Ptolemäus (2. Jhdt. n. Chr.) gilt als erster Hersteller eines Globus und führt Längen- und Breitengrade zur Positionsangabe ein.

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Mathias Hafner
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1 Die Gestalt der Erde Früheste Vorstellung: Ebene ( Erdscheibe ) Spätestens seit Pythagoras (6. Jhdt. v. Chr.) bzw. Aristoteles (4. Jhdt. v. Chr.) setzte sich die Ansicht durch, die Erde sei kugelförmig. Die erste bekannte Berechnung des Erdumfangs führte Eratosthenes Ende des 3. Jhdt. v. Chr. durch, er kam dabei auf knapp km. Ptolemäus (2. Jhdt. n. Chr.) gilt als erster Hersteller eines Globus und führt Längen- und Breitengrade zur Positionsangabe ein. Schon ab dem 17. Jahrhundert sind Überlegungen bekannt, die Erdgestalt müsse aufgrund der Rotation an den Polen abgeflacht sein (J. Richer 1672, I. Newton 1687, C. Huygens 1690). Dies führte zu einem besseren Modell für die Erdgestalt, dem Ellipsoid. [Der Äquatorradius ist um rund 21 km größer als der Polradius!]

2 (Rotations-)Ellipsoide als Näherungen an die Erdgestalt Als einer der Ersten berechnete F.W. Bessel 1841 das später nach ihm benannte Ellipsoid, das bis heute in vielen Ländern Grundlage der Landesvermessung und amtlicher topographischer Karten ist. Ebenfalls weltweite Bedeutung erlangten die Ellipsoide von J.F. Hayford (1924), F.N. Krassowski (1940) und einige andere. große Halbachse [m] kleine Halbachse [m] Bessel , ,965 Hayford , ,946 Krassowski ,000 21km ,019 Welches ist nun das beste? Oder: Weshalb gibt es verschiedene Ellipsoide?

3 Leider gibt es nicht das optimale Ellipsoid, denn die Sache ist doch komplizierter. Genauer: Die Idealgestalt der Erde ist ziemlich komplex, so dass man dafür den Begriff Geoid eingeführt hat (liebevoll-spöttisch auch Erdkartoffel genannt). Ursprung ist ein 1828 von C.F. Gauß entwickeltes physikalisches Modell der Erdfigur (Äquipotentialfläche). Außerhalb der Landmassen kann der mittlere Meeresspiegel als Teil der Geoid-Oberfläche gesehen werden.

4 An jedem Ort der Erde steht das Lot senkrecht auf der Geoid- Oberfläche (ist also eine Flächennormale): [Diese und die vorige Abbildung:

5 Die komplexe Form des Geoids kann nur begrenzt durch ein optimales Ellipsoid angenähert werden! So ist das Ellipsoid von Bessel optimiert für Europa und weite Teile Asiens, dagegen das von Hayford optimiert für Nordamerika. Geoid lokal optimiertes Ellipsoid global optimiertes Ellipsoid lokal optimiertes Ellipsoid

6 Spätestens an dieser Stelle kann die Frage aufkommen, wozu man eigentlich ein geometrisches Erdmodell à la Ellipsoid benötigt. Nun, einen wesentlichen Bedarf dafür gibt es in der Geodäsie und der Kartographie, und zwar in Verbindung mit der Notwendigkeit, einerseits ein geeignetes Koordinatensystem für die Landesvermessung und für Kataster zu schaffen und andererseits die Landoberfläche möglichst verzerrungsarm zweidimensional darzustellen (u.a. in topographischen Karten). Bevor wir näher auf diese Themen eingehen, sehen wir uns zunächst ein grundlegendes Mittel zur Positionsbestimmung an, nämlich das (gedachte) Gradnetz der Erde, welches Sie u.a. auf einem Globus betrachten können.

7 Das Gradnetz der Erde... ist ein gedachtes System aus Längen- und Breitenkreisen. Der Äquator bestimmt die Bezugsebene für die Breitengrade: Äquator = 0, Nordpol = 90, Südpol = -90 Der Nullwert für die Längengrade (Meridiane) ist willkürlich. Es gab früher verschiedene Nullmeridiane, heute hat man sich international auf Greenwich eine alte Sternwarte in London geeinigt. Längen- und Breitenangaben werden auch geographische Koordinaten genannt. Düsseldorf: ca Ost, Nord [Abb. aus: Klett Geographie Infothek]

8 Von der Geländeoberfläche zur topographischen Karte geht es in zwei Schritten: (a) Lotrechte Projektion des Geländes auf das Ellipsoid Ellipsoid Erdoberfläche (b) Abbildung des Ellipsoids auf die Kartenebene ( Abwicklung )

9 Die Abbildung eines Ellipsoids auf eine Ebene ist alles andere als trivial und kann insbesondere nicht ohne Verzerrungen vonstatten gehen. Es sind daher in den vergangenen Jahrhunderten viele Abbildungsvorschriften entworfen worden mit dem Ziel, die Verzerrungen zumindest für den abzubildenden Bereich so klein wie möglich zu halten. Ein wenig zur Terminologie: Mitunter spricht man bei diesen Abbildungen von Kartenprojektionen. Da aber viele der entwickelten Ansätze keiner physikalischen Projektion entsprechen, verwendet man häufig den neutralen Begriff Kartennetzentwürfe. Im folgenden sehen wir uns einige Kartennetzentwürfe an, diskutieren die Verzerrungen und kommen dann zu zwei sehr wichtigen Koordinatensystemen, Gauß-Krüger und UTM.

