Übungsaufgaben: Wahrscheinlichkeitsrechnung Seite: 1

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1 Übungsaufgaben: Wahrscheinlichkeitsrechnung Seite: 1 Aufgabe 1 Aus einem Skatspiel mit 32 Karten wird zufällig eine Karte gezogen. Dabei sei D das Ereignis Es wird eine Dame gezogen und H das Ereignis Die gezogene Karte ist eine Herzkarte. Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: a) W (D) b) W( H D) c) W (H / d) W( H D) W H D e) ( ) Anmerkung: Ein Skatspiel besteht aus 32 Spielkarten: Die acht Einzelkarten 7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König, As kommen jeweils als Kreuz, Pik, Herz, Karo vor. Aufgabe 2 In der Vorrunde einer Fußballmeisterschaft gibt es in einer Gruppe drei Spiele der Mannschaften A, B und C (jeder gegen jeden). Jedes Spiel endet mit dem Sieg einer Mannschaft (notfalls nach Elfmeterschießen). Gruppensieger wird, wer seine beiden Spiele gewinnt. Gewinnt jedoch jede der drei Mannschaften ein Vorrundenspiel, so wird der Gruppensieger durch Los ermittelt, wobei dann jedes Team die gleiche Chance hat. Nach Auswertung von Expertenmeinungen werden die Gewinn-Wahrscheinlichkeiten P(G) in einzelnen Spielen wie folgt geschätzt: Spiel 1: A gegen B P(G A1 ) = 0,8 P(G B1 ) = 0,2 Spiel 2: A gegen C P(G A2 ) = 0,7 P(G C2 ) = 0,3 Spiel 3: B gegen C P(G B3 ) = 0,4 P(G C3 ) = 0,6 a) Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: - G A,. G B bzw. G C : Mannschaft A, B bzw. C gewinnt beide Vorrundenspiele? - L: keine Mannschaft gewinnt beide Spiele, d.h. der Sieger wird durch Los ermittelt? - S A, S B bzw. S C : Mannschaft A, B bzw. C wird Gruppensieger. (Hinweis: überlegen Sie, welche Zusammenhänge zwischen den obigen Ereignissen bestehen) b) Das Spiel 1 endet mit einem Sieg des Außenseiters B. Wie groß sind jetzt die Wahrscheinlichkeiten der obigen Ereignisse? Aufgabe 3 Für zwei freie Stellen melden sich vier Bewerber. Die Personalabteilung stellt eine eindeutige Reihenfolge hinsichtlich der Qualifikation der Bewerber fest. Der Leiter der die Bewerber aufnehmenden Abteilung versäumt die Durchsicht der Unterlagen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er a) die beiden besten Bewerber erhält? b) keinen der an Platz 1 oder 2 gesetzten Bewerber bekommt?

2 Übungsaufgaben: Wahrscheinlichkeitsrechnung Seite: 2 Aufgabe 4 Die Duopolisten eines Marktes haben folgende Aktionsparameter: Unternehmen A: Preis, Menge, Qualität, Werbung, Lieferungsbedingungen, Zahlungsbedingungen. Unternehmen B: gleiche und Standort. Wenn die beiden Unternehmen vereinbarten, jeweils zwei Parameter innerhalb einer bestimmten Zeitperiode zu ändern und nie Preis und Menge gleichzeitig, wie viele unterschiedliche Kombinationen zugelassener Parameterveränderungen kann es dann auf dem Duopolmarkt geben? Aufgabe 5 Ein Student beurteilt seine Chance, die Statistikklausur zu bestehen folgendermaßen: Wenn keine Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung vorkommen, werde ich die Klausur mit Sicherheit bestehen. Die Wahrscheinlichkeit, dass keine Aufgabe zur Wahrscheinlichkeitsrechnung gestellt wird beträgt 20 %. Enthält die Klausur eine Aufgabe zur Wahrscheinlichkeitsrechnung, so sind zwei Fälle zu unterscheiden: a) Bei wenigstens zwei Aufgaben zur beschreibenden Statistik (50 % Wahrscheinlichkeit), werde ich die Klausur zu 90 % bestehen. b) Bei weniger als zwei Aufgaben zur beschreibenden Statistik (50 % Wahrscheinlichkeit), werde ich die Klausur zu 70 % bestehen. a) Berechnen Sie die (subjektive) Wahrscheinlichkeit, dass der Student die Klausur besteht, bevor er die Klausur gelesen hat! b) Stellen Sie die möglichen Ergebnisse der Klausur in einem Baumdiagramm dar! Aufgabe 6 Die noch vor wenigen Jahren allen Frauen über 40 Jahren empfohlene regelmäßige Mammographie wird heute zunehmend diskutiert. Einem Artikel der Süddeutschen Zeitung vom ist zu entnehmen, dass etwa 4 Promille der in Frage kommenden weiblichen Bevölkerung an bösartigem Brustkrebs erkrankt. Eine Mammographie zeigt einen vorhandenen Krebs in 999 von Fällen. Leider führt dieses Verfahren aber mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % auch dann zur Diagnose Brustkrebs, wenn diese völlig unbegründet ist. Soll unter diesen Bedingungen sofort operiert werden, wenn die Mammographie einen bösartigen Tumor anzeigt? Begründen Sie Ihre Aussage!

