Sommerschule. Lust auf Mathematik

Transkript

1 Sommerschule Lust auf Mathematik Berliner Netzwerk mathematisch-naturwissenschaftlich profilierter Schulen 2. Juni bis 7. Juni 2013 im Jugendbildungszentrum Blossin e.v. Waldweg Blossin

2 Die Sommerschule Lust auf Mathematik findet bereits zum dreizehnten Mal statt und setzt damit eine sehr fruchtbare Form der Zusammenarbeit zwischen Schule und Hochschule fort. 37 Schülerinnen und Schüler der Klassen 11 und 12 beschäftigen sich in Kleingruppenarbeit intensiv mit einem mathematischen Thema, das Bezug zum Schulstoff hat, aber über dessen Rahmen hinausweist. Sie werden von den Wissenschaftlern zu weitgehend selbstständiger Arbeit angeleitet. In Vorträgen vor dem Plenum stellen die Gruppen ihre Ergebnisse dar. Am Ende der Woche legen sie einen schriftlichen Bericht darüber vor. Die Berichte werden gesammelt, gebunden und allen Teilnehmern übergeben. Am Montagabend wird Prof. Dr. Klaus Altmann (FU Berlin) einen Vortrag zum Thema Tensorprodukte und Geometrie halten. Themen der Gruppenarbeit Gavril Farkas, Angela Ortega (beide HU Berlin) Graphen, Färbungen und algebraische Kurven Andreas Filler (HU Berlin) Kurven Mathematische Beschreibung und Eigenschaften; Visualisierungen und Animationen Barbara Grabowski (HTW des Saarlandes Saarbrücken) Reellwertige Funktionen mehrerer Variabler Jürg Kramer, Anna v. Pippich (beide HU Berlin und Matheon) Darstellungsformen von Zahlen René Lamour, Caren Tischendorf (beide HU Berlin und Matheon) Wir konstruieren eine Wasserrutsche! Jochen Ziegenbalg (Karlsruhe und Berlin) Rund um die Fibonacci-Zahlen Ein geplanter Tagesablauf (Donnerstag) Uhr Frühstück Uhr Arbeit in Gruppen Uhr 1. Präsentation Uhr Mittagessen Uhr Freizeit Uhr Arbeit in Gruppen Uhr 2. Präsentation Uhr Abendessen Uhr 3. Präsentation

3 Anreise: Abreise: , Uhr per Bus ab Bahnhof Königs Wusterhausen, Busschleife östlich der S-Bahnlinie. Schülerinnen und Schüler, die nicht den Bus benutzen möchten, melden dies bitte ihrem Lehrer , ca Uhr per Bus ab Blossin nach Bahnhof Königs Wusterhausen Weitere Informationen und Hinweise Am Dienstag, dem , findet von 14 bis 17 Uhr die traditionelle Wasserwanderung mit Kanadiern statt. Gegen 19 Uhr treffen sich alle beim Grillabend. An diesem Tag gibt es kein Abendbrot in der Mensa. Die Unterbringung erfolgt in der Regel in Drei- oder Vierbettzimmern. Bettwäsche und Handtücher brauchen nicht mitgebracht zu werden. Badetücher für den Strand sind sinnvoll. Vor Ort können Sportgeräte ausgeliehen werden. Jeder mitgebrachte eigene Laptop erleichtert die Arbeit enorm, da dann gleichzeitig mehrere Personen am Bericht arbeiten können. Bevorzugtes Textverarbeitungssystem ist LaTeX. Diese Sommerschule wird gefördert vom DFG-Forschungszentrum Matheon.

