Exponentialverteilung

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1 Exponentialverteilung Dauer von kontinuierlichen Vorgängen (Wartezeiten; Funktionszeiten technischer Geräte) Grenzübergang von der geometrischen Verteilung Pro Zeiteinheit sei die Eintrittswahrscheinlichkeit p P(X=k)=p(1-p) k bzw. P(X k)=(1-p) k Bei Verkleinerung der Zeiteinheiten muss sich die Eintrittswahrscheinlichkeit proportional ändern, damit die Wahl der Zeiteinheit das Ergebnis nicht beeinflusst: 1/2 Zeiteinheit ==> p/2 1/3 Zeiteinheit ==> p/3 Statistik für SoziologInnen 1 Exponentialverteilung

2 Exponentialverteilung P(X k)=(1-p) k P(X k)=(1-p/2) 2k P(X k)=(1-p/3) 3k... P(X k)=(1-p/n) nk bei 1 Zeiteinheit bei 1/2 Zeiteinheit bei 1/3 Zeiteinheit bei 1/n Zeiteinheit Die kontinuierliche Betrachtung ergibt sich durch n : P(X k) = (1-p) k diskretes Modell ~ Geometrische V. P(X k) = exp(-pk) stetiges Modell~ Exponential V. P(X x) = 1 - exp(- x) Verteilungsfunkt. (x 0) Statistik für SoziologInnen 2 Exponentialverteilung

3 Exponentialverteilung Dichtefunktion f(x)=.exp(- x) Verteilungsfunkt. (x 0) P(X x) = 1 - exp(- x) y lambda = 1 lambda = 0.25 y lambda = 1 lambda = Statistik für SoziologInnen 3 Exponentialverteilung

4 Exponentialverteilung Sei X eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parameter, d.h. X~EX( ), so gilt E(X) = 1/ V(X) = 1/ ² Std.Abw(X) = 1/ Beachte: Bei der Exponentialverteilung gilt, dass der Erwartungswert identisch mit der Standardabweichung ist Die Exponentialverteilung hat eine no memory oder no ageing Eigenschaft: h(x) = f(x)/(1-f(x)) = const. h(x)... Hazardfunktion (instantaneous risk of mortality) Statistik für SoziologInnen 4 Exponentialverteilung

5 Exponentialverteilung Ist die "Anzahl der Vorkommnisse eines bestimmten Phänomens" poissonverteilt (Poisson- Prozess) Anzahlen des Eintreten in nicht-überlappenden Zeiteinheiten sind unabhängig Wahrscheinlichkeit für das Auftreten in einem (kleinen) Intervall der Länge dt sei dt Mit dt 0 geht die Wahrscheinlichkeit für das mehrfache Auftreten in einem Intervall gegen Null dann ist der zeitliche Abstand zwischen dem Auftreten von zwei Beobachtungen des interessierenden Phänomens exponentialverteilt. Statistik für SoziologInnen 5 Exponentialverteilung

6 Beispiel: Im Durchschnitt beträgt die Zeit zwischen den Ankünften zweier Kunden an einem Bedienungsschalter 2,5 Minuten. Unter der Modellannahme, dass die Zeit zwischen den Ankünften von zwei Kunden exponentialverteilt sei, ergibt sich für den Parameter =0,4 (E(X) = 1/ = 2,5) Man bestimme die Wahrscheinlichkeit, dafür, dass zwischen dem Eintreffen zweier Kunden mehr als 2 Minuten verstreichen. P(X k) = exp(-pk) P(X>2)=1-P(X 2) =1-(1-exp(-0.4*2)) = exp(-0.8) = Statistik für SoziologInnen 6 Exponentialverteilung

7 Beispiel: Es wird die Lebensdauer von 100 Glühbirnen in h beobachtet: mean(x)= ==> = var(x)= Std.Abw.(x)= Statistische Schätzung Statistik für SoziologInnen 7 Exponentialverteilung

8 Histogramm und Exponentialverteilung Empirische Verteilung (rot) Theoretisches Verteilungsmodell auf Basis des aus den empirischen Daten geschätzten Parameters (schwarze Linie) x Statistik für SoziologInnen 8 Exponentialverteilung

9 Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 1 Glühbirne länger als 1 Jahr (=8760 h) brennt? P(X>8760)=1-P(X<8760)= 1-(1-exp( *8760)=exp(-3.919)= ~ 2% Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 1 Glühbirne länger als 1000 h brennt? P(X>1000)=1-P(X<1000)= 1-(1-exp( *1000)=exp( )= ~ 64% Statistik für SoziologInnen 9 Exponentialverteilung

10 Beispiel: Wie ist die Summe der Brenndauern von n Glühbirnen verteilt? Im Beispiel wurde wiederholt die Funktionsdauer von n=10 zufällig ausgewählten Glühbirnen addiert: Wie schaut die Verteilung der Summenwerte aus? ==> zentr. Grenzwertsatz Statistik für SoziologInnen 10 Exponentialverteilung

11 Verteilung der Summen von n=10 Glühbirnen Statistik für SoziologInnen 11 Exponentialverteilung

12 Beispiel Nach Angaben des Produzenten beträgt die mittlere Lebensdauer einer in den Verkauf gebrachten 100- Watt Glühbirne 5000 Stunden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Glühbirne, (a) weniger als die Hälfte (b) mehr als das Doppelte der durchschnittlichen Lebensdauer erreicht? Modellannahme: X exponentialverteilt P(X<x)=1-exp(- x) =1/5000 P(X<2500)=1-exp(-2500/5000)=1-exp(-1/2)=0.394 P(X>10.000)=1-(1-exp(-10000/5000))=exp(-2)=0.135 Statistik für SoziologInnen 12 Exponentialverteilung

13 Beispiel Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensaduer einer Glühbirne um mehr als 100 Stunden von der durchschnittlichen Lebensdauer abweicht? X~Exp(1/5000) P(4900<X<5100)=0,015 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Mittelwert von 1000 Glühbirnen um mehr als 100 Stunden von der durchschnittlichen Lebensdauer abweicht? Modellannahme: Mittelwert normalverteilt N(5.000; 5.000²/1000) P(4900<MW<5100)=0,473 Statistik für SoziologInnen 13 Exponentialverteilung

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