B) Konstruktion des geometrischen Mittels und geometrisches Wurzelziehen :

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1 Seite I Einige interessante elementargeometrische Konstruktionen Ausgehend von einigen bekannten Sätzen aus der Elementargeometrie lassen sich einige hübsche Konstruktionen herleiten, die im folgenden dargestellt werden sollen und welche bis auf die letzte Konstruktion (Abwicklung des Kreises nach Kochanski) den alte Griechen bekannt waren und auf klassische Probleme aus der Antike zurückgehen. A) Zerlegung einer gegebenen Strecke in gleichlange Teile: Aufgabe (= n-teilung einer Strecke): Ausgehend von einer Strecke AB der Länge s d(a,b) soll eine Teilstrecke AC AB der Länge d(a,c) d(a,b) mit m n Q (m,n N, m < n ) konstruiert werden. Lösungsverfahren: 1. Zeichne eine von A ausgehende Halbgerade k AB und trage auf ihr einen beliebig gewählten Abstand a > 0 genau n-mal ab. Der Endpunkt sei F k. Dann gilt: d(a,f) n a.. Dann kennzeichne auf k den Punkt E mit dem Abstand d(a,e) m a. 3. Zeichne durch F und B die Verbindungsgerade g BF und durch E die dazu parallele Gerade h g. 4. Der Punkt C mit C h AB ist der gesuchte Teilungspunkt auf AB, denn nach dem 1. Strahlensatz gilt: dac (, ) dae (, ) m d(a,c) d(a,b) mit m dab (, ) daf (, ) n n. B) Konstruktion des geometrischen Mittels und geometrisches Wurzelziehen : aktueller Stand:

2 Seite II Aufgabe (= Quadratur des Rechtecks): Ausgehend von einem beliebigen Rechteck ABCD mit Seitenlängen a d(a,d) und b d(a,b) soll das Quadrat mit (unbekannter) Seitenlänge x konstruiert werden, dessen Flächeninhalt F Q gleich dem Flächeninhalt F R des Rechtecks ist. Lösungsverfahren: 1. Drehe die Rechteckseite CD um D in die Horizontale - d.h. um 90. Für den neuen Punkt C gilt dann: D AC sowie d(a,c ) d(a,d) d(d,c ) a b.. Zeichne den Thaleskreis k um den Mittelpunkt M über dem Durchmesser AC. Für den Radius r von k gilt dann insbesondere: r d(a,m) 1 (a b). 3. Errichte in D das Lot h AC und kennzeichne den Schnittpunkt {E} h k. Nach dem Satz von Thales gilt dann für den Winkel im Dreieck AEC : Die gesuchte Seitenlänge des Quadrats ist dann die Höhe x h E d(d,e) im Dreieck AEC, denn mit dem Höhensatz des Euklid erhält man: x d(d,e) d(a,d) d(d,c ) a b. Bemerkungen: 1) Man nennt die Zahl x ab für a>0, b>0 das geometrische Mittel von a und b. ) Wählt man speziell b 1, so erhält man ein Verfahren zur geometrischen Konstruktion der Wurzel x a aus einer beliebigen Zahl a > 0. 3) Aus der nachfolgenden Skizze kann man ablesen, dass für das arithmetische Mittel y zweier positiver Zahlen a,b >0 stets gilt: x ab a b y und x y a b. aktueller Stand:

3 Seite III C) Konstruktion des Goldenen Schnitts : Aufgabe 1 (= Teilung einer Strecke nach dem Goldenen Schnitt): Ausgehend von einer Strecke AB der Länge s d(a,b) soll ein Teilungspunkt C AB konstruiert werden, so dass für die Länge x der Teilstrecke AC AB gilt (siehe dazu die Skizze auf der nächsten Seite): x dac (, ) dcb (, ) s x. s dab (, ) dac (, ) x Aufgabe (= Zerlegung eines Rechtecks in ein Quadrat und ein ähnliches Rechteck): Zu vorgegebener Seitenlänge a > 0 wird eine kleinere Seitenlänge x > 0 (a > x) gesucht, so dass aus dem Rechteck mit beiden Seitenlängen a und x bei Abschneiden eines Quadrats mit der Seitenlänge x wieder ein Rechteck entsteht, welches zum ursprünglichen ähnlich ist. D.h. es gilt:. a x x a x Lösungsverfahren (für Aufgabe 1): 1. Errichte in B das Lot h zu AB und trage auf h den Punkt D oberhalb von AB ab mit d(b,d) s 1 d(a,b). Dann bildet ABD ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse AD. aktueller Stand:

