Übungsaufgaben. Grundkurs Höhere Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Teil 2: Analysis. Sommersemester

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Übungsaufgaben. Grundkurs Höhere Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Teil 2: Analysis. Sommersemester"

Transkript

1 Übungsaufgaben Grundkurs Höhere Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Teil 2: Analysis Sommersemester

2 Folgen und Reihen Aufgabe 1 Ein Betrieb erreiche im ersten Jahr einen Umsatz von 120 Mio e. Der Umsatz nehme jedes Jahr zu a) um 5 % dieser Summe, b) um 4 1 % des Vorjahresumsatzes. 4 Berechnen Sie für beide Varianten den Umsatz im 10. Jahr sowie den Gesamtumsatz während der 10 Jahre. Nach wieviel Jahren ist der jeweilige Gesamtumsatz größer als 10 Milliarden e? Aufgabe 2 Gegeben ist eine arithmetische Folge {a n } n N mit a 51 = 1 und a 71 = 41. Berechnen Sie die Summe der ersten 100 Folgeglieder. Aufgabe 3 Gegeben ist eine konvergente geometrische Folge {a n } n N mit a 1 + a 3 = 15 und a 2 = 6. Geben Sie eine Bildungsvorschrift der Folge {a n } n N an. Aufgabe 4 Eine Einmalanlage mit einem Mindestanlagebetrag von e wird im ersten Jahr mit 5 % und in den folgenden Jahren mit 2 % verzinst. Die Zinsen werden automatisch wieder angelegt. Für jedes Jahr wird unabhängig vom Anlagebetrag ein Bonus von 100 e am Ende der Laufzeit gutgeschrieben. Die maximale Laufzeit beträgt 7 Jahre. Über das Guthaben kann frühestens nach zwei Jahren, aber jeweils nur am Ende eines Jahres verfügt werden. Stellen Sie den Endwert der Anlage in Abhängigkeit vom Anlagebetrag und der Laufzeit dar. Berechnen Sie den Endwert für einen Anlagebetrag von e bei einer Laufzeit von 5 Jahren. Aufgabe 5 Ein fester Anlagebetrag wird bei der Privatbank Mooshamm im ersten Jahr mit 3,0% verzinst. In jedem weiteren Jahr erhöht sich die Verzinsung um 0,2%. a) Wie hoch ist der Endwert nach n Jahren, wenn mit Verzinsung ohne Zinseszins gerechnet wird? b) Bestimmen Sie für einen Anlagebetrag von e bei einer Laufzeit von 6 Jahren den unter a) beschriebenen Endwert. Wie hoch muss eine über 6 Jahre konstante Verzinsung mit Zinseszins sein, um zum gleichen Endwert zu gelangen?

3 Aufgabe 6 Herr Zackenbarth eröffnete zu Beginn des Jahres 2012 ein Konto mit einem Startkapital von e. Es wurde Verzinsung mit Zinseszins und ein Zinssatz von 4% vereinbart. Herr Zackenbarth wird in den Jahren 2015 bis 2024 jeweils am Jahresende e einzahlen. Am Ende des Jahres 2030 soll das Konto ein Guthaben von e ausweisen. a) Welchen Betrag muss Herr Zackenbarth noch einmalig am Ende des Jahres 2030 einzahlen, um das gewünschte Guthaben zu erreichen? b) Nach dem Jahr 2030 leistet Herr Zackenbarth keine weiteren Einzahlungen. In welchem Jahr weist das Konto erstmalig mehr als e aus? Aufgabe 7 Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen {a n } n N auf Monotonie und Beschränktheit und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. ( ) 2 n 1 a) a n = 2 b) a n = n2 c) a n n n = ( 3)n + 3 n 3 n+1 Aufgabe 8 Gegeben sind Zinssätze i nom > 0 und i real > 0. Für den Kurs einer n-jährigen Zinsschuld gilt C n = 100 i nom (1 + i real ) (1 + i real) n 1 + n i real Berechnen Sie den Grenzwert dieser Folge. 100 (1 + i real ) n, n N. Aufgabe 9 {s n } n N sei die Folge der Partialsummen einer Folge {a k } k N, d.h. s n = n a k, n N. k=1 a) Konvergiert die Folge {s n } n N, wenn a k = ( 1) k, k N, gilt? b) Geben Sie die Folge {a k } k N für s n = 2n + 1, n N, an.

4 Funktionen einer Veränderlicher Ableitungsbegriff und Elemente der Kurvendiskussion Aufgabe 1 Gegeben seien die Heavisidefunktion { 1, x > 0 H(x) = 0, x 0 und die Funktionen f(x) = x H(x), g(x) = x 2 H(x), x R. Untersuchen Sie die Funktionen H(x), f(x) und g(x) auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit an der Stelle x = 0. Aufgabe 2 Berechnen Sie die 1. Ableitung der Funktionen a) F (x) = x 2 2 x + ln x x + 2e x und f(x) = x ln x für x > 0, b) K 1 (t) = K 0 (1 + ti), K 2 (t) = K 0 (1 + i) t und K 3 (t) = K 0 (1 i) t für t 0 bei gegebenen K 0 > 0 und 0 < i < 1. Aufgabe 3 Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte nach der Regel von l Hospital: a) lim x 0 x sin x x 3 b) lim x 0+ 1 x 1 e x c) lim x 0+ (ex + x) 1 x und lim x (ex + x) 1 x Aufgabe 4 Für die Produktionsmenge x 1 seien K(x) = x + 2 x + 5 die Kostenfunktion und E(x) E(x) = ln x + 2x + 1 die Ertragsfunktion. Berechnen Sie den Grenzwert lim x K(x) und interpretieren Sie das Ergebnis. Aufgabe 5 Skizzieren Sie die Funktion f(x) = max{ 1, x 2 } im Intervall 2 x 2. Geben Sie alle globalen Minima der Funktion f an. Besitzt die Funktion f an der Stelle x = 0 ein lokales Maximum?

