12. Vergleich mehrerer Stichproben

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1 12. Vergleich mehrerer Stichproben Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012

2 Häufig wollen wir verschiedene Populationen, Verfahren, usw. miteinander vergleichen. Beipiel: Vergleich der Wohnungsmieten in Köln, Bonn und Frankfurt Gesundheitszustand von Patienten mit und ohne Medikament Dies kann man auch als einfachste Version eines multivariaten Problems ansehen: Wir wollen wissen, ob und wie die Verteilung einer abhängigen Variable (Wohnungsmiete, Gesundheitszustand) von den Werten einer unabhängigen Variable (Faktor) (Ort, Medikament) abhängt. Wir können die Grundgesamtheit bzw. die gesamte Stichprobe dann in mehrere Teilpopulationen bzw. Teilstichproben zerlegen, die den verschiedenen Werten des Faktors entsprechen - z.b. Wohnungsmieten in Köln - Wohnungsmieten in Bonn - Wohnungsmieten in Frankfurt. Ziel ist der Vergleich der Verteilungen in den Teilpopulationen bzw. das Aufdecken von Abhängigkeiten der Variablen.

3 Man unterscheidet u.a. folgende Problemstellungen bzw. Verfahren: Zweistichprobenproblem: Die unabhängige Variable kann nur zwei Werte annehmen (z.b. Behandlung mit Medikament oder Placebo). Die Grundgesamtheit zerfällt dann in zwei Teilpopulationen, in denen wir z.b. den Erwartungswert der abhängigen Variable vergleichen wollen. Varianzanalyse: Die unabhängige Variable (der Faktor) kann mehr als zwei Werte annehmen - die Grundgesamtheit zerfällt dementsprechend in mehrere Gruppen. Wir wollen beipielsweise wissen, ob sich der Erwartungswert in irgendwelchen dieser Gruppen unterscheidet (z.b. Düngung mit fünf verschiedenen Düngersorten: Gibt es überhaupt einen signifikanten Unterschied zwischen den Erträgen?) Test auf Unabhängigkeit: Gibt es eine Abhängigkeit zwischen zwei verschiedenen Variablen? (z.b. Abhängigkeit der Schulnote von der für Hausaufgaben aufgewendeten Zeit)

4 12.1. Zweistichprobenproblem für verbundene Stichproben Eine verbundene Stichprobe liegt vor, wenn n Elemente zufällig ausgewählt werden, an denen jeweils zwei verschiedene Experimente durchgeführt werden. Beispiel: Blutplättchenaggregation derselben Versuchsperson vor und nach dem Rauchen einer Zigarette. Vergleich der Englisch- und der Mathematiknoten derselben Schüler. Falls es nicht möglich ist, die Experimente an den gleichen Einheiten nacheinander durchzuführen, kann man unter Umständen auch n Paare auswählen. Die beiden Elemente im Paar sollten sich dann aber sehr ähnlich sein. Beispiel: Ist es beim Vergleich zweier Medikamente nicht zumutbar, dem Patienten beide Medikamente nacheinander zu verabreichen, dann kann man auch Paare von ähnlichen Patienten bilden, und beiden jeweils nur ein Medikament verabreichen.

5 Zweistichprobenproblem für verbundene Stichproben Will man die Mittelwerte bzw. Mediane der zugrundeliegenden Verteilungen ausgehend von verbundenen Stichproben X 1,X 2,...,X n unter Versuchsbedingung 1, Y 1,Y 2,...,Y n unter Versuchsbedingung 2, eines metrischen Merkmals vergleichen, dann bildet man einfach die Differenzen U i = X i Y i der Beobachtungswerte, und wendet auf diese einen t-test, Wilcoxon-Test, oder Vorzeichentest an. Kein Unterschied zwischen den beiden Veruchsbedingungen heißt dann einfach E [U i ] = 0 bzw. Median(U i ) = 0.

6 Beispiel. (Herzfrequenz) Ein Kaffeehersteller behauptet: Der Genuss von großen Mengen Kaffee führt im Durchschnitt nicht zu einer Erhöhung der Herzfrequenz. X i = Herzfrequenz von Person i nach Genuss von einem Liter Kaffee Y i = Herzfrequenz von Person i ohne Kaffeegenuss U i = X i Y i Nullhypothese H 0 : E [X i ] E [Y i ] E [U i ] 0 Alternative H 1 : E [X i ] > E [Y i ] E [U i ] > 0 t-test: H 0 ist zu verwerfen, falls T = U n S n / n > t n 1,1 α.