4 Kurzinformationen zu den Themen der Gruppenarbeit Graphen, Färbungen und algebraische Kurven Betrachten wir die folgenden Aussagen: 1. Ist man zu einer Party eingeladen, wo beliebige zwei Gäste genau einen gemeinsamen Freund haben, dann gibt es einen Gast, der mit allen anderen Leuten befreundet ist. 2. In einer beliebigen aus sechs Leuten bestehenden Gruppe gibt es zumindest drei, die sich entweder alle kennen oder sich nicht kennen. Obwohl diese Aussagen nicht besonders mathematisch aussehen, eignen sie sich zur Veranschaulichung grundlegender Konzepte und bekannter Probleme aus der Graphentheorie. Wir haben vor, die Grundsätze der Graphentheorie zu erklären und eine Einführung in die Ramseytheorie zu bieten. Weil Graphen in der diskreten Mathematik die gleiche Rolle wie die algebraischen Kurven (Riemannsche Flächen) in der algebraischen Geometrie spielen, bieten sie auch einen direkten Zugang zu Grundbegriffen der algebraischen Geometrie (Divisoren, lineare Systeme, Satz von Riemann-Roch). Der Zusammenhang zwischen Graphen und Kurven wird durch viele Beispiele verständlich gemacht. Kurven Mathematische Beschreibung und Eigenschaften; Visualisierungen und Animationen Kurven sind schön und ihre Eigenschaften sind mathematisch interessant. Durch Parameterdarstellungen lassen sich interessante Kurven und Flächen beschreiben. Deren grafische Darstellung fördert vielfältige Formen zutage. Wird in Parameterdarstellungen von Kurven der Parameter als Zeit interpretiert, so ergibt sich zudem die Möglichkeit, Animationen zu erstellen. Ausgehend von Kreisen werden in der Gruppe verschiedene Kurven durch Parameterdarstellungen beschrieben. Sie entstehen teilweise durch Variationen von Parameterdarstellungen anderer Kurven und teilweise durch die mathematische Beschreibung von Bewegungsvorgängen. Auch andere physikalische Überlegungen führen zu interessanten Kurven, zum Beispiel zu der Kettenlinie.

5 Neben visuellen und anwendungsorientierten Zugängen erfolgt eine Untersuchung von Kurveneigenschaften wie Bogenlängen, Bahngeschwindigkeiten sowie Krümmungen mit den Mitteln der Differentialrechnung, womit Ansätze der Differentialgeometrie thematisiert werden. Reellwertige Funktionen mehrerer Variabler In der Schule haben Sie sich ausführlich mit Funktionen einer Variablen y = f(x) befasst. Bei den meisten praktischen Problemen der realen Welt treten aber Funktionen mehrerer Variabler auf. Wir beschäftigen uns mit reellwertigen (skalaren) Funktionen mehrerer Variabler. Beispiele sind: - die Höhe einer gekrümmten Fläche als Funktion z = f(x, y) der Längen- und Breitenkoordinate, - die Temperatur an einem Raumpunkt als Funktion T = f(x, y, z, t) der drei Raumkoordinaten und der Zeit, - der Gewinn eines Unternehmens als Funktion G = f(e 1, e 2,..., e m, k 1,..., k n ) der Einnahmen für seine m Produkte und der Kosten seiner n Kostenstellen. Wir erarbeiten uns Grundkenntnisse der Differential- und Integralrechnung für solche Funktionen und wenden sie auf praktische Beispiele an. Nach Abschluss der Woche werden Sie wissen:

6 1)... wie man reellwertige Funktionen in mehreren Veränderlichen definiert und wie man sie anschaulich darstellt. 2)... wie man ihre Extremwerte findet. Bei welcher Einstellung von Produktionsparametern ist z.b. die Produktionsrate am höchsten? Wie passe ich beobachtete Messdaten optimal durch ein geeignetes Modell an? In welcher Richtung, ausgehend von einem gegebenen Punkt, nimmt der Funktionswert am stärksten ab? Wir benutzen dazu die Begriffe partielle Ableitungen, Richtungsableitung, totales Differential und Gradient einer Funktion mehrerer Variabler. 3)... wie man optimiert und dabei Nebenbedingungen einhält. Wie sind z.b. die drei Seitenlängen eines Quaders zu wählen, damit genau ein Liter hineinpasst, der Materialverbrauch aber minimal ist? 4)... wie man eine Funktion in zwei Variablen integriert. Besonders interessant ist der Fall, wenn der Integrationsbereich krummlinige Grenzen hat. Wir lösen derartige Fälle mit Hilfe einer Koordinatentransformation und des Integraltransformationssatzes. Ein besonderer Fokus wird dabei auf der Veranschaulichung der genannten Begriffe für Funktionen in zwei Variablen liegen. Darstellungsformen von Zahlen Seitdem Menschen zählen, sind die unterschiedlichsten Zahlsysteme zur Darstellung von Zahlen entstanden. Die uns heute vertraute Darstellung ist die Dezimaldarstellung. In unserem Alltag begegnen uns jedoch auch andere Darstellungen, wie beispielsweise die Binärdarstellung in unseren Rechnern, d.h. die Darstellung einer Zahl zur Basis 2. Neben den vielen Vorteilen der Dezimaldarstellung hat diese auch Nachteile. Zum Beispiel können rationale Zahlen sowohl abbrechende als auch periodische Dezimalbruchentwicklungen besitzen. Außerdem gibt es Darstellungsformen, die irrationale Zahlen wesentlich effektiver approximieren als die Dezimaldarstellung. Die sogenannten Kettenbrüche liefern eine Darstellungsform reeller Zahlen, mit der die oben genannten Nachteile des Dezimalsystems behoben werden. Ist a eine reelle Zahl, so ist der Kettenbruch zu a gegeben durch a = a 0 + a a a mit einer ganzen Zahl a 0 und natürlichen Zahlen a 1, a 2, a 3,...; wir schreiben dafür kurz [a 0 ; a 1, a 2, a 3,...]. Wir werden sehen, dass die rationalen Zahlen genau durch die abbrechenden Kettenbrüche charakterisiert werden. Desweitern werden wir beweisen, dass irrationale Zahlen durch Kettenbrüche optimal approximiert werden. Interessant ist jetzt die Frage nach den irrationalen Zahlen, welche durch periodische Kettenbrüche dargestellt werden. Das einfachste Beispiel ist der Kettenbruch [1; 1, 1, 1,...]; es

