Übungsblatt 5 zur Vorlesung. Statistische Methoden

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1 Dr. Christof Luchsiger Übugsblatt 5 zur Vorlesug Statistische Methode Testtheorie: θ θ 0 vs θ > θ 0, MLQ, UMP, expoetielle Familie Herausgabe des Übugsblattes: Woche 13, Abgabe der Lösuge: Woche 14 (bis Freitag, 1615 Uhr), Besprechug: Woche 15 Stadard Aufgabe 20 [expoetielle Familie, MLQ ud miimal-suffiziete Statistik [1 Pukt Zeige Sie, dass die Gamma-Verteilug ( ) ud die Biomialverteilug ( ) zur expoetielle Familie gehöre ud bereche Sie atürliche Parameter ud miimal suffiziete Statistike dazu. Tipp: ist jeweils icht selber Parameter ud ka als bekate Zahl aufgefasst werde. Aufgabe 21 [Satz 4.1 bzw Satz 4.9 [4+1 Pukte Ei Hersteller vo Glühbire behauptet, die vo Ihe produzierte Glühbire hätte eie durchschittliche Lebesdauer vo 1000 Stude. Eie Kosumeteschutzorgaisatio bezweifelt dies. Bevor sie a die Öffetlichkeit geht, will sie aber mit dem Hersteller zusamme eie zufällige Stichprobe vom Umfag 2000 ausgiebig teste (bree lasse bis kaputt). Ma eiigt sich darauf, davo auszugehe, dass die Glühbire uabhägig voeiader bree ud die Lebesdauer expoetialverteilt modelliert werde ka. a) Etwickel Sie mit Hilfe des Lemmas vo Neyma-Pearso eie Test, idem Sie vorerst davo ausgehe, dass λ 0 = 1/1000 ud λ 1 = 1/950 (Sie werde sehe, dass Sie λ 1 ie wirklich brauche). Nehme Sie α = 0.05 ud bereche Sie das K, geauer das K. Tipps: Beispiel 1 aus 4.1.2, ud qgamma(0.05,2000,0.001). b) I der darauffolgede Utersuchug erhielt ma eie durchschittliche Bredauer vo Stude. Was rate Sie als statistischer Cosultat der Kosumeteschutzorgaisatio? Aufgabe 22 [NP-Lemma im diskrete Fall (Satz 4.2 bzw Satz 4.9) [4 + 1 Pukte Herr Meier besucht eie Baker i der Bahhofstrasse i Zürich. Herr Meier sagt, dass er i 60 % der Fälle voraussage ka, ob der CHF / $-Kurs morge höher oder tiefer liegt als heute (gleiche Kurs schliesse wir mal aus). Der Baker will Herr Meier währed 10 Hadelstage teste, bevor er ihm die Veratwortug für das Devisegeschäft überträgt. Für de Baker ka ma gerade so gut eie Müze werfe, um zu progostiziere, ob der Kurs morge höher oder tiefer liegt. Der Baker versteht was vo Statistik ud wird auf dem 5 % - Niveau eie Test durchführe. a) Wie wird dieser Test voraussichtlich aussehe? Sie werde die Befehle pbiom(7,10,0.5) ud pbiom(8,10,0.5) brauche. Tipp: Gleichug (4.2). b) Herr Meier hat och eie Bruder. Der sagt i geau 20 % der Fälle korrekt voraus, ob der Kurs sikt oder steigt. Ageomme er ka das wirklich. Wie ka der Baker de Bruder geschickt eisetze? Die Lösug dieses Problems ist icht ur eie mathematische Spielerei, soder ei praktisches statistisches Prizip. Frühjahrsemester 2011 Olivier Wari Seite 1 vo 6

2 Dr. Christof Luchsiger Hoours Aufgabe 23 [Nehme Krakheitsfälle sigifikat zu? [1+1+2 Pukte Zur Modellierug vo Krakheitsfälle (z.b. Creutzfeldt-Jakob CJD) pro Jahr i eiem Lad ka ma zum Beispiel eie Poisso-Zufallsgrösse (vgl ) eisetze. I der Vorlesug Agewadte Stochastik werde wir sehe, dass dies icht ur gut zu reale Date passt, soder auch aus theoretische Grüde sivoll ist. Solche Übereistimmug (praktisch passed ud theoretisch fudiert) ist immer sehr wertvoll. Asoste hat ma eie ad hoc Apassug eies Modells a eie kokrete Datesatz - we wir eie eue Datesatz