4. Energie, Arbeit, Leistung, Impuls

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1 Energe, Arbet, Lestung, Ipuls Zentrale Größen der Physk: Energe E, Enhet Joule ( [J] [N] [kg /s ] Es gbt zwe grundsätzlche Foren on Energe: knetsche Energe: entelle Energe: Arbet, Enhet Joule t Bewegung erbundene Energe t echselwrkungen erbundene Energe ( pecherte Energe) Bespel: Beschleungung F Gelestete Arbet: Annahe: konstante Kraft F Beschleungung: a zurückgelegter eg: s at errechte Geschwndgket: Fs a at ( at) E kn! at e be der Beschleungung gelestete Arbet wrd zu knetscher Energe! Erzeugung on Energe durch Kraftanwendung (Transfer on Energe zwschen Systeen) Es glt: Arbet Kraft al eg F s Bespel: Hubarbet F g h (Schwerkraft wrkt nach unten: de aufgebrachte Kraft nach oben) gelestete Arbet: Fs gh E e Arbet wrd zu enteller Energe

2 36 37 Bespel: Spannen ener Feder Gleche Arbet! e Potentelle Energe hängt ncht daon ab, we se erzeugt wurde! x gelestete Arbet: l l l Kraft ener Feder (Hooke sches Gesetz) F x Fdx ( x) dx l E Potentelle Energe ener u l gedehnten (oder tauchten) Feder. Allgeen: Vektorelle Beschrebung F s (für geraden eg und konstante Kraft) r r F( r ) ds F s (für gerade Telstücken) 4. egunabhänggket der. Energe Bespel: schefe Ebene F α F F l h Arbet: drektes Heben gh Fs E Arbet: über Rape g snα l h g snα snα gh Bespel: Hubarbet Schwerefeld (ortsunabhängge Kraft) n F s n x y g z n n g z g z gh Ene Bewegung n x- oder y-rchtung spelt kene Rolle; es zählt nur de Bewegung n Rchtung der Kraft.

3 38 39 efnton: En Kraftfeld, be de das Integral r F( r ) ds r nur on Anfangs- und Endpunkt, aber ncht o eg abhängt, heßt konserat. 4. Energeerhaltung Für en abchlossenes Syste glt: E kn + E konstant e Sue der knetschen und der entellen Energe st konstant; se ändert sch nur, wenn Arbet a Syste errchtet wrd. Beerkung: das Kraftfeld st der negate Gradent der entellen Energe Bespel: Schwerefeld F( r ) E E x E y E z En so gebldetes Kraftfeld st er konserat! F E ( gz) g Aber: entelle Energe kann n knetsche Energe ugewandelt werden und ugekehrt Bespel: freer Fall orher: h E gh E kn Mt der Energeerhaltung folgt: und dat: gh nachher: h E E kn gh

4 4 4 nachrechnen: zetabhängge Höhe be Fall Zet be Errechen on z Geschwndgket her Bespel: haronsche Schwngung x z( t) h gt h t g gt gh Gleches Ergebns! x( t) x cosωt t) x ω snωt ( Ständ Uwandeln on enteller n knetsche Energe und ugekehrt. Körper n der Mtte: knetsche Energe st axal E kn ω ax ( x ) entelle Energe st nal x n E Körper a äußeren Ukehrpunkt: knetsche Energe st nal E kn n entelle Energe st axal egen der Energeerhaltung glt dat: Andere Herletung: Es glt es st also das heßt also ω ( x ) ω ω x E xax x a( t) x ω cosωt a ω x( t) F a x ω x ω Schwngungsfrequenz Federpendel

5 Lestung Lestung st Arbet pro Zet genauer: P t d P dt Enhet att [] [J/s][N/s] Bespel: elektrsche Brne, P (Lestung) brennt h: Pt * h h h *36s s 3.6 MJ e gleche Arbet wrd benötgt, u 36 kg u anzuheben! Gelestete Arbet st bzw. Bespel: Hubarbet Pt t Pdt kg werden u angehoben Arbet: gelestet n 5 n (3s): gelestet n s: gh J P J 3. t 3s 3 J P s 4.4 Ipuls Herletung : es glt acto reacto t t F Kräfte: F F F a a a d a d d dt dt dt d ( ) + dt F also + blebt konstant!

6 44 45 efnton: Ipuls: p 4.5 Ipulserhaltung acto reacto glt auch für en Syste aus belebg elen Körpern: Für enen enzelnen Körper glt: ( t) Mutplzert t : + t a( t) dt + p( t) p t + F( t dt ) Be konstanter Kraft und p p F t t F( t) dt Ipuls st Kraft al Zet! F F F F F F F Für de Sue der Ipulse glt: N p N ( p + Ft) N N p + t N F P + t P (Ernnerung: Arbet st Kraft al eg) In ene Syste, auf das kene äußeren Kräfte wrken, st der Gesatpuls ene Erhaltungsgröße

7 4.6 Zentraler Stoß Ipuls- und Energeerhaltung besten, welche Endzustände enes Systes nach ener echselwrkung (Austausch on Energe und Ipuls) erlaubt snd. 46 Energeerhaltung: E E' ' + ' her: endensonal (Bewegung auf ener Lne) 47 orher p, p, p3... E, E, E3... Es glt: echselwrkung p E p ' E' nachher p', p', p' 3... E', E', E' 3... at lauten de beden Glechungen: Ensetzen: ' ' + ' ' Zwe Glechungen, zwe Unbekannte (, ) endeutge Lösung! Bespel: zentraler Stoß zwschen zwe Massen,. Masse ruht Ipulserhaltung: ' ' p p' ' + ' ' ' daraus folgt: ' ' + + ' + ' ' ' + ' + ' + ' ' ' ' +

