Folien zur Vorlesung. Statistik für Prozesswissenschaften. (Teil 1: Beschreibende Statistik) U. Römisch

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1 Fole zur Vorlesug Statstk für Prozesswsseschafte (Tel : Beschrebede Statstk) U. Römsch

2 Ihaltsverzechs EINLEITUNG. Was versteht ma uter Statstk, Bometre, Chemometre, Ökoometre ud Techometre?. We lügt ma mt Statstk? Umfrage Mttelwert- ud Streuugsmaße Wahrschelchkete Grafke Sgfkazaussage be statstsche Tests

3 . BESCHREIBENDE (DESKRIPTIVE) STATISTIK.. Charakterserug vo Merkmale.. Grudgesamthet ud Stchprobe.3. De Häufgketsvertelug dskreter ud stetger edmesoaler Merkmale - absolute u. relatve Häufgkete ud hre grafsche Darstellug - emprsche Vertelugsfukto.4. Stat. Maßzahle edm. Merkmale - arthm. Mttel, Meda, gestutztes Mttel, Modalwert, geometrsches Mttel, α- Quatl

4 - Spawete, Medaabstad, Quartlsabstad, Varaz, Stadardabwechug, Stadardfehler des arthm. Mttelwertes, Varatoskoeffzet, Box- ud Whsker Plots - Schefe ud Exzess.5. Zwedmesoale Merkmale - grafsche Darstellug (Scatterplot) - Häufgketsvertelug (Verfeldertafel, Kotgeztafel, - dm. Häufgketstabelle, graf. Darstelluge) - Zusammehagsmaße (Assozatos-,Kotgez-, Maßkorrelatos- ud Ragkorrelatoskoeff.) - leare Regresso (ef. ud multple leare Regresso ud polyomale Regresso)

5 . WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG.. Zufällge Eregsse, Eregsfeld, Wahrschelchket - Regel für de Berechug vo Wahrschelchkete.. Zufallsgröße (ZG) - Arte vo Zufallsgröße ud hre Verteluge (dskrete ud stetge Zufallsgröße) - Kegröße vo Zufallsgröße (Erwartugswert u. Varaz).3. Spezelle Verteluge - Bomal-, Hypergeometrsche-, Posso- ud Normalvertelug - Prüfverteluge (Ch -, t- u. F- Vertelug), Fuktoe vo Zufallsgröße.4. Grezwertsätze

6 3. SCHLIESSENDE (INDUKTIVE) STATISTIK 3.. Statstsche Schätzverfahre - Schätzmethode, Stchprobefukto, Puktschätzuge - Kofdez- ud Toleraztervalle, Kotrollkarte 3.. Statstsche Tests - Parametrsche Tests für Mttelwerte u. Varaze be - ud - Stchprobeprobleme - Varazaalyse ud multple Vergleche - Vertelugsfree Methode (Vertelugsapassug, vertelugsfree Tests) - Iduktve Methode be der Regressosaalyse (Test der Parameter u. des Modells, Resdualaalyse, Kofdez- u. Progosetervalle)

7 4. KOMPLEXE PROJEKTBEISPIELE 4. Etwcklug ees glutefree ud ballaststoffagerecherte Gebäckes mt optmale Egeschafte mttels Methode der statstsche Versuchsplaug 4. Herkuftsbestmmug vo Wee auf der Bass chemscher Aalyseparameter mttels u- ud multvarater Methode der statstsche Dateaalyse I der Übug mt PC- Praktkum werde mt Statstkprogramme kokrete Fragestelluge aus de Fachgebete behadelt.

8 EINLEITUNG. Was st Statstk? Statstk st de Wsseschaft des Sammels, Aalyseres ud Iterpreteres vo Date. Se beatwortet de Frage:. We solle welche Date gewoe werde?. We soll ma Date beschrebe? ud 3. Welche Schlüsse ka ma aus Date zehe? Telgebete: Beschrebede Statstk Wahrschelchketstheore Stat. DA Stochastk Schlessede Statstk Stat. VP

9 .BESCHREIBENDE (DESKRIPTIVE) STATISTIK De Beschrebede ud exploratve Statstk det der Beschrebug, Strukturerug ud Verdchtug umfagreche Datematerals. We erhält ma u Date ud welcher Art sd de Date? Iformatoe über der Realtät exsterede Erscheuge ud Prozesse erhält ma durch Erhebuge ud Versuche. Zel: Ketsse über de Egeschafte bestmmter Objekte (z.b. Betrebe, Alage, Messmethode, Läder) oder Idvdue (z.b. Persoe, Tere, Pflaze) zu erhalte

10 .. Charakterserug vo Merkmale - De Objekte/ Idvdue, a dee Beobachtuge vorgeomme werde, heße Beobachtugsehete (Merkmalsträger). Dabe st ke Objekt/ Idvduum mt eem adere detsch. Dese Uterschedlchket et ma Varabltät. - De Größe oder Egeschafte, auf de sch de Beobachtuge bezehe, heße Merkmale. - Jedes Objekt/ Idvduum st durch ee spezelle Merkmalsausprägug gekezechet. - Alle beobachtete Werte ees Merkmals heße Merkmalswerte.

11 Klassfzerug vo Merkmale. Merkmale Qualtatve Merkmale Quattatve Merkmale. (Uterschedug durch Art) Bsp.: Geschlecht, Rasse, Sorte, Lad, Hefestamm, Aroma Merkmale (Uterschedug durch Größe) Bsp.: Alter, Gewcht, Masse, Läge, Volume, Ekomme, Wasser- u. Lufttemperatur, Kozetrato, Zellzahl Dskrete Merkmale (edlch vele oder abzählbar uedlch vele Merkmalsauspräguge) Bsp.: Geschlecht, Rasse, Sorte, Lad, Hefestamm, Aroma, Zellzahl Stetge Merkmale (überabzählbar uedlch vele Auspräguge, d.h. Werte m reelle Zahletervall) Bsp.: Alter, Gewcht, Masse,

12 3. Merkmale Nomalskalerte Merkmale (Skala mt edrgstem Nveau, kee Verglechbarket oder Ragfolge zwsche de Werte) Bsp.: Geschlecht, Rasse, Sorte, Lad, Hefestamm, Aroma Ordalskalerte Merkmale (Skala mt höherem Nveau, Werte uterschede sch hrer Itestät, ermöglche ee Ragfolgeordug, jedoch kee Iterpretato der Abstäde zwsche de Räge) Bsp.: Aroma, Härtegrad, sesor. Parameter, Zesure Metrsch skalerte Merkmale (Skala mt höchstem Nveau, Abstäde zwsche de Werte sd terpreterbar) Bsp.: Alter, Gewcht, Masse, Läge, Volume, Ekomme, Wasser- u. Lufttemperatur, Zellzahl, Kozetrato, Itervallskala Proportosskala

13 Itervallskala (Eheteskala) : De Skala besteht aus Zahle, zwsche dee glech große Itervalle bestmmbar sd. Der Nullpukt wrd wllkürlch festgelegt (relatv). Es sd ur Dffereze vo Messwerte svoll terpreterbar. Bsp.: Temperaturskala ach Celsus, tägl. Zuahme der Körpermasse, be logar. Trasformato der Messwerte Proportoalskala (Ratoskala) : Zusätzlch zur Itervallskala wrd e absoluter Nullpukt defert, so dass auch Quotete vo Messwerte svoll terpreterbar sd. Bsp.: Temperaturskala ach Kelv (ee Verdoppelug der Temperatur etsprcht der Verdoppelug des Gasvolumes), Gewcht, Masse, Volume, Zellzahl

14 .. Grudgesamthet ud Stchprobe Date ka ma durch Befragug vo Persoe oder durch Expermete (Messuge) gewe. Expermete Passve Expermete Alle Beobachtugswerte ergebe sch zufällg währed des Versuches! Komberte Expermete Aktve Expermete Aktve Plaug der Expermete vor dere Durchführug, Plaug der Versuchsbedguge Awedug der Methode der statstsche Versuchsplaug (SVP)!

