Aufgabe 1 Es werden n gewöhnliche Spielwürfel nebeneinander auf den Tisch gelegt (siehe Bild).

Transkript

1 Landeswettbeweb Mathemati aden-wüttembeg 1991 Runde ufgabe 1 Es weden n gewöhnliche Spielwüfel nebeneinande auf den Tisch gelegt (siehe ild). Man addiet alle ugenzahlen, die nicht duch den Tisch ode duch einen Nachbawüfel vedect sind. Die maximale ugenzahl, die man so ehalten ann, wede mit (n), die minimale mit a(n) bezeichnet. d n = n a n ist fü gewisse n eine Quadatzahl (z.. fü n =, n = 6). Die Diffeenz ( ) ( ) ( ) Fü welche Wüfelanzahl n ehält man die Quadatzahl in diese Folge? 1. Lösung Die ugensumme eines Wüfels betägt 1. Dabei egänzen sich die ugenzahlen auf zwei gegenübeliegenden Seiten jeweils zum Wet 7. esteht die "Reihe" nu aus einem einzigen Wüfel, so ist (l) = 0 und a(l) =15. Die Diffeenz ist eine Quadatzahl. Deshalb ann diese Sondefall unbeücsichtigt bleiben. Es sei nun n > 1. Mit usnahme des esten und letzten Wüfels weden von jedem Wüfel duch seinen echten und linen Nachban jeweils sieben ugen vedect. Vesucht man die gößte ugenzahl (n) zu ehalten, so legt man jeden Wüfel mit de ugenzahl 1 nach unten auf den Tisch und die beiden äußeen Wüfel de Reihe so, dass die ugenzahl 5 nach außen weist. In diese Lage sind von den beiden äußeen Wüfeln jeweils 18 ugen sichtba. Von den (n ) inneen Wüfeln sind jeweils 13 ugen (= 1 7 1) zu sehen. Die gößte ugensumme ist demnach: (n) = 13 ( n ) + 36 ( n) = 13n+ 10. Die leinste ugenzahl a(n) ehält man entspechend, wenn man bei den (n ) inneen Wüfeln die ugenzahl 6 auf den Tisch legt und bei den beiden äußeen Wüfeln jeweils die ugenzahl nach außen weist. Von jedem inneen Wüfel sind in de angegebenen Lage jeweils 8 ugen und von den beiden äußeen Wüfeln jeweils 10 ugen sichtba. Die leinste ugensumme ist also: a( n) = 8 ( n ) + 0 a( n) = 8n+ 4. ildet man die Diffeenz d (n) diese beiden Teme, so ehält man d(n)= 5n + 6. Esetzt man in diesem Tem die Vaiable n duch eine natüliche Zahl, so entsteht stets eine Zahl mit de Eineziffe 1 ode 6. ndeeseits sind alle Zahlen göße ode gleich 16 mit diesen Eineziffen dastellba. Quadatzahlen mit de Eineziffe 1 ode 6 besitzen eine asis mit den Eineziffen 1, 4, 6 ode 9. LWM 1991 Runde Seite 1 von 8

2 Landeswettbeweb Mathemati aden-wüttembeg Wegen de Einschänung n > 1 beginnt die Teilfolge de Quadatzahlen mit 16, 36, 81, 11, 196,.... Das oblem, die tausendste Quadatzahl in de Folge d(n) zu bestimmen, ist somit auf die ufgabe zuücgefüht, in diese Folge die tausendste Zahl zu bestimmen. Dies wid einfache, wenn man die Folge de zugehöigen asen 4, 6, 9, 11, 14, 16, 19, 1,... betachtet. Jede viete Zahl hat die Fom 10m+ 1, die tausendste Zahl die Fom Zu diese Zahl 501 gehöt die Quadatzahl d(n) = Die nzahl n de Wüfel betägt dann Lösung us de Fodeung, dass 5n + 6 das Quadat eine natülichen Zahl sein soll, ehält man duch Umfomung die edingung ( ) ( + ) n + 6 = n = n = 1 n = us de Fodeung n > 1 folgt > 1. De uch ( 1) ( + 1) + 1 ode 1 duch 5 teilba ist. us 1= 5 m bzw. + 1= 5 m folgt = 5 m+ 1 bzw. = 5 m 1. 5 egibt genau dann eine ganze Zahl, wenn Duchläuft m die natülichen Zahlen göße ode gleich 1, so ehält man abwechselnd aus 5m 1 bzw. 5m + 1 die Zahlenfolge 4, 6, 9, 11,...usw. Jede diese Zahlen ist eine zulässige natüliche Zahl. Die tausendste Zahl in diese Folge egibt sich duch Einsetzen von m = 500 in den Tem 5m + 1. Die weitee Lösung stimmt mit de oben angegebenen übeein. LWM 1991 Runde Seite von 8

