Elemente der Geometrie 1

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1 Elemente der Geometrie Inhlt Der Rote Fden. Definition. Geschichte Elementre Längenverhältnisse und Flächen 4. Elementre Bezeichnungen 4. Kreisögen 5.3 Flächen 5 3 Ds Innendreieck 6 4 Der Kreis des Archimedes 7 4. Umfng 7 4. Fläche 8 5 Ds Rechteck im Kreis des Archimedes 0 6 Die Tngenten des Arelos 7 Die Zwillinge des Archimedes 8 Der Inkreis des Arelos 6 9 Anhng 9. Verhältnisgleichungen 9. Strhlensätze 9.3 Stzgruppe des Pythgors 7 0 Mthemtiker 9 Üungsufgen 3

2 Elemente der Geometrie Der Rote Fden In diesem Kpitel geht es drum, sich n einige grundlegende Sätze der Geometrie (us der Schule) zu erinnern und diese nzuwenden und zu üen. Es geht um Ähnlichkeit, Streckenverhältnisse, Strhlensätze, den Stz von Pythgors, ds Berechnen von Flächeninhlten und Streckenlängen und Vieles mehr. Ds soll nun nicht Schritt für Schritt geüt werden, sondern lles ist in eine interessnte, üerrschend reichhltige Figur gepckt: den Arelos, uf Deutsch ds Schustermesser.. Definition Gegeen sei eine Strecke AB, ein Punkt C im Inneren der Strecke sowie die drei Hlkreise üer den Strecken AB, AC und CB in einer Hleene von AB. Dnn nennen wir den von den drei Kreisögen erndeten Bereich Arelos. Die hier eingefärte Fläche ist die Fläche des Arelos. Bei llen nchfolgenden Betrchtungen denken wir uns den Punkt C uf der Strecke AB eweglich. Aussgen zum Arelos eziehen sich lso nie uf ein festes C, sondern gelten immer für lle möglichen Lgen von C. Aufge Zeichnen Sie einen Arelos mit Zirkel und Linel und mit GeoGer.. Geschichte Ds Wort Arelos kommt us dem ntiken Griechenlnd. Es ezeichnet ein spezielles Messer, ds die Schuster in ihrem Hndwerk nutzten. Ein Arelos, Schustermesser oder uch Hlmondmesser wird in Deutschlnd heutzutge in der hndwerklichen Verreitung von Leder, z.b. im Kirschner- und Lederhndwerk, der Mßnfertigung von Schuhen oder im orthopädischen Bereich genutzt. Sttt eines

3 Elemente der Geometrie 3 Hlmondmessers (Aildung.) wird heute jedoch ein Sttlermesser evorzugt, ds für den Fchmnn üer ähnliche Eigenschften des Schneidens verfügt (Aildung., unteres Werkzeug). Aildung. Aildung. In der Orthopädie wird ein Hlmondmesser heute noch zu folgenden Tätigkeiten genutzt: - Bei einem Riemenschnitt werden Riemen mit prlleler Schnittknte erzeugt (Aildung.3 und.4). Aildung.3 Aildung.4 - Ein Kurvenschnitt dient zum Schneiden kleiner Rdien (Aildung.5). - Beim Schärfen wird eine Lederknte usgezogen, oder lienhft usgedrückt, sie wird ngeschrägt (Aildung.6). Aildung.5 Aildung.6 Es wr vermutlich der griechische Mthemtiker und Ingenieur Archimedes, der sich ls erster mit der Mthemtik eines Arelos, lso mit der dhinterstehenden ideltypischen Geometrie, eschäftigt 87 - v.chr.

4 Elemente der Geometrie 4 ht. Soweit mn es nchvollziehen knn, efsste er sich u.. whrscheinlich mit Frgestellungen des Flächeninhlts oder den Umfängen. Archimedes entdeckte die nch ihm ennnten Möndchen oder uch (Mond-) Sicheln des Archimedes. Der US-Amerikner Leon Bnkhoff, ein Zhnrzt und Mthemtiker, eschäftigte sich nscheinend ls erster nch Archimedes wieder intensiv mit dem Arelos. Er fnd den sog. "Bnkhoff Triplet Circle" 3. Es hndelt sich hier um einen dritten Kreis, der kongruent zu den Zwillinge des Archimedes ist. In Folge der Forschungen Bnkhoffs wurden viele weitere Zwillingskreise gefunden. Elementre Längenverhältnisse und Flächen. Elementre Bezeichnungen Aildung. Für die Bezeichnungen m Arelos wollen wir folgendes System verwenden: Alles, ws sich uf den linken, kleineren Hlkreis ezieht, ekommt ei den Bezeichnungen einen Indes, für den rechten Hlkreis verwenden wir den Index. Bezeichnungen für Elemente, die sich uf die gesmte Strecke AB eziehen, nehmen wir keinen Index. Der äußere Hlkreis sei k mit dem Mittelpunkt M. Der linke innere Hlkreis sei Mittelpunkt k mit dem Rdius M. Der rechte innere Hlkreis sei = AC und k mit dem Rdius = CB und dem Mittelpunkt M. Der Durchmesser des Hlkreises k ist AB und ht die Länge +. Drus ergit sich der Rdius c des Hlkreises k ls Summe der Rdien der Hlkreise k und k : c = + = + () Nchweis 954, veröffentlicht 974

