Prüfungsaufgaben. Aufgabe 2 (TP1 Frühjahr 2006) ( ) logisch

Transkript

1 Aufgabe 1 (TP1 Februar 2007) Prüfungsaufgaben Bestimmen Sie zu den nachstehenden aussagenlogischen Aussageformen je eine möglichst einfache logisch äquivalente Aussageform. Weisen Sie die Äquivalenzen durch schrittweises Umformen nach. a) ( p q) ( p q) b) p ( p q) Bei b) sollen im Ergebnis nur die Operationszeichen und vorkommen. Aufgabe 2 (TP1 Frühjahr 2006) ( ) logisch a) Zeigen Sie, dass die aussagenlogischen Aussageformen p q und p q äquivalent sind. b) Ersetzen Sie die Aussageform p > < q durch eine logisch äquivalente Aussageform, in der als Operationszeichen nur und vorkommen ( > < ist das Zeichen für die ausschliessende Alternative.) Aufgabe 3 (TP1 Frühjahr 2006) Drücken Sie die nachstehenden Aussagen bzw. Aussageformen mit Hilfe von Formeln und logischen Symbolen aus (Grundmenge 0 ). a) Zu jeder Zahl x gibt es eine Zahl y, sodass x + 1 = y ist. b) Es gibt eine Zahl y, sodass für jede Zahl x die Gleichung x + 1 = y erfüllt ist. c) Für jede Zahl x ist die Gleichung x + 1 = y erfüllt. d) Es gibt eine Zahl x, sodass die Gleichung x + 1 = y erfüllt ist. Geben Sie für sämtliche Teilaufgaben an, welche Variablen frei und welche gebunden vorkommen. Bei Aussagen bestimme man, ob sie wahr oder falsch sind; bei Aussageformen gebe man die Erfüllungsmenge an. Aufgabe 4 (Februar 2007) Wir betrachten die Aussageform in 0 : ( ) ϕ : n 0 (n m) (m n + 1) (m = n) (m = n + 1) a) Welche Variable ist frei? welche gebunden? Bestimmen Sie die Erfüllungsmenge. b) Bestimmen Sie die Kontraposition der Formel ϕ. c) Bestimmen Sie eine zu ϕ äquivalente Formel so, dass die Zeichen und darin nicht vorkommen. Dr. C. Albertini 1/5 Prüfungsaufgaben_CAL_FS12.doc

2 Aufgabe 5 (Frühjahr 2006) Prämissen: i) Alle Menschen, die ins Mathematik-Kolloquium gehen, lieben die Mathematik. ii) Einige Menschen, die ins Mathematik-Kolloquium gehen, sind mathematisch unbegabt. iii) Kein Forschungsmathematiker ist mathematisch unbegabt. Beurteilen Sie die folgenden Schlüsse: a) Alle Forschungsmathematiker gehen ins Mathematik-Kolloquium. b) Einige Menschen, die mathematisch unbegabt sind, lieben die Mathematik. c) Kein Mensch, der die Mathematik liebt, ist mathematisch unbegabt. d) Nicht alle Menschen, welche die Mathematik lieben, sind Forschungsmathematiker. Aufgabe 6 (Frühjahr 2006) In einer Menschenmenge werden die folgenden Verwandtschaftsrelationen betrachtet: V: ist Vater von T: ist Tochter von S: ist Sohn von E: ist Ehefrau von Welches sind die in der Umgangssprache gebräuchlichen Namen für die folgenden Relationen? a) T S b) (T S ) 1 V Drücken Sie die Relationen c) ist Mutter von d) ist Stiefmutter von mit Hilfe der eingeführten Bezeichnungen aus. Aufgabe 7 (Frühjahr 2006) Wir betrachten die Funktion f : \{2}, x y = 2x + 1 x 2. a) Bestimmen Sie den Wertebereich von f. b) Zeigen Sie, dass die Funktion f injektiv ist. c) Ermitteln Sie die Termdarstellung der Zusammensetzung f f. Welchen Schluss ziehen Sie aus dem Resultat? Dr. C. Albertini 2/5 Prüfungsaufgaben_CAL_FS12.doc

