Einführung in die Stochastik 10. Übungsblatt

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1 Eiführug i die Stochastik. Übugsblatt Fachbereich Mathematik SS M. Kohler.7. A. Fromkorth D. Furer Gruppe ud Hausübug Aufgabe 37 (4 Pukte) Ei Eremit am Südpol hat sich für die eibrechede polare Nacht mit 4 Glühbire eigedeckt. Da er sich im Dukel uwohl fühlt, will er, dass zu jeder Zeit des halbe Nachtjahres eie Bire bret. Sollte die aktuelle Bire durchbree, wird er sie sofort auswechsel. Die polare Nacht dauert 44 Stude ud der Hersteller der Glühbire hat eie expoetialverteilte Haltbarkeit seier Produkte mit Parameter λ = / zugesichert. Währed der Eremit die erste Bire eischraubt, begie Zweifel a ihm zu age... (a) Bestimme Sie Erwartugswert ud Variaz der Haltbarkeit eier solche Glühbire. (b) Sei Zufallsvariable, die die Lebesdauer der i-te Bire beschreibt. Da ist Z := 4 die Zufallsvariable, die de Zeitpukt beschreibt, a dem die letzte Bire durchbret. Bestimme Sie auch hiervo Erwartugswert ud Variaz. (c) Breed iteressiert de Eremite die Wahrscheilichkeit dafür, dass ihm vor Ede der Polaracht die Glühbire ausgehe köte. Bereche Sie diese äherugsweise mit dem zetrale Grezwertsatz. Lösug: (a) Für de Erwartugswert ud die Variaz eier expoetialverteilte Zufallsvariable Y mit Parameter λ > gilt: EY = E(Y ) = x λ exp ( λ x) = x exp( λx) + exp( λx)d x x= = λ exp( λx) x λ exp ( λ x) x= = λ = x exp( λx) x= + λ = λ xλ exp( λx)d x V (Y ) = E(X ) (E(X )) = λ λ = λ Für die i der Aufgabestellug defiierte Zufallsvariable X erhalte wir also EX = V X = = 4

2 (b) Wir köe davo ausgehe, dass die uabhägig voeiader sid (dies spielt aber erst bei der Variaz eie Rolle). Nach dem erste Aufgabeteil erhalte wir E(Z) = E( V (Z) = V ( 4 4 ) = ) = 4 4 E( ) = 4 E(X ) = 4 = 48 V ( ) = 4 V (X ) = 4 = 96 (c) Nach dem Zetrale Grezwertsatz ist die Zufallsvariable Y = EX V (X ) äherugsweise N(, )-verteilt. Es folgt: P Y 6 Y 6 = Φ( 6 ) = Φ( 6 ) Φ(.4) =.34 Mit Wahrscheilichkeit.34 gehe also dem Eremite währed der Polaracht die Glühbire aus. Aufgabe 38 (4 Pukte) Ei Fluguterehme weiß aus Erfahrug, dass im Mittel 7% derjeige Persoe, die ei Flugticket erworbe habe, icht bzw. zu spät zum Abflug erscheie. Um die Zahl der somit ugeutzte Plätze icht zu groß werde zu lasse, werde daher für eie Flug z.b. mit dem A38, bei dem 555 Plätze zu Verfügug stehe, mehr als 555 Flugtickets verkauft. Wieviele Flugscheie dürfe höchstes verkauft werde, dass mit Wahrscheilichkeit größer oder gleich.95 alle rechtzeitig zum Abflug erscheiede Persoe, die ei Flugticket habe, auch eie Platz im Flugzeug bekomme? Hiweis: Betrachte Sie uabhägige b(, p)-verteilte Zufallsvariable X,..., X. Dabei gelte = geau da, falls die Perso, die das i-te Flugticket gekauft hat, (rechtzeitig) zum Abflug erscheit ud ist die Azahl der verkaufte Flugtickets. Bestimme Sie mit Hilfe des Zetrale Grezwertsatzes äherugsweise dass größte mit P Lösug: Zur stochastische Modellierug betrachte wir uabhägige b(, p)-verteilte Zufallsvariable X,..., X. Dabei gelte = geau da, falls die Perso, die das i-te Flugticket gekauft hat, (rechtzeitig) zum Abflug erscheit. Die Wahrscheilichkeit, dass der Käufer des i-te Flugtickets (rechtzeitig) zum Abflug erscheit, ist p =.7 =.93, ud ist die Azahl der verkaufte Flugtickets. Da gibt die Azahl der zum Abflug erschieee Persoe, die ei Flugticket habe, a, ud damit ist die Wahrscheilichkeit, dass alle zum Abflug erschieee Persoe, die ei Flugticket habe, auch eie Platz im Flugzeug bekomme, gegebe durch P 555. Gesucht ist dass größte mit P