4 Seite IV. Zeichne um D den Kreis k mit Radius r d(b,d) s. Man erhält die beiden Schnittpunkte {C,E } g k mit g AD. 3. Mit dem Zirkel schlage man Kreisbögen um A durch C und E. Im Schnitt mit der Geraden AB erhält man zum einen den gesuchten Teilungspunkt C AB, der die Ausgangsstrecke im Goldenen Schnitt teilt, sowie einen weiteren äußeren Teilungspunkt E y s zu AB, für dessen Abstand y d(a,e) von A gilt:. s y s Bemerkungen: 1) Für die Länge x d(a,c) der längeren durch C AB gebildeten Teilstrecke erhält man die folgende quadratische Gleichung: x s (s x) x s x s 0. Wegen x > 0 folgt daraus: x 5 1 s. Die Verhältniszahl x s 5 1 wird auch die Goldene-Schnitt-Zahl genannt. ) Der äußere Teilungspunkt E zu AB führt für y d(a,e) auf folgende quadratische Gleichung: y (y s) s y s x s 0. Wegen y > 0 folgt daraus: y 5 1 s. Man erhält als Verhältniszahl in diesem Fall: y s. 3) Die Goldene-Schnitt-Zahl und ihr Kehrwert -1 spielen in der Natur offensichtlich eine große Rolle, sind also Naturkonstanten. Sie tauchen insbesondere auf: aktueller Stand:

5 Seite V - im Zusammenhang mit der sogenannten Fibonaccifolge (und zwar als Grenzwert der Quotientenfolge benachbarter Fibonaccizahlen) sowie - im Zusammenhang mit dem regelmäßigen Fünfeck, dem Pentagon (und zwar als inkommensurables Verhältnis zwischen Seitenlänge und Diagonalenlänge). Einige Mathematik-Historiker vermuten, dass die erste irrationale Zahl gewesen ist, auf welche die Pythagoräer infolge ihrer mathematischen Forschungen am Pentagon gestoßen sind. D) Konstruktion des regelmäßigen Sechsecks (Hexagon) und Fünfecks (Pentagon): Aufgabe (= Einbeschreibung eines regelmäßigen n-ecks für n 3,4,5,6 in einen Kreis): In einen Kreis k um M mit Radius r > 0 soll ein regelmäßiges n-eck (3 n 6) - d.h. ein gleichseitiges Dreieck, Quadrat, Pentagon, Hexagon - eingezeichnet werden. Lösungsverfahren: 1. n 4 : (i) Zeichne eine Gerade g durch M und dazu eine Senkrechte h g durch M. (ii) Die Schnittpunkte A,B,C,D der beiden Geraden g und h mit k ergeben die Eckpunkte des Quadrats, welches k einbeschrieben ist.. n 6, n 3 : (i) Markiere einen Punkt A auf k und schlage um A einen Kreisbogen mit Radius r d(a,m). Der Schnittpunkt dieses Kreisbogens mit k sei B. (ii) Dann bildet ABM ein gleichseitiges Dreieck (man überprüfe dies). Damit gilt für den Innenwinkel bei M : 60. (iii) Trägt man jetzt r von B aus weiter auf k ab, so kommt man über C, D, E und F schließlich wieder bei A an. Die Punkte A bis F bilden dann die Eckpunkte des k einbeschriebenen Sechsecks (Hexagons). (iv) Wählt man nur jede. Ecke aus, so erhält man z.b. das k einbeschriebene regelmäßige (gleichseitige) Dreieck (Trigon) ACE. aktueller Stand:

