Ü b u n g s b l a t t 11

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Ü b u n g s b l a t t 11"

Transkript

1 Einführung in die Stochastik Sommersemester 07 Dr Walter Oevel Ü b u n g s b l a t t Mit und gekennzeichnete Aufgaben können zum Sammeln von Bonuspunkten verwendet werden Lösungen von -Aufgaben sind schriftlich abzugeben im Zettelkasten Nr 5 auf dem D bis Mittwoch, 707, :00 Uhr Lösungen von -Aufgaben sind per Web-Formular unter ( Lehre SS 07 Übungen abzuliefern bis spätestens Mittwoch, 707, 59 Uhr Aufgabe 59: (Spezielle Verteilungen: Poisson Verteilung Rechne die Aussagen von Abschnitt 4 der Vorlesung nach: zeige, dass für eine Poisson verteilte Variable X mit P (X k λk eλ, k 0,,, gilt: E(X λ, Var(X λ, σ(x λ Erwartungswert von X: E(X k P (X k k0 k0 k λ k e λ λe λ λ k (k! k λe λ λ k k0 }{{} e λ λ Erwartungswert von X : e λ ( E(X λ d dλ k0 k0 λ k ( k λk eλ e λ k(k λk + λ d dλ Hiermit folgt Varianz und Streuung: k0 λ k k0 e λ ( λ d dλ eλ + k0 kλ k + λ d dλ eλ Var(X σ (X E(X E(X λ + λ λ λ λ + λ Aufgabe 0*: (Spezielle Verteilungen: Poissonnäherung 0 Punkte In einem aus vielen gleichen Bauteilen aufgebauten System stellt man fest, dass im Mittel Elemente pro Arbeitszyklus ausfallen Wieviele Ersatzteile sollte man zur Hand haben, um mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit das System für einen Arbeitszyklus in Betrieb halten zu können? (Das System ist nur betriebsfähig, wenn alle Bauteile funktionieren

2 Ein Arbeitszyklus wird als n-fache Wiederholung des Bernoulli-Experiments ein bestimmtes Bauteil fällt aus interpretiert, wobei n die Anzahl der Bauteile ist Die Erfolgswahrscheinlichkeit p die Wahrscheinlichkeit, dass ein gegebenes Bauteil ausfällt, ist gering Der Erwartungswert E(X der Zufallsvariable X Anzahl der Bauteile, die pro Arbeitszyklus ausfallen, ist als E(X n p bekannt Die Poisson Näherung besagt Es ist K so zu bestimmen, dass P (X k λk eλ gilt Für λ ist dies für K erfüllt: P (X K K k0 λ k eλ 095 K P (X K Man sollte also mindestens Ersatzteile parat haben Aufgabe **: (Szenen einer Ehe, Teil Hypergeometrische Verteilung 0 Punkte Dies ist eine Online-Aufgabe, die bis zum 707, 59 Uhr, abzuliefern ist Meine Frau ist unternehmungslustig und geht regelmäßig an m Tagen der Woche allein aus Im Zuge der Gleichberechtigung tue ich dies an n Tagen der Woche ebenfalls Da unsere Aktivitäten unabhängig voneinander sind, ziehen wir manchmal an den selben Wochentagen, manchmal an unterschiedlichen Wochentagen jeder für sich los Wieviele Wochentage bleiben uns im Mittel für gemeinsame Aktivitäten? (Zahlenwerte für m und n werden vom Aufgabenserver zufällig gewählt Anleitung: vergleiche mit Aufgabe auf Blatt In der Musterlösung von Aufgabe (Blatt findet man: P ( genau k gemeinsame Tage k m! n! N! (k + m + n N! (N m j j0 k (N n j für max(0, N m n k N, wobei N 7 die Anzahl der Wochentage ist (Das Produkt j j0 für k 0 wird in der obigen Formel als definiert Als Erwartungswert der Variablen X Anzahl der gemeinsamen Wochentage erhält man j0 E(X N kmax(0,nmn k P ( genau k gemeinsame Tage N kmax(0,nmn k k m! n! N! (k + m + n N! (N m j j0 k (N n j j0

3 Dieser Ausdruck läßt sich vereinfachen zu E(X (N m (N n/n Anstatt dies formal anhand der Formel zu beweisen, betrachten wir eine alternative Lösung: Alternative Lösung: In der Menge von N ( 7 Wochentagen werden die m Tage markiert, an denen meine Frau ausgeht Ich ziehe nun ohne Zurücklegen meine n Tage aus den N Wochentagen Betrachte ich die m markierten Wochentage meiner Frau als Erfolge, so ist die Anzahl Y der von mir gezogenen Erfolge bekannterweise hypergeometrisch verteilt, also ( m ( N m P (Y k k n k ( N, k 0,,, n n mit dem Erwartungswert (nach Abschnitt 44 der Vorlesung: E(Y m n N Die Anzahl der gemeinsam zur Verfügung stehenden Tage X ist also X N m n + Y, E(X N m n + EW (Y N m n + n m N Mit MuPAD ergeben sich für N 7 folgende Werte: (N n (N m N n 0 n n n n 4 n 5 n n m m /7 0/7 4/7 8/7 /7 /7 0 m 5 0/7 5/7 0/7 5/7 0/7 5/7 0 m 4 4/7 0/7 /7 /7 8/7 4/7 0 m 4 8/7 5/7 /7 9/7 /7 /7 0 m 5 /7 0/7 8/7 /7 4/7 /7 0 m /7 5/7 4/7 /7 /7 /7 0 m Gleitpunktapproximationen: n 0 n n n n 4 n 5 n n m m m m m m m m

