Abitur 2010 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C1

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Leon Vogt
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1 Seite Abiturloesung.de - Abituraufgaben Abitur 200 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C Eine Schokoladenfabrik stellt Überraschungseier her, von denen jedes fünfte eine Simpsons- Figur enthält. Die Überraschungseier werden im Einzelhandel lose (stückweise) oder in Schachteln zu je 20 Stück verkauft. Es wird garantiert, dass auch in jeder Schachtel die Anzahl der Eier mit einer Simpsons-Figur dem angegebenen Anteil entspricht. Teilaufgabe. (5 BE) Susi kauft 3 Eier aus einer großen Kiste mit losen Eiern. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie () genau eine Simpsons-Figur, (2) mindestens eine Simpsons-Figur erhält. Teilaufgabe.2 Susis großer Bruder Max kauft eine volle Schachtel Überraschungseier. Er öffnet daraus 3 Eier. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er () genau eine Simpsons-Figur, (2) mindestens eine Simpsons-Figur erhält. Teilaufgabe.3 Vergleichen Sie die Ergebnisse der Rechnungen von Aufgaben. und.2 unter Betrachtung der zugrunde liegenden Modelle. Teilaufgabe.4 An ihrem 4. Geburtstag besitzt Susi endlich alle 7 verschiedenen Simpsons-Figuren. Sie stellt die Figuren von da an jeden Tag neu geordnet auf ihr Regal. Ermitteln Sie das Alter von Susi in Jahren, wenn sie alle möglichen Anordnungen aufgestellt hat. Aus Rationalisierungsgründen werden von der Fabrik die Schachteln jetzt nicht mehr wie oben beschrieben mit Eiern bestückt, sondern zufällig mit den Eiern befüllt. Die oben beschriebene Garantie wird aufgehoben, es wird jetzt mit dem Spruch In jedem 5. Ei steckt eine Simpsons- Figur geworben. Abitur Hessen 200 GK Stochastik Aufgabe C

2 Seite 2 Teilaufgabe 2. (5 BE) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit denen in einer Schachtel () genau 4, (2) mehr als 4 Simpsons-Figuren enthalten sind. Für ein Schulfest werden fünf Schachteln mit Überraschungseiern in einem Supermarkt gekauft. Teilaufgabe 3. (0 BE) Berechnen Sie, wie viele Simpsons-Figuren die Schule erwarten kann und ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der genau die erwartete Anzahl eintritt. Teilaufgabe 3.2 Nachdem beim Schulfest alle Eier geöffnet sind, wird festgestellt, dass nur 6 Simpsons- Figuren darin enthalten sind. Max beschwert sich bei dem Martktleiter des Supermarktes: Die Eier-Fabrik hat uns betrogen. Der Marktleiter antwortet ihm: Das liegt durchaus in einem Bereich, der nicht unwahrscheinlich ist. Bewerten Sie dies. c Abiturloesung.de

3 Seite Abiturloesung.de - Abituraufgaben Abitur 200 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C2 In einem Fachmarkt werden unter anderem Tulpenzwiebeln von rot blühenden, gelb blühenden sowie weiß blühenden Tulpen verkauft. Eine große Kiste wurde zu gleichen Teilen mit Tulpenzwiebeln der genannten drei Sorten gefüllt. Von diesen äußerlich nicht unterscheidbaren Zwiebeln werden aus der Kiste auf zufällige Weise 2 in eine Tüte gepackt. Teilaufgabe. (2 BE) Wir betrachten jetzt folgende Ereignisse: A: Keine Zwiebel der gelb blühenden Tulpensorte ist enthalten. B: Die Tüte enthält genau zwei der gelb blühenden Tulpensorte. C: Mindestens zwei Zwiebeln der gelb blühenden Tulpensorte sind enthalten. Begründen Sie, dass man diese Zufallsexperimente (in guter Näherung) als Bernoulli-Kette auffassen kann. Berechnen Sie damit die Wahrscheinlichkeit der oben genannten Ereignisse. Teilaufgabe.2 Erläutern Sie die Bedeutung der folgenden Gleichung im Sachzusammenhang und geben Sie das Ereignis D an. P (D) = 2 Teilaufgabe 2. (6 BE) ( ) 2 0, Laut Verpackungsangabe kommt es bei sachgerechter Pflanzung einer Tulpenzwiebel im nächsten Frühjahr mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % zu einer Blüte. Erklären Sie die Ungleichungen (I) und (II) und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. (I) 0, 98 n > 0, 75 (II) n < 4, 24 Eine Erhebung über einen längeren Zeitraum hat ergeben, dass 20 % der Besucher den Fachmarkt verlassen, ohne einen Einkauf getätigt zu haben. Die Firmenleitung erweitert aus diesem Grund das Angebot. Sie vermutet, dass sich der Anteil der Fachmarktbesucher, die nichts kaufen, verringert hat. Zur Erfolgskontrolle wird das Einkaufsverhalten von 00 zufällig ausgewählten Besuchern erfasst. Abitur Hessen 200 GK Stochastik Aufgabe C2

