Mathematische Probleme, SS 2016 Freitag $Id: convex.tex,v /05/13 14:42:55 hk Exp $

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1 $Id: convex.tex,v /05/3 4:42:55 hk Exp $ 3 Konvexgeometrie 3. Konvexe Polyeder In der letzten Sitzung haben wir begonnen uns mit konvexen Polyedern zu befassen, diese sind die Verallgemeinerung der ebenen n-ecke auf den dreidimensionalen Raum. Die Kanten eines n-ecks in der Ebene entsprechen in dieser Deutung den Flächen eines Polyeders im Raum und wir wollen jetzt auch den Begriff der Innenwinkel von n-ecken auf die dreidimensionale Situation übertragen. Die Innenwinkel eines n-ecks sind Winkel zwischen seinen Kanten und als Innenwinkel eines dreidimensionalen Polyeders verwendet man entsprechend die Winkel zwischen seinen Randflächen. Dabei ist immer derjenige der möglichen vier Winkel gemeint der das Polyeder enthält. Manchmal werden die Winkel zwischen den Randflächen auch als die Diederwinkel des Polyeders bezeichnet, wir sprechen meist einfach von Winkeln. f 2 θ e f e g 2 A M B θ l g Winkel zwischen Ebenen Querschnitt Mittelsenkrechte Hat man zwei Ebenen f, f 2 die sich in einer Geraden l schneiden und will den Winkel θ zwischen f und f 2 bestimmen, so können wir f, f 2 mit einer auf f und f 2 senkrechten Ebene e schneiden, in e wird e l dann ein Punkt in dem sich die beiden Geraden g = e f und g 2 = e f 2 schneiden und der Winkel θ ist dann der Winkel zwischen g und g 2. Damit sind die räumlichen Winkel auf ebene Winkel zurückgeführt. Will man diesen Mechanismus verwenden so braucht man nur noch eine Methode, zu entscheiden ob zwei Ebenen senkrecht aufeinander stehen. Hierzu beachte zunächst das zwei nicht parallele Ebenen e, f genau dann senkrecht aufeinander stehen wenn es eine Gerade l in f gibt die senkrecht auf e steht, es reicht also eine Ebene und eine Gerade als senkrecht zu erkennen. Will man sogar wie oben eine Ebene e finden die auf zwei nicht parallelen Ebenen f und f 2 senkrecht ist, so muss diese Ebene e also auf der Schnittgeraden l = f f 2 senkrecht sein. 0-

2 Will man schließlich erkennen ob eine Ebene e senkrecht auf einer Geraden l ist, so können wir hierzu die räumlichen Mittelsenkrechten verwenden. Sind A, B zwei verschiedene Punkte im Raum, so bildet die Menge aller Punkte die von A und B denselben Abstand haben eine Ebene nämlich die auf AB senkrechte Ebene durch den Mittelpunkt M der Strecke AB, dies kann man genau wie im zweidimensionalen Fall einsehen. Haben wir also eine Gerade l und eine Ebene e und wollen einsehen das l senkrecht auf e ist, so müssen wir nur zwei Punkte A, B l und drei nicht kollineare Punkte C, C 2, C 3 e mit AC i = BC i für i =, 2, 3 finden, denn dann liegen C, C 2, C 3 auf der Mittelsenkrechten von AB und diese ist damit gleich e. E D D E C F A Standardsimplex B A θ M Querschnitt F Wir wollen uns ein Beispiel anschauen. Wir starten mit einem Würfel W der Kantenlänge a > 0. Sei A eine Ecke von W und seien B, C, D die drei mit A benachtbarten Ecken von W, d.h. diejenigen die mit A durch eine Kante von W verbunden sind. Die konvexe Hülle S der Punkte A, B, C, D ist dann ein Simplex aber kein Tetraeder. Wir wollen den Winkel θ zwischen der unteren Fläche ABC von S und der diagonalen Fläche BCD von S bestimmen. Wollen wir dem obigen Schema folgen so benötigen wir zunächst eine Ebene e die senkrecht auf ABC und BCD ist und hierzu verwenden wir die Ebene e die das Rechteck AF ED enthält wobei EF die AD gegenüberliegende Kante von W ist. Die beiden Ebenen ABC und BCD schneiden sich in der Diagonale BC des Quadrats ABF C und wir behaupten das diese senkrecht auf e ist. Da BC in der Fläche ABF C von W liegt ist AD senkrecht auf BC und da die beiden Diagonalen eines Quadrats senkrecht aufeinander stehen ist auch AF senkrecht auf BC. Damit ist e senkrecht auf BC und damit auch auf ABC und BCD. Nun ist e W ein Rechteck mit AD = a und AF = 2 a. Weiter schneiden sich die beiden Diagonalen eines Quadrats in ihrem gemeinsamen Mittelpunkt, d.h. BCD e läuft durch den Mittelpunkt M von AF und durch D, der Winkel θ ist also der Winkel des Dreiecks AMD 0-2