15 Methode der statstsche Versuchsplaug Zel: Erzele vo Ergebsse mt ausrecheder Scherhet ud Geaugket be mmaler Azahl vo Versuche Problem Plaug 3 (4) Versuchsetappe: Durchführug Auswertug

16 Schrtte der SVP:. Erfasse des Gesamtproblems ud aller Telprobleme ud Präzsere der Versuchsfrage. Aufstelle des statstsche Modells 3. Abletug des Versuchsplaes 4. Ermttlug des otwedge Versuchsumfags 5. Durchführug der Versuche 6. Statstsche Auswertug der Versuche ud techologsche Iterpretato der Ergebsse 7. Schlussfolgeruge

17 Grudprzpe der SVP: Wederhole vo Versuchspukte Radomserug Blockbldug Symmetre Vermege Sequetelles Expermetere 7

18 Type vo stat. Versuchspläe (VP): Faktorelle Versuchspläe (Box): Plackett- Burma- VP Vollstädge ud fraktoerte VP. oder. Ordug vom Typ k ud k-p bzw. vom Typ 3 k ud 3 k-p Box- Behke- VP Zetral zusammegesetzte VP vom Typ 5 k-p Mschugspläe (Scheffé) Smplex- Gtter ud Zetrod- Pläe Optmale Versuchspläe (Kefer): A,- D,- G-optmale Versuchspläe 8

19 Faktoreller Versuchspla Bsp.: 3 Eflussgröße, y = f(x,x,x 3 ) x 3 6 Sterpuktversuche (- - +) (+ - +) (- + +) Zetralpuktversuch x (+ - -) (+ + -) x 8 Würfelpuktversuche

20 Fakt. VP vom Typ 3 bzw. 4- Blöcke: Vers. Nr. j B Eflussgröße -fakt. WW Zelgröße X X 3 X 4 X X Y Y X X 3 X 4 X X 3 X X X 3 X X 3 X X 4 X X 4 B

21 Bsp.: Herstellug eer best. Chemkale PROBLEM: Zur Herstellug eer Chemkale werde mehrere Ausgagsstoffe eschleßlch Katalysator vermscht ud über lägere Zet erhtzt. Dabe erfolgt ee Reakto ud das Reaktosprodukt wrd abgetret. ZIEL: Erhöhug der Ausbeute durch ee Utersuchug der Wrkug der Eflussgröße: - Temperatur [ C] - Reaktoszet [h] ud - Katalysatormege [%] ud hrer Wechselwrkuge

22 Mttelwerte der Ausbeute Ausbeute 68,0 (66,48,69,55) 55,387 (53,85,56,9) (+++) 6,387 (60,85,63,9) Katalysator 54,0 (5,48,55,55) 68,887 (67,35,70,4) 56, (54,58,57,65) 6,83 (60,8,63,35) Zet 53,87 (5,75,54,8) (- - -) Temperatur

23 Erhebuge Ugeplate, cht kotrollerbare Erhebuge Bsp.: Erhebuge zur Presetwcklug ees Produktes oder zur Bevölkerugsetwcklug Geplate Erhebuge Bsp.: Befraguge zur Ekommesstruktur oder zum Kaufverhalte. Ma wählt z.b. be Befraguge zur Ekommesstruktur der Bevölkerug ach eem Stchprobepla ee repräsetatve Telmege, geat Stchprobe, aller Ekomme bezehede Persoe, geat Grudgesamthet, aus.

24 Def.: De Mege aller möglche Werte ees Merkmals et ma Grudgesamthet. Ee edlche Telmege der Grudgesamthet et ma Stchprobe. Besteht de Telmege aus Elemete, so heßt Stchprobeumfag. Def.: Der Gesamthet der Merkmalswerte etsprcht edeutg ee Gesamthet vo Beobachtugsehete (Merkmalsträger), de ma ebefalls als Grudgesamthet oder Populato bezechet. De Grudgesamthet muss be jeder Aufgabestellug festgelegt werde! Ee Grudgesamthet ka auch uedlch vele Elemete ethalte. Theoretsch köe wr de Versuch uedlch oft wederhole.

25 Mathematsche Statstk Beschrebede Statstk Wahrschelchketsrechug Iduktosschluss Stchprobe Grudgesamthet Deduktosschluss

26 Was st be eer Stchprobeetahme zu beachte? De Stchprobeauswahl muss so erfolge, dass de Stchprobe de Grudgesamthet repräsetert!. Zufällgket der Stchprobe. Vermede systematscher Fehler 3. Umfag der Stchprobe Optmaler Stchprobeumfag st abhägg vo : - zetlche, arbetstechsche ud fazelle Faktore - Wahl des statstsche Modells - Geaugket der Ergebsse - Umfag der Grudgesamthet 4. Homogetät ud gleche Geaugket 5. Verglechbarket

27 .3. De Häufgketsvertelug dskreter ud stetger edmesoaler Merkmale Be eem Versuch oder eer Erhebug wrd a Beobachtugsehete e Merkmal X beobachtet, d.h. a jeder Ehet wrd de Ausprägug deses Merkmals festgestellt. Sd a,...,a m de möglche Auspräguge des Merkmals X, so wrd also der -te Beobachtugsehet (=,...) see Ausprägug a j als Merkmalswert x zugeordet: x = a j () Merkmalswert Beobachtugsehet Ausprägug

28 Schrtte der Dateerfassug ud -aufberetug:. Schrtt: Erfassug der Date ees oder mehrerer Merkmale Stchprobe (ugeordete Urlste): Merkmalswerte x,...,x Varatosrehe (geordete Urlste): x (),...,x (), wobe x ()... x () Skalerug der Auspräguge: a,,a m

29 . Schrtt: Ermttlug der abs. ud rel. Häufgkete.. (Prmäre) Häufgketsvertelug be dskrete Merkmale (ohe Klassebldug) Def.: Beobachtet ma a Beobachtugsehete e Merkmal X, das m Auspräguge a,...,a m vorkommt, so heßt f (a j ) = "Azahl der Fälle, dee a j auftrtt" für j=,...,m absolute Häufgket der Ausprägug a j. Bem.: -Σf (a j ) = - De abs. Häufgkete häge vom Stchprobeumfag ab, se sd daher zum Verglech vo Stchprobe uterschedlche Umfags cht geeget. - De Folge der absolute Häufgkete f (a ),...,f (a m ) heßt abs. Häufgketsvertelug des Merkmals X.