5 Aufgabe 6 Für Absatzmengen x > 0 seien die Preis-Absatz-Funktion p(x) und die Kostenfunktion K(x) bekannt. Mit D(x) = K(x) werden die Durchschnittskosten bezeichnet. Der Gewinn wird x durch die Funktion G(x) = x p(x) K(x) repräsentiert. a) Welche Eigenschaften besitzt die Preis-Absatz-Funktion, wenn für x > 0 die Bedingungen p(x) > 0 und p (x) 0 erfüllt sind? b) Welche Eigenschaften besitzt die Kostenfunktion, wenn für x > 0 die Bedingungen K(x) > 0 und K (x) > 0 sowie K (x w ) = 0, K (x) < 0 für 0 < x < x w und K (x) > 0 für x > x w erfüllt sind? c) Welche Relation muss zwischen den Durchschnittskosten D(x) und dem Preis p(x) für eine abgesetzte Mengeneinheit gelten, damit der erzielte Gewinn G(x) für eine Absatzmenge x > 0 positiv ist? Aufgabe 7 Es sei x(r) = 200 e r 100 eine vom Rohstoffeinsatz r abhängige Produktionsfunktion. 1 + er a) Untersuchen Sie das Monotonie- und Krümmungsverhalten der Funktion x für r 0. b) Welche Werte kann die Funktion x für r 0 annehmen? Aufgabe 8 Die Funktion f(x) = a +bx+c mit gegebenen positiven Konstanten a, b und c beschreibe die x Stückkosten für einen Lagerbestand x > 0 und wird als Lagerhaltungsfunktion bezeichnet. a) Analysieren Sie die Lagerhaltungsfunktion f und diskutieren Sie die gefundene Extremstelle. Welche Bedeutung haben die Konstanten a, b und c? b) Skizzieren Sie die Lagerhaltungsfunktionen f für a = 5, b = 0.2, c = 1. Aufgabe 9 Ein Unternehmen erzielt bei einem Absatz von x Produkteinheiten einen Gewinn vor Steuern von G(x) = 4x x. Bezüglich eines Steuersatzes 0 < r < 1 wird eine Mengensteuer in 10 Höhe von T r (x) = rx erhoben. Bei welchem Steuersatz wird die höchste Steuereinnahme erzielt, wenn gleichzeitig der Unternehmer seinen Gewinn nach Steuern maximiert? Aufgabe 10 Gegeben ist die Funktion f(x) = x 11 33x a) Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion f. b) Untersuchen Sie, ob die Funktion f an der Stelle x = 0 einen Wendepunkt besitzt. c) Weisen Sie nach, dass die Funktion f für x > 1 genau eine Nullstelle besitzt. Geben Sie diese mit einer Genauigkeit von 6 Stellen nach dem Komma an.

6 Funktionen einer Veränderlicher Differential, Elastizität, Taylorpolynome Aufgabe 1 x Geben Sie für die Funktion f(x) = 1 + ln den maximalen Definitionsbereich an. 2 x Berechnen Sie die Funktionswertänderungen bei Änderung von x 0 = 1 auf x = 1,1 bzw. x = 1,5 bzw. x = 1,9 näherungweise mit Hilfe des Differentials und zum Vergleich exakt mit Hilfe des Taschenrechners. Aufgabe 2 Für ein Produkt wird eine direkte Abhängigkeit der Nachfrage f vom durchschnittlichen Pro-Kopf-Einkommen x der Bevölkerung gemäß f(x) = 7e x 1000 beobachtet. Zu bestimmen sind (allgemein und speziell für x 0 = 1800) (i) die Einkommenselastizität der Nachfrage nach diesem Produkt; (ii) die prozentuale Änderung der Nachfrage bei Erhöhung des Durchschnittseinkommens um 1% (exakt und näherungsweise mit dem Ergebnis aus (i)). Aufgabe 3 Für eine Absatzmenge x > 0 sei K(x) = 0,1 x 2 + c die Kostenfunktion mit Fixkosten c > 0 und G(x) = 1,2 x K(x) die Gewinnfunktion. a) Für welche Absatzmengen verhält sich die Kostenfunktion proportionalelastisch? b) Ermitteln Sie mit Hilfe des Differentials näherungsweise die Gewinnänderung bei einer Änderung der Absatzmenge x 0 = 4 um x = 0,2. c) Bestimmen Sie für c = 4 die gewinnmaximale Absatzmenge x G und interpretieren Sie den Wert des Gewinnmaximums G(x G ). Aufgabe 4 Für Produktionsmengen x > 0 sei K(x) = (x 5) eine Kostenfunktion. a) Berechnen Sie die Produktionsmenge x 0, für die die Stückkostenfunktion S(x) = K(x) x minimal wird und bestimmen Sie die Tangente an K(x) in diesem Punkt. b) Formulieren Sie allgemein für eine gegebene differenzierbare Kostenfunktion K(x) eine notwendige Bedingung für das Minimum der Stückkostenfunktion S(x) = K(x), x ausgedrückt jeweils durch eine Beziehung zwischen den Stückkosten S(x) und den Grenzkosten K (x), eine Bedingung für die Elastizität der Kostenfunktion K(x), die Lage der Tangente an die Kostenfunktion K(x) in einem Minimalpunkt x 0.

7 Aufgabe 5 Einer vom Zeitpunkt t 0 abhängigen Kapitalwertfunktion C(t) wird die Zinsintensität I(t) = C (t), auch Wachstumstempo zum Zeitpunkt t genannt, zugeordnet. C(t) Bestimmen Sie die Zinsintensitäten I 1 (t) und I 2 (t) für die Kapitalwertfunktionen C 1 (t) = C 0 (1 + ti) C 2 (t) = C 0 (1 + i) t (lineare Verzinsung) (exponentielle Verzinsung) bei gegebenen Startkapital C 0 > 0 und Zinssatz i > 0. Skizzieren und interpretieren Sie die Graphen der Funktionen I 1 (t) und I 2 (t) für i = 0,25. Aufgabe 6 Bestimmen Sie für die Funktion f(x) = 1 die Taylorpolynome erster bis vierter Ordnung 1 + x an der Stelle x 0 = 0 und berechnen Sie damit Näherungswerte für den Funktionswert f(0,1). Aufgabe 7 Für den Zeitpunkt der Verdoppelung eines Kapitals bei Verzinsung mit Zinseszins gibt es eine einfache Merkregel, die man gelegentlich in den Ratgeberspalten von Illustrierten findet: Die Zahl 70 wird durch den jeweiligen Zinsfuß geteilt. Zeigen Sie, dass die angegebene Merkregel gute Näherungen liefert. Aufgabe 8 Gegeben ist die Funktion f(x) = ln(x 2 + 2x + 2). a) Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktionvon f. b) Weisen Sie die Gültigkeit der Näherung f(x) x + ln 2 für betragsmäßig hinreichend kleine reelle Zahlen x nach. c) Approximieren Sie die Funktion f in einer Umgebung der Stelle x 0 = 1 durch ein Taylorpolynom zweiter Ordnung. Aufgabe 9 Gegeben ist für x > 0 die Funktion G(x) = 1 x + x ln x. a) Auf welchem Intervall ist die Funktion G monoton nichtfallend? b) Ermitteln Sie mit Hilfe des Differentials näherungsweise die Funktionswertänderung bei einer Änderung von x = 20 um x = 0,5. c) Bestimmen Sie das globale Maximum der Funktion G auf dem Intervall 20 x 35. d) Entwickeln Sie das Taylorpolynom zweiter Ordnung der Funktion G an der Stelle x 0 = 1.