6 Seite VI 3. n 10, n 5 : (i) Zeichne eine Gerade g durch M und dazu eine Senkrechte h g durch M. Wähle A h k sowie P g k (am besten A über M gelegen). (ii) Sei Q PM der Mittelpunkt der angegebenen Strecke. Dann ziehe um Q einen Kreis k mit Radius d(a,q). Es sei k g R, wobei M QR. (iii) Trägt man nun von A aus die Länge s d(m,r) neunmal ab, so erhält man das k einbeschriebene Zehneck A,B,,K. (iv) Trägt man stattdessen von A aus die Länge s d(a,r) viermal ab, so erhält man das k einbeschriebene Fünfeck A,B,C,D,E. Bemerkungen: 1) Zeichnet man in das Pentagon zusätzlich die fünf Diagonalen AC, AD, BD, BE und CE ein, so erkennt man im Innern wieder ein ähnliches kleines Fünfeck. ) Weiterhin erscheinen durch die Diagonalen lauter zu ACD ähnliche gleichschenklige Dreiecke (Beweis?). Mithilfe dieser Dreiecke kann man zeigen, dass sich zwei Diagonalen jeweils gegenseitig im Goldenen Schnitt teilen. So gilt beispielsweise: das (, ) dsd (, ) AD CE { S} (s. Skizze). dad (, ) das (, ) 3) Im Dreieck ACD folgert man aufgrund der Ähnlichkeit sämtlicher spitzwinkliger Dreiecke im Pentagon: dcd (, ) dac (, ) (Beweis?). Somit gilt: Im regelmäßigen Fünfeck stehen die Seitenlänge s und die Diagonalenlänge d im Goldenen-Schnitt-Verhältnis. aktueller Stand:

7 Seite VII E) Kochanski-Konstruktion zur Abwicklung des Kreises: Aufgabe (= Konstruktion einer Strecke von der Länge eines halben Kreisumfangs): Zu einem Kreis k um M mit Radius r > 0 soll eine Strecke mit halbem Kreisumfang als Länge - also mit s r - gezeichnet werden ( Abwicklung des Kreises). Bemerkung: Man beachte zunächst, dass eine sogenannte transzendente Zahl ist und daher nicht exakt mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Die im folgenden vorgestellte Kochanski- Konstruktion (erstmals veröffentlicht 1695) stellt daher nur ein Näherungsverfahren dar. Lösungsverfahren: 1. Zeichne im Endpunkt B des Kreisdurchmessers AB des Kreises k die Tangente t an k.. Dann trage auf k von B aus den Radius r ab. Man erhält C k mit d(b,c) r. 3. Konstruiere im gleichschenkligen Dreieck BMC die Winkelhalbierende w M in M. Dann ist w M zugleich die Mittelsenkrechte zu BC. 4. Betrachte den Schnittpunkt w M t {E} und trage von E aus in Richtung B dreimal den Kreisradius - also 3 r - ab. So erhält man den Punkt F t. 5. Die Strecke AF hat nun die gesuchte Länge s d(a,f) r. Bemerkungen zur Konstruktion: 1. Aufgrund der Konstruktion erkennt man, dass im rechtwinkligen Dreieck BME für den Winkel in M gilt: 30. Somit folgt:: deb (, ) dbm (, ) tan 30 r d(e,b) aktueller Stand:

8 Seite VIII. Weiter gilt aufgrund der Zusammensetzung der Strecken auf t : (B,F) 3 r d(e,f) ( 3 1 ) 3 r. 3. Aufgrund des Lehrsatzes des Pythagoras erhält man im rechtwinkligen Dreieck ABF für die Hypotenuse AF die Länge: d(a,f) d(a,b) + d(b,f) ( r) + [ ( 3 1 ) 3 r ] 1 4 ( 3 ) 3 Also gilt: daf (, ) r mit r Stre- Lösung: (i) Konstruiere mittels Kochanski zu gegebenem Kreis k mit Radius r > 0 eine cke der Länge a r. (ii) Hänge an a eine Strecke der Länge b r an und bilde das geometrische Mittel x a b r r. Dann gilt für den Flächeninhalt des Quadrats mit Seitenlänge x : F x r. Bemerkung zur Konstruktion: Das beschriebene Verfahren bietet tatsächlich nur eine Näherungslösung für das Problem, denn: Die Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal ist geometrisch nicht lösbar. Durch Verknüpfung der Kochanski-Konstruktion mit der Konstruktion des geometrischen Mittels kann man annähernd das Problem der Quadratur des Kreises lösen. Aufgabe: Zu gegebenem Kreis konstruiere man mittels Zirkel und Lineal ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt. aktueller Stand:

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