UE Statistik 1, SS 2015, letztes Update am 5. März Übungsbeispiele

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1 UE Statistik, SS 05, letztes Update am 5. März 05 Übungsbeispiele Beispiele mit Musterlösungen finden Sie auch in dem Buch Brannath, W., Futschik, A., Krall, C., (00) Statistik im Studium der Wirtschaftswissenschaften.. Edition. Am Anfang der jeweiligen Kapitel finden Sie eine Tabelle mit Beispielen aus diesem Buch, die für Sie als Übungsbeispiele nützlich sind. Die zweite Zeile in der Tabelle ist für mögliche Korrekturen der Lösungen aus dem Buch. Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten Beispiel Korrektur Tabelle : Empfohlene Beispiele aus dem Buch.. Stichprobenräume und Mengenoperationen. Geben Sie den Stichprobenraum Ω für folgende Zufallsexperimente an: (a) Rating eines zufällig ausgewählten Landes beim Standard & Poor s (siehe Abbildung.), (b) zweifacher Würfelwurf, (c) dreifacher Münzwurf, (d) Lebensdauer (in Stunden) einer zufällig ausgewählten Glühbirne.. Welche Teilmengen des Stichprobenraums aus Beispiel b entsprechenden folgenden Ereignissen? Lösungen nur für Modell mit unterscheidbaren Würfeln aus Beispiel b. (a) Die Summe der Augenzahlen ist größer 4. A {(i,j) Ω ( i,j 6) (i + j > 4)} {(i,j) Ω i + j > 4} (b) Die Summe der Augenzahlen ist größer oder gleich 4. B {(i,j) Ω ( i,j 6) (i + j 4)} {(i,j) Ω i + j 4} (c) Die Summe der Augenzahlen ist größer. C {(i,j) Ω ( i,j 6) (i + j > )} {(i,j) Ω i + j > } (d) Zumindest einer der Würfel zeigt eine Augenzahl größer als 5. D {(i,j) Ω ( i,j 6) ((i > 5) (j > 5))} {(i,j) Ω (i > 5) (j > 5)} D {(i,j) Ω (i 6) (j 6)} (e) Keiner der Würfel zeigt eine Augenzahl größer als. E {(i,j) Ω ( i,j 6) ((i ) (j ))} {(i,j) Ω (i ) (j )}. Bilden Sie die Mengen, die den Komplementärereignisen der Ereignisse aus Aufgabe entsprechen. Lösungen nur für Modell mit unterscheidbaren Würfeln aus Beispiel b: In allen Übungsbeispielen mit Würfeln/Münten wird angenommen, daßdie Würfel/Münzen gleichzeitig geworfen werden und man sie unterscheiden kann (z.b. durch verschiedene Farben). Überlegen Sie sich bitte, was sich ändern würde, falls wir die Würfel/Münzen nicht unterscheiden könnten.

2 (a) A c {(i,j) Ω i + j 4} (b) B c {(i,j) Ω i + j < 4} (c) C c {(i,j) Ω i + j } Ω (d) D c {(i,j) Ω (i 5) (j 5)} {(i,j) Ω (i 6) (j 6)} (e) E c {(i,j) Ω (i > ) (j > )} 4. Man bezeichne die in Aufgabe (a) gefundene Menge mit A, die in (b) gefundene Menge mit B usw. Bilden Sie folgende Mengen und beschreiben Sie die Ereigniße, die diesen Mengen entsprechen, in Worten. (a) A B {(i,j) Ω (i + j > 4) (i + j 4)} A (b) D E {(i,j) Ω ((i 6) (j 6)) (i ) (j ))} D E {(i,j) Ω ((i 6) (j 6) (i )) ((i 6) (j 6) (j ))} (c) D E {(i,j) Ω ((i 6) (j 6)) (i ) (j ))} D E {(i,j) Ω ((i 6) (i ) (j )) ((j 6) (i ) (j ))} (d) C A A A (e) C A A 5. Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Relationen mittels eines Venn-Diagramms. (a) A (B C) (A B ) (A C) (b) A (B C) (A B ) (A C) (c) (A B ) c A c B c (d) (A B ) c A c B c (e) B (B A ) (B A c ) (f) A B A (B A c ). Wahrscheinlichkeitsverteilung 6. Wir werfen gleichzeitig 4 Würfel. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass (a) alle Augenzahlen ungerade sind, (b) die Summe aller Augenzahlen zusammen 6 ist, (c) die Summe aller Augenzahlen zusammen > 5 ist. 6, 0, Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mindestens eine Augenzahl gleich 6, falls wir Würfel werfen? 6 8. Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse aus Aufgabe an. 9. Aus den Zahlen bis 49 werden beim Lotto sechs verschiedene ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Spieler (a) genau sechs Richtige, (b) genau fünf Richtige, (c) keine Richtige,