30 Def.: De relatve Häufgket h (a j ) = (/) f (a j ) für j=,...,m gbt de Atel der Beobachtugsehete bezoge auf a, de de Ausprägug aj habe. Bem.: -Σh (a j ) = - 0 h (a j ) - De Folge der relatve Häufgkete h (a ),...,h (a m ) heßt rel. Häufgketsvertelug des Merkmals X... (Sekudäre) Häufgketsvertelug be stetge Merkmale (mt Klassebldug) - Da stetge Merkmale sehr vele Auspräguge auftrete, fasst ma verschedee Auspräguge Klasse zusamme.

31 - Ma zerlegt das Itervall, dem alle Beobachtugswerte lege m Klasse K,...,K m, wobe K j = (y j- ; y j ] für j=,...,m mt de Klassegreze y j- ud y j ud de Klassemtte x j = (y j- +y j ) / m - De Azahl der Klasse wählt ma (od. 5 m 0), wobe der Stchprobeumfag st. - Der Abstad d j =y j - y j- für j=,...,m heßt Klassebrete. We d j = d j=,...,m, sprcht ma vo äqudstate Klasse. Bem.: Durch de Agabe der utere Afagsklassegreze y 0 ud de Klassebrete d oder durch y 0, y m ud m wrd ee Klasseetelug edeutg bestmmt.

32 Bem.: Bldet ma zu weg Klasse, köe charakterstsche Egeschafte der HV verlore gehe, bldet ma zu vele Klasse, köe klee Zufallsschwakuge ee Iterpretato der HV erschwere. Def.: Als absolute Klassehäufgket bezechet ma f (K j ) = f (x j ) = "Azahl der Beobachtugswerte der j- te Klasse mt der Klassemtte x j " (j=,...,m) Bem.: De Folge der abs. Klassehäufgkete f (x ),...,f (x m ) heßt abs. Häufgketsvertelug des stet. Merkmals X. Def.: Als relatve Klassehäufgket bezechet ma h (x j ) = (/) f (x j ) Bem.: De Folge der relatve Häufgkete h (x ),...,h (x m ) heßt rel. Häufgketsvertelug des stet. Merkmals X.

33 3. Schrtt: Grafsche Darstelluge - Stabdagramm (Strecke- oder Ledagramm) über jeder Ausprägug auf der Abszsse wrd de zugehörge Häufgket als sekrechte Strecke abgetrage, besoders für dskrete Merkmale geeget h (a j ) a... a j - Häufgketspolygo erhält ma durch Verbdug der Edpukte der Strecke des Stabdagramms, besoders zur Darstellug zetlcher Verläufe geeget h (a j ) a... a j

34 - Hstogramm Häufgkete werde als aeaderstoßede Rechtecke dargestellt, dere Fläche proportoal de Häufgkete sd, besoders für stetge Merkmale geeget h (x j ) x y y 0 x j - Flächedagramme, z.b.: Kresdagramme Häufgkete werde durch Fläche repräsetert, zur Strukturdarstellug geeget, z.b.: Azahl der Beschäftgte verschedee Wrtschaftszwege, Wahlergebsse 57% 3% 3% 7%

35 4. Schrtt: Ermttlug der emprsche Vertelugsfukto Ee wetere Möglchket der Beschrebug der geordete Beobachtugsrehe ergbt sch durch de Betrachtug vo Summehäufgkete. 4.. (Prmäre) Häufgketsvertelug be dskrete Merkmale (ohe Klassebldug) Def.: De absolute Summehäufgket der j- te Ausprägug a j st de Azahl der Beobachtugsehete, be dee ee Ausprägug a j beobachtet wurde, d.h. j f (a ) f (a j ) = f (ak ) ; j=,...,m k=

36 Def.: De relatve Summehäufgket der j- te Ausprägug gbt de Atel der Beobachtugsehete a, be dee ee Ausprägug a j beobachtet wurde, d.h. h (a ) h (a j ) = j k= h (ak ) Durch de Folge der relatve Summehäufgkete wrd u de emprsche Vertelugsfukto des Merkmals X bestmmt. Def.: De emprsche Vertelugsfukto des Merkmals X st ee Fukto, de für alle reelle Zahle x de folgede Gestalt hat: Fˆ (x) 0 ; x < j = h(ak ) ; a j x < a j+ k= ; x a a m j =,..., m

37 Bem.: De emprsche Vertelugsfukto st auf jedem Itervall [a j,a j+ ) kostat ud sprgt be a j+ um de Wert h (a j+ ) ach obe. De erste Sprugstelle legt be der kleste, de letzte be der größte beobachtete Merkmalsausprägug. Fˆ (x) h (a )+ h (a ) h (a ) a a Auspräguge x

38 4.. (Sekudäre) Häufgketsvertelug (HV) be stetge Merkmale (mt Klassebldug) Def.: De absolute Klassesummehäufgket der j- te Klasse st de Azahl der Beobachtugswerte, de eer Klasse mt eer Klassemtte x j lege, d.h. f (x ) f (x j ) = j k= j f k= (xk ) Def.: De relatve Klassesummehäufgket der j- te Klasse gbt de Atel der Beobachtugswerte a, de eer Klasse mt der Klassemtte x j lege, d.h. h (x ) h (x j ) = h (xk ) ; j=,...,m ; j=,...,m Durch de Folge der relatve Klassesummehäufgkete wrd de emprsche Vertelugsfukto vo X bestmmt.

39 Def.: De emprsche Vertelugsfukto des Merkmals X, dere Beobachtugswerte Klasse vorlege, hat folgede Gestalt: Fˆ (x) 0 ; x< x j = h(xk ) ; x j x< x j+ k= ; x x m j =,...,m Bem.: De emprsche Vertelugsfukto a der Stelle x st de Summe der relatve Häufgkete aller Klasse, dere Mtte x j x sd. Als Sprugstelle werde jetzt de Klassemtte verwedet.

40 Bsp.: Wedate- stet. Merkmal Butadolgehalt Sekudäre Vertelugstabelle (y 0 = 0 ; d = 0,5): Kl.Nr. Kl.greze Kl.mtte abs.häuf. rel.häuf. abs.k.s.h. rel.k.s.h. j (y j- ; y j ] x j f (x j ) h (x j ) (- ; 0] (0 ; 0,5] 0,5 f h f h (0,5 ; 0,45] 0,35 f h f +f h +h M M M M 7 (,45 ;,65],55 f 7 h 7 (,65 ; )

41 Bem.: De emprsche Vertelugsfukto st auf jedem Itervall [x j,x j+ ) kostat ud sprgt be x j+ um de Wert h (x j+ ) ach obe. De erste Sprugstelle legt be der kleste, de letzte be der größte Klassemtte. Fˆ (x) h (x )+ h (x ) h (x ) x x Klassemtte x

42 .4. Lage- ud Streuugsmaße, Schefe ud Exzeß vo Häufgketsverteluge.4.. Lagemaße. Mttelwertmaße Mttelwertmaße gebe a, wo sch das Zetrum eer Häufgketsvertelug befdet.