4 Aufgabe *: (Spezielle Verteilungen: Exponentialverteilung 0 Punke Die Lebensdauer einer Glühbirne sei exponentiell verteilt Sie überlebe 00 Stunden mit Wahrscheinlichkeit 09 (a Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie 00 Stunden überlebt? (b Wieviele Stunden überlebt sie mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit? Sei T der Zeitpunkt, an dem die Birne durchbrennt Diese Variable sei exponentiell verteilt mit der Dichte ρ(t λ e λ t für t 0 Hierbei ist λ durch P (T > 00 bestimmt, also λ ln(09/00 00 ρ(t dt λ a Die Birne überlebt 00 Stunden mit der Wahrscheinlichkeit P (T > b Es ist das τ zu bestimmen, für welches ρ(t dt λ e λ t dt e 00 λ 09 : p e λ t dt e 00 λ p 08 gilt, also P (T > τ τ τ ln(095 λ ρ(t dt λ ln(095 ln(09 τ e λ t dt e τ λ (Stunden Aufgabe : (Spezielle Verteilungen: kontinuierliche Gleichverteilung Rechne die Aussagen von Abschnitt 4 der Vorlesung nach: zeige, dass für eine auf dem Intervall [a, b] gleichverteilte kontinuierliche Variable X gil: E(X a + b, Var(X (, σ(x Erwartungswert von X: E(X b a r dr [ r ] rb ra b a (b + a ( a + b

5 Erwartungswert von X : E(X b a r dr [ r ] rb ra b a Hiermit folgt Varianz und Streuung: (b + a b + a ( b + a b + a Var(X σ (X E(X E(X b + a b + a ( a + b 4 (b + a b + a (a + a b + b b a b + a ( Aufgabe 4*: (Spezielle Verteilungen: diskrete Gleichverteilung 0 Punkte Zeige für eine Variable X, die die ganzzahligen Werte {n, n +,, m} mit der selben (kombinatorischen Wahrscheinlichkeit mn+ annimmt: Hinweis: es gilt E(X n + m p k k p (p +,, Var(X p k k Rechnerei, bei der MuPAD kräftesparend wirken kann Erwartungswert von X: E(X k P (X k kn m n + Erwartungswert von X : E(X ( m (m + m n + k P (X k kn m n + m n + m n + (n n (m n (m n + p (p + ( p + Es ergibt sich etwas k kn (m n + (m + n m n + k kn ( m (m + ( m + ( m k m n + k m n + m + n n k k m n + m + n ( m k m n + k (n n ( (n + (m n + ( m + n + m n + m n n k k

6 m + n + m n + m n Hiermit folgt Varianz und Streuung: Var(X σ (X E(X E(X m + n + m n + m n ( m + n + m n + m n m m n + n + m n (m n (m n + (m + m n + n (m n + (m n ( m + n

Weihnachtszettel zur Vorlesung. Stochastik I. Wintersemester 2011/2012

Weihnachtszettel zur Vorlesung. Stochastik I. Wintersemester 2011/2012 Weihnachtszettel zur Vorlesung Stochastik I Wintersemester 0/0 Aufgabe. Der Weihnachtsmann hat vergessen die Weihnachtsgeschenke mit Namen zu beschriften und muss sie daher zufällig verteilen. Dabei enthält

Mehr

ETWR Teil B. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)

ETWR Teil B. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig) ETWR Teil B 2 Ziele Bisher (eindimensionale, mehrdimensionale) Zufallsvariablen besprochen Lageparameter von Zufallsvariablen besprochen Übertragung des gelernten auf diskrete Verteilungen Ziel des Kapitels

Mehr

Ü b u n g s b l a t t 15

Ü b u n g s b l a t t 15 Einführung in die Stochastik Sommersemester 07 Dr. Walter Oevel 2. 7. 2007 Ü b u n g s b l a t t 15 Hier ist zusätzliches Übungsmaterial zur Klausurvorbereitung quer durch die Inhalte der Vorlesung. Eine

Mehr

Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4

Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4 30. Oktober 2012 Quantile einer stetigen Zufallsgröße Die reelle Zahl

Mehr

Die Varianz (Streuung) Definition

Die Varianz (Streuung) Definition Die (Streuung) Definition Diskrete Stetige Ang., die betrachteten e existieren. var(x) = E(X EX) 2 heißt der Zufallsvariable X. σ = Var(X) heißt Standardabweichung der X. Bez.: var(x), Var(X), varx, σ

Mehr

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 Bedingte

Mehr

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1 Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4. März 2. Zwei Lektoren lesen ein Buch. Lektor A findet 2 Druckfehler, Lektor B nur 5. Von den gefundenen

Mehr

Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie - Probeklausur

Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie - Probeklausur Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie - robeklausur Sommersemester 2007 - Lösung Name: Vorname: Matrikelnr.: Studiengang: Hinweise Sie sollten insgesamt Blätter erhalten haben. Tragen Sie bitte Ihre Antworten

Mehr

Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter

Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Universität Karlsruhe (TH) Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Markus Höchstötter Lehrstuhl für Statistik, Ökonometrie

Mehr

K8 Stetige Zufallsvariablen Theorie und Praxis

K8 Stetige Zufallsvariablen Theorie und Praxis K8 Stetige Zufallsvariablen Theorie und Praxis 8.1 Theoretischer Hintergrund Wir haben (nicht abzählbare) Wahrscheinlichkeitsräume Meßbare Funktionen Zufallsvariablen Verteilungsfunktionen Dichten in R