8 Funktionen zweier Veränderlicher Niveaumengen und räumliche Vorstellung, partielle Ableitungen, totales Differential, partielle Elastizitäten, implizite Funktionen Aufgabe 1 Bestimmen Sie für die Funktionen a) z = 1 (x 2 + y 2 ) b) z = xy c) z = x + y die (maximalen) Definitionsbereiche und die zugehörigen Wertebereiche. Skizzieren Sie die verschiedenen Niveaumengen (Höhenlinien) und verschaffen Sie sich eine räumliche Vorstellung von der Gestalt der Funktionsfläche. Aufgabe 2 Gegeben sind die drei Funktionen f(x, y) = x 3 + 3x 2 y 9x y , g(x, y) = x e y x, h(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) und die Stelle (x 0 ; y 0 ) = (1 ; 1). a) Bestimmen Sie für die Funktion f die partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung und geben Sie den Gradienten f und die Hesse-Matrix H f für die Stelle (x 0 ; y 0 ) an. b) Interpretieren Sie für die Funktion g den Gradienten g an der Stelle (x 0 ; y 0 ). c) Weisen Sie nach, dass die Funktion h die Gleichung 2 h x h y 2 = 0 erfüllt. Ist die Funktion h die einzige Funktion mit dieser Eigenschaft? Aufgabe 3 Gegeben ist die Funktion f(x, y) = (x 1) 3 y. a) Veranschaulichen Sie im kartesischen Koordinatensystem den Definitionsbereich D f und die Höhenlinie f(x, y) = 1. b) Bestimmen Sie den Gradienten f für die Stelle (x 0 ; y 0 ) = (0 ; 2) sowie die Gleichung der Tangente an die durch diese Stelle verlaufende Höhenlinie. Weisen Sie durch graphische Darstellung nach, dass f senkrecht auf der ermittelten Tangente steht. c) Bestimmen Sie ohne Anwendung der Differentialrechnung die Stellen, in denen die Funktion f ein globales Minimum annimmt. Zeigen Sie, dass die Funktion f kein globales Maximum besitzt.

9 Aufgabe 4 Gegeben ist die Funktion f(x, y) = x 2 e y2 + y und die Stelle (x 0 ; y 0 ) = (1 ; 0). Berechnen Sie mittels des totalen Differentials Näherungswerte für die Funktion f an den Stellen (1,1 ; 0), (1 ; -0,1) und, (1,1 ; 0,3). Bestimmen Sie die Tangentialebene an die Funktionsfläche im Punkt (x 0 ; y 0 ; f(x 0, y 0 )). Aufgabe 5 Eine Bank bietet einen Sparbrief für eine Laufzeit von n Jahren mit einem Mindestanlagebetrag von K Euro an. Der Sparbrief wird mit p % verzinst (Verzinsung mit Zinseszins) und am Ende der Laufzeit gibt es einen Bonus von b % auf den Anlagebetrag. Bezüglich der Daten wird n 2, K > 0, p > 0 und b n vorausgesetzt. a) Stellen Sie den Endwert der Anlage als Funktion in Abhängigkeit vom Zinsfuß p und dem Bonus b dar, wobei der tatsächliche Anlagebetrag K 0 K und die Laufzeit n gegebene Konstanten sind. b) Untersuchen Sie mit Hilfe des totalen Differentials, ob der Endwert der Anlage höher ausfällt, wenn der Zins nur um den Wert von 1 % erhöht aber gleichzeitig der Bonus (beträchtlich) um den Wert von n % gesenkt wird. Aufgabe 6 Gegeben ist die Produktionsfunktion z = f(x, y) = 4xy x x + y. Berechnen Sie zuerst die partiellen Elastizitäten für die Einsatzmengen x = 100 und y = 10. Die Einsatzmenge x werde um 0,5% erhöht, während y gleichzeitig um 0,5% gesenkt wird. Um wieviel Prozent ändert sich ungefähr der bisherige Funktionswert z? Aufgabe 7 Gegeben ist die Funktion f(x, y) = (x y) 2 + e 2y. Berechnen Sie mit Hilfe der Ableitung impliziter Funktionen die Anstiege der Höhenlinie f(x, y) = 2 in ihren Schnittpunkten mit der x-achse. Wie lauten die Gleichungen der Tangenten an die Kurve in diesen Punkten? In welchen Punkten besitzt die Kurve horizontale Tangenten? Aufgabe 8 Für eine Produktionsmenge x > 0 seien K(x) = a + 99x 9x 2 + x 3 die Kostenfunktion mit Fixkosten a > 0 und D(x) = K(x) die zugehörigen Durchschnittskosten. Mit x x M wird das Betriebsoptimum bezeichnet, welches die Durchschnittskosten minimiert. a) Zeigen Sie, dass das Betriebsoptimum durch die Gleichung a eindeutig bestimmt ist. x 2 M 9 + 2x M = 0 b) Ermitteln Sie das Monotonieverhalten des Betriebsoptimums bezüglich der Fixkosten mit Hilfe der impliziten Ableitung.

10 Funktionen zweier Veränderlicher Extremwertaufgaben ohne bzw. mit Nebenbedingungen Aufgabe 1 Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf lokale Extrema: a) f(x, y) = 36x 12x xy 3y 2 ( b) f(x, y) = x + 9 ) y y ln(x2 ) Aufgabe 2 Bestimmmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion f(x, y) = x 4 + y 4 4a 2 xy + 8a 4 in Abhängigkeit des reellen Parameters a. Welche Gestalt besitzt die Funktionsfläche für a = 0 bzw. für a 0? Aufgabe 3 Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf lokale Extrema unter den jeweils gegebenen Nebenbedingungen: a) f(x, y) = x 2 + y 2 NB: 3x + 2y = 6 b) f(x, y) = 1 2 x y NB: x + y2 = 4 Verwenden Sie für beide Beispiele sowohl die Auflösungsmethode als auch die Lagrangemethode. Hinweis: Für beide Beispiele lassen sich Nebenbedingung und Niveaumengen der Funktion f leicht durch eine graphische Darstellung veranschaulichen. Damit kann die Lage und die Art der Extrema erfasst werden. Aufgabe 4 Berechnen Sie für die Funktion f(x, y) = x 2 + (x + 1) y 2 a) alle lokalen Extrema ohne Nebenbedingungen, b) alle lokalen Extrema unter der Nebenbedingung y 2 = x 1. Hinweis: Verwenden Sie die Auflösungsmethode. Beachten Sie den Satz über implizite Funktionen.

11 Aufgabe 5 Ein Unternehmen besitzt zwei voneinander unabhängige Fertigungsbetriebe. Die in den Betrieben erzielten Gewinne G 1 und G 2 hängen wie folgt vom jeweils eingesetzten Kapital x 1 bzw. x 2 ab : G 1 = 120 x 1, G 2 = 160 x 2 Die insgesamt verfügbare Kapitalmenge sei durch den Parameter K > 0 beschrieben. a) Wie ist die Kapitalmenge K auf die beiden Fertigungsbetriebe aufzuteilen, damit der Unternehmensgewinn maximal wird? Verwenden Sie dazu die Auflösungsmethode. b) Um wieviel würde sich der maximale Unternehmensgewinn näherungsweise ändern, wenn die Kapitalmenge K = e um e verringert wird? c) Überzeugen Sie sich davon, dass man die unter a) gefundenen Ergebnisse auch mit der Lagrangemethode erzielen kann. Welche Bedeutung hat der dabei ermittelte Lagrangemultiplikator? Aufgabe 6 Zu drucken sind rechteckige Plakate der Breite b und Höhe a. Aus technischen Gründen bleiben oben und unten ein Streifen von jeweils 10 cm, links und rechts ein Streifen von jeweils 5 cm unbedruckt. Für welche Abmessungen wird für Plakate mit einer Gesamtfläche von 1 m 2 die bedruckte Fläche maximal und wie groß ist diese Fläche?