43 Arthmetscher Mttelwert See x,...,x de beobachtete Merkmalswerte des Merkmals X mt de Auspräguge a,...,a m x = = x m = a jf(a j ) j= Vortele: - der arthm. Mttelwert eer Stchprobe st e uverzerrter Schätzwert für de Mttelwert eer ormalvertelte Grudgesamthet ud gut geeget be egpflge Häufgketsverteluge - alle Iformatoe der Stchprobe werde ausgeschöpft Nachtele: - das arthm. Mttel st ubrauchbar be schefe oder mehrgpflge Verteluge - das arthm. Mttel st cht robust gegeüber Ausreßer

44 Meda (Zetralwert) - Der Meda st dadurch charaktersert, dass jewels 50 % der Beobachtugswerte ee Wert ud 50 % ee Wert dem Meda habe. - Wr orde daher de Beobachtugswerte der Größe ach ud erhalte de Varatosrehe x (),...,x () mt x ()... x () x~ 0,5 x(k+ ) = x(k ) + x(k+ ) ; für ; für = k+ = k

45 Vortele: - der Meda st auch be asymmetrsche ud mehrgpflge Verteluge verwedbar - er st zu bevorzuge be ur wege Messwerte ud ordalskalerte Beobachtugsmerkmale - er st robust gegeüber Ausreßer Nachtele: - es werde cht alle Iformatoe der Stchprobe ausgeschöpft (cht alle Messwerte gehe de Berechug des Medaes e) - be ormalvertelte Merkmale hat er schlechtere Schätzegeschafte als das arthm. Mttel

46 Gestutztes Mttel - Wr orde weder de Stchprobe der Größe ach ud streche da de m uterste ud de m oberste Merkmalswerte. - Da erhält ma das (m/) 00 % - gestutzte Mttel, dem ma das arthmetsche Mttel aus de verblebede - m Merkmalswerte bldet. x m = (x(m+ ) x( m) ) m Vortel: - das gestutzte Mttel st robust gegeüber Ausreßer ud basert m Verglech zum Meda auf eer größere Azahl vo Werte Nachtel: - es bestzt be Normalvertelug schlechtere Schätzegeschafte als das arthm. Mttel ud schöpft cht alle Iformatoe der Stchprobe aus

47 Modalwert (Dchtemttel, Modus) Be egpflge Verteluge gbt das Dchtemttel de Ausprägug mt der größte Häufgket der Messrehe a. Be klasserte Date (stet. Merkmale) gbt es de Klassemtte der Klasse mt der größte Klassehäufgket a. f (x mod ) f (a j ) a j j=,...,m Vortele: - das Dchtemttel st auch be omal- ud ordalskalerte Merkmale awedbar - be mehrgpflge Verteluge gbt ma ebe dem Meda auch de lokale Dchtemttel a - das Dchtemttel st robust gegeüber Ausreßer Nachtele: - be Normalvertelug hat das Dchtemttel schlechtere Egeschafte als das arthm. Mttel - cht alle Beobachtugswerte gehe de Berechug des Dchtemttels e

48 Geometrsches Mttel - Sd de Merkmalswerte relatve Äderuge (Zuwachsrate, Produktosstegeruge), so wrd das geometrsche Mttel verwedet, da de Gesamtäderug cht durch ee Summe, soder durch e Produkt beschrebe wrd. - De Bezechug geom. Mttel st e Hwes auf Zähl- oder Messdate, de statt der arthm. ee geometr. Zahlefolge blde (z.b. be Verdüugsrehe). - Es wrd verwedet be Zähldate, vo dee bekat st, dass se durch multplkatve Wrkuge etstade sd ud dere Werte sehr uterschedlche Größeorduge aufwese, sowe fast mmer ee stark asymmetrsche Häufgketsvertelug aufwese (z.b. Kemzahle flüssge Mede, we Mlch ud Gülle). - das geom. Mttel fdet auch Awedug be logarthmsche Date (z.b. Spektralaalyse)

49 Es gbt folgede Möglchkete der Berechug des geom. Mttels ud der durchschttlche Zuwachsrate:. See x,...,x Beobachtugswerte (rel. Äderuge, bez. auf = 00%) mt x 0 für =,..., ud r de durchschttlche Zuwachsrate. x lg x g = x K x ud r = x g. Mache Aalysemethode lefer de Logarthme der gesuchte Gehalte (z.b. Spektralaalyse). = lg g x = = lg x x g = 0 3. We sch ee Afagsmege A eer Zetehet um ee kostate Zuwachsrate r erhöht, da erhält ma ach Zetehete de Edmege E: E = A(+r) x g = E A ud r = x g lg x

50 . Wetere Lagemaße: α- Quatl Wr betrachte de Varatosrehe x (),...,x (). Da sdα% der Merkmalswerte ud (-α) % der Merkmalswerte dem α - Quatl. x~ α x x + x ( k+ ) = + ( k) ( k ) ; k ; k = = t( α ), α, falls falls α kee g.z. α g.z. (t = gazer Tel) We α = 0,5 0,5 0,75 Meda uteres oberes Quartl Quartl

51 .4.. Streuugsmaße - Maße, de de Abwechug der Beobachtugswerte vom Zetrum eer Häufgketsvertelug beschrebe, heße Streuugs- oder Dspersosmaße. - Ket ma Lage- ud Streuugsmaße, hat ma scho ee recht gute Vorstellug vo der Häufgketsvertelug, ohe dese explzt zu kee.

52 Spawete (Rage, Varatosbrete) Se st das efachste Streuugsmaß ud gbt de Streuberech eer HV a, d.h. de Berech, dem alle Merkmalswerte lege. Se x (),...,x () ee Varatosrehe, da glt: R = x () - x (). Vortel: - Efach zu bestmmedes Streuugsmaß, efach terpreterbar Nachtele: - R st cht robust gegeüber Ausreßer - R bestzt kee gute stat. Schätzegeschafte, da außer de extreme Merkmalswerte alle adere Werte uberückschtgt blebe.