Mehr

Übungsblatt 9. f(x) = e x, für 0 x

Übungsblatt 9. f(x) = e x, für 0 x Aufgabe 1: Übungsblatt 9 Basketball. Ein Profi wirft beim Training aus einer Entfernung von sieben Metern auf den Korb. Er trifft bei jedem Wurf mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 1/2. Die Zufallsvariable

Mehr

Spezielle stetige Verteilungen

Spezielle stetige Verteilungen Spezielle stetige Verteilungen schon bekannt: Die Exponentialverteilung mit Parameter k R, k > 0 hat die Dichte f (x) = ke kx für x 0 und die Verteilungsfunktion F (x) = 1 e kx für x 0. Eigenschaften Für

Mehr

Klausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Sommersemester Aufgabe 1

Klausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Sommersemester Aufgabe 1 Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie der Otto-Friedrich-Universität Bamberg Prof. Dr. Susanne Rässler Klausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Sommersemester 2013 Aufgabe 1 In einer Urne

Mehr

Hypergeometrische Verteilung

Hypergeometrische Verteilung Hypergeometrische Verteilung Typischer Anwendungsfall: Ziehen ohne Zurücklegen Durch den Ziehungsprozess wird die Wahrscheinlichkeit des auch hier zu Grunde liegenden Bernoulli-Experimentes verändert.

Mehr

1 1. Übung. Einleitung. 1.1 Urnenmodelle. 1.2 Beispiele. 1.3 Aufgaben

1 1. Übung. Einleitung. 1.1 Urnenmodelle. 1.2 Beispiele. 1.3 Aufgaben Einleitung Dieses sind die kompletten Präsenzaufgaben, die bei der Übung zur Vorlesung Einführung in die Stochastik im Sommersemester 2007 gerechnet wurden. Bei Rückfragen und Anmerkungen bitte an brune(at)upb.de

Mehr

Kapitel 5. Stochastik

Kapitel 5. Stochastik 76 Kapitel 5 Stochastik In diesem Kapitel wollen wir die Grundzüge der Wahrscheinlichkeitstheorie behandeln. Wir beschränken uns dabei auf diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Ω. Definition 5.1. Ein diskreter

Mehr

8. Stetige Zufallsvariablen

8. Stetige Zufallsvariablen 8. Stetige Zufallsvariablen Idee: Eine Zufallsvariable X ist stetig, falls ihr Träger eine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen R ist. Beispiel: Glücksrad mit stetigem Wertebereich [0, 2π] Von Interesse

Mehr

M13 Übungsaufgaben / pl

M13 Übungsaufgaben / pl Die Histogramme von Binomialverteilungen werden bei wachsendem Stichprobenumfang n immer flacher und breiter. Dem Maximum einer solchen Verteilung kommt daher keine allzu große Wahrscheinlichkeit zu. Vielmehr

Mehr

9 Die Normalverteilung

9 Die Normalverteilung 9 Die Normalverteilung Dichte: f(x) = 1 2πσ e (x µ)2 /2σ 2, µ R,σ > 0 9.1 Standard-Normalverteilung µ = 0, σ 2 = 1 ϕ(x) = 1 2π e x2 /2 Dichte Φ(x) = 1 x 2π e t2 /2 dt Verteilungsfunktion 331 W.Kössler,

Mehr

Scheinklausur Stochastik 1 für Studierende des Lehramts und der Diplom-Pädagogik

Scheinklausur Stochastik 1 für Studierende des Lehramts und der Diplom-Pädagogik Universität Karlsruhe (TH) Institut für Stochastik Dr. Bernhard Klar Dipl.-Math. oec. Volker Baumstark Name Vorname Matr.-Nr.: Scheinklausur Stochastik für Studierende des Lehramts und der Diplom-Pädagogik

Mehr

Webinar Induktive Statistik. - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Stichprobentheorie

Webinar Induktive Statistik. - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Stichprobentheorie Webinar Induktive Statistik - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Stichprobentheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Aufgabe : Zwei Lieferanten decken den Bedarf eines PKW-Herstellers von 00.000 Einheiten pro Monat.

Mehr

Box-and-Whisker Plot -0,2 0,8 1,8 2,8 3,8 4,8

Box-and-Whisker Plot -0,2 0,8 1,8 2,8 3,8 4,8 . Aufgabe: Für zwei verschiedene Aktien wurde der relative Kurszuwachs (in % beobachtet. Aus den jeweils 20 Quartaldaten ergaben sich die folgenden Box-Plots. Box-and-Whisker Plot Aktie Aktie 2-0,2 0,8,8

Mehr

Stetige Verteilungen. A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch

Stetige Verteilungen. A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch 6 Stetige Verteilungen 1 Kapitel 6: Stetige Verteilungen A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch dargestellt. 0.2 6

Mehr

Zufallsgröße. Würfelwurf mit fairem Würfel. Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten

Zufallsgröße. Würfelwurf mit fairem Würfel. Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsgrößen Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt 0 Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung 3 Statistische Inferenz 4 Hypothesentests

Mehr

Dieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel besser zu verstehen.

Dieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel besser zu verstehen. Dieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel 2.5-2. besser zu verstehen. Frage Wir betrachten ein Würfelspiel. Man wirft einen fairen, sechsseitigen Würfel. Wenn eine oder eine 2 oben liegt, muss man 2 SFr zahlen.