3 Es gilt: P 555 EX 555 EX EX 555 EX V (X ). V (X ) Nach dem Zetrale Grezwertsatz stimmt die letzte Wahrscheilichkeit approximativ mit Φ 555 EX V (X ) überei, wobei Φ die Verteilugsfuktio der N(, )-Verteilug ist. Mit EX = p, V (X ) = p( p) ud p =.93 folgt, dass die obige Bedigug approximativ äquivalet ist zu Φ 555 p.95. p ( p) Wege Φ(.65).95 ud der Mootoie vo Φ ist dies wiederum geau da erfüllt, we gilt: 555 p p ( p).65 Quadriere der letzte Ugleichug liefert die otwedige Bedigug (555 p) Diese impliziert aber ur da die vorige Bedigug, we gleichzeitig gilt. Ugleichug () führt auf bzw. auf p ( p).65 () 555 p, d.h. 555 p = ().93 (555 p).65 p ( p) 555 (p +.65 p ( p)) + p. Bestimmt ma die Nullstelle des quadratische Polyoms auf der like Seite, so erhält ma ud 67.9 Also ist die obige Ugleichug erfüllt für 585 oder 68. Uter Berücksichtigug vo (vgl. ()) erhält ma als Resultat: Es dürfe höchstes 585 Flugtickets verkauft werde, damit mit Wahrscheilichkeit größer oder gleich.95 alle rechtzeitig zum Abflug erschieee Persoe, die ei Flugticket habe, auch eie Platz im Flugzeug bekomme. 3

4 Aufgabe 39 (4 Pukte) Die Zufallsvariable X,..., X seie uabhägig idetisch auf [θ, θ] gleichverteilt, d.h. sie sid uabhägig ud besitze (jeweils) eie Dichte f θ : + mit f θ (x) = θ für θ x θ, für x [θ, θ]. Hierbei ist θ + ei Parameter der Dichte f θ. (a) Zeige Sie, dass der Schätzer T (X,..., X ) = 3 ei erwartugstreuer Schätzer für θ ist. (b) Ist der Schätzer i a) auch kosistet? Begrüde Sie ihre Atwort. Lösug: a) EX = = θ θ = 3 θ. x f (x)d x x θ d x T (X,..., X ) ist erwartugstreuer Schätzer für θ,da E θ T (X,..., X ) =E θ 3 = 3 E θ = 3 3 θ =θ X für alle θ >. b) Der Schätzer ist auch kosistet, da ach dem Gesetz der große Zahle gilt: T (X,..., X ) f.s. 3 E θ (X ) = θ für alle θ >. Aufgabe 4 (4 Pukte) Die Parkdauer eies Kraftfahrzeuges i eiem bestimmte Parkhaus wird durch eie N(µ, σ )-verteilte Zufallsvarible X beschriebe. Für die mittlere Parkdauer µ soll ei Kofidezitervall bestimmt werde desse Kofideziveau gleich α =, 95 sei soll. Bei Messuge, die durch uabhägige idetisch wie X verteilte Zufallsvariable X,...X beschriebe werde, ergabe sich der empirische Mittelwert x =, 6 ud die empirische Variaz s =, 7. Hiweis: )Bei dem Problem der Puktschätzug kostruierte ma eie Schätzer T X,..., X vo g(θ ). Bei dem Problem der Bereichschätzug kostruiert ma eie möglichst kleie Bereich, sodass g(θ ) mit möglichst großer Wahrscheilichkeit i diesem Bereich liegt. Daher folgede Defiitio: a)c(x,..., X ) heißt Kofidezbereich zum Kofideziveau α, falls für alle θ Θ ud alle uabhägige ud idetisch verteilte Zufallsvariable X,..., X mit P X = w θ gilt: P g(θ) C(X,..., X ) α. Hierbei wird vorausgesetzt, dass die Wahrscheilichkeit auf der like Seite existiert. b) Ist C(X,..., X ) i a) ei Itervall, da heißt C(X,..., X ) Kofidezitervall zum Kofideziveau α. 4

5 Die Idee bei der Kostruktio ist die folgede: Ma kostruiert eie Zufallsvariable Q = Q(X,..., X, g(θ )), die vo X,..., X ud g(θ ) abhägt derart, dass die Verteilug dieser Zufallsvariable Q im Falle P X = w θ icht vo θ Θ abhägt. Eie solche Zufallsvariable bezeichet ma als stochastisches Pivot. Aschließed wählt ma da eie Mege B mit P[Q B] = α,ud formt Q(X,..., X, g(θ )) B um zu g(θ ) C(X,..., X ). )Die Variaz sei bekat ud es gilt σ = s. Lösug: Aus der Vorlesug folgt, dass die Zufallsvariable stadarormalverteilt ist. Es gilt auch: P σ σ µ µ X i µ P σ = φ φ wobei φ die Verteilugsfuktio vo N(, ) ist. Mit X i µ σ X i µ σ µ σ σ µ ist der Kofidezitervall für µ zum Niveau,95: σ, σ = α α = α, + σ + σ µ < Ersetzt ma σ durch s ud setzt ma sostige Werte ei, so bekommt ma eie Kofidezitervall: [.867,.9333]. Dieses Übugsblatt wird im Rahme der Übuge am 4. bzw besproche. Ihre Ausarbeitug gebe Sie am. bzw..7. i Ihrer Übugsgruppe ab. Sie erhalte diese i de Sprechstude Ihrer Übugsleiter oder bei de zustädige Mitarbeiter zurück. 5

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