12 Das Gefährlichste an der Schulmathematik... ist die Omnipräsenz der Taschenrechner. Sie töten jedes Gefühl für Zahlen. Sabine Alt

2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0!

2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0! Klausur 25.02.2004 Aufgabe 5 Gegeben ist die Funktion f(x) = 2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0! Klausur 06.08.2003 Aufgabe 5 Gegeben ist

Mehr

a n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n

a n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n Folgen und Reihen. Beweisen Sie die Beschränktheit der Folge (a n ) n N mit 2. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N mit a n := ( ) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 n +. 4 3. Untersuchen

Mehr

Analysis in der Ökonomie (Teil 1) Aufgaben

Analysis in der Ökonomie (Teil 1) Aufgaben Analysis in der Ökonomie (Teil 1) Aufgaben 1 In einer Fabrik, die Farbfernseher produziert, fallen monatlich fie Kosten in Höhe von 1 Mio an Die variablen Kosten betragen für jeden produzierten Fernseher

Mehr

Funktionen mehrerer Variabler

Funktionen mehrerer Variabler Funktionen mehrerer Variabler Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Übersicht Funktionsbegriff 1 Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte 2 Partielle Ableitungen

Mehr

Extrema von Funktionen in zwei Variablen

Extrema von Funktionen in zwei Variablen Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Extrema von Funktionen in zwei Variablen Literatur: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

Partielle Ableitungen, Gradient, Lineare Näherung, Extrema, Fehlerfortpflanzung

Partielle Ableitungen, Gradient, Lineare Näherung, Extrema, Fehlerfortpflanzung Partielle Ableitungen, Gradient, Lineare Näherung, Extrema, Fehlerfortpflanzung Jörn Loviscach Versionsstand: 29. Juni 2009, 18:41 1 Partielle Ableitungen, Gradient Die Ableitung einer Funktion f an einer

Mehr

3.3 Linkskurve, Rechtskurve Wendepunkte

3.3 Linkskurve, Rechtskurve Wendepunkte 166 FUNKTIONSUNTERSUCHUNGEN 3.3 Linkskurve, Rechtskurve Wendepunkte Einführung (1) Anschauliche Erklärung des Begriffs Wendepunkt Bei Motorradrennen lässt sich beobachten, wie sich die Motorradfahrer beim

Mehr

)e2 (3 x2 ) a) Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie, ermitteln Sie die Nullstellen von f und bestimmen Sie das Verhalten von f für x.

)e2 (3 x2 ) a) Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie, ermitteln Sie die Nullstellen von f und bestimmen Sie das Verhalten von f für x. Analysis Aufgabe aus Abiturprüfung Bayern GK (abgeändert). Gegeben ist die Funktion f(x) = ( x )e ( x ). a) Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie, ermitteln Sie die Nullstellen von f und bestimmen

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 4

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 4 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 4 Hausaufgaben Aufgabe 4. Gegeben sei die Funktion f : D R mit f(x) :=

Mehr

Differenzialrechnung

Differenzialrechnung Mathe Differenzialrechnung Differenzialrechnung 1. Grenzwerte von Funktionen Idee: Gegeben eine Funktion: Gesucht: y = f(x) lim f(x) = g s = Wert gegen den die Funktion streben soll (meist 0 oder ) g =

Mehr

Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II

Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II Fachbereich Mathematik und Informatik der Philipps-Universität Marburg Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II Prof. Dr. C. Portenier unter Mitarbeit von Michael Koch Marburg, Sommersemester 2005 Fassung vom

Mehr

Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg Aufgabe 98 12.12.2012 Untersuchen Sie die Funktion f W R! R mit f.x/

Mehr

Übung 22: Gradient und Richtungsableitung; Extremwertaufgaben für Funktionen mehrerer Veränderlicher

Übung 22: Gradient und Richtungsableitung; Extremwertaufgaben für Funktionen mehrerer Veränderlicher Technische Universität Chemnitz 1. Juli 20 Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I.2 Übung 22: Gradient und Richtungsableitung; Extremwertaufgaben für Funktionen mehrerer Veränderlicher 1. Durch ein

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg Zwischenwertsatz Gegeben: f : [a, b] R stetig Dann gilt: f(a) < f(b) y [f(a), f(b)] x [a, b] mit f(x) = y 9.1. Grundbegriffe

Mehr

Die Funktion f sei (zumindest) in einem Intervall I = [a, b] definiert und dort hinreichend oft differenzierbar. f(x 0 ) f(x)

Die Funktion f sei (zumindest) in einem Intervall I = [a, b] definiert und dort hinreichend oft differenzierbar. f(x 0 ) f(x) 3.2.4. Analyse von Funktionen Die Funktion f sei (zumindest) in einem Intervall I = [a, b] definiert und dort hinreichend oft differenzierbar. Begriffe: Die Funktion f hat in x 0 I eine stationäre Stelle,

Mehr

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler 1 Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Lösungsvorschläge zur Klausur am 01.08.2003. Bitte unbedingt beachten: a) Verlangt und gewertet werden alle vier gestellten Aufgaben. Alle Aufgaben sind gleichwertig.

Mehr

ε δ Definition der Stetigkeit.

ε δ Definition der Stetigkeit. ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x

Mehr

Mathematik-Klausur vom 4.2.2004

Mathematik-Klausur vom 4.2.2004 Mathematik-Klausur vom 4.2.2004 Aufgabe 1 Ein Klein-Sparer verfügt über 2 000, die er möglichst hoch verzinst anlegen möchte. a) Eine Anlage-Alternative besteht im Kauf von Bundesschatzbriefen vom Typ

Mehr

INGENIEURMATHEMATIK. 9. Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Variablen. Sommersemester Prof. Dr. Gunar Matthies

INGENIEURMATHEMATIK. 9. Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Variablen. Sommersemester Prof. Dr. Gunar Matthies Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik INGENIEURMATHEMATIK 9. Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Variablen Prof. Dr. Gunar Matthies Sommersemester

Mehr

Liechtensteinisches Gymnasium

Liechtensteinisches Gymnasium Schriftliche Matura Liechtensteinisches Gymnasium Prüfer: Huber Sven Klassen 7Sa / 7Wa Zeit: 240 Minuten Name: Klasse: Instruktionen: 1) Geben Sie die zur Rechnung nötigen Einzelschritte an. 2) Skizzen

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen

Mehr

Mathematik 3 für Informatik

Mathematik 3 für Informatik Gunter Ochs Wintersemester 5/6 Mathematik 3 für Informatik Lösungen zum Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garnatie auf Fehlerfreiheit c 5. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: a x 4

Mehr

Wirtschaftsmathematik

Wirtschaftsmathematik Memo-Liste Schreibe zu allen Fragen auf dieser Seite in Stichworten auf, was dir dazu einfällt. Besprich das Ergebnis mit einer ollegin, einem ollegen, korrigiert es miteinander. Lies anschließend die

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Knut Sydsaeter Peter HammondJ Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Basiswissen mit Praxisbezug 2., aktualisierte Auflage Inhaltsverzeichnis Vorwort 13 Vorwort zur zweiten Auflage 19 Kapitel 1 Einführung,

