13.Wärmekapazität. EP Vorlesung 15. II) Wärmelehre

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1 13.Wärmekapazität EP Vorlesung 15 II) Wärmelehre 10. Temperatur und Stoffmenge 11. Ideale Gasgleichung 12. Gaskinetik 13. Wärmekapazität 14. Hauptsätze der Wärmelehre Versuche: Wärmekapazität von Festkörpern gleiche Massen, gleiche Molmenge Mechanisches Wärmeäquivalent Lufttisch mit Teilung (Entropie) Kolin (Stirling) Maschine

2 13.Wärmekapazität Spezifische Wärmekapazitäten c p und c v beim idealen Gas: c v (isochore Wärmezufuhr, V=0): W vol = p V= 0 Wärmezufuhr führt allein zur Erwärmung (oder Phasenübergang) c p (isobare Wärmezufuhr): System-Erwärmung und zusätzliche vom System nach außen abgegebene mechanische Volumenarbeit in Höhe von W vol = p V = n R T ( 2.= folgt aus allg Gasgl. bei gegebenem T) Q = n c p T = n c V T + p V = n c V T + n R T Daraus folgt: c p cv = R

3 13. Wärmekapazität Wärmemenge zur Erwärmung von 1Mol ideales Gas mit i Freiheitsgraden: Q mol = E kin, mol i = R T isochor: 2 isobar: Q Q mol mol = c V = c p T T c v c p = i R ( 2 i + 1) R = 2 c v c p i 1-atomig 3/2 R 5/2 R 3 Translation 2-atomig 5/2 R 7/2 R 3 Translation, 2 Rotation 3-atomig, nicht linear 6/2 R 8/2 R 3 Translation, 3 Rotation Bei höheren Temperaturen können noch weitere Freiheitsgrade, von Schwingungen (Vibrationen), wichtig werden (Anstieg von c p und c V ).

4 13. Wärmekapazität Festkörper c c p (Volumenausdehnung klein). Isochore Zustandsänderung wäre aufwändig, weil Kraft zur Konstanthaltung des Volumens groß, siehe Versuch Bolzensprenger. Bei genügend hohen Temperaturen gilt das Dulong-Petit Gesetz: 6 Freiheitsgrade für Schwingungen um Ruhelage (3für E kin, 3 für V pot ) i=6 c = 3. R = 24.9 J/(mol. K) Beispiele: Blei: J c Pb 129 kgk J = oder 25.6 molk, M Pb = 0,199 kg/mol J J Aluminium: c Al = 896 oder 23.3, M kgk molk Al = 0,026 kg/mol Versuche1 Wärmekapazität von Metallen gleicher Masse, gleicher Molzahl

5 13. Wärmekapazität Flüssigkeiten: (Kein einfaches Gesetz) Zahlen-Beispiele: c in Einheiten von J kg K Alkohol 1410 J/(kgK) Benzol 1720 " CCl " Wasser 4180 Ammoniak Vergleich mit Kaloriedefinition: c H2 0 = 1cal /(1 g 1K) = 4.18 J /(0.001kg 1K)

6 Messung der Wärmekapazität eines Körpers mit Mischungskalorimeter Körper gibt Wärme an das Bad und das Gefäß ab (Nullter Hauptsatz): Q K =c K. m K. (T K T M ) Badflüssigkeit nimmt auf: Q B = c B. mb. (TM T B ) Kalorimetergefäß nimmt auf: Q KA =W KA. (T M T B ) W KA : Wasserwert = Wärmekapazität des Kalorimeters (berechnet aus einem Mischexperiment mit bekannten Wärmekapazitäten) Q K = Q B + Q KA Q K =c K. mk. (TK T M )= c B. mb. (TM T B ) + W KA. (TM T B ) c K ( c = B m B m + W K ( T K KA )( T T M M ) 13. Wärmekapazität T B )

7 14. Hauptsätze tze der Wärmelehre Zustandsgröße Innere Energie U: Die im Inneren eines abgeschlossenen Systems gespeicherte gesamte Energie (kinetische + potentielle + Wärme + elektrische Energie) nennt man Innere Energie. Sie ist gleich der Gesamtenergie, wenn der Schwerpunkt des Systems ruht, d.h. die äußere Energie =0 ist. Beispiel: Bei idealem Gas gibt es laut Gaskinetik nur die kinetische Energie der Moleküle. Bei Erwärmung des Systems von T=0 auf T (d.h. T = T-0 = T) durch Wärmezufuhr Q gilt: Q = n c V T = n i/2 R T = U (mit n = Molzahl, c V = spezifische molare Wärmekapazität, i = Zahl der Bewegungsfreiheitsgrade, z.b. i = 3 für einatomiges Gas)