5 Elemente der Geometrie 5. Kreisögen Aildung. Die Länge des Kreisogens k ist π = π. Die Länge des Kreisogens k ist π = π. Die Lnge des Kreisogens k ist π c = π c und dmit nch () π ( + ) = π + π. Dmit ist k genuso lng wie k und k zusmmen..3 Flächen Aildung.3 Die Fläche des Arelos F A ergit sich us den Flächen F, F und Fc der drei Hlkreise, die den Arelos egrenzen: F A = Fc F F = π c π π Mit c = + () folgt: FA = π (( + ) ) = π ( + + ) = π = π

6 Elemente der Geometrie 6 3 Ds Innendreieck Errichtet mn in C die Senkrechte zu AB, so schneidet diese den Kreisogen k in D. Es entsteht ds Innendreieck ABD. Nch dem Stz des Thles ist ds Dreieck ein rechtwinkliges. Aildung 3. Die Seitenlängen und die Höhe des Dreiecks lssen sich wie folgt erechnen: AB = ( + ) (s. Def. Arelos) CD = h = (wegen Höhenstz: BD = ( + ) (wegen Pythgors: AD = ( + ) (wegen Pythgors: h = ) BD ( ) = + ) AD ( ) = + )

7 Elemente der Geometrie 7 4 Der Kreis des Archimedes Bei den Üerlegungen zum Arelos eschäftigte sich Archimedes uch mit dem Kreis üer der Höhe h: Aildung 4. : Arelos mit dem Kreis des Archimedes 4. Umfng Der Umfng des Arelos U A ist estimmt durch 4 : Aildung 4.: der Umfng U A des Arelos U = k+ k + k = π ( + ) A Und dmit, unhängig von der Position des Punktes C, konstnt. 4 Siehe Kpitel.

8 Elemente der Geometrie 8 Der Umfng des Kreises U K ist: Aildung 3: der Umfng U K des Kreises des Archimedes UK = πh D die Höhe h je nch Position des Punktes C vriiert, knn der Umfng U K des Kreises nicht konstnt sein. Für den Umfngs finden wir lso keinen Zusmmenhng zwischen Arelos und dem Kreis des Archimedes. In der Schule sind llgemeingültige Vergleiche uf der Formel- oder rechnerischen Eene erst in höheren Jhrgngsstufen denkr. Im Grundschulereich edient mn sich möglichst konkreter Methoden, in diesem Fll dem direkten Längenvergleich. Ds heißt, dss für unterschiedliche Beispiele der Umfng eider Formen mit einem Fden nchgelegt und ihre Längen verglichen werden. 4. Fläche Die Fläche des Arelos F A 5 : Aildung 4.4: die Fläche F A des Arelos 5 Siehe Kpitel.3

9 Elemente der Geometrie 9 FA = π Die Fläche des Kreises des Archimedes F K estimmt sich zunächst durch die Höhe h. Aildung 4.5: die Fläche F K des Kreises des Archimedes FK = π h 4 Im Kpitel 3 htten wir für die Höhe gefunden:! h =. Setzen wir ds ein, so erhlten wir FK = π. Dmit ist ewiesen, dss F A =F K, lso die Fläche des Arelos und des Kreises des Archimedes gleich sind. Und ds gilt unhängig von der Position des Punktes C. In unteren Jhrgngsstufen ist dieser Nchweis in Beispielen wie schon von Archimedes zu erringen: Archimedes enutzte uch eine dmls neue Methode, um Hypothesen zum Flächeninhlt krummlinig egrenzter Flächen (z.b. von Preln und Qudrten) prktisch zu üerprüfen. Er zeichnete die entsprechenden Flächen uf dünne Tfeln (z.b. us Holz, mehrlgigem Ppyrus oder vielleicht uch Ton) uf und schnitt sie nschließend us. Dnch verglich er ds Gewicht der usgeschnittenen Flächenstücke. Ddurch konnte er flsche Hypothesen durch Messung des Gewichts ereits von vorneherein usschließen. 6,7 6 Wikipedi: Flächenerechnungen 7 Dei ist, d Kinder lediglich festes Ppier schneiden können, ein Wge mit einem Messereich is 00stel g nötig.