10 Zunächst ist festzulegen, welche Art der Projektionsebene verwendet werden soll: Ebene Kegel Zylinder Weitere Parameter: Position der gewählten Ebene Berühr- oder Schnittebene Projektionszentrum bzw. Parallelprojektion (orthographisch) [Abb. aus: Haack Weltatlas Online]

11 Die vorige Folie verdeutlicht das Prinzip eines Kartennetzentwurfs: Auswahl eines geeigneten Ellipsoids Auswahl der Projektionsebene Auswahl der Projektionsart (zentral oder parallel) Damit haben wir ein mathematisches Modell einer Abbildung R 3 R 2. N Projektionsebene Äquator Beispiel: polständige gnomonische Azimutalprojektion

12 Als nette Übungs- und Verständnisaufgabe stellen wir uns die Frage Wie sieht das Bild der Längen- und Breitengrade aus? Nebenbei: Damit können wir auch die Verzerrungen verdeutlichen. N Ä r*tan(90 -φ) r = Radius φ = geogr. Breite

13 ... und ein echtes Beispiel dafür: In der Praxis wird die Azimutalprojektion fast ausschließlich für die Polregionen verwendet. [Abb. aus: Diercke die Welt online entdecken]

14 Zylinderprojektion nach Gerhard Mercator (1569), Professor an der Uni Duisburg N Bis heute für bestimmte Einsatzgebiete (z.b. Seefahrt, Luftfahrt) von großer Bedeutung. Warum? Ä Wie sieht das Bild der Längenund Breitengrade aus?

15 So: Längen- und Breitenkreise werden als parallele Geraden abgebildet, stehen senkrecht aufeinander. Zu den Polen hin starke Längenverzerrung in Nord- Süd-Richtung, damit starke Flächenverzerrung. Aber: Winkeltreue! Daher bestens geeignet für die Navigation. Start Ziel Ä

16 ... und auch hierfür ein echtes Beispiel: Charakteristisch ist die enorme Flächenverzerrung in Richtung der Pole Merksatz Grönland ist größer als Australien. Ä [Abb.: Mercator-Projektion]

17 Da die Zylinderprojektion eigentlich ein tolle Sache ist, nur die Verzerrungen polwärts zu groß werden, suchte man Abhilfe durch geschickte Modifikation des Ansatzes. Der Mann, der schon das Geoid ersonnen hatte, trat wieder auf den Plan: Carl Friedrich Gauß, Professor an der Uni Göttingen

18 Gauß drehte zunächst den Zylinder um 90 Grad. Damit wäre nicht viel gewonnen, denn die Verzerrungen würden sich ja nur verlagern! Der Clou des Ansatzes ist nun, die Erde in Zonen von je 3 Längengraden aufzuteilen und den Zylinder um jeweils 3 Grad weiterzudrehen. N Ä [Abb. rechts: Geoinformatik Uni Rostock]

19 Damit kann die gesamte Erde auf 360 /3 = 120 Zonen mit relativ geringer Verzerrung abgebildet werden. Äquator Mittelmeridiane (= Berührkreise) 12

20 Fassen wir die wichtigsten Aspekte des Ansatzes von Gauß zusammen: Zylinderprojektion, dabei verläuft der Zylinder nicht parallel zur Erdachse (wie bei Mercator), sondern ist um 90 gedreht Berührzylinder, jede Berührlinie entspricht einem Längenkreis Es werden jeweils Streifen von drei Längengraden abgebildet, damit kann die Erde auf 120 Streifen (Zonen) erfasst werden. Vorteil: Geringe Verzerrungen (maximal an den Zonenrändern) Nachteil: Sehr viele Zonen nötig J.H.L. Krüger entwickelte aus den Arbeiten von Gauß das System der Gauß-Krüger-Koordinaten (erste Veröffentlichung 1912, amtlich eingeführt 1923), worauf wir noch zu sprechen kommen. So genial dieser Entwurf auch ist das Bessere ist der Feind des Guten, und so gibt es eine interessante Weiterentwicklung:

21 Um die Nachteile (sehr viele Zonen) zu verringern, gleichzeitig aber die Vorteile (geringe Verzerrungen) zu behalten, kann man folgendes tun: Man verkleinere den Durchmesser des Zylinders ein wenig die Folge ist, dass wir jetzt einen Schnittzylinder haben. Des weiteren haben wir je Zone nicht mehr einen Berührkreis, sondern zwei Schnittkreise. Die Verzerrungen waren entlang des Berührkreises (Gauß) Null, jetzt sind sie es entlang der Schnittkreise. Dazwischen sowie links vom linken und rechts vom rechten Berührkreis steigen sie langsam an. Dies erlaubt, die Zonen breiter zu machen. Bei 6 Grad Zonenbreite hat man nur noch 60 Zonen weltweit bei etwa gleich geringen Verzerrungen wie im Entwurf von Gauß! Dies war die Grundlage für ein weiteres Koordinatensystem, die UTM-Koordinaten, doch dazu mehr in der nächsten Folge!

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