3 bei M. Da dieses in A rechtwinklig ist folgt tan θ = AD AM = 2 und somit cos θ = + tan 2 θ =. 3 Damit haben wir ( ) θ = arccos 3 54, 74. Alternativ kann man den Winkel auch mit Methoden der Vektorrechnung berechnen, schreiben wir die beiden Ebenen e, e 2 in Hessescher Normalform mit Normalenvektoren n, n 2 so ist der Winkel zwischen e und e 2 gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren n und n 2. Allgemeiner kann man auch Vielfache der Normalenvektoren nehmen da dies keinen Einfluss auf den Winkel hat. In unserem Beispiel hat ABC den Normalenvektor n = (0, 0, ) und der Normalenvektor auf BCD steht senkrecht auf C B = a(,, 0) und D B = a(, 0, ). Dabei haben wir das Koordinatensystem mit zum Würfel passenden Koordinatenachsen gewählt. Als nicht normierten Normalenvektor können wir das Vektorprodukt n 2 = verwenden und es wird wieder 0 0 = cos θ = n n 2 n n 2 = 3. Wir wollen hier nur einen allgemeinen, und nicht so offensichtlichen, Satz über konvexe Polyeder beweisen, die sogenannte eulersche Polyederformel. Für den Beweis dieses Satzes ist ein kleiner Hilfsbegriff nützlich. Ein polyedrisches Netz im R 2 ist eine endliche, nicht leere Menge Σ von Teilmengen des R 2 mit den folgenden drei Eigenschaften:. Jedes A Σ ist ein n-eck für ein n N mit n Sind A, B Σ mit A B, so ist A B entweder leer, oder eine gemeinsame Ecke von A und B oder eine gemeinsame Kante von A und B. 3. Die Vereinigung M := Σ R 2 ist zusammenhängend und der Rand M ist ein überschneidungsfreier Kantenzug bestehend aus Seiten der Elemente von Σ. Polyedrisches Netz Kein Netz Kein Netz 0-3

4 Dabei kann die Zahl n im ersten Punkt von A abhängen, muss also nicht immer denselben Wert haben. Die Bedingung an den Rand von M verbietet Netze mit Löchern oder aus mehreren Stücken zusammengesetzte Netze wie die beiden obigen Beispiele. Haben wir ein konvexes Polyeder P R 3, so können wir aus diesem eine Fläche entfernen und den verbleibenden Teil des Randes in die Ebene aufklappen, dabei veränderen sich alle metrischen Werte wie Winkel und Flächeninhalte aber die kombinatorische Struktur des Randes bleibt erhalten. Auf diese Weise wird aus dem Polyeder P ein polyedrisches Netz. Führen wir diese Konstruktion für Tetraeder, Würfel und Oktaeder durch, so ergeben sich beispielsweise die folgenden polyedrischen Netze: Α 4 Α 3 Α 3 Α 5 Α7 Α 2 2 Α 3 4 Α5 Α 2 Α 6 Α Α Aufgeklapptes Tetraeder Aufgeklappter Würfel Aufgeklapptes Oktaeder Die eulersche Polyederformel besagt das in einem konvexen Polyeder P im R 3 mit e Ecken, k Kanten und f Flächen stets e k + f = 2 gilt. Entfernen wir eine Fläche von P und klappen den Rest zu einem polyedrischen Netz Σ auf, so sollte in Σ die Zahl der Ecken minus die Zahl der Kanten plus die Zahl der n-ecke also gleich Eins sein und wir werden die eulersche Polyederformel beweisen indem wir diese entsprechende Aussage über polyedrische Netze nachweisen. Satz 3.2 (Die eulersche Polyederformel) Sei P R 3 ein konvexer Polyeder mit f Flächen, k Kanten und e Ecken. Dann gilt die sogenannte eulersche Polyederformel e k + f = 2. Beweis: Wir teilen den Beweis in mehrere Schritte auf. (Schritt ) Sei Σ ein nur aus Dreiecken bestehendes polyedrisches Netz im R 2 mit f Dreiecken, k Kanten und e Ecken. Dann gilt e k + f =. Diese Behauptung beweisen wir durch Induktion nach f. Im Induktionsanfang f = besteht Σ nur aus einem einzigen Dreieck und damit sind e = 3, k = 3 und f =, also e k + f =. Nun sei sei f N mit f 2 und für jedes nur aus Dreiecken bestehende polyedrische Netz Σ im R 2 mit Σ < f gelte die Behauptung. Sei Σ jetzt ein aus f Dreiecken bestehendes polyedrisches Netz im R 2 mit k Kanten und e Ecken. Sei M = Σ. Da der Rand M aus mindestens einer Kante besteht, gibt es ein Σ das mindestens eine Kante auf M hat. Wären alle drei Kanten von in M, so kann M nur aus diesen drei Kanten bestehen und es ist Σ = {}, im Widerspruch zu Σ = f >. Es können also zwei verschiedene Fälle auftreten. 0-4