4 Seite 2 Teilaufgabe 3. (2 BE) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als 6 der erfassten Besucher ohne Einkaufsmarkt aus dem Fachmarkt gehen, vorausgesetzt, dass sich das Einkaufsverhalten nicht geändert hat. Teilaufgabe 3.2 Die Vermutung der Firmenleitung soll auf dem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden. Entwickeln Sie einen geeigneten Hypothesentest und geben Sie die Entscheidungsregel an. Beschreiben Sie die möglichen Fehler im Sachzusammenhang. c Abiturloesung.de

5 Aufgabe C Landesabitur Hessen 200 GK..Man kann den Kauf als binomialverteiltes Bernoulli-Experiment verstehen, weil die Wahrscheinlichkeit sich von Zug zu Zug praktisch nicht ändert: n=3;p=0,2: 3 2 () P ( X ) 0,2 0,8 38,4% (2) P ( X 0) X 0) 0,2 0,8 0,52 48,8% 0.2. Hier handelt es sich um ein Experiment ohne Zurücklegen, bei dem sich die Wahrscheinlichkeit von Zug zu Zug ändern kann: () P ( X ) 3 42,% (2) P ( X 0) X 0) 50,88% Es handelt sich stochastisch gesehen um unterschiedliche Zufallsexperimente, wobei die Ergebnisse von.. nur genähert sind!!.4.es gibt 7!=5040 verschiedene Anordnungen von 7 verschiedenen Elementen, daher muss Susi 5040:365=3,8 Jahre warten, sie ist dann 27,8 Jahre alt. 2. Es handelt sich wie in.. um ein binomialverteiltes Bernoulli-Experiment:n=20;p=0,2 4 6 () P ( X 4) 0,2 0, ,006 0,28 2,8% 4 (2) P ( X 4) X 4) 0 2 0, 0,058 0,37 0,205 0,28 0,63 37% ,2 0,8 0,2 0,8 0,2 0,8 0,2 0,8 0,2 0,8 6 Annäherung durch die -Funktion: np 20 0,2 4; np( p) 3, % P ( X 4) X 4) Gerd Schluckebier - zur Verfügung gestellt über Abiturloesung.de

6 3.. Bei 5 Schachteln=00 Eiern können mit 20 Simpson-Figuren erwartet werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass dies genau eintritt ist: P ( X 20) 0,2 0,8 0% (aus einer F(n;p;k)-Binomialtabelle) 20 Annäherung durch die -Funktion: np 00 0,2 20; np( p) 6 4 0,5 0,5 P ( X 20) 4 4 0,25 0,25 0,55 0,45 0% 3.2. Wir lesen für n=00 und p=0,2 X 6) 9% aus einer F(n;p;k)-Binomialtabelle ab 4 4 oder nähern mit der -Funktion: P ( X 6) 5,87% Gerd Schluckebier - zur Verfügung gestellt über Abiturloesung.de

7 Aufgabe A Landesabitur Hessen 200 GK..Man kann von binomialvberteilten Bernoulliketten ausgehen, wenn man von einer großen Anzahl ausgehen kann, weil dann die Wahrscheinlichkeiten für eine Ziehung sich so gut wie nicht ändern, obwohl nicht zurückgelegt wird: n=2;p=/ A: P ( X = 0) = = 0,77% B: P ( X = 2) = = 66 0, 0,0734 = 2,7% C: P ( X > ) = X ) = X = 0) X = ) = 0,0077 = 3 3 = 0,0077 0,0462 = 94,6% 2.2. D) = 2 = = X = ) ist diewahrscheinlichkeit, dass genau von 2 Zwiebeln von gelb- (rot-;weiß-)blühenden Tulpen sind. n n 2. (I) X = n) = 0,98 0,02 0 = 0, 98 n ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle n Zwiebeln n zur Blüte kommen. Wenn nun diese Wahrscheinlichkeit >75% sein soll, dann muss die n ln 0,75 Ungleichung 0,98 > 0, 75gelöst werden, also n ln 0,98 > ln 0, 75 n < 4, 24. ln 0,98 Für höchsten 4 Zwiebeln gilt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass Zwiebeln zur Blüte kommen>75% ist. (II) ist die Lösung von (i) 3..Man kann von einem binomialvberteilten Bernoulli-Experiment ausgehen: n=00;p=0,2, dann ist P ( X 5) = F(00;0,2;5) = 0,285 (aus einer Binomialtabelle) oder genähert P X 5-20 = Φ 4 mit μ=00 0,2=20; σ²=20 0,8=6: ( 5) = Φ(,25) 0, Prüfhypothese H : p 0,2 Alternativhypothese H : p 0, 2 (linksseitiger Test) 0 = < k - 20 k - 20 P ( X k) = 0,05 Φ = 0,05 =,595 k 20 = 6,38 k = 3, Gerd Schluckebier - zur Verfügung gestellt über Abiturloesung.de

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