7 zeigt sich, dass dieser Kettenbruch die quadratische Irrationalität ω = (1 + 5)/2 darstellt. Allgemeiner werden wir zeigen, dass die periodischen Kettenbrüche genau den Lösungen quadratischer Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten entsprechen. Da die aus dem Goldenen Schnitt hervorgehende Zahl ω in mannigfacher Weise in der Natur in Erscheinung tritt, ist es nicht überraschend, aber ebenso faszinierend, dass wir periodische Kettenbrüche in anderen Bereichen der Mathematik und der Natur vorfinden. Wir konstruieren eine Wasserrutsche! Wie konstruiert man eine Rutsche über zwei Findlinge hinweg, so dass die Kinder Spaß haben und sich dabei nicht verletzen? Wir suchen eine geeignete Funktion, die durch gegebene Punkte im Raum verläuft. Diese Aufgabe nennt man Interpolation. Wir untersuchen verschiedene Arten von Interpolation, lernen Wege zur Berechnung solcher Funktionen kennen und programmieren die entwickelten Algorithmen. Am Ende testen wir, welche Lösungen am besten für unsere Rutsche geeignet sind (Badezeug nicht vergessen). Rund um die Fibonacci-Zahlen Leonardo von Pisa ( ), genannt Fibonacci (kurz für filius Bonacci, Sohn des Bonacci), einer der größten europäischen Mathematiker des Mittelalters, stellte in seinem berühmten Buch Liber Abaci (das Buch vom Abakus gemeint ist das Buch vom Rechnen mit den indischen Zahlen ) im Jahre 1202 eine Aufgabe zur Kaninchenvermehrung vor, deren Lösung zu der inzwischen als Fibonacci-Zahlen bezeichneten Zahlenfolge

8 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... führte. Die Fibonacci-Zahlen gaben über die Jahrhunderte hinweg Anlass für vielfältige mathematische Untersuchungen. Es dauerte mehrere Jahrhunderte, bis neben der offensichtlichen rekursiven auch eine nicht-rekursive ( explizite ) geschlossene Formel für diese Zahlenfolge gefunden wurde. Sie wird heute als Binet sche Formel bezeichnet (Jacques Philippe Marie Binet, ), obwohl auch bereits Abraham de Moivre ( ), Leonhard Euler ( ) und Daniel Bernoulli ( ) Kenntnis davon hatten. Die Fibonacci-Zahlen stehen im Zentrum eines engen Beziehungsgeflechts mit anderen mathematischen wie nichtmathematischen Themen (goldener Schnitt, Euklidischer Algorithmus, Kettenbrüche, exponentielles Wachstum, erzeugende Funktionen, Phyllotaxis,...). Sie erfüllen eine Vielzahl von rekursiven und nichtrekursiven Gleichungen, von denen eine zu interessanten optischen Täuschungen führt. Die Fibonacci- Zahlen geben darüber hinaus Anlass zu vielfältigen geometrischen Veranschaulichungen und können als ein Ausgangspunkt für die Theorie der linearen Differenzengleichungen und ihrer Lösungen angesehen werden. In der Arbeitsgruppe soll eine Auswahl dieser Aspekte bearbeitet und dargestellt werden. Kontakt: Humboldt-Universität zu Berlin Unter den Linden Berlin Prof. Dr. Jürg Kramer Tel.: Fax: kramer@math.hu-berlin.de Dr. Elke Warmuth Tel.: Fax: warmuth@math.hu-berlin.de Jugendbildungszentrum Blossin e.v. Waldweg Blossin Tel.: Fax: info@blossin.de Internet: