Plädoyer für das harmonische Mittel

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1 Bulleti Plädoyer für das harmoishe Mittel Beat Jaggi, Eileitug Das Bilde vo Mittelwerte ist ei zetrales Kozept i der Mathematik (siehe z.b. [], [], [7] oder [8]). Im Mathematikuterriht wird vorwieged das arithmetishe, gelegetlih das geometrishe Mittel thematisiert. Das ist verstädlih, ist das arithmetishe Mittel doh immerhi eies der wihtige Lagemasse i der beshreibede Statistik: x x + x + + x Mit dem geometrishe Mittel geligt uter aderem die Quadratur des Rehteks : Soll ei gegebees Rehtek i ei flähegleihes Quadrat verwadelt werde, da ist die Seite des gesuhte Quadrates gleih dem geometrishe Mittel vo Läge ud Breite des vorgegebee Rehteks. Das harmoishe Mittel Höhesatz: h a b ) h p a b Im Folgede soll das harmoishe Mittel im Zetrum der Betrahtuge stehe. Es zeigt sih, dass dieser Mittelwert i überrashed viele vershiedee mathematishe ud aussermathematishe Kotexte auftauht. Das harmoishe Mittel vo zwei Zahle Für zwei reelle Zahle a 6 0udb 6 0mita + b 6 0istdasharmoisheMittelH(a, b) defiiert durh H(a, b) ab a + b a + b Beispiel: Das harmoishe Mittel vo ud 3 ist H(, 3) Das harmoishe Mittel hägt mit dem arithmetishe Mittel zusamme: H(a, b) a + b Javier 03 Numéro 3

2 vsmp sspmp ssimf Der Kehrwert des harmoishe Mittels zweier Zahle a ud b ist gleih dem arithmetishe Mittel der Kehrwerte vo a ud b. Das harmoishes Mittel vo Zahle Sei. Für positive reelle Zahle a, a,...,a defiiere wir H(a,a,...,a ) a + a + + a 3 Das harmoishe Mittel i aussermathematishe Kotexte Es folgt eie (siher iht abshliessede) Liste vo Theme, bei dee das harmoishe Mittel vorkommt. 3. Die Lisegleihug Eie Lise bildet eie Gegestad der Läge u auf das Bild der Läge v ab. Für die Breweite f,diegegestadsweiteg ud die Bildweite b gilt die Lisegleihug f g + b ) f gb g + b H(g, b) Die Breweite f ist also gleih der Hälfte des harmoishe Mittels der Gegestadsweite g ud der Bildweite b. (siehe z.b. [6]) Begrüdug: Mit obige Bezeihuge ud de Stahlesätze gilt: g+b b g b +. g f u+v v Aus g f g b +folgtsofort(divisiomitg): f b + g. Also ist tatsählih f b + g gb g+b H(g, b). 3. Parallelshaltug vo Widerstäde i elektrishe Shaltkreise 4 Nummer Jauar 03

3 Bulleti Bei der Parallelshaltug der Widerstäde R ud R i eiem elektrishe Shaltkreis gilt: Der Gesamtwiderstad R ist die Hälfte des harmoishe Mittels der Widerstäde R ud R. R R + R R R R + R H(R,R ). Begrüdug: Der Gesamtstrom I ergibt sih aus der Summe der Eizelströme, die durh die eizele Widerstäde fliesse. Da folgt mit dem Ohm she Gesetz: U R I I + I U R + U R ) R R + R ) R R +. R. Begrüdug: Ma verashauliht sih diese Zusammehag a der Parallelshaltug zweier Widerstäde, die sih ur i ihrer Quershittsflähe A utersheide. Dabei ist R A l der spezifishe Widerstad, der vom Material der Widerstäde abhägt. R l A +A ud daher R A + A l A l + A l R + R Also ist tatsählih R + R R R R R +R H(R,R ) (siehe z.b. [6]) Verallgemeierug: Bei der Parallelshaltug der Widerstäde R, R,..., R i eiem elektrishe Shaltkreis gilt: Der Gesamtwiderstad R ist gleih mal das harmoishe Mittel der Widerstäde R, R,..., R. R R + R + + H(R,R,...,R ) R 3.3 Serieshaltug vo Kodesatore i elektrishe Shaltkreise Javier 03 Numéro 5

