt AD= #####$ #$ a+ #$ f, DC= #####$ ##$ b #$ f und #$ e= AC= #####$ #$ a+ ##$ b. (3) Wir formulieren die Aussage der nun mittels der Vektoren um: Voraussetzung: #$ a = ##$ b und #####$ DC = #####$ AD, also ##$ b #$ f = #$ a+ #$ f. Zu zeigen: #$ e #$ f = 0, also _ #$ a+ ##$ b + #$ f = 0. (4) Aus ##$ b #$ f = #$ a+ #$ f folgt: _ ##$ b #$ f + _ ##$ b #$ f += _ #$ a+ #$ f + _ #$ a+ #$ v = _ #$ v #$ v #$ f +. Durch Ausmultiplizieren erhält man: ##$ b ##$ b 2 ##$ b #$ f + #$ f #$ f = #$ a #$ a+ 2 #$ a #$ f + #$ f #$ f. Nach Voraussetzung gilt: #$ a #$ a= ##$ b ##$ b und damit folgt: 0 = 2 a #$ #$ f + 2 ##$ b #$ f, also _ #$ a+ ##$ b + #$ f = 0, was zu zeigen war. Weiterführende 2 Beweis bei anderer Wahl der Vektoren Führen Sie den Beweis von 1 durch, indem Sie die Vektoren #$ a= #####$ AB, ##$ b= #####$ BC und #$ c = CD #####$ verwenden. 3 Beweis einer Flächenbeziehung In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete flächeninhaltsgleich zum Rechteck aus Hypotenuse und zugehörigem Hypotenusenabschnitt (Satz von Euklid). Lösung (1) Planskizze (2) Wir führen die folgenden Vektoren ein: #$ a= #####$ CB, ##$ b= #####$ CA, #$ c = #####$ AB und q= #$ ######$ AH sowie ##$ h= #####$ HC. Dabei gilt: #$ a ##$ b= 0 und #$ c ##$ h = 0, da die Vektoren orthogonal zueinander sind. (3) Die Flächeninhalte des Rechtecks über der Hypotenuse und des Quadrats über der Kathete erhalten wir als folgende Skalarprodukte: Da #$ c ein positives Vielfaches von q #$ ist. A Rechteck = #$ c #$ q = #$ c #$ q, A Quadrat = ##$ b ##$ b = ##$ b ##$ b. Es ist also zu zeigen: ##$ b ##$ b= #$ c q. #$
6 9.3 Beweisen mithilfe von Vektoren 335 (4) Es gilt #$ c = #$ a ##$ b und q= #$ ##$ h ##$ b. Man erhält dann: #$ c q= #$ _ #$ a ##$ b + _ ##$ h ##$ b +. Multipliziert man die Klammern teilweise aus, so ergibt sich: #$ c #$ q = _ #$ a ##$ b + _ ##$ h ##$ b + = _ ##$ b #$ a + _ ##$ h+ ##$ b + = #$ c ##$ h+ ##$ b ##$ b #$ a ##$ b Wegen #$ a ##$ b= 0 und #$ c ##$ h= 0 folgt also: #$ c q= #$ ##$ b ##$ b. Information Strategie beim Beweisen mit dem Skalarprodukt Wir fassen unser Vorgehen nochmals zusammen. Beim Beweisen mittels des Skalarprodukts kann man wie folgt vorgehen: (1) Anfertigen einer Planskizze, in der alle notwendigen Punkte und Hilfslinien eingezeichnet sind. (2) Beschreiben des geometrischen Sachverhaltes durch Vektoren. Dabei ist die Wahl der Vektoren beliebig. Sie ist möglichst so zu treffen, dass alle benötigten Größen durch diese Vektoren ausgedrückt werden können. Durch eine geschickte Wahl der verwendeten Vektoren kann sich die Rechnung vereinfachen. (3) Gegebenenfalls Umformulieren der Voraussetzung und der Behauptung mittels der eingeführten Vektoren und deren Eigenschaften. (4) Versuchen, durch algebraische Umformungen der Beziehungen zwischen den Vektoren die Aussage zu beweisen. Dabei muss man algebraische Gleichungen geometrisch deuten bzw. geometrische Sachverhalte in algebraische Beziehungen zwischen den Vektoren umformulieren. Weiterführende 4 Beweis einer Längenbeziehung Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck ABC sowie ein Punkt P im Inneren des Dreiecks. Dann ist die Summe der Abstände von P zu den Dreieckseiten unabhängig von der Wahl des Punktes P. Übungsaufgaben 5 Beweisen Sie die folgenden Aussage über Parallelogramme zunächst geometrisch und dann mit Vektoren: Ein Parallelogramm ist genau dann ein Rechteck, wenn die Diagonalen gleich lang sind. 6 Beweisen Sie mit Vektoren: In einem Parallelogramm ABCD gilt: AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 7 Beweisen Sie: In einem Spat ist die Summe der Quadrate über den vier Raumdiagonalen gleich der Summe der Quadrate über den zwölf Kanten. 