3 Übungsaufgaben: Wahrscheinlichkeitsrechnung Seite: 3 Aufgabe 7 Eine Zufallsvariable X hat im Wertebereich W x = [0,1] die Verteilungsfunktion F(x) = 4x 3 6x 2 + 3x. a) Wie lautet die Dichtefunktion f(x) im Wertebereich W x? Erstellen Sie für die Funktionen f(x) und F(x) je eine Wertetabelle für x = { 0; 0,2; 0,5; 0,8; 1 } und zeichnen Sie beide Funktionen im Intervall [-0,2, 1,2]! b) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X! c) Berechnen Sie P(X 0,4) und P( X-0,5 0,3)! Stellen Sie die zweite Wahrscheinlichkeit als Fläche dar! Aufgabe 8 Ein idealer Würfel wird dreimal geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: a) Die Augenzahl ist bei jedem Wurf die gleiche. b) Die Summe der Augenzahlen bei den drei Würfen ist fünf. c) Die 5 tritt bei den 3 Würfen zweimal auf. Aufgabe 9 Im Rahmen eines Forschungsprojektes wurden die Studienleistungen von 1000 Studierenden untersucht. Dabei wurde festgestellt, dass 200 nicht ausreichende Leistungen erbrachten, 16 mit sehr gut abschnitten und 80 die Abschlussnote gut erreichten. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei zufälliger Auswahl einer Person einen Studierenden mit mindestens ausreichender Studienleistung (erfolgreich Studierende) herauszugreifen? b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, unter den Studierenden mit mindestens ausreichender Studienleistung einen mit der Note sehr gut herauszugreifen. c) Um den Studienerfolg zu prognostizieren, wird ein Test durchgeführt. Dieser hat bisher stets 85% der später erfolgreich Studierenden als erfolgreich und 90% der nicht erfolgreich Studierenden als nicht erfolgreich ausgewiesen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein durch den Test als erfolgreich bestimmter Studierender tatsächlich erfolgreich sein Examen ablegt?

4 Übungsaufgaben: Wahrscheinlichkeitsrechnung Seite: 4 Aufgabe 10 Bei der Kontrolle der Fertigung von elektronischen Bauteilen werden der laufenden Produktion zufällig einzelne Teile entnommen und auf ihre Funktionsfähigkeit geprüft. Der Ausschussanteil beträgt erfahrungsgemäß 10 Prozent. a) Wie ist die Anzahl der defekten Bauteile in einer Stichprobe vom Umfang 5 verteilt? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer solchen Stichprobe mindestens ein Teil defekt ist? b) Wie ist die Anzahl der defekten Bauteile in einer Stichprobe vom Umfang 100 bzw. 200 verteilt? Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass solche Stichproben mehr als 14 % Ausschuss enthalten? c) Die Bauteile werden in Packungen mit 20 Stück ausgeliefert. Ein Kunde, der eine Packung mit zwei defekten Teile erhält, kontrolliert den Inhalt, indem er zufällig fünf Bauteile aus der Packung herausnimmt und prüft. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass keines der fünf Teile defekt ist? Aufgabe 11 Ein Florist bezieht aus Holland sehr günstig 2000 Hyazinthenzwiebeln und will diese in Packungen á 50 Stück vermarkten. Man weiß, dass 8 % der Zwiebeln nicht keimen werden und möchte andererseits eine Garantie aussprechen, die darauf hinausläuft, für jede Packung den Preis zu erstatten, wenn mehr als fünf Zwiebeln nicht keimen. Wie hoch wird der Anteil der Rückerstattungen des Kaufpreises sein, wenn man davon ausgeht, dass alle anspruchsberechtigten Kunden auch das Geld zurück fordern? Definieren Sie eine geeignete Zufallsvariable, geben Sie deren exakte Verteilung sowie den genauen Lösungsterm an und bestimmen Sie den gesuchten numerischen Wert mittels einer geeigneten Verteilung! Aufgabe 12 In einem Reaktorblock eines Kernkraftwerks tritt durchschnittlich 0,4 mal am Tag ein Störfall auf. Bei mehr als zwei Störfällen an einem Tag muss der betreffende Reaktorblock abgeschaltet werden. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Reaktorblock an einem Tag abgeschaltet werden muss? b) Wie oft kommt dies durchschnittlich pro Jahr vor? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Jahr höchstens vier mal abgeschaltet wird?