Mehr

Prof. Dr. Christoph Karg Hochschule Aalen. Klausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Sommersemester 2016

Prof. Dr. Christoph Karg Hochschule Aalen. Klausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Sommersemester 2016 Prof. Dr. Christoph Karg 5.7.2016 Hochschule Aalen Klausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Sommersemester 2016 Name: Unterschrift: Klausurergebnis Aufgabe 1 (15 Punkte) Aufgabe 3

Mehr

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.

Mehr

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen 6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Bisher: Diskrete Zufallsvariablen,

Mehr

1.1.1 Ergebnismengen Wahrscheinlichkeiten Formale Definition der Wahrscheinlichkeit Laplace-Experimente...

1.1.1 Ergebnismengen Wahrscheinlichkeiten Formale Definition der Wahrscheinlichkeit Laplace-Experimente... Inhaltsverzeichnis 0 Einführung 1 1 Zufallsvorgänge und Wahrscheinlichkeiten 5 1.1 Zufallsvorgänge.......................... 5 1.1.1 Ergebnismengen..................... 6 1.1.2 Ereignisse und ihre Verknüpfung............

Mehr

Übungsrunde 5, Gruppe 2 LVA , Übungsrunde 5, Gruppe 2, Markus Nemetz, TU Wien, 11/2006

Übungsrunde 5, Gruppe 2 LVA , Übungsrunde 5, Gruppe 2, Markus Nemetz, TU Wien, 11/2006 3.. Angabe Übungsrunde 5, Gruppe 2 LVA 07.369, Übungsrunde 5, Gruppe 2, 4.. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, /2006 Betrachten Sie einen Behälter, der Karten mit jeweils einer aufgedruckten

Mehr

Kapitel 6 Martingale

Kapitel 6 Martingale Kapitel 6 Martingale Martingale spielen eine große Rolle in der Finanzmathematik, und sind zudem ein wichtiges Hilfsmittel für die statistische Inferenz stochastischer Prozesse, insbesondere auch für Zählprozesse

Mehr

10. Vorlesung. Grundlagen in Statistik. Seite 291. Martin-Luther-Universität Halle/Wittenberg

10. Vorlesung. Grundlagen in Statistik. Seite 291. Martin-Luther-Universität Halle/Wittenberg . Vorlesung Grundlagen in Statistik Seite 29 Beispiel Gegeben: Termhäufigkeiten von Dokumenten Problemstellung der Sprachmodellierung Was sagen die Termhäufigkeiten über die Wahrscheinlichkeit eines Dokuments

Mehr

Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 12. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 12. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-7. Semester ARBEITSBLATT Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Die Begriffe Varianz und Standardabweichung sind uns bereits aus der Statistik bekannt

Mehr

Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume

Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume Kapitel 3 Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume 3. Einleitung Wir hatten schon bemerkt, dass der Begriff des diskreten Wahrscheinlichkeitsraums nicht ausreicht, um das unendliche Wiederholen eines Zufallsexperiments

Mehr

Univariates Datenmaterial

Univariates Datenmaterial Univariates Datenmaterial 1.6.1 Deskriptive Statistik Zufallstichprobe: Umfang n, d.h. Stichprobe von n Zufallsvariablen o Merkmal/Zufallsvariablen: Y = {Y 1, Y 2,..., Y n } o Realisationen/Daten: x =

Mehr

Diskrete Verteilungen

Diskrete Verteilungen KAPITEL 6 Disrete Verteilungen Nun werden wir verschiedene Beispiele von disreten Zufallsvariablen betrachten. 1. Gleichverteilung Definition 6.1. Eine Zufallsvariable X : Ω R heißt gleichverteilt (oder

Mehr

Der Trainer einer Fußballmannschaft stellt die Spieler seiner Mannschaft auf. Insgesamt besteht der Kader seiner Mannschaft aus 23 Spielern.

Der Trainer einer Fußballmannschaft stellt die Spieler seiner Mannschaft auf. Insgesamt besteht der Kader seiner Mannschaft aus 23 Spielern. Aufgabe 1 (2 + 1 + 2 + 2 Punkte) Der Trainer einer Fußballmannschaft stellt die Spieler seiner Mannschaft auf. Insgesamt besteht der Kader seiner Mannschaft aus 23 Spielern. a) Wieviele Möglichkeiten hat

Mehr

Fragenkatalog Kapitel 1 Fehleranalyse

Fragenkatalog Kapitel 1 Fehleranalyse Teil 1: Numerik katalog Kapitel 1 Fehleranalyse 1. Zwischen was besteht ein funktionaler Zusammenhang z i? Welche Form hat er? 2. Welche 4 Typen von Fehlerquellen gibt es? Nenne Beispiele! 3. Wie berechnet

Mehr

MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (Autor: Gerrit (-Arthur) Gruben)

MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (Autor: Gerrit (-Arthur) Gruben) Musterlösung zum. Aufgabenblatt zur Vorlesung MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (Autor: Gerrit (-Arthur Gruben. Wahrscheinlichkeiten I ( Punkte Die Seiten von zwei Würfeln sind mit den folgenden Zahlen

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung Was du wissen musst: Die Begriffe Zufallsexperiment, Ereignisse, Gegenereignis, Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeit sind dir geläufig. Du kannst mehrstufige Zufallsversuche

Mehr

Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. stetig. Verteilungsfunktion

Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. stetig. Verteilungsfunktion Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen 12.1. Dichtefunktion und Verteilungsfunktion stetig Verteilungsfunktion Trägermenge T, also die Menge der möglichen Realisationen, ist durch ein Intervall gegeben Häufig

Mehr

Tabelle 11.2 zeigt die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Randverteilungen

Tabelle 11.2 zeigt die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Randverteilungen Kapitel 11 Stichprobenfunktionen Um eine Aussage über den Wert eines unbekannten Parameters θ zu machen, zieht man eine Zufallsstichprobe vom Umfang n aus der Grundgesamtheit. Das Merkmal wird in diesem

Mehr

Keine Panik vor Statistik!