3 Landeswettbeweb Mathemati aden-wüttembeg ufgabe In jedem spitzwinligen Deiec ann man einen unt so onstuieen, dass die ildpunte von bei Spiegelung an den dei Deiecseiten ein gleichseitiges Deiec bilden. Stelle die Winel, und in bhängigeit von den Innenwineln des Deiecs da. escheibe eine Konstution des untes. 1. Lösung a) Fü die folgende Lösung wid voausgesetzt, dass de unt im Inneen des Deiecs so gewählt sei, dass die ildpunte a, b und c von bei de Spiegelung an den Deiecseiten ein gleichseitiges Deiec bilden. Daaus egeben sich folgende Eigenschaften: c = c b = α = b b a = und = b. Das Deiec c b ist gleichschenlig mit den 90 β asiswineln 90 α. Entspechend zeigt man, dass das Deiec c a gleichschenlig ist mit de asis und den asiswineln 90 β. us de Gleichseitigeit des Deiecs a b c ehält man weite: w( c ) = 90 β α = 180 β α + 60 = γ Wegen de Spiegelung gilt dann auch w() = γ Entspechend zeigt man w() = α + 60 und w() = β b) Nach den Egebnissen de Teilaufgabe a) ist de unt so zu bestimmen, dass die Stecen, und von aus unte dem Winel γ + 60, α + 60 bzw. β + 60 escheinen. lle unte, von denen aus eine Stece unte einem vogegebenen Winel, z.. γ + 60, escheint, liegen nach dem Randwinelsatz auf einem Keisbogen übe de Sehne. De Mittelpuntswinel M c ist doppelt so goß wie de vogegebene, also γ Zeichnet man übe den Deiecseiten und die Keise mit den Mittelpuntswineln γ + 10 bzw. α + 10, so ehält man den unt als denjenigen Schnittpunt de beiden Keise, de im Inneen des Deiecs liegt. De ditte Winel bei besitzt wegen de Winelsumme von 360 die gefodete Göße von β M b 90 γ 30 α c M c γ+ 10 LWM 1991 Runde Seite 3 von 8

4 Landeswettbeweb Mathemati aden-wüttembeg. Lösung Wiede sei a b c das gesuchte gleichseitige Deiec. Vebindet man mit den Ecpunten dieses Deiecs, so schneiden diese Vebindungsstecen die Deiecseiten, und in den unten Z, X und Y. Da a, b und c die ildpunte von bei de Spiegelung an den Deiecseiten sind, halbieen die Schnittpunte die Vebindungsstecen. Duch eine zentische Stecung mit Zentum und Stecfato 0,5 wid das Deiec a b c auf das Deiec XYZ abgebildet. Da bei eine zentischen Stecung die Winelmaße ehalten bleiben, ist auch das Deiec XYZ gleichseitig. Jedes de Vieece ZY, XZ und YX besitzt bei X, Y bzw. Z zwei echte Winel. Diese Vieece sind deshalb Sehnenvieece mit den Duchmessen, bzw.. Nach dem Randwinelsatz gilt z.. w() = w(y) = w(zy). Entspechend gilt w() = w(x) = w(xz). Da das Deiec XYZ gleichseitig ist, folgt daaus w() + w() = 60. Wegen de Winelsumme von 360 im Vieec gilt: w() = 360 (w() + w() γ = γ. Daaus folgt fü den Egänzungswinel: w() = 360 w() = γ Entspechend zeigt man fü die übigen Winel w() = α + 60 und w() = β Die Konstution des untes efolgt wie bei de esten Lösung. b Y Z c X a LWM 1991 Runde Seite 4 von 8