8 14. Hauptsätze tze der Wärmelehre Der Versuch2 mechanisches Wärmeäquivalent zeigt, daß sich mechanische Energie in Wärmeenergie umwandeln läßt und ebenfalls zur Erhöhung der Inneren Energie eines Systems führen kann. Er zeigte (historisch) die Äquivalenz von Wärme, gemessen in cal, und mechanischer Energie, gemessen in Joule. Die Kupfertrommel erwärmt sich durch Reibung des lose gewickelten Drahtes und leitet die Wärme in den Wasserbehälter, dessen Temperatur sich um T erwärmt. Das Drehmoment des Motors r ist so reingestellt, daß die Reibungskraft (und damit die Zugkraft des Drahtes) F R = F G, d.h. der Körper mit Masse m schwebt. Mechanische Arbeit W = F R s = m g s mit Weg s = Zahl der Umdrehungen x Trommelumfang. Die Zunahme an Wärmeenergie (= innere Energie des Wasserbehälters) ist: U = W. Die Temperaturzunahme ist dann T = (c Wasser M Wasser m g s + c Trommel M Trommel ) wie durch Messung von T bestätigt wird.

9 Der 1.Hauptsatz der Wärmelehre: Die Summe der einem System von außen zugeführten Wärme Q und der an ihm verrichteten Arbeit W ist gleich der Zunahme der inneren Energie: U = Q + W Andere Formulierungen: 14. Hauptsätze tze der Wärmelehre Die Innere Energie eines abgeschlossenen Systems ( Q= W=0) ist erhalten. (Verallgemeinerung der Energieerhaltung von makroskopischen auf mikroskopische Systeme) Ein perpetuum mobile 1. Art ist unmöglich. (Es gibt keine periodisch arbeitende Maschine, die mehr Arbeit verrichtet als sie Energie aus ihrer Umgebung verbraucht.)

10 Beispiel für den 1. Hauptsatz: 14. Hauptsätze tze der Wärmelehre Wenn kein Wärmeaustausch mit Umgebung ( Q = 0) dann gilt: U = W An einem Gasvolumen ist W = - p V Man erinnere sich: bei Kompression ( V < 0) ist die von außen geleistete Arbeit positiv. Daher das Minuszeichen in der Formel.

11 14. Hauptsätze tze der Wärmelehre (Un-)Umkehrbarkeit thermodynamischer Prozesse ( Reversibilität ) riesiges Energiereservoir im Wasser Geht aber in der Realität nicht: Warum? Wegen 2.Hauptsatz!

12 14. Hauptsätze tze der Wärmelehre 4. Wird der Kolben langsam auf die Ausgangsposition zurückgeschoben, so wird am System Arbeit geleistet ( W = p V) und das System kehrt in seinen Ausgangszustand zurück.

13 Beispiel für irreversiblen Prozess 14. Hauptsätze tze der Wärmelehre p 2 wird am Ende des Prozesses etwa gleich p 1 sein, weil dieser Zustand am wahrscheinlichsten ist!

14 14. Hauptsätze tze der Wärmelehre Entropie S Eine weitere Zustandsgröße, die Entropie S, ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit P eines Zustands ( Boltzmanns berühmte Formel: S = k. ln(p) [J/K] Die Entropie ist ein Maß für die Unordnung und ist umso größer, je größer die Unordnung ist. Bei reversiblen Prozessen ist die Entropieänderung gegeben durch S = Q rev / T siehe Carnotscher Kreisprozeß 2. Hauptsatz : Die Entropie bleibt erhalten bei reversiblen Kreisprozessen. So auch in abgeschlossenen Systemen, wenn keine irreversiblen Prozesse stattfänden, andernfalls nimmt sie zu. Andere Formulierung: Es gibt kein perpetuum mobile 2. Art (d.h. keine Maschine, die Arbeit leistet, indem sie nichts weiter tut, als einen Körper abzukühlen, siehe unser Ozeandampfer oben).