5 Übungsaufgaben: Wahrscheinlichkeitsrechnung Seite: 5 Aufgabe 13 Eine Zufallsgröße X sei rechteck-verteilt im Intervall W = [1,6]. a) Definieren Sie die Dichte und die Verteilungsfunktion und stellen Sie diese grafisch dar! b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz dieser Zufallsgröße! c) Nennen Sie den (die) Unterschied(e) dieser Zufallsgröße zur Zufallsgröße Werfen eines Würfels? Aufgabe 14 Für eine binäre Speicherzelle sei die Zeit X [Betriebsstunden] bis zum Auftreten des ersten Fehlers exponential-verteilt mit dem Parameter λ = a) Wie groß ist die mittlere Zeitdauer E(X) bis zum Eintreten des ersten Fehlers? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt der erste Fehler innerhalb von 10 6 Betriebsstunden auf? c) Ein 2-Megabyte-Speicher besteht aus n = 2 24 derartigen Speicherzellen. Bezüglich des Auftretens von Fehlern soll die stochastische Unabhängigkeit der Speicherzellen vorausgesetzt werden. Y sei die Zeit bis zum Auftreten des ersten Fehlers im 2-Megabyte-Speicher. Wie groß ist die mittlere Zeit E(Y) bis zum Auftreten des ersten Fehlers im Speicher? Aufgabe 15 Bestimmen Sie die Flächen unter der Normalverteilungskurve a) zwischen z = 0 und z = 1,2, b) zwischen z = -0,6 und z = 0, c) zwischen z = -0,4 und z = 2,2, d) rechts von z = 2,1 und links von z = -1,4, e) zwischen z = 1,2 und z = -1,2 (symmetrische Intervallwahrscheinlichkeit). Aufgabe 16 Die Herstellung eines Teils muss verschiedenen Anforderungen genügen. Unter anderen wird ein Loch in ein Blech gestanzt. Die Anforderungen an den Durchmesser des Loches sind wie folgt: Sollwert (Zielwert): 12,15 mm obere Toleranzgrenze: 12,25 mm untere Toleranzgrenze: 12,05 mm

6 Übungsaufgaben: Wahrscheinlichkeitsrechnung Seite: 6 Aus der Produktion sei bekannt, dass die entsprechenden Teile mit folgender Normalverteilung für den Lochdurchmesser produziert wurden: µ = 12,12 mm σ = 0,04 mm Berechnen Sie den Fehleranteil der Teile mit falschem Lochdurchmesser, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass der Durchmesser der Stanzlöcher außerhalb den Toleranzen liegen. Aufgabe 17 Das Gewicht von Brötchen ist bekanntlich normalverteilt mit dem durchschnittlichen Gewicht von 50 g und einer Standardabweichung von 2 g. Ein Prüfer des Gewerbeaufsichtsamtes wählt ein Brötchen zufällig aus. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es 48 g wiegt? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es zwischen 46 und 49 g wiegt? c) Wie schwer sind mindestens 90 % der Brötchen? d) Wie ändern sich die Parameter, wenn der Bäcker seine Portionierungsmaschine so einstellt, dass jedes Brötchen 2 g schwerer wird als bisher?