erhalte, stimmt das Modell evetuell überhaupt icht mehr, ma spricht deshalb vo ad hoc -erie. Wir werde jetzt die Azahl N j vo (gemeldete) Krakheitsfälle i Jahr j, 1 j, mit uabhägige poissoverteilte Zufallsgrösse modelliere. Dabei sei der Parameter i Jahr j gleich θ j (Potez, hoch j, icht Idex). a) Was ist hier die miimal suffiziete Statistik der gemeisame Wahrscheilichkeitsfuktio für θ über alle Jahre? b) Ist MLQ erfüllt (θ 0 = 1 vs θ 1 > 1 beliebig)? c) Gebe Sie eie UMP-Test der Hypothese θ = 1 vs θ > 1 a (kokrete Zahle icht ausreche). Was rate Sie als statistischer Cosultat der Gesudheitsbehörde, we Sie die Alterativ-Hypothese aehme müsse (was ist da kokret los)? Techisches Detail: die gleiche Verteilug der Zufallsgrösse der verschiedee Jahre wird icht gefordert. Die bisherige Theorie ka trotzdem eigesetzt werde (freiwillige HA: gehe Sie dazu die bisherige Theorie durch). Bemerkug zur Modellierug: Wir habe Uabhägigkeit der Azahl Fälle pro Jahr gefordert. Das heisst uter aderem, dass we wir i Jahr i massiv mehr als die erwartete θ i Fälle habe, so heisst dies keieswegs, dass wir i Jahr i + 1 ebefalls massiv mehr als die erwartete θ i+1 Fälle habe sollte. Damit eiget sich dieses Modell eideutig icht für asteckede Krakheite wie SAS; we wir dort i Woche i mehr als die ursprüglich erwartete Fälle habe, so werde wir wohl auch i Woche i + 1 mehr als die erwartete Fälle habe, weil der Überschuss vo Woche i auch fleissig Nachkomme produziert. CJD ist keie asteckede Krakheit. Dass wir geometrisches Wachstum der erwartete Fälle habe, ka hiterfragt werde - geometrisches Wachstum wäre bei asteckede Krakheite ohe (oder mit ugeügede) Gegemassahme i der Afagsphase eher agebracht. Frühjahrsemester 2011 Olivier Wari Seite 2 vo 6

3 Übugsblatt 5 zur Vorlesug Statistische Methode Seite 3 vo 6 Übugsblatt 5 zur Vorlesug Statistische Methode Olivier Wari 1. April 2011 Aufgabe 20 [expoetielle Familie, MLQ ud miimal-suffiziete Statistik Sei eie feste atürliche Zahl. Behauptug: Die Γ(, λ)-verteilug (λ > 0) gehört zur expoetielle Familie. Ausserdem ist λ ei atürlicher Parameter ud eie miimal suffiziete Statistik für λ vo eier Stichprobe x = (x 1,..., x m ) lautet T (x) = m x i. Beweis: Die Dichtefuktio f eier Γ(, λ)-verteilte Zufallsgrösse lautet wie folgt: f(x, λ) = λ x 1 e λx Γ() = λ Γ() }{{} x 1 }{{} =:h(x) =:c(λ) e λx = c(λ)h(x) exp(λt 1 (x)), wobei t 1 (x) = x. Nach Defiitio 4.10 gehört die Γ(, λ)-verteilug also zur expoetielle Familie. Ausserdem ist (ebefalls ach Defiitio 4.10) λ ei atürlicher Parameter. Mit dem Abschitt folgt sofort, dass die Statistik m m T (x) = t 1 (x i ) = vo eier Stichprobe x = (x 1,..., x m ) eie miimal suffiziete Statistik für de atürliche Parameter λ ist. x i Behauptug: Die Bi(, θ)-verteilug (θ (0, 1)) gehört zur expoetielle Familie. Ausserdem ist log θ 1 θ ei atürlicher Parameter ud eie miimal suffiziete Statistik für diese atürliche Parameter vo eier Stichprobe x = (x 1,..., x m ) lautet T (x) = m x i. Beweis: Die Wahrscheilichkeitsfuktio p eie Bi(, θ)-verteilte Zufallsgrösse lautet wie folgt: ( ) ( ) ( ) p(x, θ) = θ x (1 θ) x = (1 θ) θ exp x log = c(θ)h(x) exp(θ 1 t 1 (x)), x }{{} x 1 θ =:c(θ) }{{} =:h(x) wobei θ 1 = log θ 1 θ ud t 1(x) = x. Mit Defiitio 4.10 ud dem Abschitt folgt damit, aalog wie im erste Beweis vo dieser Aufgabe, die Behauptug. Frühjahrsemester 2011 Olivier Wari Seite 3 vo 6