Keine Panik vor Statistik! Markus Oestreich I Oliver Romberg Keine Panik vor Statistik! Erfolg und Spaß im Horrorfach nichttechnischer Studiengänge STUDIUM 11 VIEWEG+ TEUBNER Inhaltsverzeichnis 1 Erstmal locker bleiben: Es längt

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 38

Aufgaben zu Kapitel 38 Aufgaben zu Kapitel 38 Aufgaben zu Kapitel 38 Verständnisfragen Aufgabe 38. Welche der folgenden vier Aussagen sind richtig:. Kennt man die Verteilung von X und die Verteilung von Y, dann kann man daraus

Mehr

4. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren)

4. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 4. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 4.1. Einführung Schätzen unbekannter Parameter im Modell, z.b. Wahrscheinlichkeiten p i (Anteile in der Gesamtmenge), Erwartungswerte

Mehr

$ % + 0 sonst. " p für X =1 $

$ % + 0 sonst.  p für X =1 $ 31 617 Spezielle Verteilungen 6171 Bernoulli Verteilung Wir beschreiben zunächst drei diskrete Verteilungen und beginnen mit einem Zufallsexperiment, indem wir uns für das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses

Mehr

Bei vielen Zufallsexperimenten interessiert man sich lediglich für das Eintreten bzw. das Nichteintreten eines bestimmten Ereignisses.

Bei vielen Zufallsexperimenten interessiert man sich lediglich für das Eintreten bzw. das Nichteintreten eines bestimmten Ereignisses. XI. Binomialverteilung ================================================================== 11.1 Definitionen -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

P( X µ c) Var(X) c 2. mit. In der Übung wurde eine alternative, äquivalente Formulierung verwendet: P( X µ < c) 1 Var(X)

P( X µ c) Var(X) c 2. mit. In der Übung wurde eine alternative, äquivalente Formulierung verwendet: P( X µ < c) 1 Var(X) Ich habe eine Frage zur Tschebyschew Ungleichung. In der Aufgabe 4 des Übungsblattes 3 benötigt man ja die Ungleichung. In diesem Falle war der Bereich (0, 20) symmetrisch um den Erwartungswert µ = 5.

Mehr

Übungsrunde 7, Gruppe 2 LVA 107.369, Übungsrunde 7, Gruppe 2, 28.11. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 11/2006

Übungsrunde 7, Gruppe 2 LVA 107.369, Übungsrunde 7, Gruppe 2, 28.11. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 11/2006 1 3.34 1.1 Angabe Übungsrunde 7, Gruppe 2 LVA 107.369, Übungsrunde 7, Gruppe 2, 28.11. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 11/2006 U sei auf dem Intervall (0, 1) uniform verteilt. Zeigen

Mehr

Würfel-Aufgabe Bayern LK 2006

Würfel-Aufgabe Bayern LK 2006 Würfel-Aufgabe Bayern LK 2006 Die Firma VEGAS hat ein neues Gesellschaftsspiel entwickelt, bei dem neben Laplace-Würfeln auch spezielle Vegas-Würfel verwendet werden, die sich äußerlich von den Laplace-Würfeln

Mehr

Anleitung: Standardabweichung

Anleitung: Standardabweichung Anleitung: Standardabweichung So kann man mit dem V200 Erwartungswert und Varianz bzw. Standardabweichung bei Binomialverteilungen für bestimmte Werte von n, aber für allgemeines p nach der allgemeinen

Mehr

Stochastik Pfadregeln Erwartungswert einer Zufallsvariablen Vierfeldertafel Gymnasium

Stochastik Pfadregeln Erwartungswert einer Zufallsvariablen Vierfeldertafel Gymnasium Stochastik Pfadregeln Erwartungswert einer Zufallsvariablen Vierfeldertafel Gymnasium Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com Oktober 205 Aufgabe : In einer Urne befinden sich drei gelbe, eine rote und

Mehr

Universität Bonn 28. Juli 2010 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Statistische Abteilung Prof. Dr. A. Kneip. KLAUSUR Statistik B

Universität Bonn 28. Juli 2010 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Statistische Abteilung Prof. Dr. A. Kneip. KLAUSUR Statistik B Universität Bonn 28. Juli 2010 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Statistische Abteilung Prof. Dr. A. Kneip Sommersemester 2010 KLAUSUR Statistik B Hinweise zur Bearbeitung: Bei allen Teilaufgaben

Mehr

Regression ein kleiner Rückblick. Methodenseminar Dozent: Uwe Altmann Alexandra Kuhn, Melanie Spate

Regression ein kleiner Rückblick. Methodenseminar Dozent: Uwe Altmann Alexandra Kuhn, Melanie Spate Regression ein kleiner Rückblick Methodenseminar Dozent: Uwe Altmann Alexandra Kuhn, Melanie Spate 05.11.2009 Gliederung 1. Stochastische Abhängigkeit 2. Definition Zufallsvariable 3. Kennwerte 3.1 für