5 Fall (.a) Fall (.b) Fall (2) Fall. Genau eine Kante von liegt auf dem Rand M. Damit erhalten wir eine weitere Fallunterscheidung. Fall.a. Zunächst nehmen wir an das die dritte Ecke v von auch auf M liegt. Dann zerfällt Σ\{} = Σ Σ in zwei nur aus Dreiecken bestehende polyedrische Netze Σ, Σ im R 2 mit Σ, Σ < f, die sich in der Ecke v treffen. Bezeichnet e, k, f und e, k, f die Zahl der Ecken, Kanten und Dreiecke in Σ und Σ, so haben wir nach unserer Induktionsannahme e k + f = e k + f =. Nun gelten e = e + e, da die Ecke v in Σ und Σ vorkommt, sowie k = k + k + und f = f + f +. Damit ist auch e k + f = e k + f + e k + f =. Fall.b. Die dritte Ecke von liegt nicht auf dem Rand M. Dann ist Σ := Σ\{} ein nur aus Dreiecken bestehendes polyedrisches Netz im R 2 mit e = e Ecken, k := k Kanten und f := Σ = f < f Dreiecken, also ist nach unserer Induktionsannahme e k + f =, und somit auch e k + f = e k + f =. Damit ist der erste Fall vollständig behandelt. Fall 2. Genau zwei der Kanten von sind in M. Dann ist Σ := Σ\{} wieder ein nur aus Dreiecken bestehendes polyedrisches Netz im R 2 mit f = f Dreiecken, k = k 2 Kanten und e = e Ecken. Nach unserer Induktionsannahme ist damit e k + f = e k + f =, und die Behauptung ist auch in diesem Fall bewiesen. Per vollständiger Induktion ist Schritt () damit vollständig bewiesen. (Schritt 2) Ist Σ ein polyedrisches Netz im R 2 mit f Elementen, k Kanten und e Ecken, so gilt e k + f =. Für jedes A Σ sei n(a) die Anzahl der Ecken von A und setze n(σ) := A Σ (n(a) 3). Wir beweisen die Behauptung dann durch Induktion nach n(σ). Ist Σ ein polyedrisches Netz im R 2 mit n(σ) = 0, so besteht Σ nur aus Dreiecken und die Behauptung gilt nach Schritt (). Nun sei n N mit n und für jedes polyedrische Netz Σ im R 2 mit n(σ) = n gelte die Behauptung. Sei Σ ein polyedrisches Netz im R 2 mit n(σ) = n > 0. Dann gibt es ein A Σ das ein m-eck für ein m 4 ist. Dann können 0-5