Mehr

Lösungen ==================================================================

Lösungen ================================================================== Lösungen ================================================================== Aufgabe Bestimme f '(x) a) f(x) = e x f '(x) = e x ( ) = 4 e c x b) f(x) = x e x f '(x) = e x ( ) = + e x c) f(x) = 3 e (x+)

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Vorwort Kapitel 1 Einführung, I: Algebra Kapitel 2 Einführung, II: Gleichungen... 57

Inhaltsverzeichnis. Vorwort Kapitel 1 Einführung, I: Algebra Kapitel 2 Einführung, II: Gleichungen... 57 Vorwort... 13 Vorwort zur 3. deutschen Auflage... 17 Kapitel 1 Einführung, I: Algebra... 19 1.1 Die reellen Zahlen... 20 1.2 Ganzzahlige Potenzen... 23 1.3 Regeln der Algebra... 29 1.4 Brüche... 34 1.5

Mehr

1 Analysis Kurvendiskussion

1 Analysis Kurvendiskussion 1 Analysis Kurvendiskussion 1.1 Allgemeingültige Betrachtungen Die folgenden aufgezeigten Betrachtungen und Rechenschritte gelten für alle Arten von Funktionen. Funktion (z.b. Polynom n-ten Grades) Schreibweise

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaften I Wintersemester 2015/16 Universität Leipzig. Lösungvorschläge Präsenzaufgaben Serien 1-10

Mathematik für Wirtschaftswissenschaften I Wintersemester 2015/16 Universität Leipzig. Lösungvorschläge Präsenzaufgaben Serien 1-10 Mathematik für Wirtschaftswissenschaften I Wintersemester 05/6 Universität Leipzig Lösungvorschläge Präsenzaufgaben Serien -0 Inhaltsverzeichnis Serie Serie 5 3 Serie 8 4 Serie 9 5 Serie 3 6 Serie 6 7

Mehr

Multivariate Analysis

Multivariate Analysis Kapitel Multivariate Analysis Josef Leydold c 6 Mathematische Methoden I Multivariate Analysis / 38 Lernziele Funktionen in mehreren Variablen Graph und Niveaulinien einer Funktion in zwei Variablen Partielle

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

Ergänzungsprüfung. zum Erwerb der Fachhochschulreife (nichttechnische Ausbildungsrichtung)

Ergänzungsprüfung. zum Erwerb der Fachhochschulreife (nichttechnische Ausbildungsrichtung) Ergänzungsprüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife 2005 Prüfungsfach: Mathematik (nichttechnische Ausbildungsrichtung) Prüfungstag: Donnerstag, 16. Juni 2005 Prüfungsdauer: 09:00-12:00 Uhr Hilfsmittel:

Mehr

Übungen zu Funktionen mehrerer Veränderlicher. Lösungen zu Übung Betrachten Sie die durch. y 1 + x 2. z = gegebene Fläche.

Übungen zu Funktionen mehrerer Veränderlicher. Lösungen zu Übung Betrachten Sie die durch. y 1 + x 2. z = gegebene Fläche. Übungen zu Funktionen mehrerer Veränderlicher 5.1 Betrachten Sie die durch Lösungen zu Übung 5 gegebene Fläche. z = y 1 + x 2 (a) Zeichnen Sie die Höhenlinien in ein Koordinatensystem. (b) Veranschaulichen

Mehr

MATHEMATIK. Fachabiturprüfung 2010 zum Erwerb der Fachhochschulreife an. Fachoberschulen und Berufsoberschulen. Ausbildungsrichtung Technik

MATHEMATIK. Fachabiturprüfung 2010 zum Erwerb der Fachhochschulreife an. Fachoberschulen und Berufsoberschulen. Ausbildungsrichtung Technik Fachabiturprüfung 2010 zum Erwerb der Fachhochschulreife an Fachoberschulen und Berufsoberschulen MATHEMATIK Ausbildungsrichtung Technik Dienstag, 8. Juni 2010, 9.00-12.00 Uhr Die Schülerinnen und Schüler

Mehr

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 08.06.2004, 15.45 17.45.

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 08.06.2004, 15.45 17.45. Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 8.6.4, 5.45 7.45. Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben. b) Lösungswege und Begründungen sind anzugeben. Die

Mehr

1 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 11

1 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 11 Inhalt A Differenzialrechnung 8 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 2 Ableitungsregeln 2 Potenzregel 2 Konstantenregel 3 Summenregel 4 Produktregel 4 Quotientenregel

Mehr

Mathematik für Anwender I. Beispielklausur I mit Lösungen

Mathematik für Anwender I. Beispielklausur I mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Mathematik für Anwender I Beispielklausur I mit en Dauer: Zwei volle Stunden + 10 Minuten Orientierung, in denen noch nicht geschrieben werden darf.

Mehr

April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure. Rechenteil

April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure. Rechenteil April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure en Rechenteil Aufgabe 7 Punkte (a) Skizzieren Sie die 4-periodische Funktion mit f() = für und f() = für (b) Berechnen Sie für diese Funktion die Fourierkoeffizienten

Mehr

Mathematik-Lexikon. Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate

Mathematik-Lexikon. Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate Mathematik-Lexikon HM00 Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate Aufstellen von Funktionstermen Gesucht: Ganzrationale Funktion n-ten Grades: ƒ(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n- x n- +... +

Mehr

Thema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen

Thema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen Thema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen In diesem Kapitel betrachten wir die Invertierbarkeit von glatten Abbildungen bzw. die Auflösbarkeit von impliziten Gleichungen.

Mehr

Übungsklausur. Bitte wählen Sie fünf Aufgaben aus! Aufgabe 1. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr.

Übungsklausur. Bitte wählen Sie fünf Aufgaben aus! Aufgabe 1. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr. Gert Zöller Übungsklausur Hilfsmittel: Taschenrechner, Formblatt mit Formeln. Lösungswege sind stets anzugeben. Die alleinige Angabe eines

Mehr

Analysis II WS 11/12 Serie 9 Musterlösung

Analysis II WS 11/12 Serie 9 Musterlösung Analysis II WS / Serie 9 Musterlösung Aufgabe Bestimmen Sie die kritischen Punkte und die lokalen Extrema der folgenden Funktionen f : R R: a fx, y = x + y xy b fx, y = cos x cos y Entscheiden Sie bei

Mehr

Inhaltsverzeichnis. 1 Lineare Algebra 12

Inhaltsverzeichnis. 1 Lineare Algebra 12 Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Algebra 12 1.1 Vektorrechnung 12 1.1.1 Grundlagen 12 1.1.2 Lineare Abhängigkeit 18 1.1.3 Vektorräume 22 1.1.4 Dimension und Basis 24 1.2 Matrizen 26 1.2.1 Definition einer

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2014/15 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Grundlegende 2 Grundlegende 3 Aussagenlogik 4 Lineare Algebra

Mehr

Wirtschaftsmathematik-Klausur vom 03.07.2014 und Finanzmathematik-Klausur vom 11.07.2014 und

Wirtschaftsmathematik-Klausur vom 03.07.2014 und Finanzmathematik-Klausur vom 11.07.2014 und Wirtschaftsmathematik-Klausur vom 03.07.2014 und Finanzmathematik-Klausur vom 11.07.2014 und Bearbeitungszeit: W-Mathe 60 Minuten, F-Mathe 45 Minuten Aufgabe 1 a) Gegeben ist das folgende Gleichungssystem:

Mehr

Modulabschlussklausur Analysis II

Modulabschlussklausur Analysis II Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen

Mehr

Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben.

Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben. Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur für alle gemeldeten Fachrichtungen außer Immobilientechnik und Immobilienwirtschaft am 9..9, 9... Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht

Mehr

4.7 Der Taylorsche Satz

4.7 Der Taylorsche Satz 288 4 Differenziation 4.7 Der Taylorsche Satz Die Differenzierbarkeit, also die Existenz der ersten Ableitung einer Funktion, erlaubt bekanntlich, diese Funktion lokal durch eine affine Funktion näherungsweise

Mehr

Versicherungstechnik

Versicherungstechnik Operations Research und Wirtschaftsinformatik Prof. Dr. P. Recht // Dipl.-Math. Rolf Wendt DOOR Aufgabe 5 Versicherungstechnik Übungsblatt 2 Abgabe bis zum Dienstag, dem 27.0.205 um 0 Uhr im Kasten 9 Die

Mehr

Zusammenfassung Mathematik 2012 Claudia Fabricius

Zusammenfassung Mathematik 2012 Claudia Fabricius Zusammenfassung Mathematik Claudia Fabricius Funktion: Eine Funktion f ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge D genau ein Element y eines Wertebereiches W zu. Polynom: f(x = a n x n + a n- x n-

Mehr

gebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind

gebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind Vorbereitungsaufgaben Mathematik. Bruchrechnung.. Grundlagen: gebrochene Zahl gemeiner Bruch Zähler Nenner Dezimalbruch Ganze, Zehntel Hundertstel Tausendstel Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl

Mehr

Mathematik Übungsblatt - Lösung. b) x=2

Mathematik Übungsblatt - Lösung. b) x=2 Hochschule Regensburg Fakultät Informatik/Mathematik Christoph Böhm Sommersemester 204 Technische Informatik Bachelor IT2 Vorlesung Mathematik 2 Mathematik 2 4. Übungsblatt - Lösung Differentialrechnung

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Übungsaufgaben

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Übungsaufgaben Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Übungsaufgaben an der Fachhochschule Heilbronn im Wintersemester 2002/2003 Dr. Matthias Fischer Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg Lehrstuhl für

Mehr

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt:

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt: Aufgabe 1 1.1. Bestimmung von D max : 1. Bedingung: x >0 ; da ln(x) nur für x > 0 definiert ist. 2. Bedingung: Somit ist die Funktion f a nur für x > 0 definiert und sie besitzt eine Definitionslücke an

Mehr

MATHEMATIK 3 STUNDEN. DATUM: 8. Juni 2009

MATHEMATIK 3 STUNDEN. DATUM: 8. Juni 2009 EUROPÄISCHES ABITUR 2009 MATHEMATIK 3 STUNDEN DATUM: 8. Juni 2009 DAUER DES EXAMENS : 3 Stunden (180 Minuten) ZUGELASSENE HILFSMITTEL : Europäische Formelsammlung Nicht graphischer und nicht programmierbarer

Mehr

Mathematik-Klausur vom 16.4.2004

Mathematik-Klausur vom 16.4.2004 Mathematik-Klausur vom 16..200 Aufgabe 1 Die Wucher-Kredit GmbH verleiht Kapital zu einem nominellen Jahreszinsfuß von 20%, wobei sie die anfallenden Kreditzinsen am Ende eines jeden Vierteljahres der

Mehr

1. Klausur. für bau immo tpbau

1. Klausur. für bau immo tpbau 1. Klausur Höhere Mathematik I/II für bau immo tpbau Wichtige Hinweise Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten. Verlangt und gewertet werden alle 6 Aufgaben. Bei Aufgabe 1 2 sind alle Lösungswege und

Mehr

K2 MATHEMATIK KLAUSUR 2. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) Punkte Notenpunkte

K2 MATHEMATIK KLAUSUR 2. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) Punkte Notenpunkte K2 MATHEMATIK KLAUSUR 2 06.12.2013 Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max 27 15 15 3 60 Punkte Notenpunkte PT 1 2 3 4 5 6 7 8 P. (max 2 3 2 4 5 3 4 4 Punkte WT Ana a b Summe P. (max 8 7

Mehr

e-funktionen f(x) = e x2

e-funktionen f(x) = e x2 e-funktionen f(x) = e x. Smmetrie: Der Graph ist achsensmmetrisch, da f( x) = f(x).. Nullstellen: Bed.: f(x) = 0 Es sind keine Nullstellen vorhanden, da e x stets positiv ist. 3. Extrema: notw. Bed.: f

Mehr

Mathematik-Klausur vom 02.02.2011 und Finanzmathematik-Klausur vom 31.01.2011

Mathematik-Klausur vom 02.02.2011 und Finanzmathematik-Klausur vom 31.01.2011 Mathematik-Klausur vom 02.02.2011 und Finanzmathematik-Klausur vom 31.01.2011 Studiengang BWL DPO 2003: Aufgaben 2,3,4 Dauer der Klausur: 60 Min Studiengang B&FI DPO 2003: Aufgaben 2,3,4 Dauer der Klausur:

Mehr

Mathematik-Klausur vom 28.01.2008

Mathematik-Klausur vom 28.01.2008 Mathematik-Klausur vom 28.01.2008 Studiengang BWL PO 1997: Aufgaben 1,2,3,4 Dauer der Klausur: 90 Min Studiengang B&FI PO 2001: Aufgaben 1,2,3,4 Dauer der Klausur: 90 Min Studiengang BWL PO 2003: Aufgaben

Mehr

Aufgabensammlung zur Vorlesung. Höhere Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

Aufgabensammlung zur Vorlesung. Höhere Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Aufgabensammlung zur Vorlesung Höhere Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Freiberg, den 7. Juni 0 Inhaltsverzeichnis Kapitel. Folgen und Reihen 5. Folgen, Reihen, Grenzwerte 5. Finanzmathematik

Mehr

Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.2 Partielle Differentiation

Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.2 Partielle Differentiation Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.2 Partielle Differentiation www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs2015/other/mathematik2 biol Prof. Dr. Erich Walter

Mehr

Übungsbeispiel 1: Quadratische Modellierung

Übungsbeispiel 1: Quadratische Modellierung Übungsbeispiel 1: Quadratische Modellierung Ein Uhrenhersteller möchte den Preis für sein neues Modell festlegen und führt dazu eine Marktanalyse durch. Das Ergebnis lautet: Bei einem Preis von 60 ist

Mehr

Numerische Ableitung

Numerische Ableitung Numerische Ableitung Die Ableitung kann angenähert werden durch den Differentenquotient: f (x) f(x + h) f(x) h oder f(x + h) f(x h) 2h für h > 0, aber h 0. Beim numerischen Rechnen ist folgendes zu beachten:

Mehr

Elementare Wirtschaftsmathematik

Elementare Wirtschaftsmathematik Rainer Göb Elementare Wirtschaftsmathematik Erster Teil: Funktionen von einer und zwei Veränderlichen Mit 87 Abbildungen Methodica-Verlag Veitshöchheim Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen: Mengen, Tupel, Relationen.