7 Wir wählen α = 0,05 und erhalten das folgende Versuchsergebnis: i X i Y i U i t-test: Wegen T = U n S n / n = 34,3 26,8/ 10 = 4,05 und t n 1,1 α/2 = t 9;0,95 = 1,833 < T muss die Nullhypothese verworfen werden.

8 Vorzeichentest: v = Anzahl positiver Vorzeichen = 8 ( ) ( ) ( ) p = P [V 8] = = 0,055 Keine Ablehnung von H 0 zum Signifikanzniveau α = 0,

9 Zweistichprobenproblem für verbundene Stichproben t-test Voraussetzung - Statistisches Modell: (X 1,Y 1 ),(X 2,Y 2 ),...,(X n,y n ) sind unabhängige gepaarte Stichproben. X 1,X 2,...,X n bzw. Y 1,Y 2,...,Y n sind jeweils identisch verteilt. Eine Abhängigkeit zwischen X i und Y i ist möglich. Die Differenzen U i = X i Y i sind N(m, σ 2 ) verteilt. H 0 : m = 0 bzw. H 0 : m 0 bzw. H 0 : m 0 Teststatistik: T = U n S n / n, S2 n = 1 n 1 i ( Ui U n ) 2 Verteilung unter Nullhypothese: T t(n 1) ( N(0,1) für große n)

10 Zweistichprobenproblem für verbundene Stichproben t-test p-wert: t = aus Daten berechneter (realisierter) Wert der T-Statistik p = P [ T t] bzw. p = P [T t] bzw. p = P[T t] Testentscheidung via p-wert: H 0 wird verworfen, falls p < α. Testentscheidung über Quantile: H 0 wird verworfen, falls t > t n 1,1 α/2 bzw. t > t n 1,1 α bzw. t < t n 1,α Zu beachten: Die Normalverteilungsannahme sollte zum Beispiel mithilfe eines Normal QQ-Plots überprüft werden. Evtl. alternativ Vorzeichen- oder Wilcoxontest verwenden.

11 Zweistichprobenproblem für verbundene Stichproben Vorzeichentest Voraussetzung - Statistisches Modell: (X 1,Y 1 ),(X 2,Y 2 ),...,(X n,y n ) sind unabhängige gepaarte Stichproben. X 1,X 2,...,X n bzw. Y 1,Y 2,...,Y n sind jeweils identisch verteilt. Die Verteilungen sind stetig mit Median µ X bzw. µ Y Eine Abhängigkeit zwischen X i und Y i ist möglich. H 0 : µ X = µ Y bzw. H 0 : µ X µ Y bzw. H 0 : µ X µ Y Teststatistik: V = Anzahl der positiven Vorzeichen von X i Y i Verteilung unter Nullhypothese: V Bin(n,1/2) ( N(n/2,n/4) für große n)

12 Zweistichprobenproblem für verbundene Stichproben Vorzeichentest p-wert: v = Beobachtungswert der V-Statistik [ V n p = P v n ] 2 2 bzw. p = P[V v] bzw. p = P [V v] Testentscheidung via p-wert: H 0 wird verworfen, falls p < α. Testentscheidung über Quantile: H 0 wird verworfen, falls v > b 1 α/2 (n,1/2) oder v < b α/2 (n,1/2) bzw. v > b 1 α (n,1/2) bzw. v < b α (n,1/2) Hierbei bezeichnet b α (n,p) das α-quantil der Bin(n,p)-Verteilung.

13 Zweistichprobenproblem für verbundene Stichproben Wilcoxon-Test Voraussetzung - Statistisches Modell: (X 1,Y 1 ),(X 2,Y 2 ),...,(X n,y n ) sind unabhängige, identisch verteilte gepaarte Stichproben. Die Verteilungen der X i bzw. Y i sind stetig. Die Verteilung von U i = X i Y i ist symmetrisch mit Median µ. Eine Abhängigkeit zwischen X i und Y i ist möglich. H 0 : µ = 0 bzw. H 0 : µ 0 bzw. H 0 : µ 0 Teststatistik: W = Summe der Rangplätze R i der positiven Paardifferenzen U i, wenn man alle Differenzen dem Betrage nach ordnet. Verteilung unter Nullhypothese: Für große n näherungsweise normalverteilt (siehe Abschnitt 11)