53 Quartlsabstad (Iterquartle rage) - Der Quartlsabstad gbt de Berech zwsche oberem ud uterem Quartl eer Messrehe a. - Er ethält 50 % aller Merkmalswerte. I = x~ 0,75 ~ x 0, 5 Vortele: - I st robust gegeüber Ausreßer - I st aschaulch ud bestzt bessere statstsche Schätzegeschafte als de Spawete Nachtel: - cht alle Iformatoe der Stchprobe gehe de Berechug e

54 Mttlere absolute Abwechug vom Meda Ma wählt her als Bezugsgröße für de Abwechug der Merkmalswerte vom Zetrum der Häufgketsvertelug de Meda. d = = = x ~ x 0,5 Es glt de Mmumegeschaft des Medas: x x~ 0,5 = x c c R Vortele: - d st robust gegeüber Ausreßer - d st gut geeget be schefe Häufgketsverteluge Nachtel: - be Normalvertelug st de empr. Varaz das bessere Schätzmaß

55 Meda der absolute Abwechuge vom Meda MAD = med ( y~ 0, x ~ x 0,5 ) = 5 y = x ~ x 0,5 Vor- ud Nachtele: aalog we mttlere abs. Abwechug vom Meda

56 Stchprobevaraz ud Stadardabwechug - Wr betrachte u als Bezugsgröße für das Zetrum der HV das arthmetsche Mttel ud wähle als Abstadsmaß kee betraglche Dfferez, soder quadratsche Abstäde. - Da st de Stchprobevaraz de durchschttlche quadratsche Abwechug der Messwerte vom arthm. Mttelwert. - Dabe wrd jedoch durch de Faktor (-), d.h. de Azahl der voeader uabhägge Abwechuge, geat Frehetsgrad, dvdert. s = (x = x) x = = x Es glt de Mmumegeschaft des arthm. Mttelwertes: = x) (x c) = ( x c R

57 - Als Stadardabwechug s bezechet ma: s = (x x) = ( = x x ) - Der Stadardfehler des arthm. Mttelwertes bezeht sch auf de Stchprobeumfag: s x = s Vortele: - De Varaz s hat de beste Schätzegeschafte be Normalvertelug - De Stadardabwechug s hat de gleche Dmeso we de Messwerte ud der arthm. Mttelwert, ma ka daher Itervalle der Form x± s bzw. x ± 3 s agebe. Nachtel: - s st cht robust gegeüber Ausreßer

58 - Varatoskoeffzet Der Varatoskoeffzet st e vo maß, das das Verhälts vo s ud v = s x [00 %] x x beregtes Streuugs- msst. Vortel: - v st gut geeget zum Verglech vo Streuuge vo Beobachtugsrehe mt uterschedlchem Mttelwert Nachtel: - v st ur für postve Messwerte geeget

59 Grafsche Darstellug vo Lage- ud Streuugsmaße:. Box- ud Whsker Plot Ezymaktvtäte vo 8 Mutate Vaadumgehalt vo Wee 75 Box & Whsker Plot (Ezymaktvtäte) Multpler Box- Whsker Plot für Vaadum 3,0,5 70,0 65,5 Ezymkozetratoe Mutate Meda 5%-75% M-Max Vaad um,0 0,5 0,0-0,5 -,0 -,5 Czech Republc Hu gary Ro maa So uth Afrca Wesswe Lad Czech Republc Hu gary Ro maa So uth Afrca Rotwe Meda 5%-75% No-Outler Rage

60 Grafsche Darstellug vo Lage- ud Streuugsmaße:. Mttelwertplots Ezymaktvtäte vo 8 Mutate 75 Mttelwertplot (Ezymaktvtäte vo Mutate) 70 Mttelwertplot (Ezymaktvtäte) Ezymkozetratoe Ezymkozetratoe Mutate arthm. Mttelwert MW %-ges Kofdeztervall Extrem werte Mutate arthm. MW Mea±0,95*SD

61 Bem.: - De Stadardabwechug st das Streuugsmaß, das z.b. der aalytsche Cheme am häufgste verwedet wrd, um de Zufallsfehler vo Aalysemethode (cht vo Ezelwerte!) zu charaktersere. - Be log. Verteluge wrd de Stadardabwechug aus de Logarthme der Messwerte berechet. s = (lg x lg x g ) = (lg x lg x) - Der mmale Stchprobeumfag zur Bestmmug vo Stchprobevaraz ud Stadardabwechug beträgt = 6.

62 Bem.: - Falls z.b. be chem.- aalytsche Utersuchuge ur < 6 Mehrfachbestmmuge a eer Probe durchgeführt werde köe, dafür aber mehrere Bestmmugswerte a Probe uterschedlche Gehaltes vorlege (Vor.: de Varaz st uabhägg vom Gehalt der Probe!), ka ma de Gesamtstchprobevaraz bzw. -stadardabwechug we folgt bereche: s m m = j= = j (x j x j ) s= s wobe m - Az. der Probe ud j - Az. der Mehrfachbestmmuge der j- te Probe

63 .4.3. Schefe ud Exzess. Schefe - We der Meda ud der Modalwert vom arthmetsche Mttel abweche, bezechet ma ee Vertelug als schef. - Ma charaktersert schefe Verteluge außer durch Lageud Streuugsmaße auch durch de Schefe g als Maß für de Schefhet ud hre Rchtug. - Echt schefe Verteluge lege vor, we be Vorlege eer geüged große Azahl vo Beobachtugswerte ud ach alle messtechsche ud mathematsche Möglchkete der Trasformato der Date symmetrsche Verteluge de Schefe der Vertelug bestehe blebt. - Kee echte Schefe legt vor, we ma schefe Verteluge durch Trasformatoe (z.b. Logarthmere) symmetrsche überführe ka.

64 Bsp.: Auftrete log. Verteluge be: Aalyse sehr edrger Gehalte (z.b. Spureaalyse) Merkmale mt sehr großer Spawete (mehrere Zeherpoteze) sehr großem Zufallsfehler (z.b. halbquattatve Spektralaalyse) g = ( = = (x (x x) x) 3 ) 3 = = x s x 3 Ee HV st symmetrsch, we x x~0 = x = ud g = 0,5 mod Ee HV st lksschef oder rechtsstel, we ud g < 0 x < x~0 < x Ee HV st rechtsschef oder lksstel, we x > x~0,5 > x ud g > 0,5 mod mod

65 . Exzeß ud Kurtoss - Mägel de gewählte Versuchsbedguge köe zu eer Überhöhug (Streckug) oder Uterhöhug (Stauchug) der Häufgketsvertelug führe. Derartg verzerrte Verteluge werde durch de Exzeß g charaktersert. - Der Exzeß gbt a, ob das absolute Maxmum der Häufgketsvertelug (be aäherd glecher Varaz) größer oder kleer dem Maxmum der Normalvertelugsdchte st. 4 (x x) 4 x x = 3 = 3= g ' 3 s (x x) g g heßt Kurtoss.

66 We g = 0 Häufgketsvertelug etsprcht der NV We g < 0 abs. Häufgketsmaxmum < Maxmum der NV- Dchte (HV st flachgpflger), d.h. de Azahl größerer Abwechuge vo x st gerger als be der NV be glecher Varaz. We g > 0 abs. Häufgketsmaxmum > Maxmum der NV- Dchte (HV st stelgpflger), d.h. de Azahl größerer Abwechuge vo x st größer als be der NV be glecher Varaz.

67 Als k- tes Momet bezechet ma: = k x ud als k-tes zetrertes Momet: = (x x) k Bem.: Damt stelle der arthm. Mttelwert das. Momet ud de emprsche Varaz das. zetrerte Momet dar, währed Schefe ud Exzeß auf dem 3. bzw. 4. zetrerte Momet basere.

68 .5. Mehrdmesoale Merkmale - Wr habe bsher überweged Aufgabestelluge betrachtet, be dee a jeder Beobachtugsehet ur e ezges Merkmal beobachtet wurde. Für deses Merkmal wurde de emprsche Häufgketsvertelug ud de Vertelugsfukto ermttelt ud grafsch dargestellt ud Lage- ud Streuugsmaße berechet. - Be vele praktsche Probleme wrke jedoch Merkmale cht ur ezel, soder auch m Komplex. Es teressert da der Zusammehag zwsche zwe oder mehrere Merkmale. - Wr bezeche ee Komplex vo Merkmale auch als mehrdmesoales Merkmal (od. Merkmalsvektor) ud schrebe: (X,...,X ), bzw. (X,Y) be eem zwedmesoale Merkmal.