Mehr

die wir als Realisationen von unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen

die wir als Realisationen von unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen Kapitel 8 Schätzung von Parametern 8.1 Schätzmethoden Gegeben seien Beobachtungen Ü Ü ¾ Ü Ò die wir als Realisationen von unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen ¾ Ò auffassen. Die Verteilung

Mehr

Discrete Probability - Übungen (SS5) Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 5: 2. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 7:

Discrete Probability - Übungen (SS5) Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 5: 2. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 7: Discrete Probability - Übungen (SS5) Felix Rohrer Wahrscheinlichkeitstheorie 1. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 5: Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme von zwei geworfenen Würfeln

Mehr

Poissonverteilung und Binomialverteilung

Poissonverteilung und Binomialverteilung Kapitel 9 Poissonverteilung und Binomialverteilung 9.1 Allgemeines über Zufallsvariable mit Wertebereich in Z In medizinischen Untersuchungen zählt man unter dem Mikroskop die Anzahl k bestimmter Zellen

Mehr

Chi-Quadrat-Verteilung

Chi-Quadrat-Verteilung Chi-Quadrat-Verteilung Die Verteilung einer Summe X +X +...+X n, wobei X,..., X n unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen sind, heißt χ -Verteilung mit n Freiheitsgraden. Eine N(, )-verteilte

Mehr

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz 13.5 Der zentrale Grenzwertsatz Satz 56 (Der Zentrale Grenzwertsatz Es seien X 1,...,X n (n N unabhängige, identisch verteilte zufällige Variablen mit µ := EX i ; σ 2 := VarX i. Wir definieren für alle

Mehr

Vorlesung Einführung in die Wahrscheinlichkeit

Vorlesung Einführung in die Wahrscheinlichkeit Vorlesung Einführung in die Wahrscheinlichkeit Prof. C. Mazza Wintersemester 007/008 Literatur W. Feller, An introduction to probability theory and some of its applications I Wiley 1968. K.L. Chung, Elementary

Mehr

Begriffe aus der Informatik Nachrichten

Begriffe aus der Informatik Nachrichten Begriffe aus der Informatik Nachrichten Gerhard Goos definiert in Vorlesungen über Informatik, Band 1, 1995 Springer-Verlag Berlin Heidelberg: Die Darstellung einer Mitteilung durch die zeitliche Veränderung

Mehr

1 Grundprinzipien statistischer Schlußweisen

1 Grundprinzipien statistischer Schlußweisen Grundprinzipien statistischer Schlußweisen - - Grundprinzipien statistischer Schlußweisen Für die Analyse zufallsbehafteter Eingabegrößen und Leistungsparameter in diskreten Systemen durch Computersimulation

Mehr

Statistik II. Statistische Tests. Statistik II

Statistik II. Statistische Tests. Statistik II Statistik II Statistische Tests Statistik II - 12.5.2006 1 Test auf Anteilswert: Binomialtest Sei eine Stichprobe unabhängig, identisch verteilter ZV (i.i.d.). Teile diese Stichprobe in zwei Teilmengen

Mehr

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Kapitel 3 Zufallsvariable Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden III Zufallsvariable 1 / 43 Lernziele Diskrete und stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion

Mehr

Schleswig-Holstein Kernfach Mathematik

Schleswig-Holstein Kernfach Mathematik Aufgabe 5: Stochastik Der Schokoladenhersteller Nikolaus Hase produziert für namhafte Discounter Ostereier. Auf Grund langjähriger Erfahrungen ist davon auszugehen, dass 95 % der Produktion der Norm entsprechen

Mehr

x 3 Genau dann liegt ein Punkt X mit dem Ortsvektor x auf g, wenn es ein λ R gib,t so dass

x 3 Genau dann liegt ein Punkt X mit dem Ortsvektor x auf g, wenn es ein λ R gib,t so dass V. Geradengleichungen in Parameterform 5. Definition ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x 3 v a x x x Definition und Satz :

Mehr

Bachelor BEE Statistik Übung: Blatt 1 Ostfalia - Hochschule für angewandte Wissenschaften Fakultät Versorgungstechnik Aufgabe (1.1): Gegeben sei die folgende Messreihe: Nr. ph-werte 1-10 6.4 6.3 6.7 6.5

Mehr

Übungsaufgaben zu Statistik II

Übungsaufgaben zu Statistik II Übungsaufgaben zu Statistik II Prof. Dr. Irene Prof. Dr. Albrecht Ungerer Die Kapitel beziehen sich auf das Buch: /Ungerer (2016): Statistik für Wirtschaftswissenschaftler Springer Gabler 4 Übungsaufgaben

Mehr

Monte-Carlo Simulation

Monte-Carlo Simulation Monte-Carlo Simulation Sehr häufig hängen wichtige Ergebnisse von unbekannten Werten wesentlich ab, für die man allerhöchstens statistische Daten hat oder für die man ein Modell der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

3.4 Asymptotische Evaluierung von Sch atzer Konsistenz Konsistenz Definition 3.4.1: konsistente Folge von Sch atzer

3.4 Asymptotische Evaluierung von Sch atzer Konsistenz Konsistenz Definition 3.4.1: konsistente Folge von Sch atzer 3.4 Asymptotische Evaluierung von Schätzer 3.4.1 Konsistenz Bis jetzt haben wir Kriterien basierend auf endlichen Stichproben betrachtet. Konsistenz ist ein asymptotisches Kriterium (n ) und bezieht sich

Mehr

I. Deskriptive Statistik 1

I. Deskriptive Statistik 1 I. Deskriptive Statistik 1 1. Einführung 3 1.1. Grundgesamtheit und Stichprobe.................. 5 1.2. Merkmale und Verteilungen..................... 6 1.3. Tabellen und Grafiken........................