5 Landeswettbeweb Mathemati aden-wüttembeg ufgabe 3 Welche de Zahlen 101, 10101, , ,... sind imzahlen? Vobemeung Es soll gezeigt weden, dass in de angegebenen Zahlenfolge nu die Zahl 101 eine imzahl ist. Die imzahleigenschaft von 101 wid als beannt voausgesetzt. In den beiden folgenden Lösungen wid nachgewiesen, dass die Zahl z = mit meh als zwei Ziffen 1 eine imzahl sein ann. 1. Lösung Sucht man nach Zelegungen de Zahlen 101, 10101, ,... fü leine Stellenzahlen, so ehält man: 101 ist imzahl = = = = us diesen eispielen ann man die Vemutungen ableiten, dass die gegebenen Zahlen duch 101 teilba sind, wenn die nzahl de Ziffen 1 geade ist, und duch eine Zahl aus laute Einsen teilba sind, wenn die nzahl de Ziffen 1 ungeade ist. Zum Nachweis diese Vemutungen weden die beiden Fälle unteschieden. Fall I (Die nzahl de Ziffen 1 ist geade.) Jede Zahl de Fom z = mit eine geaden nzahl von Ziffen 1 ann man als Summe de 4 8 4m Fom scheiben. Daaus egibt sich unmittelba die Teilbaeit duch 101, da jede Summand duch 101 teilba ist. Lediglich die este Zahl 101 ist eine imzahl. Fall II (Die nzahl de Ziffen 1 ist ungeade, d.h. = n + 1.) Die Zahl besteht aus insgesamt 1 Ziffen und lässt sich in de Fom scheiben. Duch usmultiplizieen lässt sich bestätigen, dass ( ) ( ) = 10 1 gilt. Duch Umfomen und nwenden de ditten binomischen Fomel ehält man daaus: ( 10 1) ( ) = = Die Zahl göße 1. besteht aus Ziffen 9 und ist deshalb duch 9 teilba. Fü > 1 ist de Quotient Nach de Teilbaeitsegel fü die Zahl 11 ist die Zahl duch 11 teilba, da nach Voaussetzung ungeade und deshalb die altenieende Quesumme de Ziffen null ist. Fü > 1 ist auch de Quotient göße als Die Zahl = ist fü eine ungeade nzahl von 911 Ziffen 1 aus zwei Fatoen göße als 1 zusammengesetzt und deshalb eine imzahl. ( ) ( ) LWM 1991 Runde Seite 5 von 8

6 Landeswettbeweb Mathemati aden-wüttembeg. Lösung Multipliziet man die Zahl z = (n 1 Ziffen) mit 99, so ehält man die Zahl mit n Ziffen. Diese Zahl enthält die Zahl t = (n Ziffen) als Teile. Die Zahl t ist eineseits fü n > göße als 99, abe leine als z. Da t andeeseits ein Teile von 99 z ist, müssen t und z mindestens einen Teile göße als 1 gemeinsam haben. Deshalb ann z fü n > eine imzahl sein. LWM 1991 Runde Seite 6 von 8

7 Landeswettbeweb Mathemati aden-wüttembeg ufgabe 4 ei einem echtwinligen Deiec beüht ein Keis den Umeis sowie die beiden Katheten. Zeige, dass de Radius des Keises doppelt so goß ist wie de Ineisadius des echtwinligen Deiecs. ezeichnungen und Eigenschaften Die enennungen des Deiecs weden so gewählt, dass a < b gilt. In de bbildung sei de eühpunt des Umeises von Deiec und des Keises aus de ufgabenstellung. Dessen Mittelpunt wid mit M, de Mittelpunt des Umeises mit M u und de Mittelpunt des Ineises mit M 1 bezeichnet. De Radius des Umeises ist 1 c De Mittelpunt M des Keises muss außehalb des Deiecs liegen, denn sonst önnte nicht die beiden Katheten und den Umeis des Deieces beühen.. M M U De Radius des Keises wid mit bezeichnet. Fü diesen Radius gilt 1 a < < 1 c. Lösung Die Geaden (M u ) und (M ) sind othogonal zu gemeinsamen Tangente an die beiden Keise im eühpunt. Deshalb fallen diese beiden Geaden zusammen und die dei unte M u, M und de eühpunt liegen auf eine Geaden. M us diesem Gund gilt MU = MUM + M und damit a S M U 1 c M M U = +. Die Schnittpunte de Lote von M U auf die Deiecsseiten und sind die Mittelpunte diese Seiten. Zeichnen wi die Othogonalen zu und duch M, so stimmen deen bstände von den Geaden () und () mit dem Radius des Keises übeein. Ist die Geade (M U M ) nicht zu () paallel, so entsteht ein echtwinliges Deiec M U M S, aus dem mit Hilfe des Satzes von ythagoas fü die Stecenlänge M U M folgt: a + b = c a+ b + a + b = c c+. (*) 4 4 ( ) ( ) Da von null veschieden ist und außedem im echtwinligen Deiec die eziehung a + b = c gilt, ann zu = a + b c veeinfacht weden. Ist (M U M ) paallel zu (), so gilt 1 = b. b LWM 1991 Runde Seite 7 von 8

8 Landeswettbeweb Mathemati aden-wüttembeg us de linen bbildung folgt fene, dass dann außedem 1 c = 1 a ist. Diese besondee Lage von M ist demnach als Sondefall in de obigen Gleichung (*) enthalten und füht wie diese zu de edingung = a + b c. c M a a M U a b = b b Fü den Ineisadius p eines echtwinligen Deiecs ehält man aus den gleich langen Tangentenabschnitten, wie man aus de echten bbildung eennt, die eziehungen 1 + = = + c. ( a ) ( b ) c ( a b ) Daaus folgt schließlich die behauptete eziehung =. LWM 1991 Runde Seite 8 von 8