3 (d) höchstens zwei Richtige hat? 0. Bei einer Multiple-Choice-Prüfung sind sechs Fragen jeweils vier Antwortmöglichkeiten beigegeben, wovon jeweils nur eine richtig ist. Die Prüfung gilt als bestanden, wenn mindestens vier Fragen richtig beantwortet wurden. Ein Student kreuzt bei den sechs Fragen jeweils eine Antwort zufällig an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht er die Prüfung?. Sie haben in Ihrem Geldbeutel 4 Banknoten und zwar: zwei 5 e Banknoten, eine 0 e Banknote und eine 0 e Banknote. Ein Dieb nimmt zufällig zwei Banknoten (egal in welcher Reihenfolge) aus Ihrem Geldbeutel. (Er kann mit derselben Wahrscheinlichkeit jede Banknote nehmen). Es interessiert uns die Summe, die er uns gestohlen hat. (a) Geben Sie den zugrundeliegenden Stichprobenraum Ω so wie die Mächtigkeit Ω für diesen Zufallsexperiment an. (b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für jeden Betrag der uns der Dieb stehlen kann.. Gegeben seien zwei Ereignisse A und B mit P(A) und P(Bc ) 4. Können die beiden Ereignisse disjunkt sein? Warum (nicht)? Wir haben P(A B) P(A) +, wenn A B. Nun ist 4. Wären nun A und B disjunkt, so würde gelten P(A B) P(A) >. Da aber jede Wahrscheinlichkeit kleiner gleich sein muss, waren A und B nicht disjunkt.. Seien A und B unabhängige Ereignisse mit P(A) 0.5 und P(B A) 0.6. Wie hoch ist? Sind A und B unabhängig, so gilt P(A B) P(A). Aus dem Additionssatz (Siebformel) folgt nun P(A B) P(A)+ P(A), also Umformung der Gleichung ergibt 0... Bedingte Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes 4. Wir werfen gleichzeitig unterscheidbare Würfel (z.b. einen grünen und einen roten). Sei A das Ereignis, dass eine der Augenzahlen gleich 6 ist und sei B das Ereignis, dass die Summe beider Augenzahlen 8 ist. (a) Berechnen Sie P(A B). 5 (b) Sind die Ereignisse A und B unabhängig? nicht unabhängig 5. Im Statistik Kurs gibt es 70% Männer und 0% Frauen. Lange Haare tragen 0% der Männer und 80% der Frauen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit rufe ich zur Tafel (a) jemanden (egal ob Frau oder Mann), der lange Haare hat. 0. (b) eine Frau, unter der Bedingung, dass ich nur jemanden mit langen Haaren zur Tafel rufe Seien A und B zwei Ereignisse mit P(A) 0.5 und P(A B) 0.7. Wie hoch ist, wenn (a) A und B unabhängig sind? Es gilt P(A B) P(A) + P(A B) P(A B) P(A) + P(A) ( P(A)) P(A B) P(A) P(A B) P(A) P(A)

4 (b) A und B disjunkt sind? Es gilt P(A B) P(A) + P(A B) (c) P(A B) 0.? P(A B) P(A B) (d) P(A B) 0.5? P(A B) P(A B) P(A)+ P(A B). Umformen ergibt P(A B) P(A) P(A B) P(A)+ P(A B). Umformen ergibt P(A B) P(A) P(A B) Anmerkung: Aus P(A B) 0.5 P(A) folgt, dass A und B unabhängig sind. Daher wie (a). 7. Gegeben seien drei Ereignisse A i, i,, und die Wahrscheinlichkeiten P(A A A ) 5, P(A A ) 0 und P(A A c Ac ) 5. Berechnen Sie P(A A A ). Es sei B : A A, dann gilt B c (A A ) c A c Ac. Gegeben sind also P (A B), P (B) und P (A B c ). Gesucht ist P (B A ). Nach dem Satz von Bayes gilt P (B A ) P (A B) P (B) P (A ) und nach dem Satz über die totale Wahrscheinlichkeit gilt P (A ) P (A B) P (B)+P (A B c ) P (B c ). Insgesamt also P (B A ) P (A B) P (B) P (A B) P (B) + P (A B c ) P (B c ) Urne A enthält zwei weiße und zwei schwarze Kugeln. Urne B enthält drei weiße und zwei schwarze Kugeln. Eine Kugel wird von Urne A nach Urne B transferiert. Danach wird eine Kugel aus Urne B gezogen. (a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Kugel weiß ist? A... transferierte Kugel ist weiß, B... zweite gezogene Kugel ist weiß. Für den Fall, dass A eintritt, hat die Urne B vier weiße und zwei schwarze Kugeln. Im Fall, dass A c eintritt, hat die Urne B drei weiße und drei schwarze Kugeln. Daher ist P(B A) und P(B A c ). Es gilt P(A) P(Ac ). Aus dem Satz über die totale Wahrscheinlichkeit folgt P(B A) P(A) + P(B A c ) P(A c ) + 7. (b) Gegeben die gezogene Kugel ist weiß. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die transferierte Kugel auch weiß ist? Nach dem Satz von Bayes ist P (A B) P (B A) P (A) P (B) Sie haben drei Münzen, zwei davon sind normale Münzen und eine Münze hat zwei Kopf-Seiten. Sie wählen zufällig eine der Münzen und werfen Kopf. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit eine normale Münze gezogen zu haben? Sei N das Ereignis normale Münze wird gewählt, dann ist P (N). Weiters sei K das Ereignis es wird Kopf geworfen. Dann gilt P (K N) und P (K N c ). Also ist die totale Wahrscheinlichkeit P (K) P (K N) P (N) + P (K N c ) P (N c ) +. Aus dem Satz von Bayes folgt P (N K) P (K N) P (N) P (K). 4

5 Abbildung : Die Ratings von Standard & Poor s für europäische Länder. 5

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