Stationenlernen Raumgeometrie

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1 Lösung zu Station 1 a) Beantwortet die folgenden Fragen. Begründet jeweils eure Antwort. Frage 1: Hat jede Pyramide ebenso viele Ecken wie Flächen? Antwort: Ja Begründung: Eine Pyramide mit einer n-eckigen Grundfläche hat n 1 Ecken (die n Ecken der Grundfläche und die Spitze der Pyramide). Die n-eckige Grundfläche hat n Seitenkanten. Jede dieser Seitenkanten ist Grundlinie einer dreieckigen Seitenfläche der Pyramide. Die Pyramide hat also n Seitenflächen und die Grundfläche, insgesamt also n 1 Flächen. Damit stimmt die Anzahl der Ecken mit der Anzahl der Flächen überein. Frage 2: Gibt es ein Prisma mit 28 Kanten? Antwort: Nein Begründung: Grund- und Deckfläche eines Prismas sind kongruente Vielecke, haben also gleich viele Kanten. Die Grundfläche besitzt ebenso viele Ecken wie Kanten; von jeder dieser Ecken geht eine Seitenkante des Prismas aus. Die Gesamtzahl der Kanten ist also dreimal so groß wie die Anzahl der Kanten der Grundfläche und muss folglich durch drei teilbar sein. Die Zahl 28 ist nicht durch drei teilbar. Frage : Wie verändert sich das Volumen einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche, wenn man die Länge jeder ihrer Grundkanten halbiert und ihre Höhe verdoppelt? Antwort: Das Volumen der Pyramide halbiert sich. Begründung: Mit den Bezeichnungen s 1: Länge der Grundkante der ursprünglichen Pyramide h 1: Höhe der ursprünglichen Pyramide s 2 : Länge der Grundkante der veränderten Pyramide h 2 : Höhe der veränderten Pyramide gilt für die Volumina der ursprünglichen und der veränderten Pyramide: 1 2 ursprünglich verändert 2 2 V s h, V s h Mit s 1 2 s1 und h2 2h1 ergibt sich: verändert ursprünglich V s 2h 2 s h V

2 Lösung zu Station 2 a) 1 2 V x x x V x x b) Wertetabelle (Werte teilweise gerundet): x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 V1 x 4 4,6 5,25 6,1 7 8,1 9,25 V2 x 0 0,1 0,5 1,7 4 7,8 1,5 c) x 2,5 d) Probieren mithilfe des Taschenrechners liefert x 2,55.

3 Lösung zu Station 4 a) Um den Messbecher herstellen zu können, müssen seine Maße ermittelt werden. Bestimmung des Volumens V der 500 g Reis Mithilfe des Kaffeebechers ergibt sich: V 600cm (Hinweis: Der Wert hängt von der verwendeten Reissorte ab.) Bestimmung des Radius r der kreisförmigen Grundfläche des Kegels Es muss gelten: 1 2 V r π h V 600 cm Damit: r 6,2cm π h π 15 cm r (Hinweis: Die negative Lösung der Gleichung hat im Sachzusammenhang keine Bedeutung.) Bestimmung der Länge m der Mantellinie des Kegels m r h m r h 6,2cm 15cm 16,2cm h m (Hinweis: Die negative Lösung der Gleichung hat im Sachzusammenhang keine Bedeutung.) Bestimmung des Öffnungswinkels φ der ausgebreiteten Mantelfläche des Kegels φ 2 r π r 60 2 m π m r 6,2cm φ m 16,2cm b) 500 g Reis haben ein Volumen von etwa 600cm. 100 g Reis haben also ein Volumen von etwa 120cm, das mithilfe des Kaffeebechers abgemessen werden kann. Schüttet man 100 g Reis in den Messkegel und verteilt den Reis so, dass eine möglichst ebene, kreisförmige Oberfläche besteht, so kann die zu dieser Masse gehörende Linie eingezeichnet werden. Entsprechend lassen sich auch die weiteren Linien einzeichnen. Bei überlegtem Vorgehen müssen nur zwei Messungen durchgeführt werden. Misst man von der Kegelspitze aus entlang der Mantellinie des Kegels, so ergibt sich für die Linien: 100 g 9,5 cm, 200 g 12,0 cm, 00 g 1,7 cm, 400 g 15,1 cm.

4 Lösung zu Station 5 a) Die Maße des Wasserturms lassen sich beispielsweise mithilfe der Person abschätzen, die vor dem Turm abgebildet ist, indem man davon ausgeht, dass diese etwa 1,8 m groß ist. So ergeben sich für den mittleren Durchmesser des Turms etwa 8 m, für die Höhe des Turms (ohne Dach) etwa 0 m. Damit ergibt sich als Näherungswert für das Volumen des Turms: 2 4m π 0m 1500m b) Das Volumen des Wasserbehälters ist deutlich kleiner als das Volumen des Turms. Damit das gespeicherte Wasser auch mithilfe der Schwerkraft zur Klinik gelangen kann, befindet sich der Wasserbehälter im oberen Teil des Turms zwischen Dach und Balkon. Die Höhe des Behälters kann mit etwa 4,5 m, der Durchmesser mit etwa 8,5 m abgeschätzt werden. Damit ergibt sich als Näherungswert für das Volumen des Wasserbehälters: 2 4,25m π 4,5m 260m Hinweis: Aufgrund der Perspektive ist die Höhe des Turms in der Abbildung verkürzt dargestellt. Um die geforderten Abschätzungen mit angemessener Genauigkeit durchführen zu können, ist eine Berücksichtigung dieser verkürzten Darstellung jedoch nicht nötig.