Mehr

Stichpunkte zum Abschnitt Analysis der Höheren Mathematik für Ingenieure I

Stichpunkte zum Abschnitt Analysis der Höheren Mathematik für Ingenieure I Stichpunkte zum Abschnitt Analysis der Höheren Mathematik für Ingenieure I Komplexe Zahlen Definition komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene, algebraische Form, trigonometrische Form, exponentielle

Mehr

Aufgaben zur Übung der Anwendung von GeoGebra

Aufgaben zur Übung der Anwendung von GeoGebra Aufgabe 1 Aufgaben zur Übung der Anwendung von GeoGebra Konstruieren Sie ein Quadrat ABCD mit der Seitenlänge AB = 6,4 cm. Aufgabe 2 Konstruieren Sie ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen AB = c = 6,4 cm,

Mehr

Extrema mit Nebenbedingungen

Extrema mit Nebenbedingungen Extrema mit Nebenbedingungen Gesucht ist das Extremum der Funktion f(x,y) = 5 x y unter der Nebenbedingung g(x,y) = x+y =. 5 y x In diesem einfachen Fall kann die Nebenbedingung nach einer Variablen aufgelöst

Mehr

Kontexte aus den Wirtschaftswissenschaften bei der Zentralmatura AHS

Kontexte aus den Wirtschaftswissenschaften bei der Zentralmatura AHS Kontexte aus den Wirtschaftswissenschaften bei der Zentralmatura AHS http://de.disney.wikia.com/wiki/datei:dagobert-duck.jpg Christian Dorner & Stefan Götz Fakultät für Mathematik Bundesseminar Amstetten:

Mehr

12 M-Gk1/5 Led Übungen zur 1. Klausur 3. September Kurvendiskussion. Im Folgenden sei die Funktion f(x) = 1 6 x3 1 2 x 1 3 gegeben!

12 M-Gk1/5 Led Übungen zur 1. Klausur 3. September Kurvendiskussion. Im Folgenden sei die Funktion f(x) = 1 6 x3 1 2 x 1 3 gegeben! 12 M-Gk1/5 Led Übungen zur 1. Klausur 3. September 2008 1. Kurvendiskussion. Im Folgenden sei die Funktion f(x) = 1 6 x3 1 2 x 1 3 gegeben! a) Untersuche den Graphen von f(x) auf Standardsymmetrien (Punktsymmetrie

Mehr

Vorkurs Mathematik für Wirtschaftsingenieure und Wirtschaftsinformatiker

Vorkurs Mathematik für Wirtschaftsingenieure und Wirtschaftsinformatiker Vorkurs Mathematik für Wirtschaftsingenieure und Wirtschaftsinformatiker Übungsblatt Musterlösung Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Wintersemester 06/7 Aufgabe (Definitionsbereiche) Bestimme

Mehr

4. Klassenarbeit Mathematik

4. Klassenarbeit Mathematik Name: 30. Mai 2007 Klasse 11A 4. Klassenarbeit Mathematik Thema: Differentialrechnung Allgemeine Bearbeitungshinweise: Die Bearbeitung muss von einer geeigneten Dokumentation begleitet werden. Hierzu gehören:

Mehr

Abitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 2002. Gebiet G1 - Analysis

Abitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 2002. Gebiet G1 - Analysis Abitur - Grundkurs Mathematik Sachsen-Anhalt Gebiet G - Analsis Aufgabe.. Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades mit einer Funktionsgleichung der Form f a b c d a,b,c,d, R schneidet die

Mehr

Mathematik-Klausur vom 10. Februar 2003

Mathematik-Klausur vom 10. Februar 2003 Mathematik-Klausur vom 10. Februar 2003 Aufgabe 1 Für eine Hausrenovierung wurde ein Kredit von 25 000 bei einem Zinssatz von,5% (p.a.) aufgenommen. Die Laufzeit soll 30 Jahre betragen. a) Berechnen Sie

Mehr

Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.1 Einführung

Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.1 Einführung Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap 9: Funktionen von mehreren Variablen 91 Einführung wwwmathethzch/education/bachelor/lectures/fs2015/other/mathematik2 biol Prof Dr Erich Walter Farkas http://wwwmathethzch/

Mehr

2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit

2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 2.1) Sei D R. a) x 0 R heißt Häufungspunkt von D, wenn eine Folge x n ) n N existiert mit x n D,x n x 0 und lim n x n = x 0. D sei die Menge der Häufungspunkte von D. b) x 0 D heißt innerer Punkt von D,

Mehr

18 Höhere Ableitungen und Taylorformel

18 Höhere Ableitungen und Taylorformel 8 HÖHERE ABLEITUNGEN UND TAYLORFORMEL 98 8 Höhere Ableitungen und Taylorformel Definition. Sei f : D R eine Funktion, a D. Falls f in einer Umgebung von a (geschnitten mit D) differenzierbar und f in a

Mehr

Fachhochschule Bochum Fachhochschule Münster Fachhochschule Südwestfalen

Fachhochschule Bochum Fachhochschule Münster Fachhochschule Südwestfalen Fachhochschule Bochum Fachhochschule Münster Fachhochschule Südwestfalen Verbundstudiengang Technische Betriebswirtschaft Prof. Dr. rer. nat. habil. J. Resch Teilprüfung: Mathematik 1 (Modul) Termin: Februar

Mehr

10. Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit, Differenzierbarkeit. Der bisher intuitiv verwendete Grenzwertbegriff soll im folgenden präzisiert werden.

10. Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit, Differenzierbarkeit. Der bisher intuitiv verwendete Grenzwertbegriff soll im folgenden präzisiert werden. 49. Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit, Differenzierbarkeit a Grenzwerte von Funktionen Der bisher intuitiv verwendete Grenzwertbegriff soll im folgenden präzisiert werden. Einführende Beispiele: Untersuche

Mehr

Fachhochschule Bochum Fachhochschule Südwestfalen

Fachhochschule Bochum Fachhochschule Südwestfalen Fachhochschule Bochum Fachhochschule Südwestfalen Verbundstudiengang Wirtschaftsingenieurwesen Prof. Dr. rer. nat. habil. J. Resch Prüfung: Mathematik Termin: August 2008 Bearbeitungszeit: 180 Minuten

Mehr

BESONDERE LEISTUNGSFESTSTELLUNG MATHEMATIK

BESONDERE LEISTUNGSFESTSTELLUNG MATHEMATIK BESONDERE LEISTUNGSFESTSTELLUNG 003 MATHEMATIK Arbeitszeit: Hilfsmittel: 150 Minuten 1. Formeln und Tabellen für die Sekundarstufen I und II. Berlin: Paetec, Ges. für Bildung und Technik. Formeln und Tabellen

Mehr

Mathematik-Klausur vom 06.07.2010 und Finanzmathematik-Klausur vom 07.07.2010

Mathematik-Klausur vom 06.07.2010 und Finanzmathematik-Klausur vom 07.07.2010 Mathematik-Klausur vom 06.07.2010 und Finanzmathematik-Klausur vom 07.07.2010 Studiengang BWL DPO 2003: Aufgaben 2,3,4 Dauer der Klausur: 60 Min Studiengang B&FI DPO 2003: Aufgaben 2,3,4 Dauer der Klausur:

Mehr

6.2 Die Regeln von de l Hospital. Ausgangsfrage: Wie berechnet man den Grenzwert. Beispiel: Sei f(x) = x 2 und g(x) = x. Dann gilt. lim.