3 Aufgabe 8 (Februar 2007 geändert) a) Wir betrachten die linearen Funktionen f,g : mit den Termdarstellungen f (x) = 2x + a und g(x) = 3x + b. Es gelte nun g f = f g. Bestimmen Sie das Verhältnis a : b. b) Es seien f : A B und g : B A zwei Abbildungen mit der Eigenschaft, dass g f = 1 A (Identität von A). Zeigen Sie: (i) f ist injektiv; (ii) g ist surjektiv. c) Zeigen Sie dass die Funktion h : 0, Sie h 1. 1, : x 7x bijektiv ist und bestimmen Aufgabe 9 (Frühjahr 2006) a) Zeichnen Sie für die Teilerrelation in T(72) und in T(90) je ein Hasse-Diagramm. b) Wir betrachten die Relation R in 0, welche gegeben ist durch xr y : gdw x y ungerade ist.(beachte: Die Zahl 0 ist gerade.) Beweisen oder widerlegen Sie: b 1 ) R ist reflexiv; b 2 ) R ist symmetrisch; b 3 ) R ist transitiv. Aufgabe 10 (Februar 2007) a) Welche Kreislein müssen im nebenstehenden Koordinatendiagramm mindestens hinzugefügt werden, damit die dargestellte Relation symmetrisch und transitiv ist? d c b a a b c d b) In der Ebene E betrachten wir Dreiecke. Zwei Dreiecke D 1, D 2 sind kongruent, wenn es eine Kongruenzabbildung K gibt, welche D 1 in D 2 überführt; d.h., wenn K(D 1 ) = D 2 gilt. Zeigen Sie, dass die Kongruenz von Dreiecken eine Äquivalenzrelation ist. Dr. C. Albertini 3/5 Prüfungsaufgaben_CAL_FS12.doc

4 Aufgabe 11 (Herbstsemester 2007) Die Mengen A, B und C sind Teilmengen der Grundmenge G. a) Stellen Sie die Menge A Δ B in einem Venn-Diagramm dar. b) Schreiben Sie die zu (A B) A B = duale Aussageform auf. c) Zeigen Sie, dass für alle Mengen A und B die folgende Gleichheit gilt: P ( A B) = P ( A) P (B), wobei P ( A) die Potenzmenge von A ist. Aufgabe 12 (Herbstsemester 2007) Wir betrachten die Menge A = { 1,2,...,11,12}. Die Relation S in A ist wie folgt definiert: x S y :gdw x hat gleich viele Teiler wie y. a) Geben Sie die Teilermengen der Zahlen 1 bis 12 an. b) Zeigen Sie, dass S eine Äquivalenzrelation ist. c) Geben Sie alle Elemente der Äquivalenzklasse 8 an. d) Geben Sie alle Äquivalenzklassen an. Aufgabe 13 (Frühjahr 2006) Bei einer Umfrage gaben 178 Personen über ihre Lese-Gewohnheiten Auskunft. Die Umfrage hat ergeben, dass 100 dieser Leute Belletristikbücher, 67 Sachbücher und 102 Kriminalromane lesen. Ferner weiss man, dass 29 Personen Bücher aus allen drei genannten Sparten lesen. Schliesslich ist bekannt, dass 21 Leute nur Belletristik, 12 Leute nur Sachbücher und 31 Personen nur Krimis lesen. a) Wie viele dieser Personen lesen Belletristikbücher und Krimis aber keine Sachbücher? b) Wie viele Leute lesen Bücher aus mindestens zwei der drei Sparten? c) Wie viele lesen nur andere oder gar keine Bücher? Aufgabe 14 (Februar 2007) Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass die Aussageform n k 2 = k =0 n(n + 1)(2n + 1) 6 in N 0 allgemeingültig ist! Dr. C. Albertini 4/5 Prüfungsaufgaben_CAL_FS12.doc

5 Aufgabe 15 (Frühjahr 2006) Ermitteln Sie die folgenden Summen mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes: a) 2 k k b) ( 2) k k c) k +1 Aufgabe 16 a) Schreiben Sie die folgenden Summen in Kurzform, mit Hilfe des Summenzeichens : b) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass c) Berechnen Sie die Summe in Teilaufgabe a). (2n 1) (2n + 1) = n 2n + 1 Aufgabe 17 (Herbst 2006) a) Für welche natürliche Zahl n gilt n 6 = n 8? n b) Es gelte 7 = n 10. Welchen gemeinsamen Zahlenwert haben dann die beiden Binomialkoeffizienten? n + 1 c) Schliesslich gelte 7 = 3 n 6. Welches ist in diesem Fall der grösste Eintrag in der n-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks? Dr. C. Albertini 5/5 Prüfungsaufgaben_CAL_FS12.doc