15 14. Hauptsätze tze der Wärmelehre Kreisprozesse (Wärmekraftmaschinen) In einem Kreisprozeß soll aus Wärme mechanische Energie gewonnen werden. (umgekehrt einfacher: Reibung) Idealisiert (revers. Zustandsänderungen): Beispiel Carnot-Prozeß Expansion: Kompression: 1->2: 2->3: 3->4: 4->1: T 1 T 2 T 1 T 2 T 1 T 2 T 1 T 2

16 14. Hauptsätze tze der Wärmelehre Was lernt man aus dem Carnotprozess? Innere Energie erhalten, d.h. nach Kreisprozess hat System die gleiche Energie wie am Anfang. Aus 1.Hauptsatz folgt: W ges + Q ges = U = 0, wobei Q ges = Q 1 + Q 2, Wärmeabgaben nur bei isothermen Zä. Entropie erhalten. Aus 2. Hauptsatz folgt S = Q 1 /T 1 + Q 2 /T 2 = 0, d.h. Q 2 = - Q 1 T 2 /T 1 Wenn man als Wirkungsgrad η der Maschine definiert: η = von Maschine geleistete Arbeit vom warmen Re servoir abgegebene Wärmeenergie = W Q 1 ges erhält man mit - W ges = Q 1 + Q 2 = Q 1 - Q 1 T 2 /T 1 = Q 1 (1-T 2 /T 1 ) η = T1 T T 1 2 Bei allen realen, irreversiblen Kreisprozessen sind die Wirkungsgrade geringer. Der (idealisierte) Carnot-Prozeß erhält die Entropie. Realisierbare gute Wirkungsgrade liegen bei 30%.

17 14. Hauptsätze tze der Wärmelehre Zweiter Hauptsatz : (nach Carnot-Kelvin oder Clausius) Keine zyklisch arbeitende Maschine kann mechanische Arbeit nur durch Abkühlung eines Wärmereservoirs erzeugen. Ein Teil der Wärme muß an ein zweites, kälteres Reservoir abgegeben werden. Alle Zustandsänderungen in einem abgeschlossenen System bewirken eine Zunahme der Entropie: S > 0 : irreversible Prozesse S = 0 : reversible Prozesse (in der Realität selten) Dritter Hauptsatz: Der absolute Temperaturnullpunkt kann nicht erreicht werden.

18 15. Wärmetransport Ein Temperaturausgleich zwischen Körpern oder Bereichen eines Körpers kann durch verschiedene Prozesse zustandekommen. a) Wärmestrahlung: Kein direkter Kontakt, wichtig bei hohen Temperaturen b) Wärmeleitung: Kein Transport von Materie, aber Leitung durch Materie (vor allem Metalle, Festkörper) c) Wärmeströmung (Konvektion): Wärmetransport mit fließender Materie (dominant bei schlechten Wärmeleitern) Ohne Wärmequellen führen diese Prozesse zu vollständigem Temperaturausgleich ( T m ) Eine gute Isolation muss alle Wege ausschließen: Thermoskanne (versilbert, doppelwandig, evakuiert)

19 15. Wärmetransport a)wärmestrahlung, d.h. elektromagnetische Wellen (je nach Temperatur, sichtbares oder infrarotes oder UV- oder. - Licht). Leistung Dieser P: Die Transport abgestrahlte erfolgt Leistung auch durch ist stark Vakuum temperaturabhängig (Sonne Erde). und proportional zur Oberfläche A: P/A = 10-8 W/(m 2 K 4 ) T 4 (Stefan-Boltzmannsches Gesetz) Außerdem verschiebt sich das Maximum des Farbspektrums mit Wachsen der Temperatur von rot nach blau (exakte Beschreibung durch das Plancksche Strahlungsgesetz). Wärmestrahlungsleistung der Erde: 40x10 12 W

20 Wärmestrahlung 15. Wärmetransport Die Wärmebildkamera basiert auf der starken Temperaturabhängigkeit der abgestrahlten Leistung (P ~ T 4 ), die sie in Falschfarben darstellt empfindliche Diagnostik in Medizin und Technik. Verminderte Durchblutung beim Rauchen Wärmeverlust sichtbar Falschfarbendarstellung rot=hell, blau=dunkel

21 15. Wärmetransport Kosmische Hintergrundstrahlung Ursprung: heißes Universum im Jahr t nach Urknall, Temperatur 3000K Durch Expansion des Weltalls wurden die Wellenlänge größer Temperatur kleiner heutige 2.7K Strahlung Die Anisotropie der Strahlung (. nächste Seite) gibt Auskunft über die Dichteverteilung der Materie im Jahr (Physik-Nobelpreis 2006)

22 15. Wärmetransport