8 Zeigen Sie: Die Summe aus den Quadraten der Längen der vier Raumdiagonalen eines Spats ist von den Winkeln, welche die Kanten miteinander bilden, unabhängig. 9 Beweisen Sie den Höhensatz: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe flächeninhaltsgleich zum Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten. 10 Beweisen Sie vektoriell den Satz des Thales: Ein Dreieck ABC ist genau dann rechtwinklig mit AC ' BC, wenn C auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB liegt.
7 336 9 Abstände und Winkel zwischen Geraden und Ebenen 11 Beweisen Sie die folgenden Aussagen über Dreiecke. In einem Dreieck schneiden sich a) die Höhen; b) die Mittelsenkrechten in einem Punkt. 12 Beweisen Sie: In jedem Dreieck ist der Abstand des Schnittpunkts der Mittelsenkrechten von einer Seite gleich dem halben Abstand des Höhenschnittpunkts von der Gegenecke der Seite. 13 In einem Dreieck teilt eine Ecktransversale die gegenüberliegende Seite genau dann im Verhältnis der anliegenden Seiten, wenn sie eine Winkelhalbierende ist. 14 a) Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit rechtem Winkel bei C. Über den Seiten BC und AB wird jeweils das Quadrat mit den Mitten E bzw. F errichtet. Verbindet man E und F mit dem Mittelpunkt M b der Seite AC, so erhält man ein Dreieck EFM b. Zeigen Sie, dass das Dreieck EFM b gleichschenklig und rechtwinklig mit rechtem Winkel bei M b ist. b) Gilt die Aussage auch, wenn das Dreieck ABC beliebig ist? 15 Zeigen Sie: Spiegelt man den Schnittpunkt der Höhen eines Dreiecks an einer Dreieckseite, so liegt der Bildpunkt auf dem Umkreis des Dreiecks. 16 Beweisen Sie, dass in einer regelmäßigen dreiseitigen Pyramide die Summe der Abstände eines inneren Punkts zu den Seitenflächen konstant ist. 17 a) Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen E 1, E 2 und ein beliebiger Punkt P. Spiegelt man P an E 1 und das Bild an E 2, so ist der Abstand von P zum Endpunkt doppelt so groß wie der Abstand der Ebenen zueinander. b) Welche Aussage kann man bei sich schneidenden Ebenen machen? 18 Wenn in einem Quader eine Raumdiagonale die Ebene orthogonal schneidet, die durch die drei Eckpunkte des roten Dreiecks wie in der Abbildung links gegeben ist, dann ist der Quader ein Würfel. Beweisen Sie diese Aussage. 19 Wie sind die Kantenlängen eines Quaders zu wählen, damit zwei Raumdiagonalen orthogonal zueinander sind? 20 Zeigen Sie: Wenn eine dreiseitige Pyramide zwei Paare zueinander orthogonaler Gegenkanten hat, dann sind auch die beiden restlichen Kanten zueinander orthogonal. 21 Zeigen Sie: Die Höhen in einer dreiseitigen Pyramide schneiden sich genau dann in einem Punkt, wenn es zwei Paare zueinander orthogonaler Gegenkanten gibt. 22 Beweisen Sie: a) In einem Tetraeder gibt es einen Punkt, der von den vier Ecken gleich weit entfernt ist. b) In einem Tetraeder gibt es einen Punkt, der von den vier Seitenflächen den gleichen Abstand hat.
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