Mehr

Datenanalyse. (PHY231) Herbstsemester Olaf Steinkamp

Datenanalyse. (PHY231) Herbstsemester Olaf Steinkamp Datenanalyse (PHY31) Herbstsemester 015 Olaf Steinkamp 36-J- olafs@physik.uzh.ch 044 63 55763 Einführung, Messunsicherheiten, Darstellung von Messdaten Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und

Mehr

Statistische Methoden der Datenanalyse Beispielsammlung

Statistische Methoden der Datenanalyse Beispielsammlung Statistische Methoden der Datenanalyse Beispielsammlung R. Frühwirth Institut für Hochenergiephysik der Österreichischen Akademie der Wissenschaften A-1050 Wien, Nikolsdorfer Gasse 18 Wintersemester 2011/2012

Mehr

Summe von Zufallsvariablen

Summe von Zufallsvariablen Summe von Zufallsvariablen Gegeben sind die unabhängigen, gleichverteilten Zufallsvariablen X und Y mit den Wahrscheinlichkeitsdichten f() und g(). { für f() = g() = sonst Wir interessieren uns für die

Mehr

Klausur zur Vorlesung Multivariate Verfahren, SS 2006 6 Kreditpunkte, 90 min

Klausur zur Vorlesung Multivariate Verfahren, SS 2006 6 Kreditpunkte, 90 min Klausur, Multivariate Verfahren, SS 2006, 6 Kreditpunkte, 90 min 1 Prof. Dr. Fred Böker 08.08.2006 Klausur zur Vorlesung Multivariate Verfahren, SS 2006 6 Kreditpunkte, 90 min Gesamtpunkte: 39 Aufgabe

Mehr

Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Kapitel 5 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Mitunter erhält man über das Ergebnis eines zufälligen Versuches Vorinformationen. Dann entsteht die Frage, wie sich für den Betrachter, den man

Mehr

Analyse von Zeitreihen in der Umweltphysik und Geophysik Stochastische Prozesse

Analyse von Zeitreihen in der Umweltphysik und Geophysik Stochastische Prozesse Analyse von Zeitreihen in der Umweltphysik und Geophysik Stochastische Prozesse Yannik Behr Gliederung 1 Stochastische Prozesse Stochastische Prozesse Ein stochastischer Prozess ist ein Phänomen, dessen

Mehr

Einführung in die Fehlerrechnung und Messdatenauswertung

Einführung in die Fehlerrechnung und Messdatenauswertung Grundpraktikum der Physik Einführung in die Fehlerrechnung und Messdatenauswertung Wolfgang Limmer Institut für Halbleiterphysik 1 Fehlerrechnung 1.1 Motivation Bei einem Experiment soll der Wert einer

Mehr

Den folgenden speziellen Verteilungen liegt immer eine stetige Zufallsvariable X zugrunde.

Den folgenden speziellen Verteilungen liegt immer eine stetige Zufallsvariable X zugrunde. Kapitel 0 Stetige Zufallsvariablen und ihre Verteilungen Letzte Änderung: 7. Mai 2000, 20 Seiten Den folgenden speziellen Verteilungen liegt immer eine stetige Zufallsvariable X zugrunde. X: Ω R Die stetige

Mehr

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge 2.4 Stetige Zufallsvariable Beispiel. Abfüllung von 500 Gramm Packungen einer bestimmten Ware auf einer automatischen Abfüllanlage. Die Zufallsvariable X beschreibe die Füllmenge einer zufällig ausgewählten

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 19. Januar 2011 1 Nichtparametrische Tests Ordinalskalierte Daten 2 Test für ein Merkmal mit nur zwei Ausprägungen

Mehr

Formelsammlung Biometrie und Methodik

Formelsammlung Biometrie und Methodik Formelsammlung Biometrie und Methodik Beschreibende Statistik UnivariateDatenanalyse (Beobachtungswerte x,...,x n ) Absolute Häufigkeit n k = Anzahlder ω i mit x i = a k Relative H keit/empirische Verteilung

Mehr

Übung zur Empirischen Wirtschaftsforschung V. Das Lineare Regressionsmodell

Übung zur Empirischen Wirtschaftsforschung V. Das Lineare Regressionsmodell Universität Ulm 89069 Ulm Germany Dipl.-WiWi Christian Peukert Institut für Wirtschaftspolitik Fakultät für Mathematik und Wirtschaftswissenschaften Ludwig-Erhard-Stiftungsprofessur Sommersemester 2010

Mehr

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Wahrscheinlichkeitsverteilungen Wahrscheinlichkeitsverteilungen 1. Binomialverteilung 1.1 Abzählverfahren 1.2 Urnenmodell Ziehen mit Zurücklegen, Formel von Bernoulli 1.3 Berechnung von Werten 1.4 Erwartungswert und Standardabweichung

Mehr

S tandardabweichung : σ= n p 1 p = 200 0,24 0,76 6,04

S tandardabweichung : σ= n p 1 p = 200 0,24 0,76 6,04 R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 14.10.2007 Wahrscheinlichkeiten von Umgebungen Bei einer Binomialverteilung ist der Erwartungswert der mit der größten Wahrscheinlichkeit. In der Umgebung des

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik Springer-Lehrbuch Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik von Karl Mosler, Friedrich Schmid Neuausgabe Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik Mosler / Schmid schnell und portofrei

Mehr

Biomathematik für Mediziner, Klausur SS 2001 Seite 1

Biomathematik für Mediziner, Klausur SS 2001 Seite 1 Biomathematik für Mediziner, Klausur SS 2001 Seite 1 Aufgabe 1: Von den Patienten einer Klinik geben 70% an, Masern gehabt zu haben, und 60% erinnerten sich an eine Windpockeninfektion. An mindestens einer

Mehr

Aufgabe 50. Ein Schießbudenbesitzer hat festgestellt, dass die Trefferwahrscheinlichkeit in den späten Abendstunden 0;1 pro Schuss beträgt.