5 Lösung zu Station 6 a) Um ein Modell des Dachs herstellen zu können, müssen die Maße der Dachflächen ermittelt werden. Bestimmung der Höhe h des Firsts über der Bodenfläche des Dachs h tan6 h tan6 4,15m,0m 4,15m Bestimmung der Höhe h T der trapezförmigen Dachflächen 4,15m 4,15m cos6 ht 5,1m h cos6 Bestimmung der Länge f des Firsts T h h tan50 a 2,5m a tan50 Damit: f 12,4m 2 2,5m 7,4m Bestimmung der Höhe h D der dreieckigen Dachflächen h h,0m sin50 hd,9m h sin50 sin50 D b) Das gesamte Volumen V des Modells setzt sich aus dem Volumen eines Prismas und den übereinstimmenden Volumina zweier Pyramiden zusammen. Damit: V 7, 4cm 8,cm,0cm 2 2,5cm 8,cm,0cm 1,6cm Da sich die Längen aufgrund des angegebenen Maßstabs wie 1:100 verhalten, müssen sich die Volumina wie :100 1: verhalten. Das Volumen des Modells passt also näherungsweise eine Million Mal in das Volumen des realen Dachs.

6 Lösung zu Station 7 Beispiel 1 für eine Abschätzung Das spiralförmig gewickelte Schiffstau bildet einen Zylinder, dessen Höhe mit dem Durchmesser des Taus übereinstimmt. Die Spirale besteht aus etwa 0 Wicklungen, ihr Radius beträgt also etwa 1,2 m. Das Volumen des Zylinders beträgt damit etwa 2 120cm π 4cm cm. Damit ergibt sich als Näherungswert für die Masse des Schiffstaus: g cm 2 60kg cm Beispiel 2 für eine Abschätzung Die Spirale besteht aus etwa 0 Wicklungen, ihr Radius beträgt also etwa 1,20 m. Der mittlere Radius der Wicklungen beträgt damit etwa 60 cm. Da der Umfang der Wicklungen direkt proportional zu ihrem Radius ist, ist der mittlere Umfang der Wicklungen 2 60cm π 80cm. Die Gesamtlänge des Taus beträgt also etwa 0 80cm 11400cm, sein Volumen etwa 11400cm 2cm π cm. 2 Damit ergibt sich als Näherungswert für die Masse des Schiffstaus: g cm 2 280kg cm

7 Lösung zu Station 8 a) Entscheidet für jede der folgenden Aussagen, ob sie wahr oder falsch ist. Notiert bei jeder falschen Aussage im Heft eine Begründung eurer Entscheidung. Hat ein Prisma zwölf Ecken, so besteht seine Oberfläche aus acht Vielecken. Hat ein Prisma 2n Ecken (n IN \ {1;2} ), so besteht seine Oberfläche aus genau n Rechtecken. wahr falsch Begründung: Für n 4 hat das Prisma acht Ecken. Grund- und Deckfläche haben also jeweils vier Ecken und können damit Rechtecke sein. Es gibt Prismen mit 20 Flächen und 6 Kanten. Begründung: Ein Prisma mit 20 Flächen hat 18 Seitenflächen, eine 18-eckige Grundfläche und eine 18-eckige Deckfläche. Grund- und Deckfläche haben jeweils 18 Kanten; dazu kommen 18 Seitenkanten. Das Prisma hat also insgesamt 54 Kanten. Verdoppelt man die Höhe eines Prismas und behält die Grundfläche (und die Deckfläche) bei, so verdoppelt sich das Volumen des Prismas. b) Kreuzt diejenigen Netze an, die zu geraden Prismen gehören. c) Kreuzt diejenigen Netze an, die zu Pyramiden gehören.

8 Lösung zu Station 9 Die Maße der Pyramide lassen sich beispielsweise mithilfe der Personen abschätzen, die links von der Pyramide abgebildet sind, indem man davon ausgeht, dass diese etwa 1,8 m groß sind. So ergeben sich für die Höhe der Pyramide etwa 6,4 m und für die Länge der Diagonale ihrer Grundfläche etwa 8,2 m. Für den Zusammenhang zwischen der Länge d der Diagonale der Grundfläche und der Länge s der Seiten der Grundfläche gilt gemäß Satz des Pythagoras: d d s s 2s d s 5,8m 2 (Hinweis: Die negative Lösung der Gleichung hat im Sachzusammenhang keine Bedeutung.) 2 s h 5,8m 6, 4m 72m Das Volumen der Pyramide beträgt damit Damit ergibt sich als Näherungswert für die Masse der Pyramide: kg dm 2,4 170 t dm

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