14 12.2. Zweistichprobenproblem für unverbundene Stichproben Bei einer unverbundenen (ungepaarten) Stichprobe wählt man aus der Grundgesamtheit zufällig n Objekte der ersten Teilpopulation (bzw. n Objekte, für die ein Experiment unter der ersten Versuchsbedingung durchgeführt wird) und, unabhängig davon, m Objekte der zweiten Teilpopulation (bzw. m Objekte, für die das Experiment unter der zweiten Versuchsbedingung durchgeführt wird). Beispiel: Zuordnung von 100 Testpatienten zu einer Gruppe der Größe 60 mit Medikamentenbehandlung und zu einer Gruppe der Größe 40 mit Placebo-Behandlung. Vergleich der Mietpreise bei 280 zufällig ausgewählten Wohnungen in Köln und 133 zufällig ausgewählten Wohnungen in Bonn.

15 Unverbundenes Zweistichprobenproblem Daten: x 1,x 2,...,x n und y 1,y 2,...,y m Modellierungsannahme: Die Daten sind Realisierungen von unabhängigen Zufallsvariablen X 1,X 2,...,X n, bzw. Y 1,Y 2,...,Y m. Die Zufallsvariablen X i und Y i sind jeweils identisch verteilt. Wieder kann man einen Zweistichproben-t-Test (unter Normalverteilungsannahmen) oder einen Wilcoxon-Test (unter der Annahme, daß sich die Verteilungen nur in der Lage unterscheiden) durchführen. Wir beschreiben hier nur den Zweistichproben-t-Test unter Annahme gleicher Varianzen im Detail.

16 Unverbundenes Zweistichprobenproblem Zweistichproben-t-Test Voraussetzung - Statistisches Modell: X 1,X 2,...,X n, Y 1,Y 2,...,Y m sind unabhängige Zufallsvariablen X 1,X 2,...,X n N(m X, σ 2 ) und Y 1,Y 2,...,Y m N(m Y, σ 2 ) sind jeweils identisch normalverteilt mit denselben Varianzen. H 0 : m X = m Y bzw. H 0 : m X m Y bzw. H 0 : m X m Y Punktschätzer: X n = 1 n Y m = 1 m S 2 pool = n i=1 X i m Y i i=1 1 Schätzer für m X Schätzer für m Y n+m 2 ( n i=1( Xi X n ) 2+ m i=1 ( Yi Y m ) 2 ) gepoolter Schätzer für σ 2 (erwartungstreu!)

17 Unverbundenes Zweistichprobenproblem Zweistichproben-t-Test Teststatistik: X n Y m T = 1 S pool n + 1 m Warum wählt man den Nenner so? Var ( ) ( ) ( ) ( X n Y m = Var Xn +Var Ym = σ2 1n + m) 1 Der Nenner ist also gerade der Schätzwert für die Standardabweichung des Zählers. Verteilung unter Nullhypothese: T t(n+m 2) ( N(0,1) für große n,m)

18 Unverbundenes Zweistichprobenproblem Zweistichproben-t-Test p-wert: p = P [ T t] bzw. p = P [T t] bzw. p = P[T t] Testentscheidung via p-wert: H 0 wird verworfen, falls p < α. Testentscheidung über Quantile: H 0 wird verworfen, falls t > t n+m 2,1 α/2 bzw. t > t n+m 2,1 α bzw. t < t n+m 2,α Zu beachten: Die Normalverteilungsannahme sollte zum Beispiel mithilfe eines Normal QQ-Plots überprüft werden. Evtl. alternativ Wilcoxontest verwenden.

19 Beispiel. (Schmelzwärme von Eis) Wiederholte Messungen der freigesetzten Wärme beim Übergang von Eis bei -0,72 C zu Wasser bei 0 C ergaben die folgenden Messwerte (in cal/g): Messmethode A 79,98 80,04 80,02 80,04 80,03 80,03 80,04 79,97 80,05 80,03 80,02 80,00 80,02 Messmethode B 80,02 79,94 79,98 79,97 79,97 80,03 79,95 79,97 Können die Unterschiede zwischen den Methoden als zufällig angesehen werden, oder ist ein systematischer Unterschied plausibler? H 0 : m X = m Y, H 1 : m X = m Y x 13 = 80,021, y 8 = 79,979, s 2 pool = = t = 3,47 Da das Quantil t n+m 2,1 α = t 19;0,975 = 2,09 unterhalb des beobachteten Werts der Teststatistik liegt, verwerfen wir die Nullhypothese zum Signifikanzniveau α = 5%. Methode A liefert also systematisch höhere Werte als Methode B.

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