Aufgabe 50. Ein Schießbudenbesitzer hat festgestellt, dass die Trefferwahrscheinlichkeit in den späten Abendstunden 0;1 pro Schuss beträgt. Aufgabe 0 Ein Schießbudenbesitzer hat festgestellt, dass die Trefferwahrscheinlichkeit in den späten Abendstunden 0;1 pro Schuss beträgt. a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei Schüssen mindestens

Mehr

Über den Autor 7. Teil Beschreibende Statistik 29

Über den Autor 7. Teil Beschreibende Statistik 29 Inhaltsverzeichnis Über den Autor 7 Einführung Über dieses Buch - oder:»... für Dummies«verpflichtet! Wie man dieses Buch benutzt 22 Wie ich Sie mir vorstelle 22 Wie dieses Buch aufgebaut ist 23 Teil I:

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Ingenieure

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Ingenieure Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Ingenieure Von Prof. Hubert Weber Fachhochschule Regensburg 3., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit zahlreichen Bildern, Tabellen sowie

Mehr

Aufgabensammlung zu Wahrscheinlichkeitsrechnung I

Aufgabensammlung zu Wahrscheinlichkeitsrechnung I Aufgabensammlung zu Wahrscheinlichkeitsrechnung I Friedrich Graef Juli 27 Inhaltsverzeichnis Aufgaben 3. Ereignisse, Laplace-Experimente.................. 3.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten...................

Mehr

Vertiefung NWI: 13. Vorlesung zur Wahrscheinlichkeitstheorie

Vertiefung NWI: 13. Vorlesung zur Wahrscheinlichkeitstheorie Fakultät für Mathematik Prof. Dr. Barbara Gentz SS 2013 Vertiefung NWI: 13. Vorlesung zur Wahrscheinlichkeitstheorie Mittwoch, 10.7.2013 13. Markoffketten 13.1 Beispiele 1. Irrfahrt auf dem zweidimensionalen

Mehr

Kenngrößen von Zufallsvariablen

Kenngrößen von Zufallsvariablen Kenngrößen von Zufallsvariablen Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann durch die sogenannten Kenngrößen beschrieben werden, sie charakterisieren sozusagen die Verteilung. Der Erwartungswert Der Erwartungswert

Mehr

825 e 290 e 542 e 945 e 528 e 486 e 675 e 618 e 170 e 500 e 443 e 608 e. Zeichnen Sie das Box-Plot. Sind in dieser Stichprobe Ausreißer vorhanden?

825 e 290 e 542 e 945 e 528 e 486 e 675 e 618 e 170 e 500 e 443 e 608 e. Zeichnen Sie das Box-Plot. Sind in dieser Stichprobe Ausreißer vorhanden? 1. Aufgabe: Eine Bank will die jährliche Sparleistung eines bestimmten Kundenkreises untersuchen. Eine Stichprobe von 12 Kunden ergab folgende Werte: 825 e 290 e 542 e 945 e 528 e 486 e 675 e 618 e 170

Mehr

Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik Von der Binomialverteilung zur Normalverteilung

Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik Von der Binomialverteilung zur Normalverteilung Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik Von der Binomialverteilung zur Normalverteilung Wolfgang König (WIAS und TU Berlin) Mohrenstraße 39 10117 Berlin Tel. 030 20372 0 www.wias-berlin.de

Mehr

Mathematische und statistische Methoden II

Mathematische und statistische Methoden II Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung Wallstr. 3, 6. Stock, Raum 06-206 Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de lordsofthebortz.de lordsofthebortz.de/g+

Mehr

Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitung

Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitung Dr. Markus Kuze WS 2013/14 Dipl.-Math. Stefa Roth 11.02.2014 Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitug Gesetz der totale Wahrscheilichkeit ud Satz vo Bayes (Ω, F, P) Wahrscheilichkeitsraum, E 1,..., E F

Mehr

Zusatzaufgaben zur Vorlesung Stochastik für Informatikstudenten

Zusatzaufgaben zur Vorlesung Stochastik für Informatikstudenten Zusatzaufgaben zur Vorlesung Stochastik für Informatikstudenten I.1 Erweitertes Urnenmodell mit Zurücklegen In einer Urne befinden sich ( N Kugeln, davon M 1 der Farbe F 1, M 2 der Farbe l ) F 2,..., M

Mehr

Klausur zur Vorlesung,,Algorithmische Mathematik II

Klausur zur Vorlesung,,Algorithmische Mathematik II Institut für angewandte Mathematik, Institut für numerische Simulation Sommersemester 2015 Prof. Dr. Anton Bovier, Prof. Dr. Martin Rumpf Klausur zur Vorlesung,,Algorithmische Mathematik II Bitte diese

Mehr