6 wir A = A A in ein Dreieck A und ein (m )-Eck A zerlegen und erhalten ein neues polyedrisches Netz Σ := (Σ\{A}) {A, A } mit f := Σ = f + das k = k + Kanten und e = e Ecken hat. Weiter ist n(σ ) = n(σ) (n(a) 3) + (n(a ) 3) + (n(a ) 3) = n(σ) m + m = n, also gilt nach unserer Induktionsannahme = e k +f = e k +f. Per vollständiger Induktion ist Schritt (2) damit vollständig bewiesen. (Schritt 3) Sei schließlich P R 3 ein konvexer Polyeder mit e Ecken, k Kanten und f Flächen. Durch Aufklappen dieses Polyeders erhalten wir ein polyedrisches Netz Σ im R 2 mit f Elementen, k Kanten und e Ecken. Nach Schritt (2) gilt somit e k + f = e k + (f ) + = Die platonischen Körper Wir hatten bereits bemerkt das die konvexen Polyeder im R 3 in gewissen Sinne die dreidimensionale Version der konvexen n-ecke in der Ebene sind. Ein besonders regelmäßiger Typ eines konvexen n-ecks waren dabei die gleichseitigen n-ecke bei denen alle Kanten dieselben Länge haben. Es gibt keine kanonische Verallgemeinerung gleichseitiger n-ecke zu einem dreidimesionalen Begriff, in unserer Analogie entsprechen die Kanten eines n-ecks den Seitenflächen eines konvexen Polyeders, für die Länge einer Kante gibt es aber keine direkte Entsprechung. Im Laufe der Zeit wurden verschiedene Typen besonders regelmäßiger konvexer Polyeder eingeführt. Eine Möglichkeit ist es zu fordern das die Seitenflächen möglichst regelmäßig sind, und es entsteht der Begriff der sogenannten Johnson-Polyeder. Definition 3.3 (Johnson Polyeder) Ein Johnson-Polyeder ist ein konvexer Polyeder im R 3 dessen Flächen reguläre n-ecke sind. Dabei wird n-eck als Name verwendet, es ist kein fixiertes n gemeint. Starten wir etwa mit einem Quadrat in einer Ebene, so können wir nach Aufgabe (8) einen Punkt außerhalb dieser Ebene finden dessen Abstand zu allen vier Ecken des Quadrats gleich der Kantenlänge des Quadrats ist, bilden wir also die konvexe Hülle unseres Quadrats und dieses neuen Punkts so entsteht eine Pyramide als ein Johnson-Polyeder mit vier gleichseitigen Dreiecken und einem Quadrat als Seitenflächen. Unter den gleichseitigen n-ecken gibt es den speziellen Typ der regulären n-ecke bei denen auch noch alle Innenwinkel gleich sind. Bei diesen liegen alle Ecken nach Aufgabe (5) auf einem Kreis und durch Drehungen um den Mittelpunkt dieses Kreises können wir jede Ecke des n-ecks in jede andere überführen. Die Ecken eines regulären n-ecks sehen also in gewissen Sinne alle gleich aus. Entsprechend gibt es auch unter den Johnson-Polyedern solche bei denen alle Ecken gleich aussehen, allerdings kann auch 0-6

7 dies im Raum auf verschiedene Weisen interpretiert werden. Die wohl einschränkenste Interpretation führt auf den Begriff eines platonischen Körpers. Definition 3.4 (Platonische Körper) Seien n, m N mit n, m 3. Ein platonischer Körper von Typ (n, m) ist ein konvexer Polyeder P R 3 mit den folgenden beiden Eigenschaften: (a) Jede Fläche von P ist ein reguläres n-eck. (b) In jeder Ecke von P treffen genau m Flächen zusammen. Wir kennen auch bereits einige Beispiele platonischer Körper. Ein Tetraeder besteht aus f = 4 gleichseitigen Dreiecken und in jeder Ecke des Tetraeders treffen drei von diesen aufeinander, der Tetraeder ist also ein platonischer Körper von Typ (3, 3). Beim Würfel haben wir f = 6 Quadrate, also reguläre Vierecke, und in jeder Ecke des Würfels treffen drei dieser Quadrate zusammen, der Würfel ist also ein platonischer Körper von Typ (4, 3). Schließlich hatten wir auch noch das aus f = 8 gleichseitigen Dreiecken gebildete Oktaeder und in diesem treffen in jeder Ecke vier dieser Dreiecke zusammen, der Oktaeder ist also ein platonischer Körper von Typ (3, 4). 0-7

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