6.2 Die Regeln von de l Hospital. Ausgangsfrage: Wie berechnet man den Grenzwert. Beispiel: Sei f(x) = x 2 und g(x) = x. Dann gilt. lim. 6.2 Die Regeln von de l Hospital Ausgangsfrage: Wie berechnet man den Grenzwert falls g(x), beide Funktionen gegen Null konvergieren, d.h. = g(x) = 0 beide Funktionen gegen Unendlich konvergieren, d.h.

Mehr

Übungsserie 7: Anwendung der Differentialrechnung

Übungsserie 7: Anwendung der Differentialrechnung HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Wirtschaftsmathematik II Differentialrechnung Mathematik für Wirtschaftsingenieure - Übungsaufgaben Übungsserie 7: Anwendung der Differentialrechnung

Mehr

Mathematik-Klausur vom 05.10.2011 Finanzmathematik-Klausur vom 26.09.2011

Mathematik-Klausur vom 05.10.2011 Finanzmathematik-Klausur vom 26.09.2011 Mathematik-Klausur vom 05.10.2011 Finanzmathematik-Klausur vom 26.09.2011 Studiengang BWL DPO 2003: Aufgaben 2,3,4 Dauer der Klausur: 60 Min Studiengang B&FI DPO 2003: Aufgaben 2,3,4 Dauer der Klausur:

Mehr

Definition: Differenzierbare Funktionen

Definition: Differenzierbare Funktionen Definition: Differenzierbare Funktionen 1/12 Definition. Sei f :]a, b[ R eine Funktion. Sie heißt an der Stelle ξ ]a, b[ differenzierbar, wenn der Grenzwert existiert. f(ξ + h) f(ξ) lim h 0 h = lim x ξ

Mehr

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Informatik Medieninformatik Wirtschaftsinformatik Wirtschaftsingenieurwesen

Mehr

Funktionen lassen sich durch verschiedene Eigenschaften charakterisieren. Man nennt die Untersuchung von Funktionen auch Kurvendiskussion.

Funktionen lassen sich durch verschiedene Eigenschaften charakterisieren. Man nennt die Untersuchung von Funktionen auch Kurvendiskussion. Tutorium Mathe 1 MT I Funktionen: Funktionen lassen sich durch verschiedene Eigenschaften charakterisieren Man nennt die Untersuchung von Funktionen auch Kurvendiskussion 1 Definitionsbereich/Wertebereich

Mehr

Aufgabe des Monats Mai

Aufgabe des Monats Mai Aufgabe des Monats Mai 2013 1 Ein Monopolist produziere mit folgender Kostenfunktion: K(x) = x 3 12x 2 + 60x + 98 und sehe sich der Nachfragefunktion (Preis-Absatz-Funktion) p(x) = 10, 5x + 120 gegenüber.

Mehr

Differentialrechnung

Differentialrechnung Kapitel 6 Differentialrechnung Der Ableitungsbegriff Ableitung elementarer Funktionen und höhere Ableitungen Ableitungstechniken Extrema und Kurvendiskussion Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen

Mehr

3 log. 2 )+log(1/u) g) log(2ux) 1+ a. j) log

3 log. 2 )+log(1/u) g) log(2ux) 1+ a. j) log Logarithmen 1. 5 3 = 125 ist gleichbedeutend mit 5 log(125) = 3. Formen Sie nach diesem Muster um. a) 2 5 = 32 b) 10 4 = 10 000 c) 7 0 = 1 d) 3 2 = 1/9 e) 10 3 = 0.001 f) 5 1/2 = 5 g) 6 log(216) = 3 h)

Mehr

Aufgaben für die 6. Übung zur Vorlesung Mathematik 2 für Informatiker: Analysis Sommersemester 2010

Aufgaben für die 6. Übung zur Vorlesung Mathematik 2 für Informatiker: Analysis Sommersemester 2010 Aufgaben für die 6. Übung zur Vorlesung Mathematik für Informatiker: Analysis Sommersemester 00 6. Wie hat man eine reelle Zahl α > 0 so in a b 3 positive Summanden x, y, z zu zerlegen, damit fx, y x y

Mehr

Übungsaufgaben II zur Klausur 1

Übungsaufgaben II zur Klausur 1 Übungsaufgaben II zur Klausur. Ableitungen 0. Führen Sie für g mit f ( +,9 8 eine vollständige Kurvendiskussion (siehe S. 9f durch. Markieren Sie alle von Ihnen bestimmten Punkte in der abschließenden

Mehr

Corinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13

Corinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13 5. Funktionen 5.1. Begriffe Funktionen sind eindeutige oder eineindeutige Relationen 1. Eindeutige Relationen ordnen jedem -Wert genau einen -Wert zu. Eineindeutige Relationen ordnen jedem -Wert genau

Mehr

Hamburg Mathematik Analysis Übungsaufgabe 5 Erhöhtes Niveau

Hamburg Mathematik Analysis Übungsaufgabe 5 Erhöhtes Niveau Hamburg Mathematik Analysis Übungsaufgabe 5 Erhöhtes Niveau Zitronenpresse Eine Zitronenpresse besteht aus der eigentlichen Presse als Deckel und einem Auffanggefäß. Beides ist in der nebenstehenden Abbildung

Mehr

Grenzkosten. = x. v v

Grenzkosten. = x. v v 1. Was sind Grenzkosten? Was Grenzkosten sind, sollte man aus der bloßen Bezeichnung ableiten können: Eine Grenze wird überschritten, und die Kosten ändern sich. Kosten erändern sich, weil sich eine Größe

Mehr

Mathematik II für Inf und WInf

Mathematik II für Inf und WInf Gruppenübung Mathematik II für Inf und WInf 8. Übung Lösungsvorschlag G 28 (Partiell aber nicht total differenzierbar) Gegeben sei die Funktion f : R 2 R mit f(x, ) := x. Zeige: f ist stetig und partiell

Mehr

Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila

Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila 1.Analysis 1.1 Grundlagen: Ableitung f (u) ist Steigung in Punkt P (u/f(u)) auf K f(x) = a * x r f (x) = a * r * x r-1 Tangentengleichung: y= f (u) * (x-u)

Mehr

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und

Mehr

Exemplar für Prüfer/innen

Exemplar für Prüfer/innen Exemplar für Prüfer/innen Kompensationsprüfung zur standardisierten kompetenzorientierten schriftlichen Reifeprüfung AHS Juni 2015 Mathematik Kompensationsprüfung Angabe für Prüfer/innen Hinweise zur Kompensationsprüfung

Mehr