4 vsmp sspmp ssimf Bei der Serieshaltug vo zwei Kodesatore mit de Kapazitäte C ud C i eiem elektrishe Shaltkreis gilt: Die Gesamtkapazität C ist gleih der Hälfte des harmoishe Mittels der Kapazitäte C ud C. (siehe z.b. [6]) C C + C C C C + C H(C,C ) Begrüdug: Die Kapzität C ist gegebe durh C Q U, also ist U Q C. Bei Serieshaltug ist die Gesamtspaug gleih der Summe der Teilspauge a de beide Kodesatore; also wird: Q C U U + U Q C + Q C ) C C + C Verallgemeierug: Bei der Serieshaltug vo Kodesatore mit de Kapazitäte C, C,..., C i eiem elektrishe Shaltkreis gilt: Die Gesamtkapazität C ist gleih mal das harmoishe Mittel der Kapazitäte C, C,..., C. C C + C + + H(C,C,...,C ) C 3.4 Durhshittsgeshwidigkeit Ei Zug fährt mit eier Durhshittsgeshwidigkeit v vo A ah B ud mit eier Durhshittsgeshwidigkeit v zurük vo B ah A. Da ist die Durhshittsgeshwidigkeit für beide Streke gleih dem harmoishe Mittel vo v ud v. v v v v + v H(v,v ) Begrüdug: Die Läge der Streke vo A ah B sei x. Da brauht der Zug für die Hifahrt t x v,für die Rükfahrt t x v. Die Durhshittsgeshwidigkeit für Hi- ud Rükfahrt beträgt also v s total t total x x v + x v v + v v v v + v H(v,v ) Verallgemeierug: Werde gleih lage Streke mit de Geshwidigkeite v, v,..., v durhlaufe, da ist die Durhshittsgeshwidigkeit gleih dem harmoishe Mittel vo v, v,..., v. v v + v + + H(v,v,...,v ) v 6 Nummer Jauar 03

5 Bulleti 3.5 Gefässe fülle Rohr fülle ei Gefäss i der Zeit t,rohrfülle das gleihe Gefäss i der Zeit t.da fülle die beide Rohre das Gefäss zusamme i der Zeit t t t t + t H(t,t ) Begrüdug: Ist V das Volume des Gefässes, da gilt: V t + V t V t also t t + t t t t + t Verallgemeierug: Rohr fülle ei Gefäss i der Zeit t,rohriderzeitt,..., Rohr i der Zeit t.dafülle alle Rohre zusamme das Gefäss i der Zeit 3.6 Beziverbrauh vo Autos t t + t + + H(t,t,...,t ) t Um de Beziverbrauh vo Autos zu messe oder zu vergleihe, werde ormalerweise zwei Masse verwedet: I Europa Liter pro 00 Kilometer ud i de USA Meile pro Galloe. Die Eiheite der beide Masse sid i gewisser Weise ivers zueiader, eimal Volume/Distaz ud eimal Distaz/Volume. Seie x,x,...,x Verbräuhe i Liter pro 00 km ud y,y,...y die etsprehede Verbräuhe i Meile pro Galloe. Da gilt A(x,x,...,x )H(y,y,...,y ) H(x,x,...,x )A(y,y,...,y ) Rehet ma das arithmetishe Mittel vo Verbräuhe i Liter pro 00 km um, da bekommt ma gerade das harmoishe Mittel der Verbräuhe i Meile pro Galloe. Rehet ma das harmoishe Mittel vo Verbräuhe i Liter pro 00 km um, da bekommt ma gerade das arithmetishe Mittel der Verbräuhe i Meile pro Galloe. Begrüdug: Mit de Umrehuge Galloe Liter ud Meile Kilometer ist x Liter auf 00 Kilometer x Liter auf Meile x Galloe auf Meile x 35. x Meile pro Galloe. Die Umrehug vo Liter pro 00 km i Meile pro Galloe geshieht also mit eier Fuktio der Form f(x) x.diebehauptugfolgtumitdeüberleguge vo Abshitt 4.6. Javier 03 Numéro 7