4 Übugsblatt 5 zur Vorlesug Statistische Methode Seite 4 vo 6 Aufgabe 21 [Satz 4.1 bzw. Satz 4.9 Ei Hersteller vo Glühbire behauptet, die vo ihe produzierte Glühbire hätte eie durchschittliche Lebesdauer vo 1000 Stude. Eie Kosumeteschutzorgaisatio bezweifelt dies. Bevor sie a die Öffetlichkeit geht, will sie aber mit dem Hersteller zusamme eie zufällige Stichprobe vom Umfag 2000 ausgiebig teste (bree lasse bis kaputt). Ma eiigt sich darauf, davo auszugehe, dass die Glühbire uabhägig voeiader bree ud die Lebesdauer expoetialverteilt modelliert werde ka. Seie := 2000, α := 0.05 ud für i = 1,..., sei X i die Lebesdauer der Glühbire i (i Stude). Nach Obigem, gehe wir davo aus, dass die X i s iid ud expoetialverteilt sid. Sei λ > 0, so dass X 1 Exp(λ). a) Wir teste u (auf dem Niveau α) die Hypothese H 0 : E[X 1 = 1000 bzw. H 1 : E[X 1 = 950 gegeeiader. Seie λ 0 := 1 /1000 ud λ 1 := 1 /950. Da E[X 1 = 1 /λ köe wir die Hypothese H 0 ud H 1 auch wie folgt formuliere: H 0 : λ = λ 0, H 1 : λ = λ 1. Seie f 0, f 1 : die gemeisame Dichte vo X 1,..., X uter H 0 bzw. H 1. Es gilt also für i = 0, 1: ( ) f i (x 1,..., x ) = λ i e λix k = λ i exp λ i x k (x 1,..., x 0). Wir schliesse: Für K > 0 ud x 1,..., x 0 gilt: ( ) f 1 (x 1,..., x ) f 0 (x 1,..., x ) > K λ 1 λ exp (λ 0 λ 1 ) x k > K 0 x k < log(kλ 0 λ 1 ) λ 0 λ 1. Wir setze also K := log(kλ 0 λ λ 0 λ 1. Nach dem Lemma vo Neyma-Pearso (Satz 4.1) müsse wir also K 0 so bestimme, dass gilt: P 0 X k < K = α. 1 ) Damit hätte wir auch direkt begie köe, da wir hier bekatlich MLQ habe ud da x k eie miimal suffiziete Statistik für λ ist. Nach hat uter der H 0 -Hypothese X k eie Γ(, λ 0 )-Verteilug. Wir schliesse: K = qgamma(0.05,2000,1/1000) = User Test (ach dem Lemma vo Neyma-Pearso) lautet also wie folgt ((x 1,..., x ) sei dabei eie etsprechede Stichprobe): Falls x k < K = lehe H 0 ab. Falls x k K = lehe H 0 icht ab. b) I der darauffolgede Utersuchug erhielt ma eie durchschittliche Bredauer vo Stude. Wir bezeiche die durch diese Utersuchug erhaltee Stichprobe mit (x 1,..., x ). Es gilt also 1 x k = Wir schliesse: x k = = > K = Also ehme wir, ach dem Test aus a), die Hypothese H 0 a. Also rate wir als statistischer Cosultat der Kosumeteschutzorgaisatio, dass sie mit ihrer Vermutug icht a die Öffetlichkeit gehe soll bzw. sie soll gege de Hersteller keie Klage erhebe. Frühjahrsemester 2011 Olivier Wari Seite 4 vo 6

5 Übugsblatt 5 zur Vorlesug Statistische Methode Seite 5 vo 6 Aufgabe 22 [NP-Lemma im diskrete Fall (Satz 4.2 bzw. Satz 4.9) Herr Meier besucht eie Baker a der Bahhofstrasse i Zürich. Herr Meier sagt, dass er eie Software etwickelt hat, mit der er i 60% der Fälle korrekt voraussage ka, ob der CHF / $-Kurs morge höher oder tiefer liegt als heute (gleiche Kurs schliesse wir aus). Der Baker will Herr Meier währed 10 Hadelstage teste. Für de Baker ka ma gerade so gut eie Müze werfe, um zu progostiziere, ob der Kurs morge höher oder tiefer liegt. a) Sei θ die Wahrscheilichkeit, dass die Software vo Herr Meier richtig liegt. Setze := 10, α := 0.05, θ 0 := 0.5 ud θ 1 := 0.6. Seie weiter für i = 1,..., { 1, falls Herr Meiers Software am Tag i richtig liegt X i := 0, sost. Wir ehme a, dass die X i s uabhägig sid. Wir wolle u mit Hilfe des Lemmas vo Neyma-Pearso (Satz 4.2) die Hypothese H 0 : θ = θ 0 vs. H 1 : θ = θ 1 auf dem α-niveau teste. Nach Vorlesug (geauer ach Gleichug (4.2)) müsse wir dazu K N ud γ [0, 1) fide, mit [ P 0 X i > K + γp 0 X i = K = α. Damit hätte wir auch direkt begie köe, da wir hier bekatlich MLQ habe ud da x k eie miimal suffiziete Statistik für θ ist. Uter der H 0 -Hypothese hat X i eie Bi(, θ 0 )-Verteilug. Es gilt also P 0 X i > 7 = pbiom(7,10,0.5,lower.tail=false) = > α P 0 X i > < α. = pbiom(8,10,0.5,lower.tail=false) = Wir schliesse: K = 8 ud γ = α P 0 [ X i > K P 0 [ X i = K = = ( pbiom(8,10,0.5,false))/dbiom(8,10,0.5) Nach dem Lemma vo Neyma-Pearso (Satz 4.2) lautet user Test also wie folgt ((x 1,..., x ) sei dabei eie etsprechede Stichprobe)): Falls x i > K = 8, lehe H 0 ab. Falls x i = K = 8, lehe H 0 mit Wahrscheilichkeit γ = ab. Falls x i < K = 8, lehe H 0 icht ab. b) Herr Meier hat och eie Bruder. Der sagt i geau 20% der Fälle korrekt voraus, ob der Kurs sikt oder steigt. Nehme wir a, dass er das wirklich ka. Der Baker ka dies u geschickt eisetze idem er immer das Gegeteil aimmt, was der Bruder vo Herr Meier sagt. Somit weiss der Baker i 80% der Fälle ob der Kurs sikt oder steigt. Aufgabe 23 [Nehme Krakheitsfälle sigifikat zu? Zur Modellierug vo Krakheitsfälle (z.b. Creutzfeldt-Jakob CJD) pro Jahr i eiem Lad ka ma zum Beispiel eie Poisso-Zufallsgrösse (vgl ) eisetze. Wir werde jetzt die Azahl N j vo (gemeldete) Krakheitsfälle i Jahr j, 1 j, mit uabhägige poissoverteilte Zufallsgrösse modelliere. Dabei sei der Parameter i Jahr j gleich θ j (Potez, hoch j, icht Idex). Frühjahrsemester 2011 Olivier Wari Seite 5 vo 6

6 Übugsblatt 5 zur Vorlesug Statistische Methode Seite 6 vo 6 a) Die gemeisame Wahrscheilichkeitsfuktio p( ; θ) lautet wie folgt (x = (x 1,, x ) N 0 ): p(x; θ) = θjxj θj e x j! = e P θj θ P 1 jxj x j!. Somit köe wir de etsprechede Likelihood-Quotiete bereche (y = (y 1,, y ) N 0 ): p(y; θ) p(x; θ) = θp jyj P x jxj j! y j!. Dieser Ausdruck ist klar geau da uabhägig vo θ, we jx j = jy j. Also ist ach Satz 3.5 eie miimal suffiziete Statistik für θ gegebe durch t(x) = jx j. b) Sei θ 0 = 1 ud θ 1 > 1 beliebig. I de Notatioe vo Defiitio 4.4 gilt u g θ0θ 1 (t(x)) := p(x, θ 1) p(x, θ 0 ) P P a) = e θj 1 θ jxj 1 1 x j! e P 1j 1 P jxj 1 x j! = exp θ j 1 } {{ } >0 θ t(x) 1. Da θ 1 > 1 ist also g θ0θ 1 (t) streg mooto wachsed i t, das heisst MLQ ist erfüllt (Defiitio 4.4). c) Wir teste u die Hypothese H 0 : θ = θ 0 gege H 1 : θ > 1. Wir defiiere och N = (N 1,..., N ). Da MLQ erfüllt ist brauche wir (etspreched Satz 4.2) ur ei K N 0 ud ei γ [0, 1) zu fide, so dass gilt: P 0 [t(n) > K + γp 0 [t(n) = K = α. Dies ka ma mit kokrete Zahle leicht z.b. mit Hilfe vo mache. Der UMP-Test sieht da (ach Vorlesug) wie folgt aus: (x = (x 1,, x ) sei dabei eie etsprechede Stichprobe): Falls t(x) > K lehe H 0 ab. Falls t(x) = K lehe H 0 mit Wahrscheilichkeit γ ab. Falls t(x) < K lehe H 0 icht ab. Falls wir die Hypothese H 0 ablehe ud daher die Hypothese H 1 aehme, bedeutet dies, dass wir us für θ > 1 etschiede habe. I diesem Fall würde die ate der Erkrakuge zuehme. Folglich wäre es güstig der Gesudheitsbehörde zu rate Massahme zur Eidämmug der Krakheit zu ergreife. Frühjahrsemester 2011 Olivier Wari Seite 6 vo 6