8 Zwe Lösungen: Lösung : ' Lösung : ' ( Trale Lösung: Stoß hat ncht stattgefunden) ' + skusson deses Resultats für erschedene Fälle: ' ' >> her glt: ' ' er stoßende Körper wrd kau erlangsat; der toßene Körper erhält de doppelte Geschwndgket des stoßenden Körpers! Allgeen: dredensonaler Stoß 49 '. her glt: ' er Ipuls (und de knetsche Energe) werden ollständg auf den toßenen Körper übertragen.. << her glt: ' ' er stoßende Körper wrd reflektert; der toßene Körper erhält den doppelten Ipuls des stoßenden Körpers! ( p!) ' p + ' ' Her glt: + ' + ' es snd 4 Glechungen t 6 Unbekannten ( ) + Ipulserhaltung ', Energeerhaltung ' Lösung bestt bs auf zwe free Paraeter! (z.b. legt de ahl der Rchtung on ' alle anderen erte fest)

9 4.7 Anwendung der Ipulserhaltung: Rakete w Es glt: + Vortreb durch urf: Person n Boot n Ruhe wrft ene Kugel t urfchwndgket w (Geschwndgket relat zur Person) adurch erhält das Boot (und de Person) enen Ipuls bzw. ene Geschwndgket n Gegenrchtung Ipulserhaltung: also ) Für << wrd des zu: ( + + und Ausstoß on Masse erzeugt Vortreb! 5 Jetzt: Rakete heße Gase Brennkaer und üse Trebstoff Geschwndgketszunahe dadurch ( <<): In der Zet t wrd de Masse - t Geschwndgket austoßen. ( st de Raketenasse; de Masse der austoßenen Gase st - ) Uforen und Übergang zu nfntesal klener Zet ( t dt): Integraton über : d d d d d d ( ) ( ) (ln( ) ln( )) ln( ) Falls ( ) st (Startchwndgket Null): ln( ) Raketenchwndgket 5

10 5 53 e on ener Rakete errechbare Geschwndgket hängt on de Verhältns der Start- und Endasse und der üsengaschwndgket ab. Für de Rebungskraft glt: Körper bewegt sch ( Gletrebung ): Typsche erte: 6 at: End s 36 s Körper ruht ( Haftrebung ): F R µ F F R Rebungskoeffzent ' µ ' F 4.8 Rebung Rebung erwandelt Arbet n äreenerge Verlust on knetscher Energe ohne Erzeugung on enteller Energe e Rebungskraft st unabhängg on der Geschwndgket und der Auflagefläche! Typsche erte: Es gbt erschedene Foren der Rebung; dese lassen sch näherungswese durch Gesetze beschreben. Stahl auf Stahl (polert) µ '.7 µ.4. Coulob-Rebung F R F Oberflächenrebung: de Bewegung enes t Anpresskraft F auf de Oberfläche gedrückten Körpers erzeugt ene Rebungskraft F R Gu auf Asphalt µ '. µ. µ '.6 µ.4 trocken naß

11 Bespel: axal öglches Beschleungen enes Autos Newton-Rebung 55 rehende Räder können axal de Haftrebungskraft auf de Straße ausüben, blockerende Räder de Gletrebungskraft. e axal öglche (poste oder negate!) Beschleungung st dat: bzw. FR µ F µ g a µ g F' R a' µ ' g En Fahrzeug t Gurefen kann auf Asphalt also t axal. g beschleungen! F R Geschwndgket Schneller Körper n lechter Flüssgket oder Gas Her glt für de Rebungskraft: c A F c ρ A derstandsbewert des Körpers Querschnttsfläche des Körpers (senkrecht zur Geschwndgket). Stokes-Rebung F R Kugel n skoser (zäher) Flüssgket Her glt für de Rebungskraft: e Kraft st proportonal zu Quadrat der Geschwndgket! Be der Bewegung aufgebrachte Lestung: P Fs t F c ρ A 3 Geschwndgket η r F 6πηr Vskostätskonstante der Flüssgket Kugelradus Bespel: Auto k/h (7.8 /s) : A.5 ρ.9 kg/ 3 (Luft) c.3 F 374 N P 393 ( 4 PS) e Kraft st proportonal zur Geschwndgket! k/h (56 /s) : F 495 N P 8346 ( 3 PS)

12 Inelastscher Stoß Rebungseffekte (Uwandlung knetscher Energe n äreenerge) erändern Stöße. Bespel: ollnelastscher zentraler Stoß ' ' äpfer Kugeln bleben zusaen e knetsche Energe wrd errngert. Es glt nur de Erhaltung der Gesatenerge: E kn + E + E Her st E E' at glt für de äreenerge: E ' E E + E + E' + E' + E' kn kn E' kn E kn + Es glt: Ipulserhaltung P ' ' + ' P ( + ) ' ' + e fehlende knetsche Energe st n äreenerge ugewandelt worden. Merke: be nelastschen Prozessen glt Ipulserhaltung, aber ncht de Erhaltung der knetschen Energe! (sondern nur de Erhaltung der Gesatenerge) Für de knetsche Energe glt: orher: nachher: E kn E' kn ' + ' ( + ) ' + + kn E

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