6 vsmp sspmp ssimf 3.7 Musik We zwei Saite im Abstad eier Oktave klige, muss bekatlih die Frequez der zweite Saite doppelt so hoh, die shwigede Saite also halb so lag sei. Das harmoishe Mittel vo ud ist + 3 ;dieseseiteläge erzeugt die Quite. Dass dieses Itervall harmoish zwishe Grudto ud Oktave liegt, das war sho Pythagoras bekat. Das harmoishe Mittel vo ud 3 grosse Terz. Siehe z.b. [4] ist ;dieseseiteläge erzeugt die 3.8 Weitere Beispiele. F ist i der Statistik ei Mass für die Zuverlässigkeit eies Testes. Dabei ist p (Präzisio) die Zahl der korrekte Resultate geteilt durh die Zahl aller erhaltee Resultate ud r ist die Zahl der korrekte Resultate geteilt duh die Zahl der Resultate, die ma eigetlih hätte erhalte solle. Es ist F pr H(p, r) p + r. I der Festkörperphysik wird für die Netzug vo orgaishe Flüssigkeite ud Wasser auf polymere Werkstüke die Grezfläheeergie mit dem harmoishe Mittel berehet. 3. Zum Shluss oh eie Awedug im Baseball, ohe Übersetzug ud ohe Kommetar: I sabermetris, the Power-speed umber of a player is the harmoi mea of his home ru ad stole base totals. Quelle (Abruf: Mai 0): Nummer Jauar 03

7 Bulleti 4 Das harmoishe Mittel i iermathematishe Kotexte 4. Perspektivishe Asiht eies Rehteks Shaut ma sih im Fersehe ei Teisspiel a, da sieht ma das rehtekige Spielfeld als Trapez. Das Netz teilt de Teisplatz i zwei gleihe Hälfte. Die Netzuterkate geht dabei durh de Shittpukt der beide Diagoale des Trapezes (resp. des Rehteks). Behauptug: Wird ei Trapez mit de parallele Seite a ud so geteilt, dass die Mittelliie durh de Diagoaleshittpukt geht, da ist die Läge der Treliie gleih dem harmoishe Mittel vo a ud. Beweis: Mit de Bezeihuge vo obe ud de Strahlesätze gilt: m e + f e + f e + a Also ist m ud folglih m. Aus der erste Gleihug folgt: m + a a + a ud g + h + h g g + a ) a m(a + ) ) m a a + Die gesuhte Läge hägt also ur vo a ud ab ud beträgt m + a H(a, ) a + 4. Harmoishe Teilug Eie Streke AB wird duh die Pukte T i (zwishe A ud B) udt a (ausserhalb vo AB) harmoish geteilt, we gilt: AT i BT i AT a BT a Behauptug: Ist die Streke AB durh T i ud T a harmoish geteilt, da ist die Streke T i T a das harmoishe Mittel der Streke AT a ud BT a. T i T a AT a BT a AT a + BT a H(AT a, BT a ) Javier 03 Numéro 9

8 vsmp sspmp ssimf Beweis: Nebe AT i BT i Also ist Daraus ergibt sih ATa BT a gilt auh AT i AT a T i T a ud BT i T i T a BT a. AT a T i T a T i T a AT a BT a BT a T i T a AT a BT a AT a + BT a H(AT a, BT a ) 4.3 Approximatio vo Quadratwurzel Für das Berehe oder Approximiere vo Quadratwurzel gibt es eie wohlbekate Algorithmus, der oft Hero zugeshriebe wird: p a sei eie irratioale Zahl ud sei eie erste grobe Näherug. Da ist auh a eie Näherug vo p a,weilja a p a p a gilt. Es ist bekat, dass da + ud auh a bessere Näheruge vo p a sid. Zudem wird a a H(, ) So ist also die Näherug das arithmetishe Mittel der beide Näheruge ud ud ist das harmoishe Mittel vo ud. Aders ausgedrükt: Aus eier vorgegebee Eishahtelug apple p a apple bekommt ma mit H(, ) apple p a applea(, ) eie bessere Eishahtelug. Wiederhole des Prozesses liefert eie Itervallshahtelug für p a, die sehr shell kovergiert. (siehe z.b. [3]) 4.4 Die Höhe i eiem rehtwiklige Dreiek Behauptug: I eiem rehtwiklige Dreiek ist das Quadrat der Höhe auf der Hypoteuse gleih der Hälfte des harmoishe Mittels der Kathetequadrate. h a b a +b H(a,b ) 0 Nummer Jauar 03