69 Bespele:. X- Lagerzet vo Zuckerrübe (X- determstsche d.h. Y- Saccharosegehalt vo Zuckerrübe estellbare Eflussgröße, Y- zufällge Zelgröße). X- Körpermasse vo Schwee (X ud Y - zufällge Größe, Y- Körpergröße vo Schwee jede ka als Efluss- bzw. Zelgröße betrachtet werde) 3. Prozess des Nass-Salzes vo Hartkäse X - Natrumchlordgehalt m Salzbad X - Temperatur des Salzbades X 3 - Salzdauer Y - Masseausbeute des Käses ach dem Salze Y - Sesorscher Qualtätsparameter (X,X,X 3 - determ. Eflussgröße, Y,Y - zufällge Zelgröße) WICHTIG: Erfassug aller für de zu utersuchede Sachverhalt (Produkt, Prozess) wesetlche Merkmale!

70 4 Fragestelluge sd vo Iteresse: 0. Welche Art vo Merkmale werde betrachtet? (Klassfzerug, Eflussgröße estellbar oder zufällg?). We lasse sch zwedmesoale Merkmale grafsch darstelle? (Puktwolke, Streudagramm, XY- Scatterplot). We seht de Häufgketsvertelug (tabellarsch ud grafsch) ees zwedmesoale Merkmals aus? (-dm. Häufgk.tabelle- Kotgeztafel, 3 -dm. Hstogramm) 3. We stark st der Zusammehag zwsche Merkmale X ud Y ud welche Rchtug hat er? (Assozatos-, Kotgez-, Maßkorrelatos- u. Ragkorrelatoskoeffzet) 4. I welcher Form lässt sch der Zusammehag darstelle? (Kotgeztafel-, Varaz- u. Regressosaalyse)

71 zu.) Streudagramm (XY- Scatterplot) y aäherd learer Zusammehag x y y Hyperbel Rezpr. Trasf. x Bsp.: Fallhöhe ud Schwgugsfrequez vo Wasserfälle /x

72 zu.) Häufgketsvertelug Zur Darstellug vo Häufgketsverteluge dee Häufgketstabelle (Verfeldertafel, Kotgeztafel) ud grafsche Darstelluge durch dredmesoale Hstogramme oder Polygoe.. Fall: - Se (X,Y) e omalskalertes - dm. Merkmal mt je Auspräguge (a j,b k ) j,k=, (z.b.: ja/ e, vorhade, cht vorhade) Verfeldertafel ( x ): X vorhade cht vorh. Summe vorhade Y cht vorhade Summe f f f +f f f f +f f +f f +f

73 Bem.: - De absolute Häufgkete f jk (j,k=,) m Ier der Tafel stelle de - dm. absolute Häufgketsvertelug dar. (aalog: de relatve Häufgkete h jk = f jk / stelle de - dm. relatve Häufgketsvertelug dar). - De Radsummehäufgkete (Zele- ud Spaltesumme) stelle de etsprechede - dm. Häufgketsverteluge vo X bzw. Y dar. - Aus der zwedmesoale Häufgketsvertelug ka ma auf de edmesoale Häufgketsverteluge schleße, es glt aber cht de Umkehrug!

74 Bsp.: Utersuchug vo 7 Ratte auf Mlbebefall der Speces A ud B Verfeldertafel (x): Spezes vorhade B cht vorhade Summe Spezes A vorhade cht vorhade Summe De Radsumme gebe Aufschluss darüber, we vele der Ratte ee der bede Mlbe beherberge bzw. cht beherberge, uabhägg davo, ob de adere Spezes vorhade st oder cht, d.h. se gebe de edmesoale Häufgketsverteluge a, de ma erhalte würde, we ma de Ratte vo vorhere ur auf A- ud Abwesehet eer ezele Mlbespezes alle utersucht hätte.

75 Ergebs: - De Chace, ee A- Mlbe azutreffe, st be de Ratte, be dee scho B- Mlbe festgestellt wurde, größer als be alle Ratte zusammegeomme, de: ur auf etwa der Hälfte aller 7 Ratte kame A- Mlbe vor (Radsumme 9), aber der Telmege der 67 Ratte, de B- Mlbe beherberge, befde sch 44 Träger vo A- Mlbe. Damt st der Atel der Träger vo A- Mlbe uter de Träger vo B- Mlbe größer als der Gesamtprobe! Umgekehrt glt dasselbe. - Zwsche dem A- Mlbebefall ud dem B- Mlbebefall schet also e statstscher Zusammehag zu bestehe.

76 Bem.: - I eer Verfeldertafel erket ma ee statstsche Zusammehag dara, dass de abs. Häufgkete eer Rehe bzw. Spalte m Tafeler cht proportoal zu de etsprechede Radsumme sd (44/3 9/08 bzw. 75/85 9/08, aalog de Verhältsse zur Zelesumme!) - aber: be klee abs. Häufgkete köe durch Zufall Dsproportoaltäte vorgetäuscht se, d.h. de Scherhet für das Vorhade se ees statstsche Zusammehages st etspreched gerg!

77 . Fall: - Se (X,Y) e ordalskalertes - dm. Merkmal, be dem jede Kompoete auf eer Ragskala gemesse wrd, d.h. als Merkmalsausprägug ee Ragzahl hat. - Vorlege eer Tabelle der Ragzahle (kee Häufgketstabelle!) Tabelle der Ragzahle: R(x ) R(y ) d d R(x ) R(y ) d d R(x ) R(y ) d d - dabe st d = R(x ) - R(y ) de Dfferez der Ragzahle der - te Kompoete vo X ud Y

78 Bsp.: Weverkostug Be eer Weverkostug solle 8 Wesorte hschtlch hres Aromas ee Ragordug gebracht werde. Prüfer solle uabhägg voeader de Sorte begutachte, wobe de Sorte mt dem schwächste Aroma de Ragzahl ud de Sorte mt dem stärkste Aroma de Ragzahl 8 erhalte soll. Tabelle der Ragzahle: Sorte Prüfer R(x ) Prüfer R(y ) d A 6 5 B 3 3 C D 4-5 E 0 6 F G H 5 7 -

79 Ergebs: - Nur be Sorte gab es Überestmmug der Bewertug, be alle übrge Sorte gab es Dffereze, de aber cht mehr als Ragzahle betrage. - Ma ka ee statstsche Zusammehag vermute, de je höher m allgemee de Ragzahl des. Prüfers st, desto höher st m allgemee auch de Ragzahl des. Prüfers. - De Wesorte schee also Aromauterschede aufzuwese ud bede Prüfer ware der Lage, dese zu erkee.

80 3. Fall: - Se (X,Y) e ordalskalertes - dm. Merkmal, dere Auspräguge (a j,b k ) mt de absolute Häufgkete f jk ud de relatve Häufgkete h jk für j=,...,l ud k=,...,m auftrete. Kotgeztafel (l x m): Y Summe b b... b m a f f... f m f. X a f f... f m f a l f l. f l f l Summe f. f.... f. m f lm

81 Bem.: - De absolute Häufgkete f jk (j=,...,l; k=,...,m) m Ier der Tafel stelle de - dm. absolute Häufgketsvertelug dar. - Das Merkmal X hat de Auspräguge a,...,a l, de mt de absolute Radsummehäufgkete f.,..., f l. auftrete ud das Merkmal Y hat de Auspräguge b,...,b m, de mt de absolute Radsummehäufgkete f.,..., f. m auftrete. - De Radsummehäufgkete blde de - dm. absolute Häufgketsverteluge vo X bzw. Y. - Aalog erhält ma de - ud - dm. relatve Häufgketsverteluge.

82 Bsp.: Utersuchug der Note vo 3 Studete Mathematk ud Statstk Kotgeztafel (5 x 5): Note Mathematk Summe Note Statstk Summe

83 Ergebs: - Je besser m allgemee de Note Mathematk st, desto besser st m allgemee auch de Note Statstk ud umgekehrt. - Ma ka also ee statstsche Zusammehag zwsche de Note vermute, de ma dara erket, dass de der Nähe der Dagoale (vo lks obe ach rechts ute) gelegee Felder der Kotgeztafel de höchste absolute Häufgkete (Besetzugszahle) aufwese.

84 4. Fall: - Se (X,Y) e metrsch skalertes Merkmal, für dere Kompoete X ud Y ee Klasseetelug vorlegt Häufgketstabelle (aalog Kotgeztafel!) (l x m): Klassegreze (y 0 ;y ] Y (y ;y ]... (y m- ;y m ] Summe (x 0 ;x ] f f... f m f. X (x ;x ] f f... f m f (x l- ;x l ] f l f l f lm f l Summe f. f.... f. m Bsp.: Utersuchug des Zusammehags zwsche dem Kalum- ud Aschegehalt be Wee

85 Bsp.: Wedate (- dm.hstogramm) - dm. Hstogramm (Wee aus Ugar ud Tscheche) - dm. Hstogramm (Wee aus Ugar ud Tscheche)

86 zu 3.) Zusammehagsmaße Art der Merkmale omalskalert omal- oder (ud) ordalskalert ordalskalert metrsch skalert Häufgketsvert. Verfeldertafel Kotgeztafel (Tab. vo Ragzahle) - dm. Häufgketstabelle (Kotgeztafel) Zusammehagsmaß Assozatoskoeff. vo Cramér, Cole, ad Yule, Kotgezkoeff. vo Pearso Assozatoskoeff. vo Cramér ud Kotgezkoeff. vo Pearso Ragkorrelatoskoeff. vo Spearma ud Kedall Vor.: X,Y zufällge Merkmale L. Abhäggket Maßkorrelatoskoeff. vo Bravas/ Pearso Mo. Abhäggket Ragkorrelatoskoeff. vo Spearma

87 . Kotgezkoeffzet C vo Pearso: - Se (X,Y) e - dm., omal- oder ordalskalertes dskretes Merkmal, das de Auspräguge (a j, b k ) für j =, l ud k =,,m mt de abs. Häufgkete f jk auftrtt. - Der Kotgezkoeffzet st e Maß für de Stärke des stochastsche Zusammehages zwsche dskrete Merkmale. C= wobe χ χ + χ = l m f jk j j= k= j k f f f f k

88 Bem.: - Der Kotgezkoeffzet C mmt Werte m Itervall ke Zusammehag 0 C m m vollst. Zusammehag ( l,m) ( l,m) a. - Der maxmale Wert vo C (d.h. vollstädge Kotgez) st vo der Tafelgröße (Zele- bzw. Spaltezahl l ud m) abhägg ud ähert sch für große l bzw. m gege. besser: korrgerter Kotgezkoeffzet vo Pearso C corr - Für de Verfeldertafel glt: C= χ χ + ud 0 C 0,707

89 Bem.: - Der korrgerte Kotgezkoeffzet C corr wrd berechet ach: C = χ χ + m m ( l,m) ( l,m) ud es glt u: 0 C corr, d.h. be vollstädger Kotgez wrd mmer der Wert ageomme, uabhägg vo der Größe der Kotgeztafel.

90 . Assozatoskoeffzet vo Cramér (Cramér s V): - Se (X,Y) e - dm., omal- oder ordalskalertes dskretes Merkmal, das de Auspräguge (a j, b k ) für j =, l ud k =,,m mt de abs. Häufgkete f jk auftrtt. - Der Assozatoskoeffzet st ebefalls e Maß für de Stärke des stochastsche Zusammehages zwsche dskrete Merkmale. V = wobe χ ( m( l,m) ) χ = l m f jk j j= k= j k vollst. Zusammehag ke Zusammehag f f f f mt 0 V k

91 3. Ragkorrelatoskoeffzet r s vo SPEARMAN: - Se (X,Y) e - dm., ordal oder metrsch skalertes Merkmal, be dem jede Kompoete Merkmalswerte mt eer edeutge Ragfolge hat (ragskalert). - Wr beobachte a de Beobachtugsehete de Merkmalswerte (x,y ) für =,..., - Wr orde u jedem Beobachtugswert x bzw. y für =,..., ee Ragzahl R(x ) bzw. R(y ) zu, wobe glt: R(x () ) = für =,..., ud x () x ()... x () - Trtt ee Ausprägug mehrfach auf ( Bduge ), so ordet ma dese gleche Werte als Rag das arthmetsche Mttel der Räge zu, de se eehme. -Der Ragkorrelatoskoeffzet st e Maß für de Stärke ud Rchtug ees mootoe stochastsche Zusammehages zwsche ragskalerte Merkmale.

92 Formel für de Ragkorrelatoskoeffzete r s : r s ( R( x ) R( x) ) R( y ) R( y) ( ) ( ( ( ) ( )) ) R x R x R( y ) R( y) = = ( ( ) ) r s = = ( ) R( y ) ( ( ) ) ( ) ) R x R x R( y ) R x R(x) R(y) ( ) ( ) ) R y

93 We kee Bduge vorlege, d.h. we x x j für j ud y y j für j glt: 6 = r s = d ( ), wobe d = R( x ) R( y ) Bem.: Für de Ragkorrelatoskoeffzete glt: We r s < 0 eg. Ragkorrelato We r s > 0 pos. Ragkorrelato - r s + =,, r s =, we X ud Y mooto zusammehäge r s =, we de x- Räge mt de y- Räge überestmme r s = -, we de x- ud y- Räge geau etgegegesetzte Ragfolge ergebe.

94 Bsp.: Aromaprüfug vo 8 Wesorte durch Prüfer Der Ragkorrelatoskoeffzet vo r s = 0,86 deutet auf ee recht starke, mooto wachsede stochastsche Zusammehag h. 4. Maßkorrelatoskoeffzet r XY vo BRAVAIS- PEARSON: - Se (X,Y) e metrsch skalertes - dm. Merkmal, dere Merkmalswerte (x,y ), =,...,, ee äherugswese leare Zusammehag zwsche X ud Y vermute lasse. - Wr beobachte a de Beobachtugsehete de Merkmalswerte (x,y ) für =,..., - Der Maßkorrelatoskoeffzet st e Maß für de Stärke ud Rchtug ees leare stochast. Zusammehages zwsche metrsch skalerte Merkmale.

95 Formel für de Maßkorrelatoskoeffzete r XY : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = XY y y x x y y x x r ( ) ( ) ( ) ( ) XY y y x x y x y x r = =

96 Bem.: Für de Maßkorrelatoskoeffzete r XY glt: We r XY < 0 egatve Korrelato We r XY > 0 postve Korrelato - r XY + r XY =, we X ud Y lear zusammehäge We r XY = 0 Ukorrelerthet zwsche X ud Y We r XY = 0 ud (X,Y) - dm. ormalvertelt Uabhäggket zwsche X ud Y Der Korrelatoskoeffzet st cht mstade, chtleare Zusammehäge zwsche Merkmale zu erkee. Ma beachte Sche- ud Uskorrelatoe!

97 Bem.: Merkmale mt sehr schefe Häufgketsverteluge köe mtuter auch ee Korrelatoskoeffzete ahe 0 habe, obwohl e statstscher Zusammehag zwsche he besteht. B = r XY heßt Bestmmthetsmaß. Es gbt de Atel der Varato der y- Werte a, der durch de leare Zusammehag zwsche X ud Y bestmmt wrd. Be der Utersuchug vo leare Abhäggkete zwsche mehr als Merkmale gbt es: - partelle Korrelatoskoeffzete, - multple Korrelatoskoeffzete ud - kaosche Korrelatoskoeffzete.

98 Zu 4.) Form der statstsche Abhäggket - Se (X,Y) e metrsch skalertes - dm. Merkmal mt de Merkmalswerte (x,y ) für =,...,. - Es teressert de Form der Abhäggket ees Merkmals Y (abhägges Merkmal, Zelgröße, Regressad) vo eem Merkmal X (uabh. Merkmal, Eflussgröße, Regressor). - Alle kotrollerbare Eflussgröße werde kostat gehalte. - Wr beschräke us auf de Fall des Modells I der efache leare Regresso (Eflussgröße, leare Abhäggket). Vor.: Y zuf. Merkmal, estellbares Merkmal X zuf. Merkmal, mt kleem Fehler messbar RM I zuf. Merkmal RM II

99 Streudagramm (XY- Scatterplot) Aahme ees leare Modells für de Abhäggket zwsche X ud Y der Grudgesamthet: y = β 0 + β x, geat leare Regressosglechug. Da glt für de Zelgröße: Y = β 0 + β X + ε Zufallsfehler, wobe ε ~ N(0, σ ) ud σ uabhägg vo de Messpukte x be RM I : Y~ N(β 0 + β x, σ )

100 Regressosaalyse:. Schätzug der emprsche leare Regressosglechug (Ausglechsgerade) ach der Methode der kleste Quadrate (MkQ, LS): Q Beobachtugswerte 0 εˆ m 0 = = = ( β, β ) = ( y ŷ ) = ( y ( β +β x )) = Modellwerte geschätzte Resdue De Werte vo β 0 ud β, für de Q(β 0, β ) hr Mmum ammt, et ma Kleste-Quadrate-Schätzer βˆ ud βˆ. 0 Durch Nullsetze der partelle Abletuge vo Q ach β 0 ud β erhält ma e Normalglechugssystem, das zu löse st.

101 De auf der Bass der kokrete Stchprobe ermttelte Schätzwerte für β 0 ud β bezechet ma mt b 0 ud b. Bem.: ( x x) ( y y) = b = = ud = XY X ( x x) b = y b 0 x SP SQ geschätzte leare Regressosglechug: ŷ(b,b) = b0 + b s XY 0 = = x ( x x) ( y y) = SPXY heßt Kovaraz zwsche X ud Y ud s X = = ( x x) = SQ X oder: b = r XY s s Y X Varaz vo X.

102 . Zeche der Regressosgerade s Streudagramm: y ŷ= b + b 0 x ŷ y ˆε b 0 0 x x

103 ( ) ( ) ( ) = = = ε = + = = 0 R ˆ x b b y ŷ y s R R SQ s = Restquadratsumme 3. Güte des Regressosmodells - Beurtelug der Güte der Modellvorhersage für jede Messwert mt Hlfe der geschätzte Resdue, =,, - Maß für de Varato der Stchprobewerte um de geschätzte Regressosgerade: Restvaraz geschätzte Resdue ŷ y ˆ = ε - Streuugszerlegug (Zerlegug der Quadratsumme!): ( ) ( ) ( ) = = = + = y ŷ ŷ y y y M R T SQ SQ SQ + = durch de Modellzusammehag erklärte Streuug Gesamtstreuug Reststreuug FG

104 Erklärte Streuug: Darstellug der Varato der y- Werte, de auf de leare Zusammehag SQ M zwsche X ud Y zurückzuführe st, d.h. se ethält de Varato der Werte auf der Gerade um de Mttelwert y. Reststreuug: Verblebeder Rest der Varato der y- SQ R Werte Bem.: Lege alle beobachtete Werte exakt auf eer Gerade, so sd de Resdue 0 ud ebeso de Reststreuug. Da leße sch de gesamte Varato vo Y durch de leare Modellzusammehag mt X erkläre (fuktoaler learer Zusammehag). Je größer de Reststreuug st, desto schlechter beschrebt das Modell de Date.

105 - Als Maßzahl für de Güte der Modellapassug verwedet ma häufg das Bestmmthetsmaß B. Es gbt de Atel a der Gesamtstreuug der y- Werte a, der durch de Regresso vo Y auf X erklärt wrd ud st der Quotet aus erklärter ud Gesamtstreuug. B ( ŷ ) y SQM = = = = = SQT ( y y) = = 0 B ( y ŷ ) ( y y) ke learer Zusammehag fuktoaler learer Zusammehag B = r XY Für Vorhersage sollte das Bestmmthetsmaß möglchst 0,8 se! Aber: B st be RM I vom Versuchspla abhägg!

106 - Tests zur Prüfug der Modelladäquathet (F- Test der Varazaalyse) ud zur Prüfug der Modellparameter (t- Tests, Kofdeztervalle) m Rahme der schleßede Statstk 4. Resdualaalyse - Prüfe der Modellvoraussetzuge über de Zufallsfehler (ε ~ N(0, σ ) ud σ uabhägg vo de Messpukte x ) - Resdualplots εˆ = y ŷ d d ormerte Resdue d d = εˆ s εˆ Ausreßer ŷ ŷ 0 ŷ dealer Verlauf ugleche Varaze -3 d > 3 Ausreßer

107 Bsp.: Wedate, Abhäggket zwsche de seltee Erde- Parameter Lathaum ud Gadolum (RM II) XY- Scatterplot (Lathaum, Gadolum) y = -0,78 +,9690 * x Korrelatoskoeffzet: r = 0, Gadolum Lathaum 95% Kofge zgreze