9 Bulleti Beweis: Die Flähe F des rehtwikige Dreieks lässt sih auf zwei veshiedee Arte berehe: F h a b h a b h a b h a b a b a + b H(a,b ) 4.5 Die Höhe i eiem Dreiek Behauptug: I eiem beliebige Dreiek ist das Verhältis eier Höhe h zur Seite, auf der h sekreht steht, gleih der Hälfte des harmoishe Mittels der Tageswerte der a die Seite agrezede Wikel. h ta ta ta + ta H(ta, ta ) Beweis: Es gilt: h u u + v h ta + ta ta ud h v h ta + h ta h ta, also ta + ta ud daraus ta ta ta +ta H(ta, ta ) 4.6 Die Fuktio f(x) x Behauptuge: Die Fuktio f(x) x ordet dem arithmetishe Mittel vo Argumete das harmoishe Mittel der etsprehede Fuktioswerte zu ud dem harmoishe Mittel vo Argumete das arithmetishe Mittel der etsprehede Fuktioswerte. Javier 03 Numéro

10 vsmp sspmp ssimf Beweise: x + x + + x f x +x + +x x + x + + x x + x + + x H(f(x ),f(x ),...,f(x )) x +x + +x f(x ) + f(x ) + + f(x ) Aalog rehet ma f! x + x + + A(f(x ),f(x ),...,f(x )) ah. x 4.7 Die mittlere Krümmug eier reguläre Flähe im Raum Zum Abshluss oh ei Beispiel aus der höhere Mathematik: Sid k ud k die Hauptkrümmuge i eiem Pukt P eier reguläre Flähe F i R 3, so wird h k +k als mittlere Krümmug bezeihet. Sid u r ud r die Radie, die de Hauptkrümmuge etsprehe (also r k resp. r k ), so wird h + ) r r h H(r,r ) 5 Fazit Das harmoishe Mittel brauht sih wahrlih iht hiter dem arithmetishe oder dem geometrishe Mittel zu versteke! Durh de wohlbekate Zusammehag zwishe Mittelwerte ud Zahlefolge loht sih auh eie ähere Betrahtug vo harmoishe Zahlefolge (siehe [5]). Literatur [] Hirsher, Horst, Viertaused Jahre Mittelwertbildug, Ui Saarbrüke, 003 [] Hirsher, Horst, Mittebildug als fudametale Idee, DerMathematikuterriht 5/004, Seite 4-3 [3] Hirsher, Horst, Mittelwertfolge - oder: Mitte imitte vo Mitte, DerMathematikuterriht 5/004, Seite 4-54 [4] Hirsher-Buhrmester, M., Mittelwerte ud Mitte i der Musik, DerMathematikuterriht 5/004, Seite 4-7 [5] Jaggi, Beat, Mittelwerte ud Zahlefolge, ersheit0 [6] Lambert, A. ud Peters, U., Mittelwerte ud Mitte i Geometrie ud Physik, Der Mathematikuterriht 5/004, Seite 30-4 [7] Witer, H., Mittelwerte - eie grudlegede mathematishe Idee, aus dem Themeheft Mittelwerte i mathematik lehre, 985, Heft 8 [8] Witer, H. (Hrsg.), Themeheft Mittelwerte, aus mathematik lehre, 985, Heft 8 Nummer Jauar 03

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